Risoluzione di equazioni quadratiche, formula di radice, esempi. Equazioni quadratiche. Risolvere equazioni quadratiche Come convertire un'equazione quadratica in un prodotto

Questo argomento può sembrare difficile all'inizio perché molti non lo sono formule semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno notazioni lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. In totale si ottengono tre nuove formule. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo aver risolto frequentemente tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale di un'equazione quadratica

Qui ne proponiamo la registrazione esplicita, scrivendo prima il grado più grande, e poi in ordine decrescente. Ci sono spesso situazioni in cui i termini non sono coerenti. Allora è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente rispetto al grado della variabile.

Introduciamo qualche notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia designata come numero uno.

Quando viene data un'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché è sempre possibile una delle tre opzioni:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• l'equazione non avrà alcuna radice.

E finché la decisione non sarà definitiva, è difficile capire quale opzione apparirà in un caso particolare.

Tipi di registrazioni di equazioni quadratiche

Potrebbero esserci voci diverse nelle attività. Non sembreranno sempre formula generale equazione quadrata. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, solo i termini con coefficienti “b” e “c” possono scomparire. Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi; oltre a quelle complete, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia la numero due e la seconda tre.

Discriminante e dipendenza del numero di radici dal suo valore

È necessario conoscere questo numero per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per poter calcolare il discriminante è necessario utilizzare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere i numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà costituita da due radici diverse. Se il numero è negativo, non ci saranno radici dell'equazione quadratica. Se è uguale a zero, la risposta sarà una sola.

Come risolvere un'equazione quadratica completa?

In effetti, l'esame di questo problema è già iniziato. Perché prima bisogna trovare una discriminante. Dopo aver determinato che esistono radici dell'equazione quadratica e che il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare la seguente formula.

Poiché contiene un segno “±”, ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto la formula può essere riscritta diversamente.

Formula numero cinque. Dalla stessa registrazione risulta chiaro che se il discriminante è uguale a zero allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la risoluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora risolta, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all’inizio c’è confusione.

Come risolvere un'equazione quadratica incompleta?

Qui è tutto molto più semplice. Non c'è nemmeno bisogno di formule aggiuntive. E quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto non saranno necessari.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza è necessario togliere l'incognita tra parentesi e risolvere l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un moltiplicatore costituito dalla variabile stessa. La seconda sarà ottenuta risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta numero tre viene risolta spostando il numero dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra. Quindi è necessario dividere per il coefficiente rivolto all'ignoto. Non resta che estrarre la radice quadrata e ricordarsi di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportati alcuni passaggi che ti aiuteranno a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti a disattenzione. Queste carenze possono causare voti bassi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadratiche (ottavo grado)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché apparirà un'abilità stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, quindi - senza grado e infine - solo un numero.

• Se prima del coefficiente "a" appare un segno meno, ciò può complicare il lavoro per un principiante che studia le equazioni quadratiche. È meglio liberarsene. A questo scopo, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per “-1”. Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno in senso opposto.

• Si consiglia di eliminare le frazioni allo stesso modo. Moltiplica semplicemente l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x2-7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 − 7x = 0. È incompleta, quindi si risolve come descritto per la formula numero due.

Dopo averlo tolto tra parentesi, risulta: x (x - 7) = 0.

La prima radice assume il valore: x 1 = 0. La seconda si troverà dall'equazione lineare: x - 7 = 0. È facile vedere che x 2 = 7.

Seconda equazione: 5x 2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che viene risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver spostato 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno i numeri: x 1 = √6, x 2 = - √6.

La terza equazione: 15 − 2x − x 2 = 0. Qui e oltre, la risoluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole nella forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Ora è il momento di utilizzare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 = 0. Usando la quarta formula, devi calcolare il discriminante: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati utilizzando la quinta formula. Risulta che x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 = 3, x 2 = - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x = 0 si trasforma in questa: x 2 + 3x + 8 = 0. Il suo discriminante è pari a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questo compito sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sesta equazione (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) richiede delle trasformazioni, che consistono nel fatto che è necessario riportare termini simili, aprendo prima le parentesi. Al posto della prima ci sarà la seguente espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato i termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x = 0. È diventato incompleto. Qualcosa di simile è già stato discusso un po' più in alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Alcuni problemi di matematica richiedono la capacità di calcolare il valore della radice quadrata. Tali problemi includono la risoluzione di equazioni del secondo ordine. In questo articolo presentiamo un metodo efficace per il calcolo radici quadrate e usalo quando lavori con le formule per le radici di un'equazione quadratica.

Cos'è una radice quadrata?

In matematica questo concetto corrisponde al simbolo √. I dati storici dicono che fu usato per la prima volta intorno alla prima metà del XVI secolo in Germania (la prima opera tedesca sull'algebra di Christoph Rudolf). Gli scienziati ritengono che il simbolo sia una lettera latina trasformata r (radix significa "radice" in latino).

La radice di qualsiasi numero è uguale al valore il cui quadrato corrisponde all'espressione radicale. Nel linguaggio della matematica, questa definizione sarà simile a questa: √x = y, se y 2 = x.

Anche la radice di un numero positivo (x > 0) è un numero positivo (y > 0), ma se prendiamo la radice di numero negativo(X< 0), то его результатом уже будет numero complesso, inclusa l'unità immaginaria i.

Ecco due semplici esempi:

√9 = 3, poiché 3 2 = 9; √(-9) = 3i, poiché i 2 = -1.

Formula iterativa di Erone per trovare i valori delle radici quadrate

Gli esempi sopra riportati sono molto semplici e calcolare le radici in essi contenuti non è difficile. Le difficoltà cominciano ad apparire quando si trovano i valori radice per qualsiasi valore che non può essere rappresentato come un quadrato numero naturale, ad esempio √10, √11, √12, √13, senza contare il fatto che in pratica è necessario trovare radici per i numeri non interi: ad esempio √(12,15), √(8,5) e così via.

In tutti i casi sopra indicati, dovrebbe essere utilizzato un metodo speciale per il calcolo della radice quadrata. Attualmente sono noti diversi metodi di questo tipo: ad esempio l'espansione in serie di Taylor, la divisione delle colonne e alcuni altri. Di tutti i metodi conosciuti, forse il più semplice ed efficace è l'uso della formula iterativa di Erone, nota anche come metodo babilonese per determinare le radici quadrate (ci sono prove che gli antichi babilonesi la usavano nei loro calcoli pratici).

Sia necessario determinare il valore di √x. La formula per trovare la radice quadrata è la seguente:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), dove lim n->∞ (a n) => x.

Decifriamo questa notazione matematica. Per calcolare √x, dovresti prendere un certo numero a 0 (può essere arbitrario, ma per ottenere rapidamente il risultato, dovresti sceglierlo in modo che (a 0) 2 sia il più vicino possibile a x. Quindi sostituiscilo nel formula indicata per calcolare la radice quadrata e ottenere un nuovo numero 1, che sarà già più vicino al valore desiderato, dopodiché è necessario sostituire 1 nell'espressione e ottenere 2. Questa procedura deve essere ripetuta fino al raggiungimento del valore richiesto si ottiene la precisione

Un esempio di utilizzo della formula iterativa di Heron

L'algoritmo sopra descritto per ottenere la radice quadrata di un dato numero può sembrare a molti piuttosto complicato e confuso, ma in realtà tutto risulta essere molto più semplice, poiché questa formula converge molto rapidamente (soprattutto se si sceglie 0 come numero di successo). .

Facciamo un semplice esempio: devi calcolare √11. Scegliamo 0 = 3, poiché 3 2 = 9, che è più vicino a 11 che a 4 2 = 16. Sostituendo nella formula, otteniamo:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Non ha senso continuare i calcoli, poiché abbiamo riscontrato che un 2 e un 3 cominciano a differire solo dalla 5a cifra decimale. Pertanto è bastato applicare la formula solo 2 volte per calcolare √11 con una precisione di 0,0001.

Al giorno d'oggi, calcolatrici e computer sono ampiamente utilizzati per calcolare le radici, tuttavia è utile ricordare la formula contrassegnata per poter calcolare manualmente il loro valore esatto.

Equazioni del secondo ordine

Comprendere cos'è una radice quadrata e la capacità di calcolarla viene utilizzata per risolvere equazioni quadratiche. Queste equazioni sono chiamate uguaglianze con un'incognita, la cui forma generale è mostrata nella figura seguente.

Qui c, b e a rappresentano alcuni numeri, e a non deve essere uguale a zero, e i valori di c e b possono essere completamente arbitrari, incluso uguale a zero.

Eventuali valori di x che soddisfano l'uguaglianza indicata in figura sono chiamati radici (questo concetto non va confuso con la radice quadrata √). Poiché l'equazione in esame è del 2° ordine (x 2), non possono esserci più di due radici. Diamo un'occhiata più avanti nell'articolo su come trovare queste radici.

Trovare le radici di un'equazione quadratica (formula)

Questo metodo per risolvere il tipo di uguaglianze in esame è anche chiamato metodo universale o metodo discriminante. Può essere utilizzato per qualsiasi equazione quadratica. La formula per il discriminante e le radici dell'equazione quadratica è la seguente:

Mostra che le radici dipendono dal valore di ciascuno dei tre coefficienti dell'equazione. Inoltre il calcolo di x 1 differisce dal calcolo di x 2 solo per il segno davanti alla radice quadrata. L'espressione radicale, che è uguale a b 2 - 4ac, non è altro che il discriminante dell'uguaglianza in questione. Il discriminante nella formula per le radici di un'equazione quadratica gioca un ruolo importante perché determina il numero e il tipo di soluzioni. Quindi, se è uguale a zero, allora ci sarà una sola soluzione, se è positiva, allora l'equazione ha due radici reali e, infine, un discriminante negativo porta a due radici complesse x 1 e x 2.

Il teorema di Vieta o alcune proprietà delle radici delle equazioni del secondo ordine

Alla fine del XVI secolo, uno dei fondatori dell'algebra moderna, un francese, studiando le equazioni del secondo ordine, riuscì a ottenere le proprietà delle sue radici. Matematicamente si possono scrivere così:

x1 + x2 = -b/a e x1*x2 = c/a.

Entrambe le uguaglianze possono essere ottenute facilmente da chiunque; per fare ciò basta eseguire le opportune operazioni matematiche con le radici ottenute tramite la formula con il discriminante.

La combinazione di queste due espressioni può essere giustamente definita la seconda formula per le radici di un'equazione quadratica, che consente di indovinarne le soluzioni senza utilizzare un discriminante. Qui va notato che sebbene entrambe le espressioni siano sempre valide, è conveniente utilizzarle per risolvere un'equazione solo se è possibile fattorizzarla.

Il compito di consolidare le conoscenze acquisite

Decidiamo problema di matematica, in cui dimostreremo tutte le tecniche discusse nell'articolo. Le condizioni del problema sono le seguenti: devi trovare due numeri il cui prodotto è -13 e la somma è 4.

Questa condizione ci ricorda subito il teorema di Vieta; utilizzando le formule per la somma delle radici quadrate e del loro prodotto, scriviamo:

x1 + x2 = -b/a = 4;

x1*x2 = c/a = -13.

Se assumiamo che a = 1, allora b = -4 e c = -13. Questi coefficienti ci permettono di creare un'equazione del secondo ordine:

x2 - 4x - 13 = 0.

Usiamo la formula con il discriminante e otteniamo le seguenti radici:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Cioè, il problema si riduceva a trovare il numero √68. Notiamo che 68 = 4 * 17, quindi, utilizzando la proprietà della radice quadrata, otteniamo: √68 = 2√17.

Usiamo ora la formula della radice quadrata considerata: a 0 = 4, quindi:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Non è necessario calcolare un 3 poiché i valori trovati differiscono solo di 0,02. Pertanto, √68 = 8.246. Sostituendolo nella formula per x 1,2, otteniamo:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 e x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Come possiamo vedere, la somma dei numeri trovati è in realtà uguale a 4, ma se troviamo il loro prodotto, sarà uguale a -12,999, che soddisfa le condizioni del problema con una precisione di 0,001.

Appena. Secondo formule e regole chiare e semplici. Nella prima fase

è necessario portare l'equazione data in una forma standard, ad es. al modulo:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questa forma, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è farlo bene

determinare tutti i coefficienti, UN, B E C.

Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Si chiama l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare X, noi

noi usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti da equazione quadrata. Basta inserirlo con attenzione

valori a, b e c Calcoliamo in questa formula. Sostituiamo con loro segni!

Per esempio, nell'equazione:

UN =1; B = 3; C = -4.

Sostituiamo i valori e scriviamo:

L'esempio è quasi risolto:

Questa è la risposta.

Gli errori più comuni sono la confusione con i valori dei segni un, b E Con. O meglio, con la sostituzione

valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui viene in soccorso una registrazione dettagliata della formula

con numeri specifici. Se hai problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui UN = -6; B = -5; C = -1

Descriviamo tutto nel dettaglio, con attenzione, senza tralasciare nulla con tutti i cartellini e le parentesi:

Le equazioni quadratiche spesso appaiono leggermente diverse. Ad esempio, in questo modo:

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.

Primo appuntamento. Non essere pigro prima risolvere un'equazione quadratica portarlo alla forma standard.

Cosa significa questo?

Diciamo che dopo tutte le trasformazioni ottieni la seguente equazione:

Non abbiate fretta di scrivere la formula radice! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.

Costruisci l'esempio correttamente. Prima X al quadrato, poi senza quadrato, poi il termine libero. Come questo:

Sbarazzarsi del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

Ma ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e finire di risolvere l'esempio.

Decidi tu stesso. Ora dovresti avere le radici 2 e -1.

Seconda accoglienza. Controlla le radici! Di Il teorema di Vieta.

Per risolvere le equazioni quadratiche indicate, ad es. se il coefficiente

x2+bx+c=0,

Poix1x2 =c

x1 +x2 =−B

Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:

x2+Bx+C=0,

dividi l'intera equazione per UN:

→ →

Dove x1 E X 2 - radici dell'equazione.

Terzo ricevimento. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare

equazione con denominatore comune.

Conclusione. Consigli pratici:

1. Prima di risolverla, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard e la costruiamo Giusto.

2. Se davanti alla X al quadrato c'è un coefficiente negativo, lo eliminiamo moltiplicando il tutto

equazioni per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente

fattore.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata

La risoluzione delle equazioni in matematica occupa un posto speciale. Questo processo è preceduto da molte ore di studio della teoria, durante le quali lo studente impara a risolvere equazioni, a determinarne il tipo e ad acquisire competenze per completare l'automazione. Tuttavia, la ricerca delle radici non ha sempre senso, poiché potrebbero semplicemente non esistere. Esistono tecniche speciali per trovare le radici. In questo articolo analizzeremo le principali funzioni, i loro ambiti di definizione, nonché i casi in cui mancano le loro radici.

Quale equazione non ha radici?

Un'equazione non ha radici se non esistono argomenti reali x per i quali l'equazione è identicamente vera. Per un non specialista, questa formulazione, come la maggior parte dei teoremi e delle formule matematiche, sembra molto vaga e astratta, ma questo è in teoria. In pratica tutto diventa estremamente semplice. Ad esempio: l'equazione 0 * x = -53 non ha soluzione, poiché non esiste un numero x il cui prodotto con zero dia qualcosa di diverso da zero.

Ora esamineremo i tipi più elementari di equazioni.

1. Equazione lineare

Un'equazione è detta lineare se i suoi lati destro e sinistro sono rappresentati come funzioni lineari: ax + b = cx + d o in forma generalizzata kx + b = 0. Dove a, b, c, d sono numeri noti e x è un quantità sconosciuta. Quale equazione non ha radici? Esempi equazioni lineari sono presentati nell'illustrazione seguente.

Fondamentalmente, le equazioni lineari vengono risolte semplicemente trasferendo la parte numerica in una parte e il contenuto di x in un'altra. Il risultato è un'equazione della forma mx = n, dove m e n sono numeri e x è un'incognita. Per trovare x basta dividere entrambi i lati per m. Allora x = n/m. La maggior parte delle equazioni lineari hanno una sola radice, ma ci sono casi in cui ci sono infinite radici o nessuna radice. Quando m = 0 en = 0, l'equazione assume la forma 0 * x = 0. La soluzione di tale equazione sarà assolutamente qualsiasi numero.

Tuttavia, quale equazione non ha radici?

Per m = 0 en = 0, l'equazione non ha radici nell'insieme dei numeri reali. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - queste equazioni non hanno radici.

2. Equazione quadratica

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0 per a = 0. La soluzione più comune è attraverso il discriminante. La formula per trovare il discriminante di un'equazione quadratica è: D = b 2 - 4 * a * c. Successivamente ci sono due radici x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Per D > 0 l'equazione ha due radici, per D = 0 ha una radice. Ma quale equazione quadratica non ha radici? Il modo più semplice per osservare il numero di radici di un'equazione quadratica è rappresentare graficamente la funzione, che è una parabola. Per a > 0 i rami sono diretti verso l'alto, per a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Puoi anche determinare visivamente il numero di radici senza calcolare il discriminante. Per fare ciò, devi trovare il vertice della parabola e determinare in quale direzione sono diretti i rami. La coordinata x del vertice può essere determinata utilizzando la formula: x 0 = -b / 2a. In questo caso, la coordinata y del vertice si trova semplicemente sostituendo il valore x 0 nell'equazione originale.

L'equazione quadratica x 2 - 8x + 72 = 0 non ha radici, poiché ha un discriminante negativo D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ciò significa che la parabola non tocca l'asse x e la funzione non assume mai il valore 0, quindi l'equazione non ha radici reali.

3. Equazioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche vengono considerate su un cerchio trigonometrico, ma possono anche essere rappresentate in un sistema di coordinate cartesiane. In questo articolo ne esamineremo due principali funzioni trigonometriche e le loro equazioni: sinx e cosx. Poiché queste funzioni formano un cerchio trigonometrico di raggio 1, |sinx| e |cosx| non può essere maggiore di 1. Quindi, quale equazione sinx non ha radici? Considera il grafico della funzione sinx mostrato nell'immagine qui sotto.

Vediamo che la funzione è simmetrica e ha un periodo di ripetizione pari a 2π. Sulla base di ciò, possiamo dire che il valore massimo di questa funzione può essere 1 e il minimo -1. Ad esempio, l'espressione cosx = 5 non avrà radici, poiché il suo valore assoluto è maggiore di uno.

Questo è l'esempio più semplice di equazioni trigonometriche. Risolverli, infatti, può richiedere molte pagine, al termine delle quali ti accorgi di aver utilizzato la formula sbagliata e di dover ricominciare tutto da capo. A volte, anche se trovi le radici correttamente, potresti dimenticare di tenere conto delle restrizioni sull'OD, motivo per cui nella risposta appare una radice o un intervallo in più e l'intera risposta si trasforma in un errore. Pertanto, seguire rigorosamente tutte le restrizioni, perché non tutte le radici rientrano nell'ambito dell'attività.

4. Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni unite da parentesi graffe o quadre. Le parentesi graffe indicano che tutte le equazioni vengono eseguite insieme. Cioè, se almeno una delle equazioni non ha radici o ne contraddice un'altra, l'intero sistema non ha soluzione. Le parentesi quadre indicano la parola "o". Ciò significa che se almeno una delle equazioni del sistema ha soluzione, allora l’intero sistema ha soluzione.

La risposta del sistema c è l'insieme di tutte le radici delle singole equazioni. E i sistemi con parentesi graffe hanno solo radici comuni. I sistemi di equazioni possono includere funzioni completamente diverse, quindi tale complessità non ci consente di dire immediatamente quale equazione non ha radici.

Nei libri problematici e nei libri di testo ci sono diversi tipi di equazioni: quelle che hanno radici e quelle che no. Innanzitutto, se non riesci a trovare le radici, non pensare che non ci siano affatto. Forse hai commesso un errore da qualche parte, quindi devi solo ricontrollare attentamente la tua decisione.

Abbiamo esaminato le equazioni più elementari e i loro tipi. Ora puoi dire quale equazione non ha radici. Nella maggior parte dei casi questo non è difficile da fare. Raggiungere il successo nella risoluzione delle equazioni richiede solo attenzione e concentrazione. Esercitati di più, ti aiuterà a navigare nel materiale molto meglio e più velocemente.

Quindi l’equazione non ha radici se:

• nell'equazione lineare mx = n il valore è m = 0 en = 0;
• in un'equazione quadratica, se il discriminante è minore di zero;
• in un'equazione trigonometrica della forma cosx = m / sinx = n, se |m| > 0, |n| > 0;
• in un sistema di equazioni con parentesi graffe se almeno un'equazione non ha radici e con parentesi quadre se tutte le equazioni non hanno radici.

", cioè equazioni di primo grado. In questa lezione vedremo quella che viene chiamata equazione quadratica e come risolverlo.

Cos'è un'equazione quadratica?

Importante!

Il grado di un'equazione è determinato dal grado più alto in cui si trova l'incognita.

Se la potenza massima in cui l'incognita è “2”, allora hai un'equazione quadratica.

Esempi di equazioni quadratiche

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x2+x+

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x2-8 = 0

Importante! La forma generale di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Ax2 + bx + c = 0

Ad “a”, “b” e “c” vengono assegnati numeri.

• “a” è il primo o il coefficiente più alto;
• “b” è il secondo coefficiente;
• “c” è un membro gratuito.

Per trovare “a”, “b” e “c” devi confrontare la tua equazione con la forma generale dell’equazione quadratica “ax 2 + bx + c = 0”.

Esercitiamoci a determinare i coefficienti "a", "b" e "c" nelle equazioni quadratiche.

5x2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x2+x+

L'equazione	Probabilità
un = 5 b = −14 c = 17
un = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• un = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

x2-8 = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Come risolvere le equazioni quadratiche

A differenza delle equazioni lineari, per risolvere le equazioni quadratiche viene utilizzato un metodo speciale. formula per trovare le radici.

Ricordare!

Per risolvere un'equazione quadratica è necessario:

• portare l'equazione quadratica alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”. Cioè, solo lo “0” dovrebbe rimanere sul lato destro;
• usa la formula per le radici:

Diamo un'occhiata a un esempio di come utilizzare la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Risolviamo un'equazione quadratica.

X2 − 3x − 4 = 0

L'equazione “x 2 − 3x − 4 = 0” è già stata ridotta alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0” e non necessita di ulteriori semplificazioni. Per risolverlo, dobbiamo solo applicare formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Può essere utilizzato per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Nella formula “x 1;2 = ” l'espressione radicale viene spesso sostituita
“b 2 − 4ac” per la lettera “D” ed è detto discriminante. Il concetto di discriminante è discusso più in dettaglio nella lezione "Cos'è un discriminante".

Consideriamo un altro esempio di equazione quadratica.

x2 + 9 + x = 7x

In questa forma è abbastanza difficile determinare i coefficienti “a”, “b” e “c”. Riduciamo prima l'equazione alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”.

X2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Ora puoi usare la formula per le radici.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =

6

2

x = 3
Risposta: x = 3

Ci sono momenti in cui le equazioni quadratiche non hanno radici. Questa situazione si verifica quando la formula contiene un numero negativo sotto la radice.