La variabile casuale è data dalla funzione di distribuzione; trova la costante. Aspettativa di una variabile casuale continua

VARIABILI CASUALI

Esempio 2.1. Valore casuale X dato dalla funzione di distribuzione

Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà i valori contenuti nell'intervallo (2.5; 3.6).

Soluzione: X nell'intervallo (2.5; 3.6) può essere determinato in due modi:

Esempio 2.2. A quali valori dei parametri UN E IN funzione F(X) = A + Be - x può essere una funzione di distribuzione per valori non negativi variabile casuale X.

Soluzione: Poiché tutti i possibili valori della variabile casuale X appartengono all'intervallo , quindi affinché la funzione sia una funzione di distribuzione per X, la proprietà deve essere soddisfatta:

Risposta: .

Esempio 2.3. La variabile casuale X è specificata dalla funzione di distribuzione

Trova la probabilità che, come risultato di quattro test indipendenti, il valore X esattamente 3 volte assumerà un valore appartenente all'intervallo (0,25;0,75).

Soluzione: Probabilità di raggiungere un valore X nell'intervallo (0,25;0,75) troviamo utilizzando la formula:

Esempio 2.4. La probabilità che la palla colpisca il canestro con un tiro è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di colpi con tre lanci.

Soluzione: Valore casuale X– il numero di colpi nel canestro con tre tiri – può assumere i seguenti valori: 0, 1, 2, 3. Probabilità che X

Esempio 2.5. Due tiratori sparano ciascuno un colpo contro un bersaglio. La probabilità che il primo tiratore lo colpisca è 0,5, il secondo - 0,4. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio.

Soluzione: Troviamo la legge della distribuzione di una variabile casuale discreta X– numero di colpi sul bersaglio. Lascia che l'evento sia il primo tiratore che colpisce il bersaglio, e lascia che il secondo tiratore colpisca il bersaglio, e siano rispettivamente i loro errori.

Componiamo la legge della distribuzione di probabilità di SV X:

Esempio 2.6. Vengono testati tre elementi, che funzionano indipendentemente l'uno dall'altro. La durata del tempo (in ore) di funzionamento senza guasti degli elementi ha una funzione di densità di distribuzione: per i primi: F 1 (T) =1-e- 0,1 T, per il secondo: F 2 (T) = 1-e- 0,2 T, per il terzo: F 3 (T) =1-e- 0,3 T. Trova la probabilità che nell'intervallo di tempo da 0 a 5 ore: solo un elemento fallisca; solo due elementi falliranno; tutti e tre gli elementi falliranno.

Soluzione: Usiamo la definizione della funzione generatrice di probabilità:

La probabilità che in prove indipendenti, nella prima delle quali la probabilità che si verifichi un evento UN uguale a , nel secondo, ecc., evento UN appare esattamente una volta, pari al coefficiente di espansione della funzione generatrice in potenze di . Troviamo le probabilità di guasto e di mancato guasto rispettivamente del primo, secondo e terzo elemento nell'intervallo di tempo da 0 a 5 ore:

Creiamo una funzione generatrice:

Il coefficiente at è uguale alla probabilità che si verifichi l'evento UN apparirà esattamente tre volte, cioè la probabilità di fallimento di tutti e tre gli elementi; il coefficiente at è pari alla probabilità che esattamente due elementi falliscano; il coefficiente at è uguale alla probabilità che un solo elemento fallisca.

Esempio 2.7. Data la densità di probabilità F(X)variabile casuale X:

Trova la funzione di distribuzione F(x).

Soluzione: Usiamo la formula:

Pertanto, la funzione di distribuzione è simile a:

Esempio 2.8. Il dispositivo è composto da tre elementi funzionanti in modo indipendente. La probabilità di fallimento di ciascun elemento in un esperimento è 0,1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di elementi falliti in un esperimento.

Soluzione: Valore casuale X– il numero di elementi che hanno fallito in un esperimento – può assumere i seguenti valori: 0, 1, 2, 3. Probabilità che X assume questi valori, troviamo utilizzando la formula di Bernoulli:

Pertanto, otteniamo la seguente legge sulla distribuzione di probabilità di una variabile casuale X:

Esempio 2.9. In un lotto di 6 parti ce ne sono 4 standard. 3 parti sono state selezionate a caso. Elaborare una legge di distribuzione del numero di parti standard tra quelle selezionate.

Soluzione: Valore casuale X– il numero di parti standard tra quelle selezionate – può assumere i seguenti valori: 1, 2, 3 ed ha una distribuzione ipergeometrica. Probabilità che X

Dove -- numero di pezzi nel lotto;

-- numero di parti standard in un lotto;

– numero di parti selezionate;

-- numero di parti standard tra quelle selezionate.

Esempio 2.10. La variabile casuale ha una densità di distribuzione

e non sono noti, ma , a e . Trova e.

Soluzione: IN in questo caso valore casuale X ha una distribuzione triangolare (distribuzione di Simpson) sull'intervallo [ un, b]. Caratteristiche numeriche X:

Quindi, . Decidere questo sistema, otteniamo due coppie di valori: . Poiché a seconda delle condizioni del problema, abbiamo finalmente: .

Risposta: .

Esempio 2.11. In media il 10% dei contratti Compagnia assicurativa paga gli importi assicurativi in relazione al verificarsi di un evento assicurato. Calcolare l'aspettativa matematica e la dispersione del numero di tali contratti tra quattro selezionati casualmente.

Soluzione: L'aspettativa matematica e la varianza possono essere trovate utilizzando le formule:

Possibili valori di SV (numero di contratti (su quattro) con il verificarsi di un evento assicurato): 0, 1, 2, 3, 4.

Usiamo la formula di Bernoulli per calcolare le probabilità vari numeri contratti (su quattro) per i quali sono state pagate le somme assicurate:

La serie di distribuzione IC (il numero di contratti con il verificarsi di un evento assicurato) ha la forma:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Risposta: , .

Esempio 2.12. Delle cinque rose, due sono bianche. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale che esprima il numero di rose bianche tra due prese contemporaneamente.

Soluzione: In una selezione di due rose, potrebbe non esserci alcuna rosa bianca oppure potrebbero esserci una o due rose bianche. Quindi la variabile casuale X può assumere valori: 0, 1, 2. Probabilità che X assume questi valori, lo troviamo utilizzando la formula:

Dove -- numero di rose;

-- numero di rose bianche;

– numero di rose prese contemporaneamente;

-- il numero di rose bianche tra quelle prese.

Quindi la legge di distribuzione della variabile casuale sarà la seguente:

Esempio 2.13. Delle 15 unità assemblate, 6 richiedono una lubrificazione aggiuntiva. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di unità che necessitano di lubrificazione aggiuntiva tra cinque selezionate casualmente dal numero totale.

Soluzione: Valore casuale X– il numero di unità che necessitano di lubrificazione aggiuntiva tra le cinque selezionate – può assumere i seguenti valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ed ha una distribuzione ipergeometrica. Probabilità che X assume questi valori, lo troviamo utilizzando la formula:

Dove -- numero di unità assemblate;

-- il numero di unità che richiedono lubrificazione aggiuntiva;

– numero di unità selezionate;

-- il numero di unità che necessitano di lubrificazione aggiuntiva tra quelle selezionate.

Quindi la legge di distribuzione della variabile casuale sarà la seguente:

Esempio 2.14. Dei 10 orologi ricevuti in riparazione, 7 necessitano di una pulizia generale del meccanismo. Gli orologi non sono ordinati per tipo di riparazione. Il maestro, volendo trovare orologi che necessitano di pulizia, li esamina uno per uno e, dopo averli trovati, interrompe l'ulteriore visione. Trova l'aspettativa matematica e la varianza del numero di ore guardate.

Soluzione: Valore casuale X– il numero di unità che necessitano di lubrificazione aggiuntiva tra le cinque selezionate – può assumere i seguenti valori: 1, 2, 3, 4. Probabilità che X assume questi valori, lo troviamo utilizzando la formula:

Quindi la legge di distribuzione della variabile casuale sarà la seguente:

Calcoliamo ora le caratteristiche numeriche della quantità:

Risposta: , .

Esempio 2.15. L'abbonato ha dimenticato l'ultima cifra del numero di telefono di cui ha bisogno, ma ricorda che è dispari. Trovare l'aspettativa matematica e la varianza del numero di volte in cui compone un numero di telefono prima di raggiungere il numero desiderato, se compone l'ultima cifra a caso e non compone successivamente la cifra selezionata.

Soluzione: La variabile casuale può assumere i seguenti valori: . Poiché l'abbonato non comporrà la cifra composta in futuro, le probabilità di questi valori sono uguali.

Compiliamo una serie di distribuzioni di una variabile casuale:


	0,2

Calcoliamo l'aspettativa matematica e la varianza del numero di tentativi di chiamata:

Risposta: , .

Esempio 2.16. La probabilità di guasto durante i test di affidabilità per ciascun dispositivo della serie è uguale a P. Determinare l'aspettativa matematica del numero di dispositivi che si guastavano se venivano testati N dispositivi.

Soluzione: La variabile casuale discreta X è il numero di dispositivi guasti in N test indipendenti, in ciascuno dei quali la probabilità di fallimento è uguale P, distribuiti secondo la legge binomiale. Valore atteso distribuzione binomialeè uguale al prodotto del numero di prove per la probabilità che un evento si verifichi in una prova:

Esempio 2.17. Variabile casuale discreta X assume 3 possibili valori: con probabilità ; con probabilità e con probabilità. Trovare e , sapendo che M( X) = 8.

Soluzione: Usiamo le definizioni di aspettativa matematica e la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta:

Noi troviamo: .

Esempio 2.18. Il reparto di controllo tecnico verifica la standardizzazione dei prodotti. La probabilità che il prodotto sia standard è 0,9. Ogni lotto contiene 5 prodotti. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X– il numero di lotti, ciascuno dei quali contiene esattamente 4 prodotti standard, se 50 lotti sono soggetti a ispezione.

Soluzione: In questo caso, tutti gli esperimenti condotti sono indipendenti e le probabilità che ogni lotto contenga esattamente 4 prodotti standard sono le stesse, pertanto l'aspettativa matematica può essere determinata dalla formula:

dov'è il numero dei partiti;

La probabilità che un lotto contenga esattamente 4 prodotti standard.

Troviamo la probabilità utilizzando la formula di Bernoulli:

Risposta: .

Esempio 2.19. Trova la varianza di una variabile casuale X– numero di occorrenze dell'evento UN in due prove indipendenti, se le probabilità che si verifichi un evento in queste prove sono le stesse e questo è noto M(X) = 0,9.

Soluzione: Il problema può essere risolto in due modi.

1) Possibili valori di SV X: 0, 1, 2. Utilizzando la formula di Bernoulli, determiniamo le probabilità di questi eventi:

, , .

Poi la legge sulla distribuzione X ha la forma:

Dalla definizione di aspettativa matematica, determiniamo la probabilità:

Troviamo la dispersione di SV X:

2) Puoi usare la formula:

Risposta: .

Esempio 2.20. Aspettativa e deviazione standard di una variabile casuale normalmente distribuita X rispettivamente pari a 20 e 5. Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà il valore contenuto nell'intervallo (15; 25).

Soluzione: Probabilità di incontrare una variabile casuale normale X sulla sezione da a è espressa tramite la funzione di Laplace:

Esempio 2.21. Data la funzione:

A quale valore del parametro C questa funzione è la densità di distribuzione di una variabile casuale continua X? Trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale X.

Soluzione: Affinché una funzione sia la densità di distribuzione di una variabile casuale, deve essere non negativa e deve soddisfare la proprietà:

Quindi:

Calcoliamo l'aspettativa matematica utilizzando la formula:

Calcoliamo la varianza utilizzando la formula:

T è uguale P. È necessario trovare l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.

Soluzione: La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X - il numero di occorrenze di un evento in prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità che l'evento si verifichi è uguale a , è detta binomiale. L'aspettativa matematica della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità che si verifichi l'evento A in una prova:

Esempio 2.25. Vengono sparati tre colpi indipendenti verso il bersaglio. La probabilità di colpire ogni colpo è 0,25. Determina la deviazione standard del numero di colpi con tre colpi.

Soluzione: Poiché vengono eseguite tre prove indipendenti, e la probabilità che si verifichi l'evento A (un colpo a segno) in ciascuna prova è la stessa, assumeremo che la variabile casuale discreta X - il numero di colpi sul bersaglio - sia distribuita secondo la legge binomiale.

La varianza della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità che si verifichi o meno un evento in una prova:

Esempio 2.26. Il numero medio di clienti che visitano una compagnia assicurativa in 10 minuti è tre. Trova la probabilità che almeno un cliente arrivi nei prossimi 5 minuti.

Numero medio di clienti che arrivano in 5 minuti: . .

Esempio 2.29. Il tempo di attesa di un'applicazione nella coda del processore obbedisce ad una legge di distribuzione esponenziale con un valore medio di 20 secondi. Trova la probabilità che la successiva richiesta (casuale) attenda sul processore per più di 35 secondi.

Soluzione: In questo esempio, l'aspettativa matematica e il tasso di fallimento è pari a .

Quindi la probabilità desiderata:

Esempio 2.30. Un gruppo di 15 studenti si riunisce in una sala con 20 file da 10 posti ciascuna. Ogni studente prende posto nella sala in modo casuale. Qual è la probabilità che non più di tre persone si trovino al settimo posto della fila?

Soluzione:

Esempio 2.31.

Quindi, secondo la definizione classica di probabilità:

Dove -- numero di pezzi nel lotto;

-- numero di parti non standard nel lotto;

– numero di parti selezionate;

-- numero di parti non standard tra quelle selezionate.

Quindi la legge di distribuzione della variabile casuale sarà la seguente.

Densità di distribuzione probabilità X chiamare la funzione f(x)– la derivata prima della funzione di distribuzione F(x):

Il concetto di densità di distribuzione di probabilità di una variabile casuale X Per valore discreto non applicabile.

Densità della distribuzione di probabilità f(x)– chiamata funzione di distribuzione differenziale:

Proprietà 1. La densità di distribuzione è una quantità non negativa:

Proprietà 2. Integrale improprio dalla densità di distribuzione nell'intervallo da a è uguale all'unità:

Esempio 1.25. Data la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X:

f(x).

Soluzione: La densità di distribuzione è uguale alla derivata prima della funzione di distribuzione:

1. Data la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X:

Trova la densità di distribuzione.

2. Viene data la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X:

Trova la densità di distribuzione f(x).

1.3. Caratteristiche numeriche dell'aleatorio continuo

le quantità

Valore atteso variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono all'intero asse OH, è determinato dall'uguaglianza:

Si supponga che l'integrale converga assolutamente.

un, b), Quello:

f(x)– densità di distribuzione di una variabile casuale.

Dispersione variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono all'intero asse, è determinato dall'uguaglianza:

Un caso speciale. Se i valori di una variabile casuale appartengono all'intervallo ( un, b), Quello:

La probabilità che X assumerà valori appartenenti all'intervallo ( un, b), è determinato dall'uguaglianza:

Esempio 1.26. Variabile casuale continua X

Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la probabilità di trovare una variabile casuale X nell'intervallo (0;0,7).

Soluzione: La variabile casuale è distribuita nell'intervallo (0,1). Determiniamo la densità di distribuzione di una variabile casuale continua X:

a) Aspettativa matematica :

b) Varianza

Compiti per lavoro indipendente:

1. Variabile casuale X data dalla funzione di distribuzione:

M(x);

b) varianza D(x);

X nell'intervallo (2,3).

2. Variabile casuale X

Trova: a) aspettativa matematica M(x);

b) varianza D(x);

c) determinare la probabilità che una variabile casuale si verifichi X nell'intervallo (1;1.5).

3. Variabile casuale Xè dato dalla funzione di distribuzione cumulativa:

Trova: a) aspettativa matematica M(x);

b) varianza D(x);

c) determinare la probabilità che una variabile casuale si verifichi X nell'intervallo

1.4. Leggi della distribuzione di una variabile casuale continua

1.4.1. Distribuzione uniforme

Variabile casuale continua X ha una distribuzione uniforme sul segmento [ un, b], se su questo segmento la densità della distribuzione di probabilità della variabile casuale è costante, e al di fuori di esso è uguale a zero, cioè:

Riso. 4.

; ; .

Esempio 1.27. Un autobus su un determinato percorso si muove uniformemente a intervalli di 5 minuti. Trova la probabilità che una variabile casuale distribuita uniformemente X– il tempo di attesa dell’autobus sarà inferiore a 3 minuti.

Soluzione: Valore casuale X– uniformemente distribuiti nell'intervallo .

Densità di probabilità: .

Affinché il tempo di attesa non superi i 3 minuti, il passeggero deve presentarsi alla fermata entro 2-5 minuti dalla partenza dell'autobus precedente, ovvero valore casuale X deve rientrare nell'intervallo (2;5). Quello. probabilità richiesta:

Compiti per lavoro indipendente:

1. a) trovare la speranza matematica di una variabile casuale X distribuito uniformemente nell'intervallo (2;8);

b) trovare la varianza e la deviazione standard della variabile casuale X, distribuiti uniformemente nell'intervallo (2;8).

2. La lancetta dei minuti di un orologio elettrico si muove bruscamente allo scadere di ogni minuto. Trova la probabilità che in un dato momento l'orologio indichi un'ora che differisce dall'ora reale di non più di 20 secondi.

1.4.2. Distribuzione esponenziale

Variabile casuale continua Xè distribuito secondo la legge esponenziale se la sua densità di probabilità ha la forma:

dove è il parametro della distribuzione esponenziale.

Così

Riso. 5.

Caratteristiche numeriche:

Esempio 1.28. Valore casuale X– tempo di funzionamento di una lampadina - ha una distribuzione esponenziale. Determina la probabilità che il tempo di funzionamento della lampadina sia di almeno 600 ore se il tempo di funzionamento medio è di 400 ore.

Soluzione: Secondo le condizioni del problema, l'aspettativa matematica di una variabile casuale X equivale a 400 ore, quindi:

;

La probabilità richiesta, dove

Finalmente:

Compiti per lavoro indipendente:

1. Scrivi la funzione di densità e distribuzione della legge esponenziale se il parametro .

2. Variabile casuale X

Trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una quantità X.

3. Variabile casuale Xè dato dalla funzione di distribuzione di probabilità:

Trova l'aspettativa matematica e la deviazione standard di una variabile casuale.

1.4.3. Distribuzione normale

Normaleè chiamata distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X, la cui densità ha la forma:

Dove UN– aspettativa matematica, – deviazione standard X.

La probabilità che X assumerà un valore appartenente all'intervallo:

, Dove

– Funzione di Laplace.

Una distribuzione per la quale ; , cioè. con densità di probabilità chiamato standard.

Riso. 6.

La probabilità che il valore assoluto venga rifiutato è inferiore numero positivo :

In particolare, quando un= 0 l'uguaglianza è vera:

Esempio 1.29. Valore casuale X normalmente distribuito. Deviazione standard. Trova la probabilità che la deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica in valore assoluto sia inferiore a 0,3.

Soluzione: .

Compiti per lavoro indipendente:

1. Scrivi la densità di probabilità distribuzione normale variabile casuale X, sapendo che M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Aspettativa e deviazione standard di una variabile casuale normalmente distribuita X rispettivamente pari a 20 e 5. Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà il valore contenuto nell'intervallo (15;20).

3. Gli errori di misurazione casuali sono soggetti alla legge normale con deviazione standard mm e aspettativa matematica un= 0. Trovare la probabilità che su 3 misurazioni indipendenti l'errore di almeno una non superi i 4 mm in valore assoluto.

4. Una determinata sostanza viene pesata senza errori sistematici. Gli errori casuali di pesatura sono soggetti alla legge normale con una deviazione standard r. Trova la probabilità che la pesatura venga eseguita con un errore non superiore a 10 g in valore assoluto.

Capitolo 1. Variabile casuale discreta

§ 1. Concetti di variabile casuale.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta.

Definizione : La casualità è una quantità che, a seguito di un test, assume un solo valore da un possibile insieme di valori, sconosciuti in anticipo e dipendenti da ragioni casuali.

Esistono due tipi di variabili casuali: discrete e continue.

Definizione : Viene chiamata la variabile casuale X discreto (discontinuo) se l'insieme dei suoi valori è finito o infinito ma numerabile.

In altre parole, i possibili valori di una variabile casuale discreta possono essere rinumerati.

Una variabile casuale può essere descritta utilizzando la sua legge di distribuzione.

Definizione : Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta chiamare la corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X può essere specificata sotto forma di una tabella, nella prima riga della quale sono indicati in ordine crescente tutti i possibili valori della variabile casuale, e nella seconda riga le corrispondenti probabilità di questi valori, cioè

dove ð1+ ð2+…+ ðn=1

Tale tabella è chiamata serie di distribuzione di una variabile casuale discreta.

Se l’insieme dei possibili valori di una variabile casuale è infinito, allora la serie p1+ p2+…+ pn+… converge e la sua somma è uguale a 1.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X può essere rappresentata graficamente, per la quale una linea spezzata è costruita in un sistema di coordinate rettangolare, collegando successivamente punti con coordinate (xi; pi), i=1,2,…n. La riga risultante viene chiamata poligono di distribuzione (Fig. 1).

Chimica organica" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimica organica sono rispettivamente 0,7 e 0,8. Elabora una legge di distribuzione per la variabile casuale X - il numero di esami che lo studente supererà.

Soluzione. La variabile casuale X considerata all'esito dell'esame può assumere uno dei seguenti valori: x1=0, x2=1, x3=2.

Troviamo la probabilità di questi valori e denotiamo gli eventi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" larghezza="259" altezza="66 src=">

Quindi, la legge di distribuzione della variabile casuale X è data dalla tabella:

Controllo: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funzione di distribuzione

Una descrizione completa di una variabile casuale è data anche dalla funzione di distribuzione.

Definizione: Funzione di distribuzione di una variabile casuale discreta X è detta funzione F(x), che determina per ogni valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore di x:

F(x)=P(X<х)

Dal punto di vista geometrico, la funzione di distribuzione viene interpretata come la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore rappresentato sulla retta numerica da un punto situato a sinistra del punto x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) è una funzione non decrescente su (-∞;+∞);

3) F(x) - continua a sinistra nei punti x= xi (i=1,2,...n) e continua in tutti gli altri punti;

4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Se la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X è data sotto forma di tabella:

allora la funzione di ripartizione F(x) è determinata dalla formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" altezza="110">

0 per x≤ x1,

ð1 a x1< х≤ x2,

F(x)= ð1 + ð2 in x2< х≤ х3

1 per x>xn.

Il suo grafico è mostrato in Fig. 2:

§ 3. Caratteristiche numeriche di una variabile casuale discreta.

Una delle caratteristiche numeriche importanti è l'aspettativa matematica.

Definizione: Aspettativa matematica M(X) la variabile casuale discreta X è la somma dei prodotti di tutti i suoi valori e delle loro probabilità corrispondenti:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

L'aspettativa matematica serve come caratteristica del valore medio di una variabile casuale.

Proprietà dell'aspettativa matematica:

1)M(C)=C, dove C è un valore costante;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), dove X, Y sono variabili casuali indipendenti;

5)M(X±C)=M(X)±C, dove C è un valore costante;

Per caratterizzare il grado di dispersione dei possibili valori di una variabile casuale discreta attorno al suo valore medio, viene utilizzata la dispersione.

Definizione: Varianza D ( X ) la variabile casuale X è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica:

Proprietà di dispersione:

1)D(C)=0, dove C è un valore costante;

2)D(X)>0, dove X è una variabile casuale;

3)D(C X)=C2 D(X), dove C è un valore costante;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dove X, Y sono variabili casuali indipendenti;

Per calcolare la varianza è spesso conveniente utilizzare la formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

dove M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

La varianza D(X) ha la dimensione di una variabile casuale quadrata, cosa non sempre conveniente. Pertanto il valore √D(X) viene utilizzato anche come indicatore della dispersione dei possibili valori di una variabile casuale.

Definizione: Deviazione standard σ(X) la variabile casuale X è detta radice quadrata della varianza:

Compito n. 2. La variabile casuale discreta X è specificata dalla legge di distribuzione:

Trova P2, la funzione di distribuzione F(x) e traccia il suo grafico, così come M(X), D(X), σ(X).

Soluzione: Poiché la somma delle probabilità dei possibili valori della variabile casuale X è uguale a 1, allora

Ð2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Troviamo la funzione di distribuzione F(x)=P(X

Dal punto di vista geometrico, questa uguaglianza può essere interpretata come segue: F(x) è la probabilità che la variabile casuale assuma il valore rappresentato sull'asse dei numeri dal punto situato a sinistra del punto x.

Se x≤-1, allora F(x)=0, poiché non esiste un singolo valore di questa variabile casuale su (-∞;x);

Se -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Se 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) ci sono due valori x1=-1 e x2=0;

Se 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Se 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Se x>3, allora F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, perché nell'intervallo cadono quattro valori x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 e x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" larghezza="14 altezza=2" altezza="2"> 0 a x≤-1,

0,1 a -1<х≤0,

0,2 a 0<х≤1,

F(x)= 0,5 a 1<х≤2,

0,7 a 2<х≤3,

1 a x>3

Rappresentiamo graficamente la funzione F(x) (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" larghezza="158 altezza=29" altezza="29">≈1.2845.

§ 4. Legge di distribuzione binomiale

variabile casuale discreta, legge di Poisson.

Definizione: Binomiale è chiamata legge della distribuzione di una variabile casuale discreta X - il numero di occorrenze dell'evento A in n prove ripetute indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento A può verificarsi con probabilità p o non verificarsi con probabilità q = 1-p. Quindi P(X=m) - la probabilità che si verifichi l'evento A esattamente m volte in n prove viene calcolata utilizzando la formula di Bernoulli:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

L'aspettativa matematica, la dispersione e la deviazione standard di una variabile casuale X distribuita secondo una legge binaria si trovano, rispettivamente, utilizzando le formule:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilità dell'evento A - "lanciare un cinque" in ogni prova è la stessa e pari a 1/6 , cioè . P(A)=p=1/6, allora P(A)=1-p=q=5/6, dove

- "mancato conseguimento di una A."

La variabile casuale X può assumere i seguenti valori: 0;1;2;3.

Troviamo la probabilità di ciascuno dei possibili valori di X utilizzando la formula di Bernoulli:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Quello. la legge di distribuzione della variabile casuale X ha la forma:

Controllo: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Troviamo le caratteristiche numeriche della variabile casuale X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Compito n. 4. Una macchina automatica stampa i pezzi. La probabilità che una parte prodotta sia difettosa è 0,002. Trova la probabilità che tra 1000 parti selezionate ci sia:

a) 5 difettosi;

b) almeno uno è difettoso.

Soluzione: Il numero n=1000 è grande, la probabilità di produrre un pezzo difettoso p=0,002 è piccola e gli eventi considerati (il pezzo risulta essere difettoso) sono indipendenti, quindi vale la formula di Poisson:

Ðn(m)= e- λ λm

Troviamo λ=np=1000 0,002=2.

a) Trovare la probabilità che ci siano 5 parti difettose (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Trovare la probabilità che ci sia almeno una parte difettosa.

L'evento A - "almeno una delle parti selezionate è difettosa" è l'opposto dell'evento - "tutte le parti selezionate non sono difettose". Pertanto, P(A) = 1-P(). Quindi la probabilità desiderata è pari a: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Compiti per lavoro indipendente.

1.1

1.2. La variabile casuale dispersa X è specificata dalla legge di distribuzione:

Trova p4, la funzione di distribuzione F(X) e traccia il suo grafico, così come M(X), D(X), σ(X).

1.3. Nella scatola ci sono 9 pennarelli di cui 2 che non scrivono più. Prendi 3 segnalini a caso. La variabile casuale X è il numero di marcatori di scrittura tra quelli presi. Elaborare una legge di distribuzione di una variabile casuale.

1.4. Su uno scaffale della biblioteca ci sono 6 libri di testo disposti in modo casuale, 4 dei quali sono rilegati. Il bibliotecario prende 4 libri di testo a caso. La variabile casuale X è il numero di libri di testo rilegati tra quelli presi. Elaborare una legge di distribuzione di una variabile casuale.

1.5. Ci sono due attività sul ticket. La probabilità di risolvere correttamente il primo problema è 0,9, il secondo è 0,7. La variabile casuale X è il numero di problemi risolti correttamente nel ticket. Elabora una legge di distribuzione, calcola l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale, trova anche la funzione di distribuzione F(x) e costruisci il suo grafico.

1.6. Tre tiratori stanno sparando al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,5 per il primo tiratore, 0,8 per il secondo e 0,7 per il terzo. La variabile casuale X è il numero di colpi sul bersaglio se i tiratori sparano un colpo alla volta. Trovare la legge di distribuzione, M(X),D(X).

1.7. Un giocatore di basket lancia la palla nel canestro con una probabilità di colpire ogni tiro pari a 0,8. Per ogni colpo riceve 10 punti e, se fallisce, non gli viene assegnato alcun punto. Elabora una legge di distribuzione per la variabile casuale X: il numero di punti ricevuti da un giocatore di basket in 3 tiri. Trova M(X),D(X) e la probabilità che ottenga più di 10 punti.

1.8. Sulle carte sono scritte le lettere, per un totale di 5 vocali e 3 consonanti. Si scelgono a caso 3 carte e ogni volta si restituisce la carta presa. La variabile casuale X è il numero di vocali tra quelle prese. Costruisci una legge di distribuzione e trova M(X),D(X),σ(X).

1.9. In media, nel 60% dei contratti la compagnia assicurativa paga gli importi assicurativi in relazione al verificarsi di un evento assicurato. Elaborare una legge di distribuzione per la variabile casuale X - il numero di contratti per i quali è stato pagato l'importo dell'assicurazione tra quattro contratti selezionati a caso. Trova le caratteristiche numeriche di questa quantità.

1.10. La stazione radio invia segnali di chiamata (non più di quattro) a determinati intervalli finché non viene stabilita la comunicazione bidirezionale. La probabilità di ricevere una risposta ad un indicativo di chiamata è 0,3. La variabile casuale X è il numero di indicativi di chiamata inviati. Elabora una legge di distribuzione e trova F(x).

1.11. Ci sono 3 chiavi di cui solo una adatta alla serratura. Elabora una legge per la distribuzione della variabile casuale X-numero di tentativi di apertura della serratura, se la chiave provata non partecipa ai tentativi successivi. Trova M(X),D(X).

1.12. Vengono eseguiti test indipendenti consecutivi di affidabilità di tre dispositivi. Ogni dispositivo successivo viene testato solo se il precedente si è rivelato affidabile. La probabilità di superare il test per ciascun dispositivo è 0,9. Elaborare una legge di distribuzione per la variabile casuale numero X dei dispositivi testati.

1.13 .La variabile casuale discreta X ha tre valori possibili: x1=1, x2, x3 e x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Il blocco del dispositivo elettronico contiene 100 elementi identici. La probabilità di guasto di ciascun elemento durante il tempo T è 0,002. Gli elementi funzionano in modo indipendente. Trovare la probabilità che non più di due elementi si guastino durante il tempo T.

1.15. Il libro di testo è stato pubblicato con una tiratura di 50.000 copie. La probabilità che il libro di testo sia rilegato in modo errato è 0,0002. Trovare la probabilità che la circolazione contenga:

a) quattro libri difettosi,

b) meno di due libri difettosi.

1 .16. Il numero di chiamate che arrivano al PBX ogni minuto è distribuito secondo la legge di Poisson con il parametro λ=1,5. Trovare la probabilità che in un minuto arrivi quanto segue:

a) due chiamate;

b) almeno una chiamata.

1.17.

Trova M(Z),D(Z) se Z=3X+Y.

1.18. Sono date le leggi della distribuzione di due variabili casuali indipendenti:

Trova M(Z),D(Z) se Z=X+2Y.

Risposte:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" altezza="110"> 1.1. p3=0,4; 0 a x≤-2,

0,3 a -2<х≤0,

F(x)= 0,5 a 0<х≤2,

0,9 a 2<х≤5,

1 a x>5

1.2. p4=0,1; 0 a x≤-1,

0,3 a -1<х≤0,

0,4 a 0<х≤1,

F(x)= 0,6 a 1<х≤2,

0,7 a 2<х≤3,

1 a x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" larghezza="2 altezza=98" altezza="98"> 0 a x≤0,

0,03 a 0<х≤1,

F(x)= 0,37 a 1<х≤2,

1 per x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Capitolo 2. Variabile casuale continua

Definizione: Continuo è una quantità i cui tutti i valori possibili riempiono completamente un intervallo finito o infinito della linea numerica.

Ovviamente il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinito.

Una variabile casuale continua può essere specificata utilizzando una funzione di distribuzione.

Definizione: F funzione distributiva una variabile casuale continua X è chiamata funzione F(x), che determina per ciascun valore xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" Height="13"> R

La funzione di distribuzione è talvolta chiamata funzione di distribuzione cumulativa.

Proprietà della funzione di distribuzione:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Per una variabile casuale continua, la funzione di distribuzione è continua in ogni punto e differenziabile ovunque, tranne, forse, nei singoli punti.

3) La probabilità che una variabile casuale X rientri in uno degli intervalli (a;b), [a;b], [a;b], è pari alla differenza tra i valori della funzione F(x) nei punti a e b, cioè RA)<Х

4) La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore separato è 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Specificare una variabile casuale continua utilizzando una funzione di distribuzione non è l'unico modo. Introduciamo il concetto di densità di distribuzione di probabilità (densità di distribuzione).

Definizione : Densità della distribuzione di probabilità F ( X ) di una variabile casuale continua X è la derivata della sua funzione di distribuzione, ovvero:

La funzione di densità di probabilità è talvolta chiamata funzione di distribuzione differenziale o legge di distribuzione differenziale.

Il grafico della distribuzione della densità di probabilità f(x) si chiama curva di distribuzione di probabilità .

Proprietà della distribuzione della densità di probabilità:

1) f(x) ≥0, in xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" larghezza="285" altezza="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s;

b) È noto che F(x)= ∫ f(x)dx

Pertanto, x

se x≤2, allora F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38 src="> 2 6 x 6 6

se x>6, allora F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Così,

0 in x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 a 2<х≤6,

1 per x>6.

Il grafico della funzione F(x) è mostrato in Fig. 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" larghezza="14" altezza="62 src="> 0 a x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π a 0<х≤√3,

1 per x>√3.

Trova la funzione di distribuzione differenziale f(x)

Soluzione: Poiché f(x)= F’(x), allora

DIV_ADBLOCK93">

· Aspettativa matematica M (X) la variabile casuale continua X è determinata dall'uguaglianza:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

a patto che tale integrale converga assolutamente.

· Dispersione D ( X ) la variabile casuale continua X è determinata dall'uguaglianza:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, oppure

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Deviazione standard σ(X) la variabile casuale continua è determinata dall'uguaglianza:

Tutte le proprietà dell'aspettativa matematica e della dispersione, discusse in precedenza per le variabili casuali disperse, sono valide anche per quelle continue.

Compito n.3. La variabile casuale X è specificata dalla funzione differenziale f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" altezza="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Problemi per soluzione indipendente.

2.1. Una variabile casuale continua X è specificata dalla funzione di distribuzione:

0 a x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x in π/6<х≤ π/3,

1 per x>π/3.

Trova la funzione di distribuzione differenziale f(x), e anche

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 in x≤2,

f(x)= cx a 2<х≤4,

0 per x>4.

2.4. Una variabile casuale continua X è specificata dalla densità di distribuzione:

0 a x≤0,

f(x)= c √x a 0<х≤1,

0 per x>1.

Trova: a) numero c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" larghezza="36" altezza="39"> a x,

0 all'x.

Trovare: a) F(x) e costruire il suo grafico; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilità che in quattro prove indipendenti il valore di X assuma esattamente 2 volte il valore appartenente all'intervallo (1;4).

2.6. La densità della distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X è data:

f(x)= 2(x-2) in x,

0 all'x.

Trovare: a) F(x) e costruire il suo grafico; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilità che in tre prove indipendenti il valore di X assuma esattamente 2 volte il valore appartenente al segmento .

2.7. La funzione f(x) è data come:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" larghezza="43" altezza="38 src=">.jpg" larghezza="16" altezza="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. La funzione f(x) è data come:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" larghezza="45" altezza="36 src="> .jpg" larghezza="16" altezza="15">[- π /4; π /4].

Trova: a) il valore della costante c in cui la funzione sarà la densità di probabilità di una variabile casuale X; b) funzione di distribuzione F(x).

2.9. La variabile casuale X, concentrata sull'intervallo (3;7), è specificata dalla funzione di distribuzione F(x)= . Trova la probabilità che

la variabile casuale X assumerà il valore: a) minore di 5, b) non minore di 7.

2.10. Variabile casuale X, concentrata sull'intervallo (-1;4),

è dato dalla funzione di ripartizione F(x)= . Trova la probabilità che

la variabile casuale X assumerà il valore: a) minore di 2, b) non minore di 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" larghezza="43" altezza="44 src="> .jpg" larghezza="16" altezza="15">.

Trova: a) numero c; b) M(X); c) probabilità P(X> M(X)).

2.12. La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione differenziale:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" larghezza="60" altezza="38 src=">.jpg" larghezza="16 altezza=15" altezza="15"> .

Trovare: a) M(X); b) probabilità P(X≤M(X))

2.13. La distribuzione Rem è data dalla densità di probabilità:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" larghezza="46" altezza="37"> per x ≥0.

Dimostrare che f(x) è effettivamente una funzione di densità di probabilità.

2.14. La densità della distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X è data:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" larghezza="187 altezza=136" altezza="136">(Fig. 5)

2.16. La variabile casuale X è distribuita secondo la legge” triangolo rettangolo"nell'intervallo (0;4) (Fig. 5). Trova un'espressione analitica per la densità di probabilità f(x) sull'intera linea numerica.

Risposte

0 a x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤ π/6,

F(x)= 3sen 3x in π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 per x≤a,

f(x)= per a<х

0 per x≥b.

Il grafico della funzione f(x) è mostrato in Fig. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" larghezza="30" altezza="37">, D(X)=, σ(X)=.

Compito n. 1. La variabile casuale X è distribuita uniformemente sul segmento. Trovare:

a) densità di distribuzione di probabilità f(x) e tracciarla;

b) la funzione di distribuzione F(x) e tracciarla;

c) M(X),D(X), σ(X).

Soluzione: Utilizzando le formule discusse sopra, con a=3, b=7, troviamo:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" larghezza="22" altezza="39"> a 3≤х≤7,

0 per x>7

Costruiamo il suo grafico (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86 src="> 0 a x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" larghezza="203" altezza="119 src=">Fig. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" larghezza="37" altezza="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" larghezza="14" altezza="49 src="> 0 a x<0,

f(x)= λе-λх per x≥0.

La funzione di distribuzione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge esponenziale, è data dalla formula:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" larghezza="161" altezza="119 src="> Fig. 6

L'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard della distribuzione esponenziale sono rispettivamente pari a:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

Pertanto, l'aspettativa matematica e la deviazione standard della distribuzione esponenziale sono uguali tra loro.

La probabilità che X rientri nell'intervallo (a;b) si calcola con la formula:

Papà<Х

Compito n. 2. Il tempo medio di funzionamento senza guasti del dispositivo è di 100 ore. Assumendo che il tempo di funzionamento senza guasti del dispositivo abbia una legge di distribuzione esponenziale, trovare:

a) densità della distribuzione di probabilità;

b) funzione distributiva;

c) la probabilità che il tempo di funzionamento senza guasti del dispositivo superi le 120 ore.

Soluzione: Secondo la condizione, la distribuzione matematica M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" Height="43 src="> 0 at x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x per x≥0.

b) F(x)= 0 in x<0,

1-e -0,01x a x≥0.

c) Troviamo la probabilità desiderata utilizzando la funzione di distribuzione:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Legge della distribuzione normale

Definizione: Ha una variabile casuale continua X legge della distribuzione normale (legge di Gauss), se la sua densità di distribuzione ha la forma:

dove m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Viene chiamata la curva di distribuzione normale curva normale o gaussiana (Fig.7)

La curva normale è simmetrica rispetto alla retta x=m, ha massimo in x=a, pari a .

La funzione di distribuzione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge normale, è espressa mediante la funzione di Laplace Ф (x) secondo la formula:

dove è la funzione di Laplace.

Commento: La funzione Ф(x) è dispari (Ф(-х)=-Ф(х)), inoltre per x>5 possiamo assumere Ф(х) ≈1/2.

Il grafico della funzione di distribuzione F(x) è mostrato in Fig. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" larghezza="218" altezza="33">

La probabilità che il valore assoluto della deviazione sia inferiore a un numero positivo δ si calcola con la formula:

In particolare, per m=0 vale la seguente uguaglianza:

"Regola dei tre Sigma"

Se una variabile casuale X ha una legge di distribuzione normale con parametri m e σ, allora è quasi certo che il suo valore si trova nell'intervallo (a-3σ; a+3σ), perché

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" larghezza="157" altezza="57 src=">a)

b) Usiamo la formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" larghezza="369" altezza="38 src=">

Dalla tabella dei valori della funzione Ф(х) troviamo Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Quindi, la probabilità desiderata:

P(28

Compiti per lavoro indipendente

3.1. La variabile casuale X è distribuita uniformemente nell'intervallo (-3;5). Trovare:

b) funzione di distribuzione F(x);

c) caratteristiche numeriche;

d) probabilità P(4<х<6).

3.2. La variabile casuale X è distribuita uniformemente sul segmento. Trovare:

a) densità di distribuzione f(x);

b) funzione di distribuzione F(x);

c) caratteristiche numeriche;

d) probabilità P(3≤х≤6).

3.3. C'è un semaforo automatico sull'autostrada, in cui la luce verde è accesa per 2 minuti, gialla per 3 secondi, rossa per 30 secondi, ecc. Un'auto percorre l'autostrada in un momento casuale nel tempo. Trova la probabilità che un'auto superi un semaforo senza fermarsi.

3.4. I treni della metropolitana circolano regolarmente a intervalli di 2 minuti. Un passeggero entra sulla piattaforma in un momento casuale. Qual è la probabilità che un passeggero debba aspettare più di 50 secondi per prendere il treno? Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale X: il tempo di attesa del treno.

3.5. Trova la varianza e la deviazione standard della distribuzione esponenziale data dalla funzione di distribuzione:

F(x)= 0 in x<0,

1°-8x per x≥0.

3.6. Una variabile casuale continua X è specificata dalla densità della distribuzione di probabilità:

f(x)= 0 in x<0,

0,7 e-0,7x a x≥0.

a) Nominare la legge di distribuzione della variabile casuale in esame.

b) Trovare la funzione di distribuzione F(X) e le caratteristiche numeriche della variabile casuale X.

3.7. La variabile casuale X è distribuita secondo la legge esponenziale specificata dalla densità di distribuzione di probabilità:

f(x)= 0 in x<0,

0,4 e-0,4 x a x≥0.

Trova la probabilità che come risultato del test X assuma un valore compreso nell'intervallo (2,5;5).

3.8. Una variabile casuale continua X è distribuita secondo la legge esponenziale specificata dalla funzione di distribuzione:

F(x)= 0 in x<0,

1°-0,6x a x≥0

Trova la probabilità che, come risultato del test, X assuma un valore dal segmento.

3.9. Il valore atteso e la deviazione standard di una variabile casuale distribuita normalmente sono rispettivamente 8 e 2. Trova:

a) densità di distribuzione f(x);

b) la probabilità che come risultato del test X assuma un valore compreso nell'intervallo (10;14).

3.10. La variabile casuale X è normalmente distribuita con un'aspettativa matematica di 3,5 e una varianza di 0,04. Trovare:

a) densità di distribuzione f(x);

b) la probabilità che a seguito del test X assuma un valore dal segmento .

3.11. La variabile casuale X è normalmente distribuita con M(X)=0 e D(X)=1. Quale degli eventi: |X|≤0,6 o |X|≥0,6 è più probabile?

3.12. La variabile casuale X è distribuita normalmente con M(X)=0 e D(X)=1. Da quale intervallo (-0,5;-0,1) o (1;2) è più probabile che assuma un valore durante un test?

3.13. Il prezzo attuale per azione può essere modellato utilizzando la normale legge di distribuzione con M(X)=10 den. unità e σ (X)=0,3 den. unità Trovare:

a) la probabilità che il prezzo corrente delle azioni sia compreso tra 9,8 den. unità fino a 10,4 giorni unità;

b) utilizzando la “regola del tre sigma”, trovare i limiti entro i quali si troverà il prezzo corrente delle azioni.

3.14. La sostanza viene pesata senza errori sistematici. Gli errori di pesatura casuali sono soggetti alla legge normale con il rapporto quadratico medio σ=5g. Trovare la probabilità che in quattro esperimenti indipendenti non si verifichi un errore in tre pesate in valore assoluto 3r.

3.15. La variabile casuale X è normalmente distribuita con M(X)=12,6. La probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (11,4;13,8) è 0,6826. Trova la deviazione standard σ.

3.16. La variabile casuale X è distribuita normalmente con M(X)=12 e D(X)=36. Trova l'intervallo in cui cadrà la variabile casuale X come risultato del test con una probabilità di 0,9973.

3.17. Un pezzo fabbricato da una macchina automatica è considerato difettoso se la deviazione X del suo parametro controllato dal valore nominale supera le unità di misura modulo 2. Si assume che la variabile casuale X sia normalmente distribuita con M(X)=0 e σ(X)=0,7. Quale percentuale di pezzi difettosi produce la macchina?

3.18. Il parametro X della parte è distribuito normalmente con un'aspettativa matematica di 2 pari al valore nominale e una deviazione standard di 0,014. Trova la probabilità che la deviazione di X dal valore nominale non superi l'1% del valore nominale.

Risposte

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b) 0 per x≤-3,

F(x)= sinistra">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

4. Densità di probabilità di una variabile casuale continua

Una variabile casuale continua può essere specificata utilizzando la funzione di distribuzione F(X) . Questo metodo di assegnazione non è l'unico. Una variabile casuale continua può anche essere specificata utilizzando un'altra funzione chiamata densità di distribuzione o densità di probabilità (a volte chiamata funzione differenziale).

Definizione4.1: Densità di distribuzione di una variabile casuale continua X chiamare la funzione F (X) - la derivata prima della funzione di distribuzione F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Da questa definizione segue che la funzione di distribuzione è un'antiderivativa della densità di distribuzione. Si noti che la densità di distribuzione non è applicabile per descrivere la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta.

Probabilità che una variabile casuale continua rientri in un dato intervallo

Conoscendo la densità di distribuzione, è possibile calcolare la probabilità che una variabile casuale continua assuma un valore appartenente ad un dato intervallo.

Teorema: La probabilità che una variabile casuale continua X assuma valori appartenenti all'intervallo (UN, B), è uguale a un certo integrale della densità di distribuzione, preso nell'intervallo daUNPrimaB :

Prova: Usiamo il rapporto

P(UN ≤ XB) = F(B) – F(UN).

Secondo la formula di Newton-Leibniz,

Così,

Perché P(UN ≤ X B)= P(UN X B) , poi finalmente otteniamo

Dal punto di vista geometrico, il risultato ottenuto può essere interpretato come segue: la probabilità che una variabile casuale continua assuma un valore appartenente all'intervallo (UN, B), pari all'area di un trapezio curvilineo delimitato dall'asseBue, curva di distribuzioneF(X) e drittoX = UNEX = B.

Commento: In particolare, se F(X) – allora la funzione è pari e gli estremi dell'intervallo sono simmetrici rispetto all'origine

Esempio. Viene data la densità di probabilità di una variabile casuale X

Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà valori appartenenti all'intervallo (0,5, 1).

Soluzione: Probabilità richiesta

Trovare la funzione di distribuzione da una densità di distribuzione nota

Conoscere la densità di distribuzione F(X) , possiamo trovare la funzione di distribuzione F(X) secondo la formula

Veramente, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Quindi,

Così, Conoscendo la densità di distribuzione, puoi trovare la funzione di distribuzione. Naturalmente, da una funzione di distribuzione nota si può ricavare la densità di distribuzione, vale a dire:

F(X) = F"(X).

Esempio. Trova la funzione di distribuzione per la densità di distribuzione data:

Soluzione: Usiamo la formula

Se X ≤ UN, Quello F(X) = 0 , quindi, F(X) = 0 . Se un, quindi f(x) = 1/(b-a),

quindi,

Se X > B, Quello

Quindi, la funzione di distribuzione richiesta

Commento: Abbiamo ottenuto la funzione di distribuzione di una variabile casuale uniformemente distribuita (vedi distribuzione uniforme).

Proprietà della densità di distribuzione

Proprietà 1: La densità di distribuzione è una funzione non negativa:

F ( X ) ≥ 0 .

Proprietà 2: L'integrale improprio della densità di distribuzione nell'intervallo da -∞ a ∞ è uguale all'unità:

Commento: Viene chiamato il grafico della densità di distribuzione curva di distribuzione.

Commento: La densità di distribuzione di una variabile casuale continua è detta anche legge di distribuzione.

Esempio. La densità di distribuzione della variabile casuale ha la seguente forma:

Trova un parametro costante UN.

Soluzione: La densità di distribuzione deve soddisfare la condizione , quindi richiederemo che l'uguaglianza sia soddisfatta

Da qui
. Troviamo l'integrale indefinito:

Calcoliamo l'integrale improprio:

Quindi, il parametro richiesto

Probabile significato di densità di distribuzione

Permettere F(X) – funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X. Per definizione di densità di distribuzione, F(X) = F"(X) , O

Differenza F(X+∆x) -F(X) determina la probabilità che X assumerà un valore appartenente all'intervallo (X, X+∆x). Pertanto, il limite del rapporto di probabilità che una variabile casuale continua assuma un valore appartenente all'intervallo (X, X+∆x), per la durata di questo intervallo (at ∆х→0) è uguale al valore della densità di distribuzione nel punto X.

Quindi la funzione F(X) determina la densità della distribuzione di probabilità per ciascun punto X. Dal calcolo differenziale è noto che l'incremento di una funzione è approssimativamente uguale al differenziale della funzione, cioè

Perché F"(X) = F(X) E dx = ∆ X, Quello F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

Il significato probabilistico di questa uguaglianza è: la probabilità che una variabile casuale assuma un valore appartenente all'intervallo (X, X+∆ X) è approssimativamente uguale al prodotto della densità di probabilità nel punto x per la lunghezza dell'intervallo ∆x.

Dal punto di vista geometrico, questo risultato può essere interpretato come segue: la probabilità che una variabile casuale assuma un valore appartenente all'intervallo (X, X+∆ X) è approssimativamente uguale all'area di un rettangolo con base ∆х e altezzaF(X).

5. Distribuzioni tipiche di variabili casuali discrete

5.1. Distribuzione di Bernoulli

Definizione5.1: Valore casuale X, assumendo due valori 1 E 0 con probabilità (“successo”) P e (“fallimento”) Q, chiamato Bernoullievskaja:

, Dove K=0,1.

5.2. Distribuzione binomiale

Lascia che sia prodotto N prove indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento UN può apparire o meno. La probabilità che un evento si verifichi in tutte le prove è costante ed uguale P(da qui la probabilità di non verificarsi Q = 1 - P).

Consideriamo la variabile casuale X– numero di occorrenze dell'evento UN in questi test. Valore casuale X assume valori 0,1,2,… N con probabilità calcolate utilizzando la formula di Bernoulli: , Dove K = 0,1,2,… N.

Definizione5.2: Binomialeè detta distribuzione di probabilità determinata dalla formula di Bernoulli.

Esempio. Vengono sparati tre colpi verso il bersaglio e la probabilità di colpire ciascun colpo è 0,8. Consideriamo una variabile casuale X– numero di colpi sul bersaglio. Trova la sua serie di distribuzione.

Soluzione: Valore casuale X assume valori 0,1,2,3 con probabilità calcolate utilizzando la formula di Bernoulli, dove N = 3, P = 0,8 (probabilità di successo), Q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabilità di scomparsa).

Pertanto la serie di distribuzione ha la seguente forma:

Utilizza la formula di Bernoulli per valori grandi N abbastanza difficile, quindi, per calcolare le probabilità corrispondenti, utilizzare il teorema di Laplace locale, che consente di trovare approssimativamente esattamente la probabilità del verificarsi di un evento K una volta ogni N test, se il numero di test è sufficientemente ampio.

Teorema di Laplace locale: Se la probabilità P verificarsi di un evento UN
che l'evento UN apparirà in N test esattamente K volte, approssimativamente uguali (più accurato, più N) valore della funzione
, Dove
,
.

Nota 1: Tabelle contenenti valori di funzione
, sono riportati nell'Appendice 1, e
. Funzione è la densità della distribuzione normale standard (vedi distribuzione normale).

Esempio: Trova la probabilità che l'evento UN arriverà esattamente 80 una volta ogni 400 prove se la probabilità che si verifichi questo evento in ciascuna prova è uguale a 0,2.

Soluzione: Per condizione N = 400, K = 80, P = 0,2 , Q = 0,8 . Calcoliamo il valore determinato dai dati dell'attività X:
. Dalla tabella nell'Appendice 1 troviamo
. Allora la probabilità richiesta sarà:

Se devi calcolare la probabilità che un evento UN apparirà in N test nientemeno K 1 una volta e non più K 2 volte, allora devi usare il teorema integrale di Laplace:

Teorema integrale di Laplace: Se la probabilità P verificarsi di un evento UN in ogni prova è costante e diversa da zero e uno, quindi la probabilità
che l'evento UN apparirà in N prove da K 1 Prima K 2 volte, approssimativamente uguale a un certo integrale

, Dove E
.

In altre parole, la probabilità che un evento UN apparirà in N prove da K 1 Prima K 2 volte, approssimativamente uguali

Dove
, E .

Nota 2: Funzione
chiamata funzione di Laplace (vedi distribuzione normale). Tabelle contenenti valori di funzione , sono riportati nell'Appendice 2, e .

Esempio: Trova la probabilità che tra 400 le parti selezionate casualmente risulteranno non testate da 70 a 100 parti, se la probabilità che la parte non abbia superato l'ispezione di controllo qualità è uguale a 0,2.

Soluzione: Per condizione N = 400, P = 0,2 , Q = 0,8, K 1 = 70, K 2 = 100 . Calcoliamo i limiti inferiore e superiore di integrazione:

;
.

Quindi abbiamo:

Dalla tabella nell'Appendice 2 lo troviamo
E
. Allora la probabilità richiesta è:

Nota 3: In una serie di prove indipendenti (quando n è grande, p è piccolo), la formula di Poisson viene utilizzata per calcolare la probabilità che un evento si verifichi esattamente k volte (vedi distribuzione di Poisson).

5.3. Distribuzione di Poisson

Definizione5.3: Viene chiamata una variabile casuale discreta Poisson, se la sua legge di distribuzione ha la seguente forma:

, Dove E (valore costante).

Esempi di variabili casuali di Poisson:

Numero di chiamate ad una postazione automatica in un periodo di tempo T.

Il numero di particelle di decadimento di una sostanza radioattiva in un periodo di tempo T.

Numero di televisori che arrivano in officina in un periodo di tempo T nella grande città .

Numero di auto che arriveranno alla fermata di un incrocio in una grande città .

Nota 1: Tabelle speciali per il calcolo di queste probabilità sono riportate nell'Appendice 3.

Nota 2: In una serie di test indipendenti (quando N Grande, P non è sufficiente) per calcolare esattamente la probabilità che un evento si verifichi K volte utilizzando la formula di Poisson: , Dove , cioè, il numero medio di occorrenze degli eventi rimane costante.

Nota 3: Se esiste una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson, allora esiste necessariamente una variabile casuale distribuita secondo la legge esponenziale e viceversa (vedi Distribuzione esponenziale).

Esempio. La pianta inviata alla base 5000 prodotti di buona qualità. La probabilità che il prodotto venga danneggiato durante il trasporto è pari a 0,0002 . Trova la probabilità che alla base arrivino esattamente tre prodotti inutilizzabili.

Soluzione: Per condizione N = 5000, P = 0,0002, K = 3. Lo troveremo λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Secondo la formula di Poisson la probabilità desiderata è pari a:

, dove è la variabile casuale X– numero di prodotti inutilizzabili.

5.4. Distribuzione geometrica

Lasciamo che vengano eseguiti test indipendenti, in ciascuno dei quali è la probabilità che l'evento si verifichi UN uguale a P(0 pag

Q = 1 - P. Le sfide terminano non appena appare l'evento UN. Quindi, se un evento UN apparso in K-esimo test, quindi nel precedente K – 1 non è apparso nei test.

Indichiamo con X variabile casuale discreta: il numero di prove che devono essere eseguite prima che si verifichi il primo evento UN. Ovviamente i valori possibili X Sono numeri interi x1 = 1, x2 = 2, ...

Lasciamo prima K-1 evento di prova UN non è venuto, ma è entrato KÈ apparso il -esimo test. La probabilità di questo “evento complesso”, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti, P (X = K) = Q K -1 P.

Definizione5.4: Una variabile casuale discreta ha distribuzione geometrica, se la sua legge di distribuzione ha la seguente forma:

P ( X = K ) = Q K -1 P , Dove .

Nota 1: Credere K = 1,2,… , otteniamo una progressione geometrica con il primo termine P e denominatore Q (0Q. Per questo motivo la distribuzione è detta geometrica.

Nota 2: Riga converge e la sua somma è uguale a uno. Infatti, la somma della serie è uguale a .

Esempio. La pistola spara al bersaglio finché non viene messo a segno il primo colpo. Probabilità di colpire il bersaglio P = 0,6 . Trova la probabilità che si verifichi un colpo al terzo colpo.

Soluzione: Per condizione P = 0,6, Q = 1 – 0,6 = 0,4, K = 3. La probabilità richiesta è:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Distribuzione ipergeometrica

Consideriamo il seguente problema. Lascia che la festa finisca N prodotti disponibili M standard (MN). Preso a caso dal lotto N prodotti (ogni prodotto può essere estratto con la stessa probabilità) e il prodotto selezionato non viene reinserito nel lotto prima di selezionare quello successivo (quindi la formula di Bernoulli non è applicabile qui).

Indichiamo con X variabile casuale - numero M prodotti standard tra N selezionato. Quindi i possibili valori X sarà 0, 1, 2,…, minimo; Etichettiamoli e... Di valori della variabile indipendente (Fonds) utilizzare il pulsante ( capitolo ...

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