Sfera inscritta in un prisma rettilineo. I poliedri circoscritti ad una sfera si chiamano poliedri circoscritti. Combinazione di una palla con una piramide tronca

Poliedri circoscritti ad una sfera Un poliedro si dice circoscritto ad una sfera se i piani di tutte le sue facce toccano la sfera. Si dice che la sfera stessa sia inscritta nel poliedro. Teorema. Una sfera può essere inscritta in un prisma se e solo se nella sua base è inscrivibile un cerchio e l'altezza del prisma è uguale al diametro di questo cerchio. Teorema. Puoi inserire una sfera in qualsiasi piramide triangolare e solo in una.

Esercizio 1 Cancella il quadrato e disegna due parallelogrammi che rappresentano le facce superiore e inferiore del cubo. Collega i loro vertici con segmenti. Ottieni l'immagine di una sfera inscritta in un cubo. Disegna una sfera inscritta in un cubo, come nella diapositiva precedente. Per fare ciò disegna un'ellisse inscritta in un parallelogramma ottenuto comprimendo per 4 volte un cerchio e un quadrato. Segna i poli della sfera e i punti tangenti dell'ellisse e del parallelogramma.

Esercizio 4 È possibile inscrivere una sfera in un parallelepipedo rettangolare diverso da un cubo? Risposta: no.

Esercizio 5 È possibile inscrivere una sfera in un parallelepipedo inclinato le cui facce siano tutte rombi? Risposta: no.

Esercizio 1 È possibile inscrivere una sfera in un prisma triangolare inclinato avente alla base un triangolo regolare? Risposta: no.

Esercizio 2 Trova l'altezza di un prisma triangolare regolare e il raggio della sfera inscritta se lo spigolo della base del prisma è 1. 3 3 , . 3 6 ore Risposta:

Esercizio 3 In un prisma triangolare regolare è inscritta una sfera di raggio 1. Trova il lato della base e l'altezza del prisma. 2 3, 2. a h Risposta:

Esercizio 4 Una sfera è inscritta in un prisma, alla cui base c'è un triangolo rettangolo con i cateti uguali a 1. Trova il raggio della sfera e l'altezza del prisma. 2 2 , 2 2. 2 r h L'area del triangolo ABC è, perimetro Usiamo la formula r = S / p. Otteniamo 2 2. 1 ,

Esercizio 5 Una sfera è inscritta in un prisma, alla base del quale si trova un triangolo isoscele di lati 2, 3, 3. Trova il raggio della sfera e l'altezza del prisma. 2 , 2. 2 r h L'area del triangolo ABC è uguale Il perimetro è 8. Usiamo la formula r = S / p. Otteniamo 2 2.

Esercizio 1 Una sfera è inscritta in un prisma quadrangolare retto, alla base del quale si trova un rombo di lato 1 e angolo acuto di 60 gradi. Trova il raggio della sfera e l'altezza del prisma. Soluzione. Il raggio della sfera è uguale alla metà dell'altezza della base DG, cioè l'altezza del prisma è uguale al diametro della sfera, cioè 3. 4 r 3. 2 h

Esercizio 2 Una sfera unitaria è inscritta in un prisma quadrangolare retto, alla base del quale si trova un rombo con un angolo acuto di 60 gradi. Trova il lato della base a e l'altezza del prisma h. Risposta: 4 3 , 2,3 h

Esercizio 3 Una sfera è inscritta in un prisma quadrangolare retto, alla base del quale è un trapezio. L'altezza del trapezio è 2. Trova l'altezza del prisma h e il raggio r della sfera inscritta. Risposta: 1, 2. r h

Esercizio 4 Una sfera è inscritta in un prisma quadrangolare retto, alla base del quale si trova un quadrilatero, perimetro 4 e area 2. Trova il raggio r della sfera inscritta. 1.r Soluzione. Si noti che il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto alla base del prisma. Approfittiamo del fatto che il raggio di un cerchio inscritto in un poligono è uguale all'area di questo poligono divisa per il suo semiperimetro. Noi abbiamo,

Esercizio 1 Trova l'altezza di un prisma esagonale regolare e il raggio della sfera inscritta se il lato della base del prisma è 1. 3 3, . 2 ore Risposta:

Esercizio 2 In un prisma esagonale regolare è inscritta una sfera di raggio 1. Trova il lato della base e l'altezza del prisma. 2 3 , 2. 3 a h Risposta:

Esercizio 1 Trova il raggio di una sfera inscritta in un tetraedro unitario. 6. 12 r Risposta: Soluzione. Nel tetraedro SABC abbiamo: SD = DE = SE = Dalla somiglianza dei triangoli SOF e SDE otteniamo un'equazione risolvendola troviamo 3 , 2 3 , 6 6. 3 6 3 3: : , 3 6 2 r r 6 12 r

Esercizio 2 Una sfera unitaria è inscritta in un tetraedro regolare. Trova il bordo di questo tetraedro. 2 6. a Risposta:

Esercizio 3 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide triangolare regolare, il lato della base è 2 e gli angoli diedri alla base sono 60°. 3 1 30. 3 3 r tg Soluzione. Approfittiamo del fatto che il centro della sfera inscritta è il punto di intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri alla base della piramide. Per il raggio della sfera OE vale la seguente uguaglianza: Pertanto, . OE DE tg O

Esercizio 4 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide triangolare regolare, i cui spigoli laterali sono uguali a 1 e gli angoli piani al vertice sono uguali a 90°. 3 3. 6 r Risposta: Soluzione. Nel tetraedro SABC abbiamo: SD = DE = SE = Dalla somiglianza dei triangoli SOF e SDE otteniamo un'equazione risolvendola troviamo 2 , 2 6 , 6 3. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 3.6 r

Esercizio 1 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide quadrangolare regolare, i cui lati sono uguali a 1. 6 2. 4 r Sfruttiamo il fatto che per il raggio r di un cerchio inscritto in un triangolo vale la formula : r = S / p, dove S è l'area, p – semiperimetro del triangolo. Nel nostro caso, S = p = 3, 2 2. 2 Soluzione. Il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo SEF, in cui SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Quindi 1 3.

Esercizio 2 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide quadrangolare regolare, il lato della base è 1 e lo spigolo laterale è 2. 14 (15 1). 28 r Approfittiamo del fatto che per il raggio r di un cerchio inscritto in un triangolo vale la formula: r = S / p, dove S è l'area, p è il semiperimetro del triangolo. Nel nostro caso, S = p = 15, 214. 2 Soluzione. Il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo SEF, in cui SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Quindi 1 15.

Esercizio 3 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide regolare quadrangolare, il lato della base è 2 e gli angoli diedro alla base sono 60°. 3 30. 3 r tg Soluzione. Approfittiamo del fatto che il centro della sfera inscritta è il punto di intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri alla base della piramide. Per il raggio della sfera OG vale la seguente uguaglianza: Pertanto, . OG FG tg OFG

Esercizio 4 La sfera unitaria è inscritta in una piramide regolare quadrangolare, il lato della base è 4. Trova l'altezza della piramide. Usiamo il fatto che per il raggio r di un cerchio inscritto in un triangolo vale la formula: r = S / p, dove S è l'area, p è il semiperimetro del triangolo. Nel nostro caso S = 2 h, p = 2 4 2. h. Soluzione. Indichiamo l'altezza SG della piramide come h. Il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo SEF, in cui SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h Abbiamo quindi un'uguaglianza da cui troviamo 2 4 2 2, h

Esercizio 1 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide esagonale regolare, i cui spigoli di base sono uguali a 1 e gli spigoli laterali sono uguali a 2. 15 3. 4 r Usiamo il fatto che per il raggio r di un cerchio inscritto in un triangolo, vale la formula: r = S / p, dove S è l'area, p è il semiperimetro del triangolo. Nel nostro caso, S = p = 3, 2 Quindi, 15 3. 2 15, 2 Soluzione. Il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo SPQ, in cui SP = SQ = PQ= SH = 3.

Esercizio 2 Trova il raggio di una sfera inscritta in una piramide esagonale regolare i cui spigoli di base sono uguali a 1 e gli angoli diedro alla base sono pari a 60°. 3 1 30. 2 2 r tg Soluzione. Approfittiamo del fatto che il centro della sfera inscritta è il punto di intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri alla base della piramide. Per il raggio della sfera OH vale la seguente uguaglianza: Pertanto, . OH HQ tg OQH

Esercizio Trova il raggio di una sfera inscritta in un ottaedro unitario. 6. 6 r Risposta: Soluzione. Il raggio della sfera è uguale al raggio del cerchio inscritto nel rombo SES'F, in cui SE = SF = EF= 1, SO = Allora l'altezza del rombo, abbassato dal vertice E, sarà pari a Il raggio richiesto è pari alla metà dell'altezza, ed è pari a 6. 66. 3 2 .2 3 , 2 O

Esercizio Trovare il raggio di una sfera inscritta in un icosaedro unitario. 1 7 3 5. 2 6 r Soluzione. Approfittando del fatto che il raggio OA della sfera circoscritta è uguale a e il raggio AQ del cerchio circoscritto attorno ad un triangolo equilatero di lato 1 è uguale a, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OAQ si ottiene 10 2 5, 4 3.

Esercizio Trovare il raggio di una sfera inscritta in un dodecaedro unitario. 1 25 11 5. 2 10 r Soluzione. Sfruttando il fatto che il raggio OF della sfera circoscritta è uguale a ed il raggio FQ del cerchio circoscritto ad un pentagono equilatero di lato 1 è uguale a, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OFQ otteniamo 18 6 5, 4 5 5.

Esercizio 1 È possibile inserire una sfera in un tetraedro troncato? Soluzione. Si noti che il centro O di una sfera inscritta in un tetraedro troncato deve coincidere con il centro di una sfera inscritta in un tetraedro, il quale coincide con il centro di una sfera semiinscritta in un tetraedro troncato. Le distanze d 1 , d 2 dal punto O alle facce esagonali e triangolari si calcolano utilizzando il teorema di Pitagora: dove R è il raggio di una sfera semiinscritta, r 1 , r 2 sono i raggi dei cerchi inscritti in un esagono e in un triangolo, rispettivamente. Poiché r 1 > r 2, allora d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

Esercizio 2 È possibile inserire una sfera in un cubo troncato? Risposta: no. La dimostrazione è simile alla precedente.

Esercizio 3 È possibile inserire una sfera in un ottaedro troncato? Risposta: no. La dimostrazione è simile alla precedente.

Esercizio 4 È possibile far rientrare una sfera in un cubottaedro? Risposta: no. La dimostrazione è simile alla precedente.

L'argomento "Diversi problemi su poliedri, cilindri, coni e sfere" è uno dei più difficili del corso di geometria dell'11a elementare. Prima di risolvere i problemi geometrici, di solito studiano le sezioni rilevanti della teoria a cui si fa riferimento quando si risolvono i problemi. Nel libro di testo di S. Atanasyan e altri su questo argomento (p. 138) si possono trovare solo le definizioni di poliedro descritto attorno a una sfera, poliedro inscritto in una sfera, sfera inscritta in un poliedro e sfera descritta attorno a un poliedro. IN raccomandazioni metodologiche questo libro di testo (vedere il libro "Studiare la geometria nei gradi 10-11" di S.M. Saakyan e V.F. Butuzov, p. 159) dice quali combinazioni di corpi vengono prese in considerazione quando si risolvono i problemi n. 629-646 e richiama l'attenzione sul fatto che " quando si risolve un particolare problema, prima di tutto, è necessario assicurarsi che gli studenti ne abbiano una buona comprensione accordo reciproco corpi specificati nella condizione. Quella che segue è la soluzione ai problemi n. 638 (a) e n. 640.

Considerando tutto quanto sopra e il fatto che i problemi più difficili per gli studenti sono la combinazione di una palla con altri corpi, è necessario sistematizzare i principi teorici rilevanti e comunicarli agli studenti.

Definizioni.

1. Una palla si dice inscritta in un poliedro e un poliedro descritto attorno ad una palla se la superficie della palla tocca tutte le facce del poliedro.

2. Una palla si dice circoscritta attorno a un poliedro, e un poliedro inscritto in una palla, se la superficie della palla passa per tutti i vertici del poliedro.

3. Si dice che una palla è inscritta in un cilindro, tronco di cono (cono), e un cilindro, tronco di cono (cono) si dice inscritto attorno alla palla se la superficie della palla tocca le basi (base) e tutti le generatrici del cilindro, tronco di cono (cono).

(Da questa definizione segue che il cerchio massimo di una palla può essere inscritto in una qualsiasi sezione assiale di questi corpi).

4. Una palla si dice circoscritta attorno a un cilindro, tronco di cono (cono), se i cerchi delle basi (cerchio di base e vertice) appartengono alla superficie della palla.

(Da questa definizione consegue che attorno a qualsiasi sezione assiale di questi corpi si può descrivere il cerchio di un cerchio più grande della palla).

Note generali sulla posizione del centro della palla.

1. Il centro di una palla inscritta in un poliedro si trova nel punto di intersezione dei piani bisettori di tutti gli angoli diedri del poliedro. Si trova solo all'interno del poliedro.

2. Il centro di una palla circoscritta a un poliedro si trova nel punto di intersezione dei piani perpendicolari a tutti i bordi del poliedro e passanti per i loro punti medi. Può essere posizionato all'interno, sulla superficie o all'esterno del poliedro.

Combinazione di una sfera e un prisma.

1. Una palla inscritta in un prisma diritto.

Teorema 1. Una sfera può essere inscritta in un prisma rettilineo se e solo se nella base del prisma è possibile inscrivere un cerchio e l'altezza del prisma è uguale al diametro di questo cerchio.

Corollario 1. Il centro di una sfera inscritta in un prisma retto si trova nel punto medio dell'altezza del prisma passante per il centro del cerchio inscritto nella base.

Corollario 2. Una palla, in particolare, può essere inscritta in rette: triangolare, regolare, quadrangolare (in cui le somme dei lati opposti della base sono uguali tra loro) nella condizione H = 2r, dove H è l'altezza della prisma, r è il raggio del cerchio inscritto nella base.

2. Una sfera circoscritta attorno a un prisma.

Teorema 2. Una sfera può essere descritta attorno a un prisma se e solo se il prisma è diritto e attorno alla sua base si può descrivere un cerchio.

Corollario 1. Il centro di una sfera circoscritta ad un prisma rettilineo si trova nel punto medio dell'altezza del prisma passante per il centro di un cerchio circoscritto alla base.

Corollario 2. Una palla, in particolare, può essere descritta: vicino a un prisma triangolare retto, vicino a un prisma regolare, vicino a un parallelepipedo rettangolare, vicino a un prisma quadrangolare retto, in cui la somma degli angoli opposti della base è pari a 180 gradi.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) per la combinazione di una palla e un prisma.

Combinazione di una palla con una piramide.

1. Una palla descritta vicino a una piramide.

Teorema 3. Una palla può essere descritta attorno a una piramide se e solo se è possibile descrivere un cerchio attorno alla sua base.

Corollario 1. Il centro di una sfera circoscritta ad una piramide si trova nel punto di intersezione di una linea retta perpendicolare alla base della piramide passante per il centro di un cerchio circoscritto a questa base e di un piano perpendicolare a qualsiasi bordo laterale tracciato per il centro di questo bordo.

Corollario 2. Se i bordi laterali della piramide sono uguali tra loro (o ugualmente inclinati rispetto al piano della base), attorno a tale piramide si può descrivere una palla, il cui centro in questo caso si trova nel punto di intersezione di l'altezza della piramide (o il suo prolungamento) con l'asse di simmetria del bordo laterale giacente nel piano laterale e dell'altezza del bordo.

Corollario 3. Una palla, in particolare, può essere descritta: vicino ad una piramide triangolare, vicino ad una piramide regolare, vicino ad una piramide quadrangolare in cui la somma degli angoli opposti è 180 gradi.

2. Una palla inscritta in una piramide.

Teorema 4. Se le facce laterali della piramide hanno la stessa inclinazione rispetto alla base, in tale piramide è possibile inscrivere una palla.

Corollario 1. Il centro di una palla inscritta in una piramide le cui facce laterali sono ugualmente inclinate rispetto alla base si trova nel punto di intersezione dell'altezza della piramide con la bisettrice dell'angolo lineare di un qualsiasi angolo diedro alla base della piramide, il lato di cui è l'altezza della faccia laterale disegnata dalla sommità della piramide.

Corollario 2. Puoi inserire una palla in una piramide regolare.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 per la combinazione di una palla con una piramide.

Combinazione di una palla con una piramide tronca.

1. Una palla circoscritta ad una piramide regolare tronca.

Teorema 5. Una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi piramide regolare troncata. (Questa condizione è sufficiente, ma non necessaria)

2. Una palla inscritta in una piramide regolare tronca.

Teorema 6. Una palla può essere inscritta in una piramide regolare tronca se e solo se l'apotema della piramide è uguale alla somma degli apotemi delle basi.

C'è solo un problema per la combinazione di una palla con una piramide tronca nel libro di testo di L.S. Atanasyan (n. 636).

Combinazione di sfere con corpi rotondi.

Teorema 7. Una sfera può essere descritta attorno a un cilindro, un tronco di cono (circolare rettilineo) o un cono.

Teorema 8. Una palla può essere inscritta in un cilindro (circolare rettilineo) se e solo se il cilindro è equilatero.

Teorema 9. Puoi inserire una palla in qualsiasi cono (circolare dritto).

Teorema 10. Una palla può essere inscritta in un tronco di cono (circolare rettilineo) se e solo se il suo generatore è uguale alla somma dei raggi delle basi.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 642, 643, 644, 645, 646 per la combinazione di una palla con corpi rotondi.

Per più studio di successo materiale su questo argomento, è necessario includere compiti orali nel corso delle lezioni:

1. Il bordo del cubo è uguale a a. Trova i raggi delle palline: inscritti nel cubo e circoscritti ad esso. (r = a/2, R = a3).

2. È possibile descrivere una sfera (palla) attorno a: a) un cubo; b) parallelepipedo rettangolare; c) un parallelepipedo inclinato avente alla base un rettangolo; d) parallelepipedo diritto; e) un parallelepipedo inclinato? (a) sì; B Sì; c) no; d) no; d) no)

3. È vero che una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi piramide triangolare? (SÌ)

4. È possibile descrivere una sfera attorno a una piramide quadrangolare? (No, non vicino a nessuna piramide quadrangolare)

5. Quali proprietà deve avere una piramide per descrivere una sfera attorno ad essa? (Alla sua base dovrebbe esserci un poligono attorno al quale si può descrivere un cerchio)

6. Una piramide è inscritta in una sfera, il cui bordo laterale è perpendicolare alla base. Come trovare il centro di una sfera? (Il centro della sfera è il punto di intersezione di due luoghi geometrici di punti nello spazio. Il primo è una perpendicolare condotta al piano della base della piramide, passante per il centro di un cerchio ad essa circoscritto. Il secondo è un piano perpendicolare a un dato bordo laterale e tracciato attraverso il suo centro)

7. In quali condizioni puoi descrivere una sfera attorno a un prisma, alla base del quale si trova un trapezio? (In primo luogo, il prisma deve essere diritto e, in secondo luogo, il trapezio deve essere isoscele in modo che attorno ad esso si possa descrivere un cerchio)

8. Quali condizioni deve soddisfare un prisma affinché attorno ad esso possa essere descritta una sfera? (Il prisma deve essere diritto e la sua base deve essere un poligono attorno al quale si può descrivere un cerchio)

9. Una sfera è descritta attorno a un prisma triangolare, il cui centro si trova all'esterno del prisma. Quale triangolo è la base del prisma? (Triangolo ottuso)

10. È possibile descrivere una sfera attorno a un prisma inclinato? (No, non puoi)

11. In quali condizioni il centro di una sfera circoscritta a un prisma triangolare retto si troverà su una delle facce laterali del prisma? (La base è un triangolo rettangolo)

12. La base della piramide è un trapezio isoscele. La proiezione ortogonale della sommità della piramide sul piano della base è un punto situato all'esterno del trapezio. È possibile descrivere una sfera attorno a un simile trapezio? (Sì, puoi. Il fatto che la proiezione ortogonale della sommità della piramide si trovi all'esterno della sua base non ha importanza. È importante che alla base della piramide si trovi un trapezio isoscele - un poligono attorno al quale si può tracciare un cerchio descritto)

13. Una sfera è descritta vicino ad una piramide regolare. Come si trova il suo centro rispetto agli elementi della piramide? (Il centro della sfera è su una perpendicolare tracciata al piano della base passante per il suo centro)

14. In quali condizioni il centro di una sfera descritta attorno a un prisma triangolare retto si trova: a) all'interno del prisma; b) fuori dal prisma? (Alla base del prisma: a) un triangolo acuto; b) triangolo ottuso)

15. Una sfera è descritta attorno a un parallelepipedo rettangolare i cui bordi sono 1 dm, 2 dm e 2 dm. Calcola il raggio della sfera. (1,5 dm)

16. In quale tronco di cono può inserirsi una sfera? (In un tronco di cono, nella cui sezione assiale si può inscrivere un cerchio. La sezione assiale del cono è un trapezio isoscele, la somma delle sue basi deve essere uguale alla somma dei suoi lati laterali. In altre parole, il la somma dei raggi delle basi del cono deve essere uguale alla generatrice)

17. Una sfera è inscritta in un tronco di cono. Con quale angolo è visibile la generatrice del cono dal centro della sfera? (90 gradi)

18. Quale proprietà deve avere un prisma diritto affinché vi sia inscritta una sfera? (In primo luogo, alla base di un prisma diritto deve esserci un poligono in cui si può inscrivere un cerchio e, in secondo luogo, l'altezza del prisma deve essere uguale al diametro del cerchio inscritto nella base)

19. Fai un esempio di una piramide che non può contenere una sfera? (Per esempio, piramide quadrangolare, la cui base è un rettangolo o un parallelogramma)

20. Alla base di un prisma diritto c'è un rombo. È possibile inserire una sfera in questo prisma? (No, è impossibile, poiché in generale è impossibile descrivere un cerchio attorno a un rombo)

21. A quali condizioni una sfera può essere inscritta in un prisma triangolare retto? (Se l'altezza del prisma è il doppio del raggio del cerchio inscritto nella base)

22. A quali condizioni una sfera può essere inscritta in una piramide tronca quadrangolare regolare? (Se la sezione trasversale di una data piramide è un piano passante per il centro del lato di base ad essa perpendicolare, è un trapezio isoscele nel quale può essere inscritta una circonferenza)

23. Una sfera è inscritta in una piramide triangolare tronca. Quale punto della piramide è il centro della sfera? (Il centro della sfera inscritta in questa piramide si trova all'intersezione di tre piani bisettrici di angoli formati dalle facce laterali della piramide con la base)

24. È possibile descrivere una sfera attorno a un cilindro (circolare destro)? (Si, puoi)

25. È possibile descrivere una sfera attorno ad un cono, un tronco di cono (circolare rettilineo)? (Sì, puoi, in entrambi i casi)

26. Può una sfera essere inscritta in qualsiasi cilindro? Quali proprietà deve avere un cilindro per poter contenere una sfera? (No, non sempre: la sezione assiale del cilindro deve essere quadrata)

27. Può una sfera essere inscritta in un cono qualsiasi? Come determinare la posizione del centro di una sfera inscritta in un cono? (Sì, assolutamente. Il centro della sfera inscritta è all'intersezione tra l'altezza del cono e la bisettrice dell'angolo di inclinazione della generatrice rispetto al piano della base)

L'autore ritiene che delle tre lezioni di progettazione sull'argomento “Diversi problemi su poliedri, cilindro, cono e palla”, sia consigliabile dedicare due lezioni alla risoluzione dei problemi sulla combinazione di una palla con altri corpi. Si sconsiglia di dimostrare i teoremi sopra indicati a causa del tempo insufficiente in classe. Puoi invitare gli studenti che hanno competenze sufficienti per questo a dimostrarle indicando (a discrezione del docente) il corso o il piano della prova.

Palla e sfera

Il corpo ottenuto facendo ruotare un semicerchio attorno ad un diametro si chiama palla. La superficie formata in questo caso è chiamata sfera.Una palla è un corpo costituito da tutti i punti dello spazio situati ad una distanza non maggiore di una data da un dato punto. Questo punto è chiamato centro della palla, e questa distanza è chiamata raggio della palla.Il confine di una palla è chiamato superficie sfericao una sfera. Qualsiasi segmento che collega il centro di una palla con un punto sulla superficie sferica è chiamato raggio.Un segmento che collega due punti su una superficie sferica e passante per il centro della palla è chiamato diametro.Le estremità di qualsiasi diametro sono chiamate punti diametralmente opposti della palla.Qualsiasi sezione della pallaun piano è un cerchio. Il centro di questo cerchio è la base della perpendicolare lasciata cadere dal centro sul piano secante. Il piano passante per il centro della palla è chiamato piano diametrale. La sezione di una palla lungo il piano diametrale è chiamata cerchio massimo, e la sezione trasversale della sfera è un cerchio massimo.Qualsiasi piano diametrale di una palla è il suo piano di simmetria. Il centro della palla è il suo centro di simmetria.Il piano passante per un punto della superficie sferica e perpendicolare al raggio disegnato fino a questo punto è chiamato piano tangente. Questo punto chiamato punto di contatto.Il piano tangente ha un solo punto in comune con la palla: il punto di contatto: una retta passante per esso dato punto La superficie sferica perpendicolare al raggio tracciato fino a questo punto è chiamata tangentePer ogni punto della superficie sferica passa un numero infinito di tangenti e tutte giacciono nel piano tangente della palla.la parte della palla tagliata da un piano è chiamata strato sfericochiamata la parte della palla situata tra due piani paralleli che la intersecano Settore sfericoè ottenuto da un segmento sferico e un cono. Se il segmento sferico è più piccolo di un emisfero, allora il segmento sferico è integrato con un cono, il cui vertice è al centro della palla, e la base è la base della segmento.Se il segmento è più grande dell'emisfero, il cono specificato viene rimosso da esso.Formule di basePalla (R = OB - raggio): S B = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Segmento della sfera (R = OB - raggio della sfera, h = SK - altezza del segmento, r = KV - raggio della base del segmento): V segm = πh 2 (R - h/3)o V segm =πh(h 2 + 3r 2 ) / 6;S segm = 2πRh Settore della sfera (R = OB - raggio della sfera, h = SC - altezza del segmento): V = V segm ±V con , “+” - se il segmento è più piccolo, “-” - se il segmento è più grande dell'emisfero.o V = V segm +V con = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. Strato sferico (R 1 e R 2 - raggi delle basi dello strato sferico; h = SC - altezza dello strato sferico o distanza tra le basi):V con sl = πh 3 /6+πh(R 1 2 +R 2 2 ) / 2;S con sl = 2πRh Esempio 1. Il volume della palla è 288π cm 3 . Trova il diametro della palla SoluzioneV = πd 3 /6288π = πd 3 /6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 cm Risposta: 12. Esempio 2. Tre sfere uguali di raggio r si toccano e si toccano un piano. Determinare il raggio della quarta sfera tangente ai tre dati e al piano dato SoluzioneLasciamo che O 1 , DI 2 , DI 3 - i centri di queste sfere e O - il centro della quarta sfera che tocca i tre dati e il piano dato. Siano A, B, C, T i punti di contatto delle sfere con un dato piano. I punti di contatto di due sfere giacciono sulla linea dei centri di queste sfere, quindi O 1 DI 2 =O 2 DI 3 =O 3 DI 1 = 2r. I punti sono equidistanti dal piano ABC, quindi ABO 2 DI 1 , AVO 2 DI 3 , AVO 3 DI 1 - rettangoli uguali, quindi ∆ABC è equilatero di lato 2r, sia x il raggio desiderato della quarta sfera. Allora OT = x. Quindi, Allo stesso modo Ciò significa che T è il centro di un triangolo equilatero. Ecco perché Da quiRisposta: r / 3. Una sfera inscritta in una piramide In ogni piramide regolare è possibile inscrivere una sfera. Il centro della sfera si trova all'altezza della piramide nel punto della sua intersezione con la bisettrice dell'angolo lineare sul bordo della base della piramide. Se una sfera può essere inscritta in una piramide, non necessariamente regolare, allora il raggio r di tale sfera può essere calcolato utilizzando la formula r = 3V/S pag , dove V è il volume della piramide, S pag - la sua superficie totale Esempio 3. Un imbuto conico, di raggio base R e altezza H, è riempito d'acqua. Una palla pesante viene calata nell'imbuto. Quale dovrebbe essere il raggio della palla affinché il volume d'acqua spostato dall'imbuto dalla parte immersa della palla sia massimo? Soluzione Disegniamo una sezione attraverso il centro del cono. Questa sezione forma un triangolo isoscele.Se c'è una palla nell'imbuto, la dimensione massima del suo raggio sarà uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo isoscele risultante. Il raggio del cerchio inscritto nel triangolo è uguale a: r = S / p , dove S è l'area del triangolo, p è il suo semiperimetro. L'area del triangolo isoscele è pari a metà altezza (H = SO) moltiplicata per la base. Ma poiché la base è il doppio del raggio del cono, allora S = RH. Il semiperimetro è uguale a p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m è la lunghezza di ciascuno dei lati uguali dell'isoscele triangolo; R è il raggio del cerchio che costituisce la base del cono. Trova m con il teorema di Pitagora: , DoveIn breve assomiglia a questo:Risposta:Esempio 4. In una piramide triangolare regolare con un angolo diedro alla base pari ad α, ci sono due palle. La prima palla tocca tutte le facce della piramide, la seconda palla tocca tutte le facce laterali della piramide e la prima palla. Trova il rapporto tra il raggio della prima palla e il raggio della seconda palla se tgα = 24/7.
Sia RABC una piramide regolare e il punto H sia il centro della sua base ABC. Sia M il punto medio del bordo BC. Poi - angolo diedro lineare , che per condizione è uguale ad α, e α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .Sia NN 1 - il diametro della prima sfera e il piano passante per il punto H 1 perpendicolare alla retta RN, interseca rispettivamente i bordi laterali RA, PB, RS nei punti A 1 , IN 1 , CON 1 . Poi N 1 sarà il centro del ∆A corretto 1 IN 1 CON 1 e la piramide RA 1 IN 1 CON 1 sarà simile alla piramide RABC con coefficiente di somiglianza k = RN 1 /RN. Si noti che la seconda pallina, con centro nel punto O 1 , è inscritto nella piramide RA 1 IN 1 CON 1 e quindi il rapporto dei raggi delle palline inscritte è pari al coefficiente di similitudine: OH/OH 1 =RN /RN 1 . Dall'uguaglianza tgα = 24/7 troviamo:Sia AB = x. Poi Da qui il rapporto OH/O desiderato 1 N 1 = 16/9 Risposta: 16/9 Sfera inscritta in un prisma Il diametro D di una sfera inscritta in un prisma è uguale all'altezza H del prisma: D = 2R = H. Il raggio R di una sfera inscritta in un prisma un prisma è uguale al raggio di un cerchio inscritto in un prisma a sezione perpendicolare. Se in un prisma rettilineo è inscritta una sfera, nella base di questo prisma può essere inscritto un cerchio. Il raggio R di una sfera inscritta in una retta prisma è uguale al raggio del cerchio inscritto nella base del prisma Teorema 1 Sia inscritto un cerchio nella base di un prisma rettilineo, e l'altezza H del prisma sia uguale al diametro D di questo cerchio. Allora in questo prisma può essere inscritta una sfera di diametro D. Il centro di questa sfera inscritta coincide con il centro del segmento che collega i centri dei cerchi inscritti alle basi del prisma.Lascia che ABC...A 1 IN 1 CON 1 ... è un prisma rettilineo e O è il centro di un cerchio inscritto nella base ABC. Allora il punto O è equidistante da tutti i lati della base ABC. Lasciamo che O 1 - proiezione ortogonale del punto O sulla base A 1 IN 1 CON 1 . Allora oh 1 equidistante da tutti i lati della base A 1 IN 1 CON 1 e OO 1 || aa 1 . Ne consegue che l'OO diretto 1 parallelo a ciascun piano della faccia laterale del prisma e la lunghezza del segmento OO 1 pari all'altezza del prisma e, per convenzione, al diametro del cerchio inscritto alla base del prisma. Ciò significa che i punti del segmento OO 1 sono equidistanti dalle facce laterali del prisma e dalla F centrale del segmento OO 1 , equidistante dai piani delle basi del prisma, sarà equidistante da tutte le facce del prisma. Cioè F è il centro di una sfera inscritta in un prisma, e il diametro di questa sfera è uguale al diametro di un cerchio inscritto nella base del prisma. Il teorema è dimostrato Teorema 2 Sia un cerchio inscritto nella sezione perpendicolare di un prisma inclinato, e l'altezza del prisma sia uguale al diametro di questo cerchio. Allora in questo prisma inclinato si può inscrivere una sfera. Il centro di questa sfera divide a metà l'altezza passante per il centro di un cerchio inscritto in una sezione perpendicolare.
Lascia che ABC...A 1 IN 1 CON 1 ... è un prisma inclinato e F è il centro di un cerchio di raggio FK inscritto nella sua sezione perpendicolare. Poiché la sezione perpendicolare di un prisma è perpendicolare a ciascun piano della sua faccia laterale, i raggi del cerchio inscritto nella sezione perpendicolare tracciata ai lati di questa sezione sono perpendicolari alle facce laterali del prisma. Dunque il punto F è equidistante da tutte le facce laterali: per il punto F tracciamo una linea retta OO 1 , perpendicolare al piano delle basi del prisma, intersecando queste basi nei punti O e O 1 . Allora OO 1 - altezza del prisma. Poiché secondo la condizione OO 1 = 2FK, allora F è il centro del segmento OO 1 :FK = OO 1 /2 = FO = FO 1 , cioè. il punto F è equidistante dai piani di tutte le facce del prisma senza eccezioni. Ciò significa che una sfera può essere inscritta in un dato prisma, il cui centro coincide con il punto F, il centro di un cerchio inscritto in quella sezione perpendicolare del prisma che divide a metà l'altezza del prisma passante per il punto F. Il teorema è dimostrato Esempio 5. Una palla di raggio 1 è inscritta in un parallelepipedo rettangolare. Trovare il volume del parallelepipedo. SoluzioneDisegna la vista dall'alto. O di lato. Oppure dal davanti. Vedrai la stessa cosa: un cerchio inscritto in un rettangolo. Ovviamente questo rettangolo sarà un quadrato e il parallelepipedo sarà un cubo. La lunghezza, larghezza e altezza di questo cubo sono due volte il raggio della sfera AB = 2, e quindi il volume del cubo è 8. Risposta: 8. Esempio 6. In un prisma triangolare regolare con il lato della base uguale A , ci sono due palline. La prima pallina è inscritta nel prisma, la seconda pallina tocca una base del prisma, le sue due facce laterali e la prima pallina. Trova il raggio della seconda pallina Soluzione
Lasciamo l'ABCA 1 IN 1 CON 1 - correggere il prisma e i punti P e P 1 - i centri delle sue basi. Allora il centro della palla O inscritta in questo prisma è il punto medio del segmento PP 1 . Consideriamo l'aereo RVV 1 . Poiché il prisma è regolare, PB giace sul segmento BN, che è la bisettrice e l'altezza ΔABC. Pertanto, l'aereo ed è il piano bisettore dell'angolo diedro sul bordo laterale dell'esplosivo 1 . Pertanto ogni punto di questo piano è equidistante dalle facce laterali di AA 1 BB 1 e SS 1 IN 1 B. In particolare la perpendicolare OK, abbassata dal punto O alla faccia ACC 1 UN 1 , si trova nel piano RVV 1 ed è uguale al segmento OP. Nota che KNPO è un quadrato, il cui lato è uguale al raggio della palla inscritta in un dato prisma. Sia O 1 - il centro della pallina tocca la pallina inscritta con centro O e le facce laterali AA 1 BB 1 e SS 1 IN 1 Nei prismi. Poi punto O 1 si trova sull'aereo RVV 1 , e la sua proiezione P 2 sul piano ABC giace sul segmento PB Secondo la condizione il lato della base è uguale , quindi PN = 2 e quindi anche il raggio della pallina OR inscritto nel prisma è pari a 2. Poiché le palline con centro nei punti O e O 1 si toccano, quindi il segmento OO 1 = O + O 1 R 2 . Indichiamo OP = r, O 1 R 2 =x. Considera ΔOO 1 T, dove In questo triangolo OO 1 = r + x, OT = r - x. Ecco perché Poiché la figura è O 1 R 2 RT è quindi un rettangolo Inoltre, per la proprietà delle mediane di un triangolo РВ = 2r e Р 2 B = 2x, perché in triangolo rettangolo e p 2 L = x. Poiché PB = PP 2 +R 2 B, quindi otteniamo l'equazione , da cui, tenendo conto della disuguaglianza x< r, находим Sostituendo il valore r = 2, troviamo finalmente Risposta:Sfera circoscritta ad un poliedro
Si dice che la sfera è circoscritta al poliedro, se tutti i suoi vertici giacciono su questa sfera. In questo caso si dice che il poliedro è inscritto nella sfera.Dalla definizione segue che se un poliedro ha una sfera circoscritta, allora tutte le sue facce sono poligoni inscritti e, quindi, non tutti i poliedri hanno una sfera circoscritta attorno a sé. Ad esempio, un parallelepipedo inclinato non ha una sfera circoscritta, perché È impossibile descrivere un cerchio attorno a un parallelogramma. Il centro di una sfera circoscritta a un prisma retto è il centro del segmento che collega i centri dei cerchi descritti attorno alle basi di un prisma retto. Esempio 7. Trovare il raggio di una sfera circoscritto attorno a un cubo se il volume del cubo è 27. Scrivi la risposta nel modulo Soluzione Volume del cubo spigolo del cubo a = 3. Secondo il teorema di Pitagora, la diagonale del cubo Quindi troviamo il raggio pari alla metà della diagonale del cubo: Scriviamo la risposta nel modulo Risposta: 1.5 Esempio 8. Una delle basi di un prisma triangolare regolare appartiene al cerchio massimo di una palla di raggio R, e i vertici dell'altra base appartengono alla superficie di questa palla. Determinare l'altezza del prisma alla quale il suo volume sarà massimo Soluzione
Perpendicolare al piano A 1 IN 1 CON 1 tracciato dal centro del cerchio circoscritto a questo triangolo passa per il centro della pallina. Indichiamo OB 1 = R, OB = R 1 , BB 1 = h = x. Quindi Troviamo la derivata e uguagliamola a zero. Noi abbiamo:Risposta:

XV CONFERIMENTO APERTO DEGLI STUDENTI CITTADINI

"INTELLETTUALI DEL XXI SECOLO"

Sezione: MATEMATICA

L'area descritta alle Olimpiadi e all'Esame di Stato Unificato

Kiyaeva Anna Anatolevna

Orenburg – 2008

1.2 Ambito descritto

1.2.1 Proprietà e definizioni fondamentali

1.2.2 Combinazione piramidale

1.2.3 Combinazione con prisma

1.2.4 Abbinamento con cilindro

1.2.5 Combinazione con cono

2 Esempi di compiti delle Olimpiadi

2.1 Esempi di compiti olimpici con una piramide

2.2 Esempi di compiti olimpici con un prisma

2.3 Esempi di compiti olimpici con un cilindro

2.4 Esempi di compiti olimpici con un cono

3.3 Esempi di compiti dell'Esame di Stato Unificato con un cilindro

3.4 Esempi di compiti dell'Esame di Stato Unificato con un cono

introduzione

Questo lavoro viene svolto nell'ambito di un progetto per la creazione di una pagina matematica per gli scolari sul sito web del collegio e sarà pubblicato nella sezione “Metodi matematici”.

Bersaglio lavoro: creare un libro di consultazione dedicato al metodo di soluzione problemi geometrici con l'ambito descritto alle Olimpiadi e all'Esame di Stato Unificato.

Per raggiungere questo obiettivo, dovevamo risolvere quanto segue compiti :

1) acquisire familiarità con il concetto di sfera descritta;

2) studiare le caratteristiche delle combinazioni della sfera descritta con piramide, prisma, cilindro e cono;

3) tra i problemi geometrici selezionare quelli che contengono la condizione per la presenza di una sfera descritta;

4) analizzare, sistematizzare e classificare il materiale raccolto;

5) effettuare una selezione di problemi per una soluzione indipendente;

6) presentare il risultato della ricerca sotto forma di abstract.

Durante la ricerca, abbiamo scoperto che i problemi con l'area descritta vengono spesso offerti agli scolari durante l'esame di stato unificato, quindi la capacità di risolvere problemi di questo tipo gioca un ruolo molto importante in completamento avvenuto con successo esami. Inoltre, i problemi con l'area descritta si riscontrano spesso alle olimpiadi di matematica a vari livelli. Esempi rilevanti sono forniti nel nostro lavoro. Questo argomentoÈ pertinente, poiché compiti di questo tipo di solito causano difficoltà agli scolari.

Significato pratico– i materiali che abbiamo preparato possono essere utilizzati nella preparazione degli scolari alle Olimpiadi, all’Esame di Stato Unificato e ai successivi studi universitari.

1 Sfera e palla

1.1 Sfera e palla: concetti base e definizioni

Sferaè una superficie costituita da tutti i punti dello spazio situati ad una data distanza da un dato punto.

Questo punto si chiama centro della sfera(punto DI nella fig. 1) e questa distanza raggio della sfera. Qualsiasi segmento che collega il centro e un punto qualsiasi della sfera è anche chiamato raggio della sfera. Viene chiamato il segmento che collega due punti su una sfera e passa per il suo centro diametro della sfera(segmento DC nella fig. 1). Si noti che una sfera può essere ottenuta ruotando un semicerchio attorno al suo diametro.

Palla si chiama corpo delimitato da una sfera. Vengono chiamati anche il centro, il raggio e il diametro di una sfera centro , raggio E diametro della sfera. Ovviamente, una palla di raggio R centrato a DI contiene tutti i punti nello spazio che si trovano a partire dal punto DI ad una distanza non superiore R(compreso il punto DI), e non contiene altri punti. Palla chiamata anche figura di rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. Segmento sferico- parte della palla tagliata da un aereo. Ogni sezione di una palla formata da un piano è un cerchio. Il centro di questo cerchio è la base della perpendicolare tracciata dal centro della palla sul piano di taglio. Si chiama l'aereo che passa per il centro della palla piano diametrale. Si chiama la sezione di una palla secondo il piano diametrale grande cerchio, e la sezione della sfera è grande cerchio. Settore palla – corpo geometrico che si ottiene facendo ruotare un settore circolare di angolo inferiore a 90° attorno ad una retta contenente uno dei raggi delimitanti il settore circolare. Il settore sferico è costituito da un segmento sferico e da un cono con base comune.

Area superficiale di una sfera:

S = 4π R 2 ,

Dove R– raggio della palla, S- area della sfera.

Volume della sfera

Dove V– volume della palla

Volume del settore della palla

V – volume del segmento sferico.

Superficie segmentale

- altezza del segmento, superficie del segmento

Raggio base del segmento

, - raggio base del segmento, - altezza del segmento, 0<H < 2R .

Superficie sferica di un segmento sferico

- area della superficie sferica del segmento sferico.

Nello spazio per una palla e un aereo sono possibili tre casi:

1) Se la distanza dal centro della palla al piano è maggiore del raggio della palla, allora la palla e il piano non hanno punti in comune.

2) Se la distanza dal centro della palla al piano è uguale al raggio della palla, allora il piano ha un solo punto in comune con la palla e la sfera che la delimita.

3) Se la distanza dal centro della palla al piano è inferiore al raggio della palla, l'intersezione della palla con il piano è un cerchio. Il centro di questo cerchio è la proiezione del centro della palla su un dato piano. L'intersezione del piano con la sfera è la circonferenza del cerchio specificato.

1.2 Sfera descritta

1.2.1 Definizioni e proprietà

La sfera si chiama descritto attorno al poliedro(e il poliedro lo è compreso nella sfera), se tutti i vertici del poliedro giacciono sulla sfera.

Dalla definizione della sfera descritta conseguono due fatti:

1) tutti i vertici di un poliedro inscritto in una sfera sono equidistanti da un certo punto (dal centro della sfera circoscritta);

2) ciascuna faccia di un poliedro inscritto in una sfera è un poligono inscritto in un certo cerchio, precisamente nel cerchio che è ricavato nella sezione della sfera dal piano della faccia; in questo caso le basi delle perpendicolari abbassate dal centro della sfera circoscritta al piano delle facce sono i centri di cerchi circoscritti alle facce.

Teorema 1 . Una sfera può essere descritta attorno a un poliedro se e solo se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

a) un cerchio può essere descritto attorno a qualsiasi faccia di un poliedro e gli assi dei cerchi descritti attorno alle facce del poliedro si intersecano in un punto;

b) i piani perpendicolari ai bordi del poliedro e passanti per i loro punti medi si intersecano in un punto;

c) esiste un unico punto equidistante da tutti i vertici del poliedro.

Prova.

Necessità. Descriviamo una sfera attorno al poliedro. Proviamo che la condizione a) è soddisfatta. Infatti, poiché il piano di una determinata faccia di un poliedro interseca una sfera lungo un cerchio, i vertici della faccia appartenenti alla sfera e il piano della faccia appartengono alla linea della loro intersezione: il cerchio. Poiché il centro della sfera è equidistante da tutti i vertici di una data faccia, esso giace su una perpendicolare a questa faccia tracciata attraverso il centro del cerchio circoscritto alla faccia.

Adeguatezza. Sia soddisfatta la condizione a). Dimostriamo che una sfera può essere descritta attorno ad un poliedro. Infatti, poiché il punto comune delle perpendicolari alle facce tracciate attraverso i centri dei cerchi circoscritti alle facce è equidistante da tutti i vertici del poliedro, attorno al poliedro viene descritta una sfera con centro in questo punto.

La condizione a) in questo caso equivale alle condizioni b) ec).

Se una sfera è circoscritta ad un poliedro, allora: a) la base di una perpendicolare lasciata dal centro della sfera a una faccia qualsiasi è il centro di un cerchio circoscritto a questa faccia (come la base dell'altezza di una piramide con uguale bordi laterali - i raggi della sfera tracciati dal suo centro ai vertici di una data faccia); b) il centro di una sfera circoscritta ad un poliedro può trovarsi all'interno del poliedro, sulla sua superficie (al centro di un cerchio circoscritto ad una faccia, in particolare al centro di qualche spigolo), all'esterno del poliedro.

1.2.2 Sfera circoscritta e piramide

Teorema 2 . Una sfera può essere descritta attorno a una piramide se e solo se è possibile descrivere un cerchio attorno alla sua base.

Prova. Descriviamo un cerchio attorno alla base della piramide. Quindi questo cerchio e un punto esterno al piano di questo cerchio - la sommità della piramide - definiscono un'unica sfera, che sarà circoscritta attorno alla piramide. E ritorno. Se una sfera è circoscritta ad una piramide, allora la sezione della sfera mediante il piano della base della piramide è un cerchio circoscritto alla base.

Corollario 1. Una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi tetraedro.

L'argomento "Diversi problemi su poliedri, cilindri, coni e sfere" è uno dei più difficili del corso di geometria dell'11a elementare. Prima di risolvere i problemi geometrici, di solito studiano le sezioni rilevanti della teoria a cui si fa riferimento quando si risolvono i problemi. Nel libro di testo di S. Atanasyan e altri su questo argomento (p. 138) si possono trovare solo le definizioni di poliedro descritto attorno a una sfera, poliedro inscritto in una sfera, sfera inscritta in un poliedro e sfera descritta attorno a un poliedro. Le raccomandazioni metodologiche per questo libro di testo (vedere il libro "Studying Geometry in Grades 10–11" di S.M. Sahakyan e V.F. Butuzov, p. 159) dicono quali combinazioni di corpi vengono prese in considerazione quando si risolvono i problemi n. 629–646 e si attira l'attenzione al fatto che "quando si risolve un particolare problema, prima di tutto, è necessario assicurarsi che gli studenti abbiano una buona comprensione delle posizioni relative dei corpi indicati nella condizione". Quella che segue è la soluzione ai problemi n. 638 (a) e n. 640.

Definizioni.

1. Una palla si dice inscritta in un poliedro e un poliedro descritto attorno ad una palla se la superficie della palla tocca tutte le facce del poliedro.

2. Una palla si dice circoscritta attorno a un poliedro, e un poliedro inscritto in una palla, se la superficie della palla passa per tutti i vertici del poliedro.

(Da questa definizione segue che il cerchio massimo di una palla può essere inscritto in una qualsiasi sezione assiale di questi corpi).

4. Una palla si dice circoscritta attorno a un cilindro, tronco di cono (cono), se i cerchi delle basi (cerchio di base e vertice) appartengono alla superficie della palla.

(Da questa definizione consegue che attorno a qualsiasi sezione assiale di questi corpi si può descrivere il cerchio di un cerchio più grande della palla).

Note generali sulla posizione del centro della palla.

1. Il centro di una palla inscritta in un poliedro si trova nel punto di intersezione dei piani bisettori di tutti gli angoli diedri del poliedro. Si trova solo all'interno del poliedro.

Combinazione di una sfera e un prisma.

1. Una palla inscritta in un prisma diritto.

Corollario 1. Il centro di una sfera inscritta in un prisma retto si trova nel punto medio dell'altezza del prisma passante per il centro del cerchio inscritto nella base.

2. Una sfera circoscritta attorno a un prisma.

Teorema 2. Una sfera può essere descritta attorno a un prisma se e solo se il prisma è diritto e attorno alla sua base si può descrivere un cerchio.

Corollario 1. Il centro di una sfera circoscritta ad un prisma rettilineo si trova nel punto medio dell'altezza del prisma passante per il centro di un cerchio circoscritto alla base.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) per la combinazione di una palla e un prisma.

Combinazione di una palla con una piramide.

1. Una palla descritta vicino a una piramide.

Teorema 3. Una palla può essere descritta attorno a una piramide se e solo se è possibile descrivere un cerchio attorno alla sua base.

2. Una palla inscritta in una piramide.

Teorema 4. Se le facce laterali della piramide hanno la stessa inclinazione rispetto alla base, in tale piramide è possibile inscrivere una palla.

Corollario 2. Puoi inserire una palla in una piramide regolare.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 per la combinazione di una palla con una piramide.

Combinazione di una palla con una piramide tronca.

1. Una palla circoscritta ad una piramide regolare tronca.

Teorema 5. Una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi piramide regolare troncata. (Questa condizione è sufficiente, ma non necessaria)

2. Una palla inscritta in una piramide regolare tronca.

Teorema 6. Una palla può essere inscritta in una piramide regolare tronca se e solo se l'apotema della piramide è uguale alla somma degli apotemi delle basi.

C'è solo un problema per la combinazione di una palla con una piramide tronca nel libro di testo di L.S. Atanasyan (n. 636).

Combinazione di sfere con corpi rotondi.

Teorema 7. Una sfera può essere descritta attorno a un cilindro, un tronco di cono (circolare rettilineo) o un cono.

Teorema 8. Una palla può essere inscritta in un cilindro (circolare rettilineo) se e solo se il cilindro è equilatero.

Teorema 9. Puoi inserire una palla in qualsiasi cono (circolare dritto).

Teorema 10. Una palla può essere inscritta in un tronco di cono (circolare rettilineo) se e solo se il suo generatore è uguale alla somma dei raggi delle basi.

Dal libro di testo di L.S. Atanasyan si possono suggerire i problemi n. 642, 643, 644, 645, 646 per la combinazione di una palla con corpi rotondi.

Per studiare con maggiore successo il materiale su questo argomento, è necessario includere compiti orali nelle lezioni: