Risoluzione grafica di sistemi di disequazioni lineari. Risolvere le disuguaglianze esponenziali Risolvere le doppie disuguaglianze online

Innanzitutto, alcuni testi per avere un'idea del problema risolto dal metodo dell'intervallo. Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente disuguaglianza:

(x − 5)(x + 3) > 0

Quali sono le opzioni? La prima cosa che viene in mente alla maggior parte degli studenti sono le regole “più su più dà più” e “meno su meno dà più”. Pertanto è sufficiente considerare il caso in cui entrambe le parentesi sono positive: x − 5 > 0 e x + 3 > 0. Consideriamo poi anche il caso in cui entrambe le parentesi sono negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Gli studenti più avanzati ricorderanno (forse) che a sinistra c'è funzione quadratica, il cui grafico è una parabola. Inoltre, questa parabola interseca l'asse OX nei punti x = 5 ex = −3. Per ulteriori lavori, è necessario aprire le parentesi. Abbiamo:

x2 − 2x − 15 > 0

Ora è chiaro che i rami della parabola sono diretti verso l'alto, perché coefficiente a = 1 > 0. Proviamo a disegnare un diagramma di questa parabola:

La funzione è maggiore di zero dove passa sopra l'asse OX. Nel nostro caso, questi sono gli intervalli (−∞ −3) e (5; +∞) - questa è la risposta.

Nota: l'immagine mostra esattamente diagramma delle funzioni, non il suo programma. Perché per un grafico reale bisogna contare le coordinate, calcolare gli spostamenti e altre stronzate che per ora non ci servono assolutamente.

Perché questi metodi sono inefficaci?

Quindi, abbiamo considerato due soluzioni alla stessa disuguaglianza. Entrambi si sono rivelati piuttosto ingombranti. La prima decisione sorge: pensaci! — un insieme di sistemi di disuguaglianze. Anche la seconda soluzione non è particolarmente semplice: bisogna ricordare il grafico della parabola e un mucchio di altri piccoli fatti.

Era una disuguaglianza molto semplice. Ha solo 2 moltiplicatori. Ora immagina che i moltiplicatori non saranno 2, ma almeno 4. Ad esempio:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Come risolvere tale disuguaglianza? Passare attraverso tutte le possibili combinazioni di pro e contro? Sì, ci addormenteremo più velocemente di quanto troviamo una soluzione. Anche disegnare un grafico non è un'opzione, poiché non è chiaro come si comporti tale funzione sul piano delle coordinate.

Per tali disuguaglianze è necessario uno speciale algoritmo risolutivo, che considereremo oggi.

Qual è il metodo dell'intervallo

Il metodo degli intervalli è uno speciale algoritmo progettato per risolvere disuguaglianze complesse della forma f (x) > 0 e f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Risolvi l'equazione f (x) = 0. Quindi, invece di una disuguaglianza, otteniamo un'equazione molto più semplice da risolvere;
Segna tutte le radici ottenute sulla linea delle coordinate. Pertanto la retta verrà divisa in più intervalli;
Trova il segno (più o meno) della funzione f (x) nell'intervallo più a destra. Per fare ciò è sufficiente sostituire in f (x) un numero qualsiasi che si troverà a destra di tutte le radici marcate;
Segna i segni negli intervalli rimanenti. Per fare ciò, ricorda solo che quando si passa attraverso ciascuna radice, il segno cambia.

È tutto! Dopodiché non resta che annotare gli intervalli che ci interessano. Sono contrassegnati con il segno “+” se la disuguaglianza era della forma f (x) > 0, oppure con il segno “−” se la disuguaglianza era della forma f (x)< 0.

A prima vista, può sembrare che il metodo dell'intervallo sia una specie di cosa metallica. Ma in pratica tutto sarà molto semplice. Basta fare un po' di pratica e tutto diventerà più chiaro. Dai un'occhiata agli esempi e verifica tu stesso:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lavoriamo utilizzando il metodo dell'intervallo. Passaggio 1: sostituisci la disuguaglianza con un'equazione e risolvila:

(x − 2)(x + 7) = 0

Il prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Abbiamo due radici. Passiamo al passaggio 2: segnamo queste radici sulla linea delle coordinate. Abbiamo:

Ora passaggio 3: trova il segno della funzione nell'intervallo più a destra (a destra del punto contrassegnato x = 2). Per fare ciò, devi prendere qualsiasi numero maggiore del numero x = 2. Ad esempio, prendiamo x = 3 (ma nessuno vieta di prendere x = 4, x = 10 e anche x = 10.000). Noi abbiamo:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Troviamo che f (3) = 10 > 0, quindi inseriamo un segno più nell'intervallo più a destra.

Passiamo all'ultimo punto: dobbiamo notare i segni sugli intervalli rimanenti. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno deve cambiare. Ad esempio, a destra della radice x = 2 c'è un più (ne abbiamo accertato il passaggio precedente), quindi a sinistra deve esserci un meno.

Questo meno si estende all'intero intervallo (−7; 2), quindi c'è un meno a destra della radice x = −7. Pertanto a sinistra della radice x = −7 c'è un più. Resta da segnare questi segni asse delle coordinate. Abbiamo:

Torniamo alla disuguaglianza originaria, che aveva la forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Quindi la funzione deve essere minore di zero. Ciò significa che a noi interessa il segno meno, che compare solo su un intervallo: (−7; 2). Questa sarà la risposta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Passaggio 1: imposta il lato sinistro su zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ricorda: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ecco perché abbiamo il diritto di equiparare ogni singola fascia a zero.

Passaggio 2: segna tutte le radici sulla linea delle coordinate:

Passaggio 3: scopri il segno dello spazio più a destra. Prendiamo qualsiasi numero maggiore di x = 1. Ad esempio, possiamo prendere x = 10. Abbiamo:

f(x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f(10) = −1197< 0.

Passaggio 4: posizionamento dei restanti cartelli. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno cambia. Di conseguenza, la nostra immagine sarà simile a questa:

È tutto. Non resta che scrivere la risposta. Diamo un’altra occhiata alla disuguaglianza originale:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Questa è una disuguaglianza della forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Questa è la risposta.

Una nota sui segni di funzione

La pratica dimostra che le maggiori difficoltà nel metodo dell'intervallo sorgono negli ultimi due passaggi, ad es. quando si posizionano i segnali. Molti studenti iniziano a essere confusi: quali numeri prendere e dove mettere i cartelli.

Per comprendere finalmente il metodo degli intervalli, consideriamo due osservazioni su cui si basa:

Una funzione continua cambia segno solo in quei punti dove è uguale a zero. Tali punti dividono l'asse delle coordinate in pezzi, all'interno dei quali il segno della funzione non cambia mai. Ecco perché risolviamo l'equazione f (x) = 0 e segniamo le radici trovate sulla retta. I numeri trovati sono punti “borderline” che separano i pro dai contro.
Per trovare il segno di una funzione su qualsiasi intervallo, è sufficiente sostituire nella funzione un numero qualsiasi di questo intervallo. Ad esempio, per l'intervallo (−5; 6) abbiamo il diritto di prendere x = −4, x = 0, x = 4 e anche x = 1,29374 se vogliamo. Perché è importante? Sì, perché i dubbi cominciano a rodere molti studenti. Ad esempio, cosa succederebbe se per x = −4 otteniamo un più e per x = 0 otteniamo un meno? Ma niente del genere accadrà mai. Tutti i punti sullo stesso intervallo danno lo stesso segno. Ricorda questo.

Questo è tutto ciò che devi sapere sul metodo dell'intervallo. Naturalmente lo abbiamo analizzato nella sua forma più semplice. Esistono disuguaglianze più complesse: non rigorose, frazionarie e con radici ripetute. Puoi anche utilizzare il metodo dell'intervallo per loro, ma questo è un argomento per una grande lezione separata.

Ora vorrei esaminare una tecnica avanzata che semplifica notevolmente il metodo dell'intervallo. Più precisamente, la semplificazione riguarda solo il terzo passaggio: calcolare il segno sul tratto più a destra della linea. Per qualche motivo questa tecnica non viene insegnata nelle scuole (almeno nessuno me lo ha spiegato). Ma invano, perché in realtà questo algoritmo è molto semplice.

Quindi, il segno della funzione si trova sulla parte destra della linea numerica. Questo pezzo ha la forma (a ; +∞), dove a è la radice più grande dell'equazione f (x) = 0. Per non stupirvi, consideriamo un esempio specifico:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Abbiamo 3 radici. Elenchiamoli in ordine crescente: x = −2, x = 1 e x = 7. Ovviamente la radice più grande è x = 7.

Per chi trova più semplice ragionare graficamente segnerò queste radici sulla linea coordinata. Vediamo cosa succede:

È necessario trovare il segno della funzione f (x) nell'intervallo più a destra, cioè a (7; +∞). Ma come abbiamo già notato, per determinare il segno puoi prendere qualsiasi numero da questo intervallo. Ad esempio, puoi prendere x = 8, x = 150, ecc. E ora la stessa tecnica che non viene insegnata a scuola: prendiamo l'infinito come numero. Più precisamente, più infinito, cioè. +∞.

“Sei fatto? Come puoi sostituire l’infinito in una funzione?” - potresti chiedere. Ma pensaci: non abbiamo bisogno del valore della funzione stessa, ci serve solo il segno. Pertanto, ad esempio, i valori f (x) = −1 e f (x) = −938 740 576 215 significano la stessa cosa: la funzione su questo intervallo è negativa. Pertanto, tutto ciò che ti viene richiesto è trovare il segno che appare all'infinito e non il valore della funzione.

In effetti, sostituire l'infinito è molto semplice. Torniamo alla nostra funzione:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Immagina che x sia molto gran numero. Miliardi o addirittura trilioni. Ora vediamo cosa succede in ciascuna parentesi.

Prima parentesi: (x − 1). Cosa succede se sottrai uno da un miliardo? Il risultato sarà un numero non molto diverso da un miliardo, e questo numero sarà positivo. Allo stesso modo con la seconda parentesi: (2 + x). Se aggiungiamo un miliardo a due, otteniamo un miliardo e un centesimo: questo è numero positivo. Infine, la terza parentesi: (7 − x). Qui ci sarà un miliardo in meno, da cui è stato “rosicchiato via un patetico pezzo a forma di sette”. Quelli. il numero risultante non differirà molto da meno miliardi: sarà negativo.

Non resta che trovare il segno dell’intera opera. Poiché nelle prime parentesi abbiamo un più e nell'ultima un meno, otteniamo la seguente costruzione:

(+) · (+) · (−) = (−)

Il segno finale è meno! E non importa quale sia il valore della funzione stessa. La cosa principale è che questo valore è negativo, cioè l'intervallo più a destra ha un segno meno. Non resta che completare il quarto passaggio del metodo dell'intervallo: disporre tutti i segni. Abbiamo:

La disuguaglianza originaria era:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

A noi interessano quindi gli intervalli contrassegnati dal segno meno. Scriviamo la risposta:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Questo è il trucco che volevo dirti. In conclusione, ecco un'altra disuguaglianza che può essere risolta con il metodo dell'intervallo utilizzando l'infinito. Per abbreviare visivamente la soluzione, non scriverò i numeri dei passaggi e i commenti dettagliati. Scriverò solo ciò di cui hai veramente bisogno di scrivere quando risolvi problemi reali:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

x(2x + 8)(x − 3) > 0

Sostituiamo la disuguaglianza con un'equazione e risolviamola:

x(2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Contrassegniamo tutte e tre le radici sulla linea delle coordinate (con i segni contemporaneamente):

C'è un più sul lato destro dell'asse delle coordinate, perché la funzione è simile a:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

E se sostituiamo l'infinito (ad esempio un miliardo), otteniamo tre parentesi positive. Poiché l'espressione originale deve essere maggiore di zero, a noi interessano solo i valori positivi. Non resta che scrivere la risposta:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Nell'articolo considereremo risolvere le disuguaglianze. Te lo diremo chiaramente come costruire una soluzione alle disuguaglianze, con esempi chiari!

Prima di esaminare la risoluzione delle disuguaglianze utilizzando esempi, comprendiamo i concetti di base.

Generalità sulle disuguaglianze

Disuguaglianzaè un'espressione in cui le funzioni sono collegate da segni di relazione >, . Le disuguaglianze possono essere sia numeriche che letterali.
Le disuguaglianze con due segni di rapporto sono chiamate doppie, con tre - triple, ecc. Per esempio:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Le disuguaglianze contenenti il segno > o o - non sono strette.
Risolvere la disuguaglianzaè qualsiasi valore della variabile per il quale questa disuguaglianza sarà vera.
"Risolvere la disuguaglianza" significa che dobbiamo trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni. Ce ne sono diverse Metodi per risolvere le disuguaglianze. Per soluzioni di disuguaglianza Usano la linea numerica, che è infinita. Per esempio, soluzione alla disuguaglianza x > 3 è l'intervallo da 3 a +, e il numero 3 non è compreso in questo intervallo, quindi il punto sulla retta viene indicato con un cerchio vuoto, perché la disuguaglianza è rigorosa.
+
La risposta sarà: x(3; +).
Il valore x=3 non è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è tonda. Il segno dell'infinito è sempre evidenziato con una parentesi. Il segno significa "appartenenza".
Diamo un'occhiata a come risolvere le disuguaglianze usando un altro esempio con un segno:
x2
-+
Il valore x=2 è compreso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è quadrata e il punto sulla retta è indicato da un cerchio pieno.
La risposta sarà: x)