Proprietà e grafico del peccato. Seno (sin x) e coseno (cos x) – proprietà, grafici, formule. Espressioni attraverso variabili complesse
GRAFICA DELLE FUNZIONI
Funzione seno
- un mucchio di R tutti i numeri reali.
Valori di funzioni multiple— segmento [-1; 1], cioè funzione seno - limitato.
Funzione strana: sin(−x)=−sen x per ogni x ∈ R.
La funzione è periodica
sin(x+2π k) = sin x, dove k ∈ Z per ogni x ∈ R.
peccato x = 0 per x = π·k, k ∈ Z.
peccato x > 0(positivo) per ogni x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
peccato x< 0 (negativo) per ogni x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Funzione coseno
Dominio delle funzioni- un mucchio di R tutti i numeri reali.
Valori di funzioni multiple— segmento [-1; 1], cioè funzione coseno - limitato.
Funzione pari: cos(−x)=cos x per ogni x ∈ R.
La funzione è periodica con il periodo positivo più piccolo 2π:
cos(x+2π K) = cos x, dove K ∈ Z per ogni x ∈ R.
| cosx = 0 A | |
| cos x > 0 per tutti |  |
| cos x< 0 per tutti |  |
| La funzione aumenta da −1 a 1 sugli intervalli: | |
| La funzione è decrescente da −1 a 1 sugli intervalli: | |
| Il valore più grande della funzione sin x = 1 nei punti: |  |
| Il valore più piccolo della funzione sin x = −1 nei punti: |
Funzione tangente
Valori di funzioni multiple— l'intera linea numerica, cioè tangente - funzione illimitato.
Funzione strana: tg(−x)=−tg x
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse OY.
La funzione è periodica con il periodo positivo più piccolo π, cioè tg(x+π K) = marrone chiaro x, K ∈ Z per tutti gli x dal dominio della definizione.
Funzione cotangente
Valori di funzioni multiple— l'intera linea numerica, cioè cotangente - funzione illimitato.
Funzione strana: ctg(−x)=−ctg x per tutti gli x dal dominio di definizione.Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse OY.
La funzione è periodica con il periodo positivo più piccolo π, cioè cotg(x+π K)=ctgx, K ∈ Z per tutti gli x dal dominio della definizione.
Funzione arcoseno
Dominio delle funzioni— segmento [-1; 1]
Valori di funzioni multiple- segmento -π /2 arcosen x π /2, cioè arcoseno - funzione limitato.
Funzione strana: arcsin(−x)=−arcsin x per ogni x ∈ R.
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.
In tutta l'area di definizione.
Funzione arcocoseno
Dominio delle funzioni— segmento [-1; 1]
Valori di funzioni multiple— segmento 0 arccos x π, cioè arcocoseno - funzione limitato.
La funzione è crescente su tutta l’area di definizione.
Funzione arcotangente
Dominio delle funzioni- un mucchio di R tutti i numeri reali.
Valori di funzioni multiple— segmento 0 π, cioè arcotangente - funzione limitato.
Funzione strana: arctg(−x)=−arctg x per ogni x ∈ R.
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.
La funzione è crescente su tutta l’area di definizione.
Funzione arcotangente
Dominio delle funzioni- un mucchio di R tutti i numeri reali.
Valori di funzioni multiple— segmento 0 π, cioè arcotangente - funzione limitato.
La funzione non è né pari né dispari.
Il grafico della funzione non è asimmetrico né rispetto all'origine delle coordinate, né rispetto all'asse Oy.
La funzione è decrescente su tutta l’area di definizione.
In questa lezione daremo uno sguardo dettagliato alla funzione y = sin x, alle sue proprietà di base e al grafico. All'inizio della lezione daremo la definizione della funzione trigonometrica y = sin t sul cerchio coordinato e considereremo il grafico della funzione sul cerchio e sulla retta. Mostriamo la periodicità di questa funzione sul grafico e consideriamo le principali proprietà della funzione. Alla fine della lezione risolveremo alcuni semplici problemi utilizzando il grafico di una funzione e le sue proprietà.
Argomento: funzioni trigonometriche
Lezione: Funzione y=sinx, sue proprietà di base e grafico
Quando si considera una funzione, è importante associare ciascun valore di argomento a un singolo valore di funzione. Questo legge della corrispondenza e si chiama funzione.
Definiamo la legge di corrispondenza per .
Qualsiasi numero reale corrisponde a un singolo punto sulla circonferenza unitaria, un punto ha un'unica ordinata, chiamata seno del numero (Fig. 1).
Ogni valore di argomento è associato a un singolo valore di funzione.
Proprietà ovvie seguono dalla definizione di seno.
La figura lo mostra 
Perché è l'ordinata di un punto sulla circonferenza unitaria.
Consideriamo il grafico della funzione. Ricordiamo l'interpretazione geometrica dell'argomento. L'argomento è l'angolo al centro, misurato in radianti. Lungo l'asse tracceremo i numeri reali o gli angoli in radianti, lungo l'asse i valori corrispondenti della funzione.
Ad esempio, un angolo sulla circonferenza unitaria corrisponde a un punto sul grafico (Fig. 2)
Abbiamo ottenuto un grafico della funzione nell'area, ma conoscendo il periodo del seno, possiamo rappresentare il grafico della funzione sull'intero dominio di definizione (Fig. 3).
Il periodo principale della funzione è Ciò significa che il grafico può essere ottenuto su un segmento e poi continuato per tutto il dominio di definizione.
Consideriamo le proprietà della funzione:
1) Ambito della definizione:
2) Intervallo di valori: 
3) Funzione strana:
4) Periodo positivo più piccolo:
5) Coordinate dei punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse: 
6) Coordinate del punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate:
7) Intervalli in cui la funzione assume valori positivi:
8) Intervalli in cui la funzione assume valori negativi:
9) Intervalli crescenti:
10) Intervalli decrescenti:
11) Punteggio minimo: 
12) Funzioni minime:
13) Punteggio massimo: 
14) Funzioni massime:
Abbiamo esaminato le proprietà della funzione e il suo grafico. Le proprietà verranno utilizzate ripetutamente durante la risoluzione dei problemi.
Bibliografia
1. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro di testo per istituti di istruzione generale (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2009.
2. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra e analisi matematica per il decimo anno (libro di testo per studenti di scuole e classi con studio approfondito della matematica) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studio approfondito dell'algebra e dell'analisi matematica.-M.: Education, 1997.
5. Raccolta di problemi di matematica per i candidati agli istituti di istruzione superiore (a cura di M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulatore algebrico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi di algebra e principi di analisi (un manuale per gli studenti delle classi 10-11 degli istituti di istruzione generale) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi: libro di testo. indennità per 10-11 gradi. con profondità studiato Matematica.-M.: Educazione, 2006.
Compiti a casa
Algebra e inizio analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (livello di profilo), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Risorse web aggiuntive
3. Portale didattico per la preparazione agli esami ().
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Il ferro arrugginisce senza trovare alcuna utilità,
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Leonardo Da Vinci
Tecnologie utilizzate: apprendimento basato sui problemi, pensiero critico, comunicazione comunicativa.
Obiettivi:
- Sviluppo dell'interesse cognitivo per l'apprendimento.
- Studio delle proprietà della funzione y = sin x.
- Formazione di abilità pratiche nella costruzione di un grafico della funzione y = sin x basato sul materiale teorico studiato.
Compiti:
1. Utilizzare il potenziale esistente della conoscenza sulle proprietà della funzione y = sin x in situazioni specifiche.
2. Applicare la creazione consapevole di connessioni tra modelli analitici e geometrici della funzione y = sin x.
Sviluppare iniziativa, una certa volontà e interesse nel trovare una soluzione; la capacità di prendere decisioni, non fermarsi qui e difendere il proprio punto di vista.
Promuovere negli studenti l'attività cognitiva, il senso di responsabilità, il rispetto reciproco, la comprensione reciproca, il sostegno reciproco e la fiducia in se stessi; cultura della comunicazione.
Durante le lezioni
Fase 1. Aggiornare le conoscenze di base, motivare l'apprendimento di nuovo materiale
"Entrando nella lezione."
Ci sono 3 affermazioni scritte alla lavagna:
- L'equazione trigonometrica sin t = a ha sempre soluzioni.
- Il grafico di una funzione dispari può essere costruito utilizzando una trasformazione di simmetria attorno all'asse Oy.
- Una funzione trigonometrica può essere rappresentata graficamente utilizzando una semionda principale.
Gli studenti discutono in coppia: le affermazioni sono vere? (1 minuto). I risultati della discussione iniziale (sì, no) vengono poi inseriti nella tabella nella colonna "Prima".
L'insegnante stabilisce gli scopi e gli obiettivi della lezione.
2. Aggiornamento delle conoscenze (frontalmente su un modello di cerchio trigonometrico).
Abbiamo già conosciuto la funzione s = sin t.
1) Quali valori può assumere la variabile t. Qual è lo scopo di questa funzione?
2) In quale intervallo sono contenuti i valori dell'espressione sin t? Trova i valori più grande e più piccolo della funzione s = sin t.
3) Risolvi l'equazione sin t = 0.
4) Cosa succede all'ordinata di un punto mentre si sposta lungo il primo quarto? (l'ordinata aumenta). Cosa succede all'ordinata di un punto mentre si sposta lungo il secondo quarto? (l'ordinata diminuisce gradualmente). Come si collega questo alla monotonia della funzione? (la funzione s = sin t aumenta sul segmento e diminuisce sul segmento ).
5) Scriviamo la funzione s = sin t nella forma che ci è familiare y = sin x (la costruiremo nel consueto sistema di coordinate xOy) e compiliamo una tabella dei valori di questa funzione.
| X | 0 | ||||||
| A | 0 | 1 | 0 |
Fase 2. Percezione, comprensione, consolidamento primario, memorizzazione involontaria
Fase 4. Sistematizzazione primaria delle conoscenze e dei metodi di attività, loro trasferimento e applicazione in nuove situazioni
6. N. 10.18 (b,c)
Fase 5. Controllo finale, correzione, valutazione e autovalutazione
7. Ritorniamo alle affermazioni (inizio della lezione), discutiamo dell'utilizzo delle proprietà della funzione trigonometrica y = sin x e compiliamo la colonna "Dopo" nella tabella.
8. D/z: clausola 10, No. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Definizione geometrica di seno e coseno
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - angolo espresso in radianti.
Seno (seno α)è una funzione trigonometrica dell'angolo α compreso tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AB|.
Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dell'angolo α compreso tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AB|.
Definizione trigonometrica
Usando le formule sopra, puoi trovare il seno e il coseno di un angolo acuto. Ma devi imparare come calcolare il seno e il coseno di un angolo di dimensione arbitraria. Un triangolo rettangolo non offre tale opportunità (non può avere un angolo ottuso, per esempio); Pertanto, abbiamo bisogno di una definizione più generale di seno e coseno, che contenga queste formule come caso speciale.
Il cerchio trigonometrico viene in soccorso. Sia dato un certo angolo; corrisponde al punto omonimo sul cerchio trigonometrico.
Riso. 2. Definizione trigonometrica di seno e coseno
Il coseno di un angolo è l'ascissa di un punto. Il seno di un angolo è l'ordinata di un punto.
Nella fig. 2, l'angolo è considerato acuto, ed è facile comprendere che questa definizione coincide con la definizione geometrica generale. Infatti vediamo un triangolo rettangolo con ipotenusa unitaria O e angolo acuto. La gamba adiacente di questo triangolo è cos (confronta con Fig. 1) e allo stesso tempo l'ascissa del punto; il lato opposto è il peccato (come in Fig. 1) e allo stesso tempo l'ordinata del punto.
Ma ora non siamo più vincolati al primo trimestre e abbiamo l’opportunità di estendere questa definizione a qualsiasi angolazione. Nella fig. La figura 3 mostra quali sono il seno e il coseno di un angolo nel secondo, terzo e quarto quarto.
Riso. 3. Seno e coseno nel II, III e IV quarto
Valori della tabella di seno e coseno
Angolo zero \(\LARGE 0^(\circ ) \)
L'ascissa del punto 0 è uguale a 1, l'ordinata del punto 0 è uguale a 0. Quindi,
cos 0 = 1 peccato 0 = 0
Fig 4. Angolo zero
Angolo \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Vediamo un triangolo rettangolo con l'ipotenusa unitaria e un angolo acuto di 30°. Come sai, il cateto opposto all'angolo 30° è pari alla metà dell'ipotenusa 1; in altre parole, la gamba verticale è pari a 1/2 e, quindi,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Troviamo la gamba orizzontale utilizzando il teorema di Pitagora (o, che è lo stesso, troviamo il coseno utilizzando l'identità trigonometrica di base):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Perché accade questo? Taglia un triangolo equilatero con il lato 2 lungo la sua altezza! Si dividerà in due triangoli rettangoli con ipotenusa pari a 2, angolo acuto pari a 30° e cateto più corto pari a 1.
Fig 5. Angolo π/6
Angolo \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
In questo caso il triangolo rettangolo è isoscele; Il seno e il coseno di un angolo di 45° sono uguali tra loro. Indichiamoli con x per ora. Abbiamo:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
da cui \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Quindi,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Fig 5. Angolo π/4
Proprietà di seno e coseno
Notazioni accettate
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\(((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\(((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Periodicità
Le funzioni y = sin x e y = cos x sono periodiche con un periodo di 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Parità
La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Aree di definizione e valori, estremi, aumento, diminuzione
Le proprietà di base di seno e coseno sono presentate nella tabella ( N- Totale).
| \(\piccolo< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Discendente | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\piccolo< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Massimi, \(\piccolo x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\piccolo x = 2\pi n\) | |
| Minimi, \(\piccolo x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\piccolo x = \) \(\piccolo \pi + 2\pi n \) | |
| Zeri, \(\piccolo x = \pi n\) | \(\piccolo x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Punti di intersezione dell'asse Y, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formule fondamentali contenenti seno e coseno
Somma dei quadrati
\(\sen^2x + \cos^2x = 1\)
Formule seno e coseno per somma e differenza
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\sinistra(\dfrac(\pi)2 - x \destra) = \sin x \) ; \(\sin\sinistra(\dfrac(\pi)2 - x \destra) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Formule per il prodotto di seni e coseni
\(\peccato x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Grande [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Grande ]) \)
\(\peccato x \peccato y = \) \(\dfrac12 (\Grande [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Grande ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Grande [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Grande ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Grande [) 1 - \cos 2x (\Grande ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Grande [) 1 + \cos 2x (\Grande ]) \)
Formule di somma e differenza
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Esprimere seno attraverso coseno
\(\sin x = \cos\sinistra(\dfrac(\pi)2 - x \destra) = \)\(\cos\sinistra(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\sinistra(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sen^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sen x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sen x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Esprimere coseno attraverso seno
\(\cos x = \sin\sinistra(\dfrac(\pi)2 - x \destra) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \peccato^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Espressione attraverso la tangente
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
A \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
A \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti
Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per determinati valori dell'argomento.
[ stile img="larghezza massima:500px;altezza massima:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabella dei seni e coseni" title="Tavola dei seni e coseni" ]!}
Espressioni attraverso variabili complesse
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
La formula di Eulero
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Espressioni mediante funzioni iperboliche
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Derivati
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Formule di derivazione > > >
Derivati dell'ennesimo ordine:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sinistra(\cos x \destra)^((n)) = \cos\sinistra(x + n\dfrac(\pi)2 \destra) \).
Integrali
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Vedi anche la sezione Tavola degli integrali indefiniti >>>
Espansioni di serie
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Secante, cosecante
\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Funzioni inverse
Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcocoseno.
Arcoseno, arcoseno
\(y = \arcoseno x\) \(\sinistra\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcosin x) = x\)
\(\arcsen(\sen x) = x\) \(\sinistra\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arcocoseno, arccos
\(y = \arcos x\) \(\sinistra\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arcos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arcos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
Per eseguire i calcoli è necessario abilitare i controlli ActiveX!
>>Matematica: Funzioni y = sin x, y = cos x, loro proprietà e grafici
Funzioni y = sin x, y = cos x, loro proprietà e grafici
In questa sezione discuteremo alcune proprietà delle funzioni y = sin x, y = cos x e costruiremo i loro grafici.
1. Funzione y = sin X.
Sopra, nel § 20, abbiamo formulato una regola che permette di associare ad ogni numero t un numero di costo, cioè caratterizzato la funzione y = sin t. Notiamo alcune delle sue proprietà.
Proprietà della funzione u = sin t.
Il dominio di definizione è l'insieme K dei numeri reali.
Ciò deriva dal fatto che qualsiasi numero 2 corrisponde ad un punto M(1) sul cerchio numerico, che ha un'ordinata ben definita; questa ordinata è il costo.
u = sin t è una funzione dispari.
Ciò consegue dal fatto che, come dimostrato nel § 19, per ogni t vale l'uguaglianza
Ciò significa che il grafico della funzione u = sin t, come il grafico di qualsiasi funzione dispari, è simmetrico rispetto all'origine nel sistema di coordinate rettangolari tOi.
La funzione u = sin t aumenta nell'intervallo 
Ciò deriva dal fatto che quando un punto si sposta lungo il primo quarto del cerchio numerico, l'ordinata aumenta gradualmente (da 0 a 1 - vedi Fig. 115), e quando il punto si sposta lungo il secondo quarto del cerchio numerico, l'ordinata aumenta gradualmente (da 0 a 1 - vedi Fig. 115), l'ordinata diminuisce gradualmente (da 1 a 0 - vedi Fig. 116).
La funzione u = sint è limitata sia inferiormente che superiormente. Ciò deriva dal fatto che, come abbiamo visto nel § 19, per qualsiasi t vale la disuguaglianza
(la funzione raggiunge questo valore in qualsiasi punto della forma 
(la funzione raggiunge questo valore in qualsiasi punto della forma
Utilizzando le proprietà ottenute, costruiremo un grafico della funzione che ci interessa. Ma (attenzione!) invece di u - sin t scriveremo y = sin x (dopotutto siamo più abituati a scrivere y = f(x), e non u = f(t)). Ciò significa che costruiremo un grafico nel solito sistema di coordinate xOy (e non tOy).
Facciamo una tabella dei valori della funzione y - sin x:
Commento.
Diamo una delle versioni dell'origine del termine "seno". In latino sinus significa piegare (corda dell'arco).
Il grafico costruito in una certa misura giustifica questa terminologia. 
La linea che funge da grafico della funzione y = sin x è chiamata onda sinusoidale. La parte della sinusoide mostrata in Fig. 118 o 119 è chiamata onda sinusoidale e quella parte dell'onda sinusoidale mostrata in Fig. 117, è chiamata semionda o arco di onda sinusoidale.
2. Funzione y = cos x.
Lo studio della funzione y = cos x potrebbe essere effettuato approssimativamente secondo lo stesso schema utilizzato sopra per la funzione y = sin x. Ma sceglieremo il percorso che porta all'obiettivo più velocemente. Per prima cosa dimostreremo due formule che sono importanti di per sé (lo vedrai alle scuole superiori), ma che per ora hanno solo un significato ausiliario per i nostri scopi.
Per qualsiasi valore di t valgono le seguenti uguaglianze:
Prova. Lascia che il numero t corrisponda al punto M del cerchio numerico n e il numero * + - punto P (Fig. 124; per semplicità, abbiamo preso il punto M nel primo quarto). Gli archi AM e BP sono uguali, e corrispondentemente sono uguali i triangoli rettangoli OKM e OLBP. Ciò significa O K = Ob, MK = Pb. Da queste uguaglianze e dalla posizione dei triangoli OCM e OBP nel sistema di coordinate, traiamo due conclusioni:
1) l'ordinata del punto P coincide sia in modulo che in segno con l'ascissa del punto M; significa che
2) l'ascissa del punto P è uguale in valore assoluto all'ordinata del punto M, ma differisce da essa in segno; significa che
Più o meno lo stesso ragionamento si effettua nei casi in cui il punto M non appartiene al primo trimestre.
Usiamo la formula 
(questa è la formula dimostrata sopra, solo che al posto della variabile t usiamo la variabile x). Cosa ci offre questa formula? Ci permette di affermare che le funzioni
sono identici, il che significa che i loro grafici coincidono.
Tracciamo la funzione 
Per fare ciò, passiamo a un sistema di coordinate ausiliario con l'origine in un punto (la linea tratteggiata è disegnata in Fig. 125). Leghiamo la funzione y = sin x al nuovo sistema di coordinate: questo sarà il grafico della funzione 
(Fig. 125), cioè grafico della funzione y - cos x. Essa, come il grafico della funzione y = sin x, è chiamata onda sinusoidale (il che è del tutto naturale).
Proprietà della funzione y = cos x.
y = cos x è una funzione pari.
Le fasi costruttive sono mostrate in Fig. 126:
1) costruire un grafico della funzione y = cos x (più precisamente una semionda);
2) allungando il grafico costruito dall'asse x con un fattore 0,5, otteniamo una semionda del grafico richiesto;
3) utilizzando la semionda risultante, costruiamo l'intero grafico della funzione y = 0,5 cos x.
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