Derivate di funzioni dimostrative elementari. Derivata di una funzione. Teoria dettagliata con esempi. Concetto di funzione inversa
L'operazione per trovare la derivata si chiama differenziazione.
Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate e regole di differenziazione definite con precisione . I primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati furono Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella di Derivati e regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.
Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno primo scomporre le funzioni semplici in componenti e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Successivamente, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.
Esempio 1. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di funzioni, cioè
Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di "x" è uguale a uno e la derivata del seno è uguale a coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 2. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Differenziamo come derivata di una somma in cui il secondo termine ha un fattore costante; può essere tolto dal segno della derivata:
Se sorgono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di solito vengono chiarite dopo aver familiarizzato con la tabella dei derivati e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo passando a loro proprio ora.
Tavola delle derivate di funzioni semplici
| 1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre uguale a zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso | |
| 2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "X". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare a lungo | |
| 3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in potenze. | |
| 4. Derivata di una variabile alla potenza -1 | |
| 5. Derivato della radice quadrata | |
| 6. Derivato del seno | |
| 7. Derivato del coseno |  |
| 8. Derivato della tangente |  |
| 9. Derivato della cotangente |  |
| 10. Derivato dell'arcoseno |  |
| 11. Derivato dell'arcoseno |  |
| 12. Derivato dell'arcotangente |  |
| 13. Derivato dell'arco cotangente |  |
| 14. Derivato del logaritmo naturale | |
| 15. Derivato di una funzione logaritmica |  |
| 16. Derivata dell'esponente | |
| 17. Derivato di una funzione esponenziale |
Regole di differenziazione
| 1. Derivato di una somma o differenza |  |
| 2. Derivato del prodotto |  |
| 2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante | |
| 3. Derivata del quoziente |  |
| 4. Derivato di una funzione complessa |  |
Regola 1.Se le funzioni
sono differenziabili in un certo punto, allora le funzioni sono differenziabili nello stesso punto
E
quelli. la derivata di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di tali funzioni.
Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono di un termine costante, allora le loro derivate sono uguali, cioè.
Regola 2.Se le funzioni
sono differenziabili in un certo punto, allora il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto
E
quelli. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.
Corollario 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:
Corollario 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascun fattore e di tutti gli altri.
Ad esempio, per tre moltiplicatori:
Regola 3.Se le funzioni
differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabileu/v e
quelli. la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato di il vecchio numeratore.
Dove cercare cose su altre pagine
Quando si trova la derivata di un prodotto e un quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi ci sono più esempi su queste derivate nell'articolo"Derivata del prodotto e quoziente di funzioni".
Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con il termine di una somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo è un errore tipico che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi in una o due parti, non commette più questo errore.
E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si dispone di un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (questo caso è discusso nell'esempio 10).
Un altro errore comune è risolvere meccanicamente la derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessaè dedicato un articolo separato. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.
Lungo il percorso, non puoi fare a meno di trasformare le espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire il manuale in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .
Se stai cercando soluzioni alle derivate di frazioni con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione 
, poi segui la lezione “Derivata di somme di frazioni con potenze e radici”.
Se hai un compito come 
, poi seguirai la lezione “Derivate di semplici funzioni trigonometriche”.
Esempi passo passo: come trovare la derivata
Esempio 3. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Definiamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta un prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni per la derivata dell'altra:
Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso in ogni somma il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "X" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori derivati:
Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:
E puoi controllare la soluzione del problema della derivata su.
Esempio 4. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare il quoziente: la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:
Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:
Se cerchi soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove è presente una pila continua di radici e potenze, come, ad esempio, 
, allora benvenuto in classe "Derivata di somme di frazioni con potenze e radici" .
Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altre funzioni trigonometriche, ovvero quando appare la funzione , allora una lezione per te "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .
Esempio 5. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, la cui derivata abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. Utilizzando la regola per differenziare il prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Puoi controllare la soluzione del problema della derivata su calcolatore di derivati online .
Esempio 6. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un quoziente il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Utilizzando la regola della differenziazione dei quozienti, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulato della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Per eliminare una frazione dal numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .
Dimostra tu stesso le formule 3 e 5.
REGOLE FONDAMENTALI DI DIFFERENZIAZIONE
Utilizzando il metodo generale per trovare la derivata utilizzando il limite, si possono ottenere le formule di differenziazione più semplici. Permettere u=u(x),v=v(x)– due funzioni differenziabili di una variabile X.
Dimostra tu stesso le formule 1 e 2.
Prova della Formula 3.
Permettere y = u(x) + v(x). Per il valore dell'argomento X+Δ X abbiamo sì(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).
Δ sì=sì(X+Δ X) – y(x) = u(x+Δ X) + v(x+Δ X) – u(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.
Quindi,
Prova della formula 4.
Permettere y=u(x)·v(x). Poi sì(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), Ecco perché
Δ sì=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).
Si noti che poiché ciascuna delle funzioni tu E v differenziabile nel punto X, allora a questo punto sono continui, il che significa tu(X+Δ X)→u(x), v(X+Δ X)→v(x), a Δ X→0.
Pertanto possiamo scrivere
Sulla base di questa proprietà si può ottenere una regola per differenziare il prodotto di un numero qualsiasi di funzioni.
Lasciamo, ad esempio, y=u·v·w. Poi,
sì " = tu "·( v w) + tu·( v·w) " = tu "· v·w + tu·( v"·w+ v·w") = tu "· v·w + tu· v"·w+ u·v·w ".
Prova della formula 5.
Permettere . Poi
Nella dimostrazione abbiamo usato il fatto che v(x+Δ X)→v(x) a Δ X→0.
Esempi.
TEOREMA SULLA DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPLESSA
Permettere y = f(u), UN tu= tu(X). Otteniamo la funzione sì a seconda dell'argomento X: y = f(u(x)). L'ultima funzione è chiamata funzione di una funzione o funzione complessa.
Dominio di definizione delle funzioni y = f(u(x))è l'intero dominio di definizione della funzione tu=tu(X) o quella parte in cui vengono determinati i valori tu, senza uscire dal dominio di definizione della funzione sì= f(u).
L'operazione funzione da funzione può essere eseguita non solo una volta, ma un numero qualsiasi di volte.
Stabiliamo una regola per differenziare una funzione complessa.
Teorema. Se la funzione tu= tu(X) ha ad un certo punto x0 derivata e assume il valore a questo punto tu 0 = tu(x0) e la funzione y=f(u) ha al punto tu 0 derivato sì"u= F "(tu 0), quindi una funzione complessa y = f(u(x)) nel punto specificato x0 ha anche una derivata, che è uguale a sì"x= F "(tu 0)· tu "(x0), dove invece di tu l'espressione deve essere sostituita tu= tu(X).
Pertanto, la derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di una determinata funzione rispetto all'argomento intermedio tu alla derivata dell'argomento intermedio rispetto a X.
Prova. Per un valore fisso X 0 avremo tu 0 =tu(X 0), A 0 =f(u 0 ). Per un nuovo valore di argomento x0+Δ X:
Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ sì=F(tu 0+Δ tu) – F(tu 0).
Perché tu– differenziabile in un punto x0, Quello tu– è continuo a questo punto. Pertanto, a Δ X→0 Δ tu→0. Allo stesso modo per Δ tu→0 Δ sì→0.
Per condizione 
. Da questa relazione, utilizzando la definizione di limite, si ottiene (a Δ tu→0)
dove α→0 in Δ tu→0, e, di conseguenza, a Δ X→0.
Riscriviamo questa uguaglianza come:
Δ sì=sì" uΔ tu+α·Δ tu.
L'uguaglianza risultante vale anche per Δ tu=0 per α arbitrario, poiché diventa l'identità 0=0. A Δ tu=0 assumeremo α=0. Dividiamo tutti i termini dell'uguaglianza risultante per Δ X
.
Per condizione 
. Passando quindi al limite a Δ X→0, otteniamo sì"x= sì"u·u" x. Il teorema è stato dimostrato.
Quindi, per differenziare una funzione complessa y = f(u(x)), devi prendere la derivata della funzione "esterna". F, trattando il suo argomento semplicemente come una variabile, e moltiplicarlo per la derivata della funzione "interna" rispetto alla variabile indipendente.
Se la funzione y=f(x) può essere rappresentato nella forma y=f(u), u=u(v), v=v(x), quindi trovare la derivata y "x si effettua mediante l'applicazione sequenziale del teorema precedente.
Secondo la regola provata, abbiamo sì"x= sì"u tu"x. Applicando lo stesso teorema per tu"x otteniamo, cioè
sì"x= sì" X tu"V v"x= F"u( tu)· tu" v ( v)· v" X ( X).
Esempi.
CONCETTO DI FUNZIONE INVERSA
Cominciamo con un esempio. Considera la funzione y=x3. Considereremo l'uguaglianza sì= x3 come un'equazione relativa X. Questa è l'equazione per ciascun valore A definisce un singolo valore X: . Dal punto di vista geometrico ciò significa che ogni linea retta è parallela all'asse Bue interseca il grafico di una funzione y=x3 solo ad un certo punto. Pertanto possiamo considerare X come una funzione di sì. Una funzione è detta inversa di una funzione y=x3.
Prima di passare al caso generale, introduciamo le definizioni.
Funzione y = f(x) chiamato crescente su un determinato segmento, se il valore maggiore dell'argomento X da questo segmento corrisponde a un valore maggiore della funzione, cioè Se X 2 >X 1, quindi f(x 2 ) > f(x 1 ).
La funzione si chiama in modo simile decrescente, se un valore minore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore della funzione, ad es. Se X 2 < X 1, quindi f(x 2 ) > f(x 1 ).
Quindi, diamo una funzione crescente o decrescente y=f(x), definito su un certo intervallo [ UN; B]. Per chiarezza considereremo una funzione crescente (per una decrescente tutto è simile).
Considera due valori diversi X 1 e X 2. Permettere sì 1 =f(x 1 ), sì 2 =f(x 2 ). Dalla definizione di funzione crescente segue che se X 1 <X 2, quindi A 1 <A 2. Due valori diversi, quindi X 1 e X 2 corrisponde a due diversi valori di funzione A 1 e A 2. È vero anche il contrario, cioè Se A 1 <A 2, allora dalla definizione di funzione crescente segue che X 1 <X 2. Quelli. ancora una volta due valori diversi A 1 e A 2 corrisponde a due valori diversi X 1 e X 2. Quindi, tra i valori X e i loro valori corrispondenti sì viene stabilita una corrispondenza uno a uno, vale a dire l'equazione y=f(x) per ciascuno sì(preso dall'intervallo della funzione y=f(x)) definisce un singolo valore X, e possiamo dirlo X c'è qualche funzione di argomento sì: x=g(y).
Questa funzione si chiama inversione per funzione y=f(x). Ovviamente, la funzione y=f(x)è l'inverso della funzione x=g(y).
Si noti che la funzione inversa x=g(y) trovato risolvendo l'equazione y=f(x) relativamente X.
Esempio. Sia data la funzione sì= ex. Questa funzione aumenta a –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X= registro sì. Dominio della funzione inversa 0< sì < + ∞.
Facciamo alcuni commenti.
Nota 1. Se una funzione crescente (o decrescente). y=f(x)è continua nell'intervallo [ UN; B], E f(a)=c, f(b)=d, allora la funzione inversa è definita e continua sull'intervallo [ C; D].
Nota 2. Se la funzione y=f(x) non è né crescente né decrescente in un certo intervallo, può avere più funzioni inverse.
Esempio. Funzione y=x2 definito a –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X≤ 0 funzione – diminuisce e il suo inverso.
Nota 3. Se le funzioni y=f(x) E x=g(y) sono reciprocamente inverse, allora esprimono la stessa relazione tra le variabili X E sì. Pertanto, il grafico di entrambi è la stessa curva. Ma se denotiamo nuovamente l'argomento della funzione inversa con X e la funzione through sì e tracciandoli nello stesso sistema di coordinate, otterremo due grafici diversi. È facile notare che i grafici saranno simmetrici rispetto alla bisettrice del 1° angolo di coordinata.
TEOREMA SULLA FUNZIONE INVERSA DELLA DERIVATA
Dimostriamo un teorema che ci permette di trovare la derivata della funzione y=f(x), conoscendo la derivata della funzione inversa.
Teorema. Se per la funzione y=f(x) esiste una funzione inversa x=g(y), che ad un certo punto A 0 ha una derivata G "(v0), diverso da zero, quindi nel punto corrispondente x0=G(x0) funzione y=f(x) ha un derivato F "(x0), uguale a , cioè la formula è corretta.
Prova. Perché x=g(y) differenziabile nel punto e 0, Quello x=g(y)è continua a questo punto, quindi la funzione y=f(x) continuo in un punto x0=G(e 0). Pertanto, a Δ X→0 Δ sì→0.
Mostriamolo 
.
Permettere . Quindi, per la proprietà del limite 
. Passiamo in questa uguaglianza al limite in Δ sì→0. Quindi Δ X→0 e α(Δx)→0, cioè .
Quindi,
,
Q.E.D.
Questa formula può essere scritta nella forma .
Vediamo l'applicazione di questo teorema utilizzando esempi.
Presentiamo senza dimostrazione le formule per le derivate delle funzioni elementari di base:
1. Funzione di potenza: (x n)` =nx n -1 .
2. Funzione esponenziale: (a x)` =a x lna(in particolare, (e x)` = e x).
3. Funzione logaritmica: (in particolare, (lnx)` = 1/x).
4. Funzioni trigonometriche:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sen 2 x
5. Funzioni trigonometriche inverse:
Si può dimostrare che per differenziare una funzione esponenziale di potenza è necessario utilizzare due volte la formula per la derivata di una funzione complessa, cioè differenziarla sia come funzione di potenza complessa che come funzione esponenziale complessa, e sommare i risultati : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)».
Derivate di ordine superiore
Poiché la derivata di una funzione è essa stessa una funzione, può anche avere una derivata. Il concetto di derivata, discusso sopra, si riferisce a una derivata del primo ordine.
DerivatoN-esimo ordineè detta derivata della derivata dell'ordine (n-1). Ad esempio, f``(x) = (f`(x))` - derivata del secondo ordine (o derivata seconda), f```(x) = (f``(x))` - derivata del terzo ordine ( o derivata terza), ecc. A volte i numeri arabi romani tra parentesi vengono utilizzati per denotare derivati di ordine superiore, ad esempio f (5) (x) o f (V) (x) per un derivato di quinto ordine.
Il significato fisico delle derivate di ordine superiore è determinato allo stesso modo della derivata prima: ciascuna di esse rappresenta il tasso di variazione della derivata dell'ordine precedente. Ad esempio, la derivata seconda rappresenta il tasso di variazione della prima, cioè velocità velocità. Per moto rettilineo si intende l'accelerazione di un punto in un istante nel tempo.
Funzione di elasticità
Funzione di elasticità E x (y) è il limite del rapporto tra l'incremento relativo della funzione y e l'incremento relativo dell'argomento x quando quest'ultimo tende a zero: 
.
L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quanta percentuale cambierà la funzione y = f(x) quando la variabile indipendente x cambia dell'1%.
In senso economico, la differenza tra questo indicatore e il derivato è che il derivato ha unità di misura e quindi il suo valore dipende dalle unità in cui vengono misurate le variabili. Ad esempio, se la dipendenza del volume di produzione dal tempo è espressa rispettivamente in tonnellate e mesi, la derivata mostrerà l'aumento marginale del volume in tonnellate al mese; se misuriamo questi indicatori, diciamo, in chilogrammi e giorni, sia la funzione stessa che la sua derivata saranno diverse. L’elasticità è essenzialmente una grandezza adimensionale (misurata in percentuali o quote) e quindi non dipende dalla scala degli indicatori.
Teoremi fondamentali sulle funzioni differenziabili e loro applicazioni
Il teorema di Fermat. Se una funzione differenziabile su un intervallo raggiunge il suo valore massimo o minimo in un punto interno di questo intervallo, allora la derivata della funzione in quel punto è zero.
Nessuna prova.
Il significato geometrico del teorema di Fermat è che nel punto del valore più grande o più piccolo raggiunto all'interno dell'intervallo, la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse delle ascisse (Figura 3.3).
Il teorema di Rolle. Sia la funzione y =f(x) a soddisfare le seguenti condizioni:
2) differenziabile sull'intervallo (a, b);
3) alle estremità del segmento assume valori uguali, cioè f(a) =f(b).
Allora esiste almeno un punto all'interno del segmento in cui la derivata della funzione è uguale a zero.
Nessuna prova.
Il significato geometrico del teorema di Rolle è che esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico della funzione sarà parallela all'asse delle ascisse (ad esempio, nella Figura 3.4 ci sono due di questi punti).
Se f(a) =f(b) = 0, allora il teorema di Rolle può essere formulato diversamente: tra due zeri consecutivi della funzione differenziabile c'è almeno uno zero della derivata.
Il teorema di Rolle è un caso speciale del teorema di Lagrange.
Il teorema di Lagrange. Sia la funzione y =f(x) a soddisfare le seguenti condizioni:
1) continuo sull'intervallo [a, b];
2) differenziabile sull'intervallo (a, b).
Quindi all'interno del segmento c'è almeno uno di questi punti c, in cui la derivata è uguale al quoziente dell'incremento della funzione diviso per l'incremento dell'argomento su questo segmento: 
.
Nessuna prova.
Per comprendere il significato fisico del teorema di Lagrange, notiamolo 
non è altro che il tasso medio di variazione della funzione sull'intero intervallo [a, b]. Pertanto, il teorema afferma che all'interno del segmento c'è almeno un punto in cui il tasso di cambiamento “istantaneo” della funzione è uguale al tasso medio del suo cambiamento sull'intero segmento.
Il significato geometrico del teorema di Lagrange è illustrato nella Figura 3.5. Si noti che l'espressione 
rappresenta il coefficiente angolare della retta su cui giace la corda AB. Il teorema afferma che sul grafico di una funzione ci sarà almeno un punto in cui la tangente ad essa sarà parallela a questa corda (cioè la pendenza della tangente - la derivata - sarà la stessa).
Corollario: se la derivata di una funzione è uguale a zero su un certo intervallo, allora la funzione è identicamente costante su questo intervallo.
In effetti, prendiamo l'intervallo . Secondo il teorema di Lagrange, in questo intervallo esiste un punto c per il quale 
. Quindi f(a) – f(x) = f `(ñ)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = cost.
La regola dell'Hopital. Il limite del rapporto di due funzioni infinitesime o infinitamente grandi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate (finite o infinite), se quest'ultimo esiste nel senso indicato.
In altre parole, se c'è incertezza della forma 
, Quello 
.
Nessuna prova.
L'applicazione della regola di L'Hopital per trovare i limiti sarà discussa in lezioni pratiche.
Condizione sufficiente per un aumento (diminuzione) di una funzione. Se la derivata di una funzione differenziabile è positiva (negativa) entro un certo intervallo, allora la funzione aumenta (diminuisce) in questo intervallo.
Prova. Consideriamo due valori x 1 e x 2 da questo intervallo (sia x 2 > x 1). Per il teorema di Lagrand su [x 1, x 2] esiste un punto c in cui Il teorema è stato dimostrato. Interpretazione geometrica della condizione per la monotonia di una funzione: se le tangenti alla curva in un certo intervallo sono dirette ad angoli acuti rispetto all'asse delle ascisse, allora la funzione aumenta e, se ad angoli ottusi, diminuisce (vedi Figura 3.6 ). Nota: la condizione necessaria per la monotonia è più debole. Se una funzione aumenta (diminuisce) in un certo intervallo, allora la derivata è non negativa (non positiva) su questo intervallo (cioè nei singoli punti la derivata di una funzione monotona può essere uguale a zero). Il calcolo della derivata si trova spesso nei compiti dell'Esame di Stato unificato. Questa pagina contiene un elenco di formule per trovare le derivate. Riportiamo una tabella riassuntiva per comodità e chiarezza nello studio dell'argomento. Costantey = C Funzione potenza y = x p (x p) " = p x p - 1 Funzione esponenzialey = asse (a x) " = a x ln a In particolare, quandoun = eabbiamo y = ex (e x) " = e x Funzione logaritmica (log a x) " = 1 x ln a In particolare, quandoun = eabbiamo y = logaritmo x (lnx) " = 1x Funzioni trigonometriche (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Funzioni trigonometriche inverse (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Funzioni iperboliche (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (th x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Analizziamo come sono state ottenute le formule della tabella specificata o, in altre parole, dimostreremo la derivazione delle formule derivate per ogni tipo di funzione. Per ricavare questa formula, prendiamo come base la definizione di derivata di una funzione in un punto. Usiamo x 0 = x, dove X assume il valore di qualsiasi numero reale o, in altre parole, Xè un numero qualsiasi del dominio della funzione f (x) = C. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento come ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Si noti che l'espressione 0 ∆ x cade sotto il segno limite. Non è l’incertezza “zero diviso zero”, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimale, ma proprio zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero. Quindi, la derivata della funzione costante f (x) = C è uguale a zero in tutto il dominio di definizione. Esempio 1 Le funzioni costanti sono date: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Soluzione
Descriviamo le condizioni date. Nella prima funzione vediamo la derivata del numero naturale 3. Nell'esempio seguente devi calcolare la derivata di UN, Dove UN- qualsiasi numero reale. Il terzo esempio ci fornisce la derivata del numero irrazionale 4. 13 7 22, la quarta è la derivata di zero (zero è un numero intero). Infine, nel quinto caso abbiamo la derivata della frazione razionale - 8 7. Risposta: le derivate di determinate funzioni sono zero per qualsiasi reale X(sull'intera area di definizione) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Passiamo alla funzione potenza e alla formula della sua derivata, che ha la forma: (x p) " = p x p - 1, dove l'esponente Pè un numero reale qualsiasi. Prova 2 Ecco la dimostrazione della formula quando l'esponente è un numero naturale: p = 1, 2, 3, … Ci affidiamo ancora alla definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione potenza e l'incremento dell'argomento: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Per semplificare l’espressione al numeratore, utilizziamo la formula binomiale di Newton: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Così: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Pertanto, abbiamo dimostrato la formula per la derivata di una funzione di potenza quando l'esponente è un numero naturale. Prova 3 Per fornire prove per il caso in cui P- qualsiasi numero reale diverso da zero, usiamo la derivata logaritmica (qui dovremmo capire la differenza dalla derivata di una funzione logaritmica). Per avere una comprensione più completa, è consigliabile studiare la derivata di una funzione logaritmica e comprendere inoltre la derivata di una funzione implicita e la derivata di una funzione complessa. Consideriamo due casi: quando X positivo e quando X negativo. Quindi x > 0. Allora: x p > 0 . Logaritmiamo l'uguaglianza y = x p in base e e applichiamo la proprietà del logaritmo: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x A questo punto abbiamo ottenuto una funzione specificata implicitamente. Definiamo la sua derivata: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Consideriamo ora il caso in cui X - un numero negativo. Se l'indicatore Pè un numero pari, allora la funzione potenza è definita per x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Quindi x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Se Pè un numero dispari, allora la funzione potenza è definita per x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 L'ultima transizione è possibile perché if Pè un numero dispari, quindi p-1 o un numero pari o zero (per p = 1), quindi, per negativo X l'uguaglianza (- x) p - 1 = x p - 1 è vera. Quindi, abbiamo dimostrato la formula per la derivata di una funzione potenza per qualsiasi p reale. Esempio 2 Funzioni assegnate: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Determinare le loro derivate. Soluzione
Trasformiamo alcune delle funzioni indicate nella forma tabellare y = x p , in base alle proprietà del grado, e quindi utilizziamo la formula: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Deriviamo la formula della derivata utilizzando la definizione come base: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Abbiamo l'incertezza. Per espanderlo, scriviamo una nuova variabile z = a ∆ x - 1 (z → 0 come ∆ x → 0). In questo caso, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Per l'ultima transizione è stata utilizzata la formula per la transizione a una nuova base logaritmica. Sostituiamo nel limite originale: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Ricordiamo il secondo limite notevole e quindi otteniamo la formula per la derivata della funzione esponenziale: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Esempio 3 Le funzioni esponenziali sono date: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x È necessario trovare i loro derivati. Soluzione
Usiamo la formula per la derivata della funzione esponenziale e le proprietà del logaritmo: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Forniamo una dimostrazione della formula per la derivata di una funzione logaritmica per qualsiasi X nel dominio della definizione e gli eventuali valori ammissibili della base a del logaritmo. In base alla definizione di derivata, otteniamo: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Dalla catena di uguaglianze indicata è chiaro che le trasformazioni erano basate sulla proprietà del logaritmo. L'uguaglianza lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e è vera secondo il secondo limite notevole. Esempio 4 Sono date le funzioni logaritmiche: f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x È necessario calcolare le loro derivate. Soluzione
Applichiamo la formula derivata: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x Quindi, la derivata del logaritmo naturale è una divisa per X. Usiamo alcune formule trigonometriche e il primo meraviglioso limite per ricavare la formula per la derivata di una funzione trigonometrica. Secondo la definizione della derivata della funzione seno, otteniamo: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x La formula per la differenza dei seni ci consentirà di eseguire le seguenti azioni: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Infine, utilizziamo il primo limite meraviglioso: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Quindi, la derivata della funzione peccato x Volere cos x. Dimostreremo anche la formula per la derivata del coseno: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Quelli. la derivata della funzione cos x sarà – peccato x. Deriviamo le formule per le derivate di tangente e cotangente in base alle regole di differenziazione: t g " x = peccato x cos x " = peccato " x · cos x - peccato x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - peccato x · (- peccato x) cos 2 x = peccato 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x peccato 2 x = - peccato 2 x + cos 2 x peccato 2 x = - 1 peccato 2 x La sezione sulla derivata delle funzioni inverse fornisce informazioni complete sulla dimostrazione delle formule per le derivate di arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente, quindi non duplicheremo il materiale qui. Possiamo ricavare le formule per le derivate del seno iperbolico, coseno, tangente e cotangente utilizzando la regola di differenziazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
. Quindi f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Allora per f`(c) > 0 il lato sinistro della disuguaglianza è positivo, cioè f(x 2) >f(x 1), e la funzione è crescente. Quando`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Regole di differenziazione
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Derivata di una costante
Prova 1 Derivata di una funzione di potenza
Derivata di una funzione esponenziale
Dimostrazione 4 Derivata di una funzione logaritmica
Prova 5 Derivate di funzioni trigonometriche
Dimostrazione 6 Derivate di funzioni trigonometriche inverse
Derivate di funzioni iperboliche
Prova 7
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