Verificare che le linee giacciano sullo stesso piano. Condizione affinché due rette appartengano allo stesso piano. Distanza dal punto alla linea

Questo articolo riguarda le rette parallele e le rette parallele. Innanzitutto viene data la definizione di rette parallele nel piano e nello spazio, vengono introdotte notazioni, vengono forniti esempi e illustrazioni grafiche di rette parallele. Successivamente vengono discussi i segni e le condizioni per il parallelismo delle linee. In conclusione, vengono mostrate soluzioni ai problemi tipici di dimostrazione del parallelismo delle linee, che sono date da alcune equazioni di una linea in un sistema di coordinate rettangolari su un piano e nello spazio tridimensionale.

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Rette parallele: informazioni di base.

Definizione.

Si chiamano due rette in un piano parallelo, se non hanno punti comuni.

Definizione.

Si chiamano due linee nello spazio tridimensionale parallelo, se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Tieni presente che la clausola "se giacciono sullo stesso piano" nella definizione di linee parallele nello spazio è molto importante. Chiariamo questo punto: due linee nello spazio tridimensionale che non hanno punti in comune e non giacciono sullo stesso piano non sono parallele, ma si intersecano.

Ecco alcuni esempi di rette parallele. I bordi opposti del foglio del taccuino giacciono su linee parallele. Le linee rette lungo le quali il piano del muro della casa interseca i piani del soffitto e del pavimento sono parallele. Anche i binari ferroviari in piano possono essere considerati linee parallele.

Per indicare linee parallele, utilizzare il simbolo “”. Cioè, se le linee a e b sono parallele, allora possiamo scrivere brevemente a b.

Nota: se le linee a e b sono parallele, allora possiamo dire che la linea a è parallela alla linea b, e anche che la linea b è parallela alla linea a.

Esprimiamo un'affermazione che gioca un ruolo importante nello studio delle rette parallele su un piano: per un punto che non giace su una retta data passa l'unica retta parallela a quella data. Questa affermazione è accettata come un dato di fatto (non può essere dimostrata sulla base dei noti assiomi della planimetria) e prende il nome di assioma delle rette parallele.

Nel caso dello spazio vale il teorema: per ogni punto dello spazio che non giace su una retta data passa un'unica retta parallela a quella data. Questo teorema è facilmente dimostrabile utilizzando l'assioma delle rette parallele sopra (puoi trovarne la dimostrazione nel libro di testo di geometria per i gradi 10-11, che è elencato alla fine dell'articolo nell'elenco dei riferimenti).

Nel caso dello spazio vale il teorema: per ogni punto dello spazio che non giace su una retta data passa un'unica retta parallela a quella data. Questo teorema può essere facilmente dimostrato utilizzando l'assioma delle rette parallele sopra riportato.

Parallelismo delle rette - segni e condizioni del parallelismo.

Un segno di parallelismo delle lineeè una condizione sufficiente affinché le rette siano parallele, cioè una condizione il cui adempimento garantisce che le rette siano parallele. In altre parole, l'adempimento di questa condizione è sufficiente per stabilire il fatto che le rette sono parallele.

Esistono anche condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle linee su un piano e nello spazio tridimensionale.

Spieghiamo il significato della frase “condizione necessaria e sufficiente per rette parallele”.

Abbiamo già trattato la condizione sufficiente per rette parallele. Cos’è una “condizione necessaria per rette parallele”? Dal nome “necessario” è chiaro che l'adempimento di questa condizione è necessario per le linee parallele. In altre parole, se la condizione necessaria affinché le linee siano parallele non è soddisfatta, allora le linee non sono parallele. Così, condizione necessaria e sufficiente per rette paralleleè una condizione il cui adempimento è necessario e sufficiente per le linee parallele. Cioè, da un lato, questo è un segno di parallelismo delle linee e, dall'altro, questa è una proprietà che hanno le linee parallele.

Prima di formulare una condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette, è opportuno richiamare alcune definizioni ausiliarie.

Linea secanteè una retta che interseca ciascuna di due rette non coincidenti.

Quando due rette si intersecano con una trasversale si formano otto non sviluppate. Il cosidetto giacente trasversalmente, corrispondente E angoli unilaterali. Mostriamoli nel disegno.

Teorema.

Se due rette in un piano sono intersecate da una trasversale, allora affinché siano parallele è necessario e sufficiente che gli angoli che si intersecano siano uguali, oppure gli angoli corrispondenti siano uguali, oppure la somma degli angoli unilaterali sia uguale a 180 gradi.

Mostriamo un'illustrazione grafica di questa condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano.

Puoi trovare prove di queste condizioni per il parallelismo delle linee nei libri di testo di geometria per le classi 7-9.

Si noti che queste condizioni possono essere utilizzate anche nello spazio tridimensionale: la cosa principale è che le due rette e la secante giacciono sullo stesso piano.

Ecco alcuni altri teoremi che vengono spesso usati per dimostrare il parallelismo delle rette.

Teorema.

Se due rette in un piano sono parallele a una terza retta, allora sono parallele. La dimostrazione di questo criterio segue dall'assioma delle rette parallele.

Esiste una condizione simile per le linee parallele nello spazio tridimensionale.

Teorema.

Se due linee nello spazio sono parallele a una terza linea, allora sono parallele. La dimostrazione di questo criterio viene discussa nelle lezioni di geometria del 10° anno.

Illustriamo i teoremi enunciati.

Presentiamo un altro teorema che ci permette di dimostrare il parallelismo delle rette su un piano.

Teorema.

Se due rette di un piano sono perpendicolari ad una terza retta allora sono parallele.

Esiste un teorema simile per le linee nello spazio.

Teorema.

Se due linee nello spazio tridimensionale sono perpendicolari allo stesso piano, allora sono parallele.

Disegniamo immagini corrispondenti a questi teoremi.

Tutti i teoremi, i criteri e le condizioni necessarie e sufficienti sopra formulati sono ottimi per dimostrare il parallelismo delle rette utilizzando i metodi della geometria. Cioè, per dimostrare il parallelismo di due rette date, è necessario dimostrare che sono parallele a una terza retta, oppure mostrare l'uguaglianza degli angoli trasversali, ecc. Molti problemi simili vengono risolti durante le lezioni di geometria al liceo. Va tuttavia notato che in molti casi è conveniente utilizzare il metodo delle coordinate per dimostrare il parallelismo delle linee su un piano o nello spazio tridimensionale. Formuliamo le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle linee specificate in un sistema di coordinate rettangolari.

Parallelismo delle rette in un sistema di coordinate rettangolari.

In questo paragrafo dell'articolo formuleremo Condizioni necessarie e sufficienti per rette parallele in un sistema di coordinate rettangolari, a seconda del tipo di equazioni che definiscono queste linee, e forniremo anche soluzioni dettagliate a problemi caratteristici.

Cominciamo con la condizione di parallelismo di due rette su un piano nel sistema di coordinate rettangolari Oxy. La sua dimostrazione si basa sulla definizione del vettore direzione di una linea e sulla definizione del vettore normale di una linea su un piano.

Teorema.

Affinché due rette non coincidenti siano parallele in un piano, è necessario e sufficiente che i vettori di direzione di queste rette siano collineari, oppure i vettori normali di queste rette siano collineari, oppure il vettore di direzione di una retta sia perpendicolare alla normale vettore della seconda linea.

Ovviamente la condizione di parallelismo di due rette su un piano si riduce a (vettore direzione di retta o vettore normale di retta) oppure a (vettore direzione di una retta e vettore normale della seconda retta). Pertanto, se e sono vettori di direzione delle linee a e b, e E sono vettori normali rispettivamente delle rette a e b, allora la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette a e b sarà scritta come , O , o , dove t è un numero reale. A loro volta, le coordinate delle guide e (o) dei vettori normali delle linee aeb si trovano utilizzando le equazioni note delle linee.

In particolare, se la retta a nel sistema di coordinate rettangolari Oxy sul piano definisce un'equazione generale della retta della forma , e la linea retta b - , allora i vettori normali di queste linee hanno coordinate e, rispettivamente, e la condizione per il parallelismo delle linee a e b verrà scritta come .

Se la linea a corrisponde all'equazione di una linea con un coefficiente angolare della forma , e linea b - , allora i vettori normali di queste linee hanno coordinate e , e la condizione per il parallelismo di queste linee assume la forma . Di conseguenza, se le linee su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono parallele e possono essere specificate da equazioni di linee con coefficienti angolari, allora i coefficienti angolari delle linee saranno uguali. E viceversa: se le linee non coincidenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolari possono essere specificate da equazioni di una linea con coefficienti angolari uguali, allora tali linee sono parallele.

Se una linea a e una linea b in un sistema di coordinate rettangolari sono determinate dalle equazioni canoniche di una linea su un piano della forma E , o equazioni parametriche di una retta su un piano della forma E di conseguenza, i vettori di direzione di queste linee hanno coordinate e , e la condizione per il parallelismo delle linee a e b è scritta come .

Diamo un'occhiata alle soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Le rette sono parallele? E ?

Soluzione.

Riscriviamo l'equazione di una linea in segmenti sotto forma di equazione generale di una linea: . Ora possiamo vedere che è il vettore normale della retta , a è il vettore normale della retta. Questi vettori non sono collineari, poiché non esiste un numero reale t per il quale l'uguaglianza ( ). Di conseguenza, la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano non è soddisfatta, quindi le rette date non sono parallele.

Risposta:

No, le linee non sono parallele.

Esempio.

Le linee rette e parallele?

Soluzione.

Riduciamo l'equazione canonica di una retta all'equazione di una retta con coefficiente angolare: . Ovviamente le equazioni delle rette e non sono le stesse (in questo caso le rette date sarebbero le stesse) ed i coefficienti angolari delle rette sono uguali, quindi le rette originali sono parallele.

Le linee rette giacciono sullo stesso piano. se 1) si intersecano; 2) sono paralleli.

Perché le linee L 1: e L 2: appartengano allo stesso piano  in modo che i vettori M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), Q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) e Q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) erano complanari. Cioè, secondo la condizione di complanarità di tre vettori, il prodotto misto M 1 M 2 ·S 1 ·S 2 =Δ==0 (8)

Perché la condizione per il parallelismo di due rette ha la forma: quindi per l'intersezione delle rette L 1 e L 2 , affinché soddisfino la condizione (8) e affinché almeno una delle proporzioni sia violata.

Esempio. Esplora le posizioni relative delle linee:

Vettore direzione della retta L 1 – Q 1 =(1;3;-2). La linea L 2 è definita come l'intersezione di 2 piani α 1: x-y-z+1=0; α2: x+y+2z-2=0. Perché la linea L 2 giace in entrambi i piani, allora essa, e quindi il suo vettore direzione, è perpendicolare alle normali N 1 E N 2 . Pertanto, il vettore direzione S 2 è il prodotto vettoriale dei vettori N 1 E N 2 , cioè. Q 2 =N 1 X N 2 ==-io-3J+2K.

Quello. S 1 =-S 2 , Ciò significa che le linee sono parallele o coincidenti.

Per verificare se le rette coincidono, sostituiamo le coordinate del punto M 0 (1;2;-1)L 1 nelle equazioni generali L 2: 1-2+2+1=0 - uguaglianze errate, cioè punto M 0 L 2,

quindi le rette sono parallele.

Distanza da un punto a una linea.

La distanza dal punto M 1 (x 1;y 1;z 1) alla retta L, data dall'equazione canonica L: può essere calcolata utilizzando il prodotto vettoriale.

Dall'equazione canonica della retta segue che il punto M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L, e il vettore direzione della retta Q=(l;m;n)

Costruiamo un parallelogramma usando i vettori Q E M 0 M 1 . Allora la distanza dal punto M 1 alla retta L è uguale all'altezza h di questo parallelogramma. Perché S=| Q X M 0 M 1 |=h| Q|, quindi

h= (9)

La distanza tra due linee rette nello spazio.

L1: e L2:

1) L1L2.

d=

2) L1 e L2 – incrocio

d=

La posizione relativa di una linea retta e di un piano nello spazio.

Per la localizzazione di una retta e di un piano nello spazio sono possibili 3 casi:

una retta e un piano si intersecano in un punto;

la retta e il piano sono paralleli;

la retta giace nel piano.

Sia la retta data dalla sua equazione canonica, e il piano da quella generale

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Le equazioni della retta danno il punto M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L e il vettore direzione Q=(l;m;n) e l'equazione del piano è un vettore normale N=(A;B;C).

1. L'intersezione di una linea e di un piano.

Se una linea e un piano si intersecano, allora il vettore direzione della linea Q non è parallelo al piano α, e quindi non ortogonale al vettore normale del piano N. Quelli. il loro prodotto scalare NQ≠0 oppure, attraverso le loro coordinate,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Determiniamo le coordinate del punto M - punti di intersezione della retta L con il piano α.

Passiamo dall'equazione canonica della retta a quella parametrica: , tR

Sostituiamo queste relazioni nell'equazione del piano

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – sono noti, troviamo il parametro t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

se Am+Bn+Cp≠0, allora l'equazione ha un'unica soluzione che determina le coordinate del punto M:

tM = -→ (11)

L'angolo tra una linea retta e un piano. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità.

Angolo φ tra la retta L :

con vettore guida Q=(l;m;n) e piano

: Ах+Ву+Сz+D=0 con vettore normale N=(A;B;C) varia da 0˚ (nel caso di una linea e un piano paralleli) a 90˚ (nel caso di una linea e un piano perpendicolari). (L'angolo tra il vettore Q e la sua proiezione sul piano α).

– angolo tra i vettori Q E N.

Perché l'angolo  tra la retta L e il piano  è complementare all'angolo , allora sin φ=sin(-)=cos =- (si considera il valore assoluto perché l'angolo φ è acuto sin φ=sin( -) o sin φ =sin(+) a seconda della direzione della retta L)

Capitolo IV. Linee rette e piani nello spazio. Poliedri

§ 46. Disposizione reciproca delle linee nello spazio

Nello spazio, due linee diverse possono trovarsi o meno sullo stesso piano. Diamo un'occhiata ad esempi rilevanti.

I punti A, B, C non giacciono sulla stessa retta. Disegniamo un aereo attraverso di loro R e scegli un punto S che non appartiene al piano R(Fig. 130).

Allora le rette AB e BC giacciono sullo stesso piano, cioè nel piano R, le rette AS e CB non giacciono sullo stesso piano. Infatti, se si trovassero sullo stesso piano, allora anche i punti A, B, C, S si troverebbero su questo piano, il che è impossibile, poiché S non si trova nel piano che passa per i punti A, B, C.

Due rette diverse che giacciono sullo stesso piano e non si intersecano si dicono parallele. Le linee coincidenti sono anche chiamate parallele. Se dritto 1 1 e 1 2 parallele, quindi scrivere 1 1 || 1 2 .

Così, 1 1 || 1 2 se, in primo luogo, c'è un aereo R tale che
1 1 R E 1 2 R e in secondo luogo, o 1 1 1 2 = o 1 1 = 1 2 .

Due rette che non giacciono sullo stesso piano si chiamano rette oblique. Ovviamente le rette che si intersecano non si intersecano e non sono parallele.

Dimostriamo un'importante proprietà delle rette parallele, chiamata transitività del parallelismo.

Teorema. Se due rette sono parallele ad una terza allora sono parallele tra loro.

Permettere 1 1 || 1 2 e 1 2 || 1 3. È necessario dimostrarlo 1 1 || 1 3

Se dritto 1 1 , 1 2 , 1 3 giacciono sullo stesso piano, questa affermazione è dimostrata in planimetria. Assumeremo che siano linee rette 1 1 , 1 2 , 1 3 non giacciono sullo stesso piano.

Attraverso linee rette 1 1 e 1 2 disegna un aereo R 1, e fino a 1 2 e 1 3 - aereo R 2 (figura 131).

Si noti che la linea retta 1 3 contiene almeno un punto M che non appartiene al piano
R 1 .

Disegna un piano attraverso la retta e punta M R 3, che interseca il piano R 2 lungo una linea retta l. Dimostriamolo l coincide con 1 3. Lo dimostreremo “per contraddizione”.

Supponiamo che la linea retta 1 non coincide con una retta 1 3. Poi 1 interseca una linea 1 2 ad un certo punto A. Ne consegue che l'aereo R 3 passa per il punto A R 1 e dritto 1 1 R 1 e quindi coincide con l'aereo R 1 . Questa conclusione contraddice il fatto che il punto M R 3 non appartiene all'aereo R 1 .
Pertanto, la nostra ipotesi è errata, e quindi 1 = 1 3 .

Pertanto, è stato dimostrato che le linee rette 1 1 e 1 3 giacciono sullo stesso piano R 3. Dimostriamo che le rette 1 1 e 1 3 non si intersecano.

Infatti, se 1 1 e 1 3 si intersecavano, ad esempio, nel punto B, quindi l'aereo R 2 passerebbe attraverso una linea retta 1 2 e attraverso il punto B 1 1 e, quindi, coinciderebbe con R 1, il che è impossibile.

Compito. Dimostrare che gli angoli con lati codirezionali hanno dimensioni uguali.

Siano gli angoli MAN e M 1 A 1 N 1 avere lati co-direzionali: il raggio AM è co-diretto con il raggio A 1 M 1, e il raggio AN è co-diretto con il raggio A 1 N 1 (Fig. 132).

Sui raggi AM e A 1 M 1 stenderemo i segmenti AB e A 1 B 1 di uguale lunghezza. Poi

|| e |BB 1 | = |AA1 |

come i lati opposti di un parallelogramma.

Similmente, sui raggi AN e A 1 N 1 tracciamo i segmenti AC e A 1 C 1 di uguale lunghezza. Poi

|| e |CC 1 | = |AA1 |

Dalla transitività del parallelismo segue che || . E poiché |BB 1 | = |CC1 | , allora BB 1 C 1 C è un parallelogramma, e quindi |BC| = |B1C1 |.
Quindi, /\ ABC /\ UN 1 B 1 C 1 e .

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Per due linee nello spazio sono possibili quattro casi:

Le linee rette coincidono;

Le rette sono parallele (ma non coincidono);

Le linee si intersecano;

Le linee rette si incrociano, cioè non hanno punti in comune e non sono paralleli.

Consideriamo due modi per descrivere le linee rette: equazioni canoniche ed equazioni generali. Lasciamo che le linee L 1 e L 2 siano date da equazioni canoniche:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m2 = (z - z2)/n2 (6.9)

Per ogni retta dalle sue equazioni canoniche determiniamo immediatamente il punto su di essa M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ∈ L 2 e le coordinate dei vettori di direzione s 1 = (l 1; m 1; n 1) per L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) per L 2.

Se le linee coincidono o sono parallele, i loro vettori di direzione s 1 e s 2 sono collineari, il che equivale all'uguaglianza dei rapporti delle coordinate di questi vettori:

l1 /l2 = m1 /m2 = n1 /n2. (6.10)

Se le linee coincidono, allora il vettore M 1 M 2 è collineare ai vettori di direzione:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Questa doppia uguaglianza significa anche che il punto M 2 appartiene alla linea L 1. Di conseguenza, la condizione affinché le rette coincidano è che soddisfino simultaneamente le uguaglianze (6.10) e (6.11).

Se le linee si intersecano o si incrociano, i loro vettori di direzione non sono collineari, cioè la condizione (6.10) è violata. Le rette che si intersecano giacciono sullo stesso piano e quindi vettori s 1 , s 2 e M 1 M 2 sono Complanaredeterminante del terzo ordine, composto dalle loro coordinate (vedi 3.2):

La condizione (6.12) è soddisfatta in tre casi su quattro, poiché per Δ ≠ 0 le rette non appartengono allo stesso piano e quindi si intersecano.

Mettiamo insieme tutte le condizioni:

La posizione relativa delle linee è caratterizzata dal numero di soluzioni del sistema (6.13). Se le rette coincidono il sistema ha infinite soluzioni. Se le linee si intersecano, questo sistema ha una soluzione unica. In caso di parallelo o incrocio non esistono soluzioni dirette. Gli ultimi due casi possono essere separati trovando i vettori di direzione delle linee. Per fare ciò, è sufficiente calcolarne due grafica vettoriale n 1 × n 2 e n 3 × n 4, dove n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Se i vettori risultanti sono collineari, allora le linee date sono parallele. Altrimenti si stanno incrociando.

Esempio 6.4.

Il vettore direzione s 1 della retta L 1 si trova utilizzando le equazioni canoniche di questa retta: s 1 = (1; 3; -2). Il vettore direzione s 2 della retta L 2 si calcola utilizzando il prodotto vettoriale dei vettori normali dei piani di cui è intersezione:

Poiché s 1 = -s 2, allora le rette sono parallele o coincidono. Scopriamo quale di queste situazioni si realizza per queste linee. Per fare ciò sostituiamo le coordinate del punto M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 nelle equazioni generali della retta L 2 . Per il primo otteniamo 1 = 0. Di conseguenza il punto M 0 non appartiene alla retta L 2 e le rette considerate sono parallele.

Angolo tra rette. L'angolo tra due linee rette può essere trovato utilizzando vettori di direzione Dritto L'angolo acuto tra le rette è uguale all'angolo tra i loro vettori di direzione (Fig. 6.5) o è ad esso aggiuntivo se l'angolo tra i vettori di direzione è ottuso. Pertanto, se per le linee L 1 e L 2 sono noti i loro vettori di direzione s x e s 2, allora l'angolo acuto φ tra queste linee è determinato tramite il prodotto scalare:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Ad esempio, sia s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Utilizzando le formule (2.9) e (2.14) per calcolare lunghezza del vettore e prodotto scalare in coordinate, otteniamo