Modi per trovare un angolo in un triangolo rettangolo: formule di calcolo. Calcolatrice online Risolvere i triangoli Calcolo degli angoli e delle lunghezze in un triangolo rettangolo

Un triangolo è un numero geometrico costituito da tre segmenti che collegano tre punti che non giacciono sulla stessa linea. I punti che formano un triangolo sono chiamati punti e i segmenti sono affiancati.

A seconda del tipo di triangolo (rettangolare, monocromatico, ecc.), è possibile calcolare il lato del triangolo in diversi modi, a seconda dei dati immessi e delle condizioni del problema.

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Per calcolare i lati di un triangolo rettangolo si utilizza il teorema di Pitagora, secondo il quale il quadrato dell'ipotenusa pari alla somma piedi quadrati.

Se etichettiamo i cateti come "a" e "b" e l'ipotenusa come "c", le pagine possono essere trovate con le seguenti formule:

Se si conoscono gli angoli acuti di un triangolo rettangolo (a e b), i suoi lati si possono trovare con le seguenti formule:

Triangolo ritagliato

Un triangolo è chiamato triangolo equilatero in cui entrambi i lati sono uguali.

Come trovare l'ipotenusa in due cateti

Se la lettera "a" è identica alla stessa pagina, "b" è la base, "b" è l'angolo opposto alla base, "a" è l'angolo adiacente per calcolare le pagine si possono utilizzare le seguenti formule:

Due angoli e un lato

Se si conoscono una pagina (c) e due angoli (a e b) di un triangolo qualsiasi, per calcolare le pagine rimanenti viene utilizzata la formula del seno:

Devi trovare il terzo valore y = 180 - (a + b) perché

la somma di tutti gli angoli di un triangolo è 180°;

Due lati e un angolo

Se si conoscono due lati di un triangolo (a e b) e l'angolo compreso tra essi (y), è possibile utilizzare il teorema del coseno per calcolare il terzo lato.

Come determinare il perimetro di un triangolo rettangolo

Un triangolo triangolare è un triangolo di cui uno è di 90 gradi e gli altri due sono acuti. calcolo perimetro come triangolo a seconda della quantità di informazioni conosciute su di esso.

Ne avrai bisogno

• A seconda dei casi, abilità 2 tre lati del triangolo, nonché uno dei suoi angoli acuti.

Istruzioni

Primo Metodo 1. Se tutte e tre le pagine sono note triangolo Quindi, indipendentemente se perpendicolare o non triangolare, il perimetro si calcola come: P = A + B + C, dove possibile, c è l'ipotenusa; aeb sono le gambe.

secondo Metodo 2.

Se un rettangolo ha solo due lati, allora usando il teorema di Pitagora, triangolo può essere calcolato utilizzando la formula: P = v (a2 + b2) + a + b oppure P = v (c2 - b2) + b + c.

terzo Metodo 3. Sia c l'ipotenusa e un angolo acuto? Dato un triangolo rettangolo, sarà possibile trovare il perimetro in questo modo: P = (1 + sin?

il quarto Metodo 4. Dicono che nel triangolo rettangolo la lunghezza di una gamba è uguale ad a e, al contrario, ha un angolo acuto. Quindi calcola perimetro Questo triangolo verrà effettuata secondo la formula: P = a* (1/tg?

1/figlio? +1)

quinti Metodo 5.

Calcolo del triangolo online

Lasciamo che la nostra gamba guidi e sia inclusa in essa, quindi l'intervallo verrà calcolato come: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

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Il teorema di Pitagora è la base di tutta la matematica. Determina la relazione tra i lati di un triangolo vero. Attualmente ci sono 367 dimostrazioni di questo teorema.

Istruzioni

Primo La formulazione scolastica classica del teorema di Pitagora suona così: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Per trovare l'ipotenusa in triangolo rettangolo due Catets, devi metterti in contatto per costruire un quadrato della lunghezza delle gambe, raccoglierli e prenderli Radice quadrata dall'importo. Nella formulazione originale della sua affermazione, il mercato si basa sull'ipotenusa, che è uguale alla somma dei quadrati di 2 quadrati prodotti da Catete. Tuttavia, la moderna formulazione algebrica non richiede l'introduzione di una rappresentazione di dominio.

secondo Ad esempio, un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 7 cm e 8 cm.

Quindi, secondo il teorema di Pitagora, l'ipotenusa quadrata è uguale a R + S = 49 + 64 = 113 cm L'ipotenusa è uguale alla radice quadrata del numero 113.

Angoli di un triangolo rettangolo

Il risultato è stato un numero infondato.

terzo Se i triangoli sono cateti 3 e 4, allora ipotenusa = 25 = 5. Quando prendi la radice quadrata, ottieni numero naturale. I numeri 3, 4, 5 formano una tripletta pigagorica, poiché soddisfano la relazione x? +Sì? = Z, che è naturale.

Altri esempi di terzina pitagorica sono: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

il quarto In questo caso, se le gambe sono identiche tra loro, il teorema di Pitagora si trasforma in un'equazione più primitiva. Ad esempio, supponiamo che tale mano sia uguale al numero A e che l'ipotenusa sia definita per C, e quindi c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. In questo caso non è necessario A.

quinti Il teorema di Pitagora è un caso speciale, maggiore del teorema generale del coseno, che stabilisce la relazione tra i tre lati di un triangolo per qualsiasi angolo compreso tra due di essi.

Suggerimento 2: come determinare l'ipotenusa per cateti e angoli

L'ipotenusa è il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo di 90 gradi.

Istruzioni

Primo Nel caso dei cateteri noti, oltre all'angolo acuto di un triangolo rettangolo, l'ipotenusa può avere una dimensione pari al rapporto tra la gamba e il coseno/seno di tale angolo, se l'angolo era opposto/e includere: H = C1 (o C2) / sin, H = C1 (o C2?) / cos?. Esempio: Sia dato ABC un triangolo irregolare con ipotenusa AB e angolo retto C.

Sia B 60 gradi e A 30 gradi. La lunghezza del gambo BC è cm 8. Va trovata la lunghezza dell'ipotenusa AB. Per fare ciò è possibile utilizzare uno dei metodi sopra indicati: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

L'ipotenusa è il lato più lungo di un rettangolo triangolo. Si trova ad angolo retto. Metodo per trovare l'ipotenusa di un rettangolo triangolo a seconda dei dati di origine.

Istruzioni

Primo Se le tue gambe sono perpendicolari triangolo, quindi la lunghezza dell'ipotenusa del rettangolo triangolo può essere scoperto da un analogo pitagorico: il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe: c2 = a2 + b2, dove aeb sono la lunghezza delle gambe della destra triangolo .

secondo Se uno dei cateti è noto e forma un angolo acuto, la formula per trovare l'ipotenusa dipenderà dalla presenza o assenza di sotto certo angolo in relazione alla gamba nota - adiacente (la gamba si trova vicina), o viceversa (il caso opposto si trova nego.V dell'angolo specificato è uguale alla frazione dell'ipotenusa della gamba nell'angolo coseno: a = a/cos; E, invece, l'ipotenusa è uguale al rapporto angoli sinusoidali: da = a/sen.

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Consigli utili
Un triangolo angolare i cui lati sono correlati come 3:4:5, chiamato delta egiziano per il fatto che queste figure erano ampiamente utilizzate dagli architetti dell'antico Egitto.

Questo è anche l'esempio più semplice dei triangoli di Jero, in cui le pagine e l'area sono rappresentate da numeri interi.

Un triangolo si chiama rettangolo il cui angolo è 90°. Il lato opposto all'angolo destro si chiama ipotenusa, l'altro cateto.

Se vuoi scoprire come è formato un triangolo rettangolo da alcune proprietà dei triangoli regolari, vale a dire il fatto che la somma degli angoli acuti è 90°, che viene utilizzata, e il fatto che la lunghezza del cateto opposto è la metà dell'ipotenusa è 30°.

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Triangolo ritagliato

Una delle proprietà di un triangolo uguale è che i suoi due angoli sono uguali.

Per calcolare l'angolo di un triangolo rettangolo congruente devi sapere che:

• Questo non è peggiore di 90°.
• I valori degli angoli acuti sono determinati dalla formula: (180°-90°)/2 = 45°, cioè

  Gli angoli α e β sono pari a 45°.

Se si conosce il valore noto di uno degli angoli acuti, l'altro può essere trovato utilizzando la formula: β = 180º-90º-α oppure α = 180º-90º-β.

Questo rapporto viene utilizzato più spesso se uno degli angoli è 60° o 30°.

Concetti chiave

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

Poiché è un livello, due rimangono nitidi.

Calcola il triangolo online

Se vuoi trovarli, devi sapere che:

altri metodi

I valori degli angoli acuti di un triangolo rettangolo possono essere calcolati dalla media - con una linea che parte da un punto sul lato opposto del triangolo, e dall'altezza - la linea è una perpendicolare tracciata dall'ipotenusa ad angolo retto .

Lascia che la mediana si estenda dall'angolo destro al centro dell'ipotenusa e sia h l'altezza. In questo caso risulta che:

• peccato α = b/(2*s); peccato β = a/(2*s).
• cosα = a/(2*s); cosβ = b/(2*s).
• peccato α = h/b; peccato β = h/a.

Due pagine

Se in un triangolo rettangolo o su entrambi i lati sono note le lunghezze dell'ipotenusa e di uno dei cateti, per determinare i valori degli angoli acuti vengono utilizzate le identità trigonometriche:

• α = arcoseno (a/c), β = arcoseno (b/c).
• α = arco (b/c), β = arco (a/c).
• α = arctan (a/b), β = arctan (b/a).

Lunghezza di un triangolo rettangolo

Area e area di un triangolo

perimetro

La circonferenza di qualsiasi triangolo è uguale alla somma delle lunghezze dei tre lati. Formula generale per trovare il triangolo triangolare:

dove P è la circonferenza del triangolo, a, b e c i suoi lati.

Perimetro di un triangolo uguale può essere trovato combinando successivamente le lunghezze dei suoi lati o moltiplicando la lunghezza del lato per 2 e aggiungendo la lunghezza della base al prodotto.

La formula generale per trovare un triangolo di equilibrio sarà simile alla seguente:

dove P è il perimetro di un triangolo uguale, ma b, b è la base.

Perimetro di un triangolo equilatero può essere trovato combinando in sequenza le lunghezze dei suoi lati o moltiplicando la lunghezza di qualsiasi pagina per 3.

La formula generale per trovare il bordo dei triangoli equilateri sarà simile alla seguente:

dove P è il perimetro di un triangolo equilatero, a è uno qualsiasi dei suoi lati.

regione

Se vuoi misurare l'area di un triangolo, puoi confrontarlo con un parallelogramma. Consideriamo il triangolo ABC:

Se prendiamo lo stesso triangolo e lo fissiamo in modo da ottenere un parallelogramma, otteniamo un parallelogramma con la stessa altezza e base di questo triangolo:

In questo caso, il lato comune dei triangoli è piegato insieme lungo la diagonale del parallelogramma modellato.

Dalle proprietà di un parallelogramma. È noto che le diagonali di un parallelogramma sono sempre divise in due triangoli uguali, quindi la superficie di ciascun triangolo è pari alla metà dell'intervallo del parallelogramma.

Poiché l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della sua altezza di base, l'area del triangolo sarà pari alla metà di questo prodotto. Pertanto, per ΔABC l'area sarà la stessa

Consideriamo ora un triangolo rettangolo:

Due triangoli rettangoli identici possono essere piegati in un rettangolo se si appoggia ad essi, che è l'uno l'ipotenusa dell'altro.

Poiché la superficie del rettangolo coincide con la superficie dei lati adiacenti, l'area di questo triangolo è la stessa:

Da ciò possiamo concludere che la superficie di qualsiasi triangolo rettangolo è uguale al prodotto dei cateti diviso per 2.

Da questi esempi si può concludere che la superficie di ciascun triangolo è uguale al prodotto della lunghezza, e l'altezza è ridotta al substrato diviso 2.

La formula generale per trovare l'area di un triangolo sarebbe simile a questa:

dove S è l'area del triangolo, ma la sua base, ma l'altezza cade sul fondo a.

Definizione del triangolo

Triangoloè una figura geometrica che si forma come risultato dell'intersezione di tre segmenti, le cui estremità non giacciono sulla stessa linea retta. Ogni triangolo ha tre lati, tre vertici e tre angoli.

Calcolatore in linea

Ci sono triangoli vari tipi. Ad esempio, esiste un triangolo equilatero (quello in cui tutti i lati sono uguali), isoscele (due lati sono uguali) e un triangolo rettangolo (in cui uno degli angoli è dritto, cioè uguale a 90 gradi).

È possibile trovare l'area di un triangolo diversi modi a seconda di quali elementi della figura sono noti dalle condizioni del problema, siano essi angoli, lunghezze o anche i raggi dei cerchi associati al triangolo. Diamo un'occhiata a ciascun metodo separatamente con esempi.

Formula per l'area di un triangolo in base alla base e all'altezza

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ un ⋅H,

Aa UN- base del triangolo;
h h H- l'altezza del triangolo disegnato con la base data a.

Esempio

Trova l'area di un triangolo se si conosce la lunghezza della sua base, pari a 10 (cm) e l'altezza tracciata su questa base, pari a 5 (cm).

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Sostituiamolo nella formula dell'area e otteniamo:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vedi mq.)

Risposta: 25 (cmq.)

Formula per l'area di un triangolo basata sulle lunghezze di tutti i lati

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - un ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c )​ ,

A, b, c, a, b, c a, b, c- lunghezze dei lati del triangolo;
p p P- metà della somma di tutti i lati del triangolo (cioè metà del perimetro del triangolo):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (un +b+C)

Questa formula si chiama La formula di Erone.

Esempio

Trova l'area di un triangolo se si conoscono le lunghezze dei suoi tre lati, pari a 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Soluzione

A = 3 a = 3 un =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Troviamo metà del perimetro p p P:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Quindi, secondo la formula di Erone, l’area del triangolo è:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\quadrato(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vedi mq.)

Risposta: 6 (vedi quadrato)

Formula per l'area di un triangolo dati un lato e due angoli

S = a 2 2 ⋅ peccato ⁡ β peccato ⁡ γ peccato ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 UN 2 ​ ⋅ peccato(β + γ)peccato β peccato γ ​ ,

Aa UN- lunghezza del lato del triangolo;
β , γ \beta, \gamma β , γ - angoli adiacenti al lato aa UN.

Esempio

Dati un lato di un triangolo pari a 10 (cm) e due angoli adiacenti di 30 gradi. Trova l'area del triangolo.

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Secondo la formula:

S = 1 0 2 2 ⋅ peccato ⁡ 3 0 ∘ peccato ⁡ 3 0 ∘ peccato ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\quadrato(3))\circa14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ peccato(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) peccato 3 0 ∘ peccato 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vedi mq.)

Risposta: 14,4 (vedi mq.)

Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Run ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c, a, b, c a, b, c- lati del triangolo;
R.R R- raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Esempio

Prendiamo i numeri dal nostro secondo problema e aggiungiamo loro il raggio R.R R cerchi. Lascia che sia uguale a 10 (cm.).

Soluzione

A = 3 a = 3 un =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vedi mq.)

Risposta: 1,5 (cm²)

Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto

S = p ⋅ r S=p\cpunto rS= P⋅ R,

p pP- metà del perimetro del triangolo:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)P= 2 UN+ B+ C​ ,

a, b, c a, b, cUN, B, C- lati del triangolo;
r rR- il raggio del cerchio inscritto nel triangolo.

Esempio

Sia il raggio del cerchio inscritto 2 (cm). Prenderemo le lunghezze dei lati dal problema precedente.

Soluzione

$UN=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4B=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5C=5r\; =\; 2\; r\; =\; 2R=2$

$P=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vedi mq.)

Risposta: 12 (cmq.)

Formula per l'area di un triangolo basata su due lati e l'angolo compreso tra loro

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ B⋅ C⋅ peccato(α ) ,

b, cb, cB, C- lati del triangolo;

α\alfaα - angolo tra i lati b bB E ccC.

Esempio

I lati del triangolo sono 5 (cm) e 6 (cm), l'angolo tra loro è di 30 gradi. Trova l'area del triangolo.

Soluzione

$B=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ peccato(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vedi mq.)

Risposta: 7,5 (cmq)

In geometria ci sono spesso problemi legati ai lati dei triangoli. Ad esempio, spesso è necessario trovare un lato di un triangolo se si conoscono gli altri due.

I triangoli sono isosceli, equilateri e disuguali. Tra tutte le varietà, per il primo esempio ne sceglieremo uno rettangolare (in un triangolo del genere, uno degli angoli è di 90°, i lati adiacenti ad esso sono chiamati cateti e il terzo è l'ipotenusa).

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Lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo

La soluzione al problema segue dal teorema del grande matematico Pitagora. Dice che la somma dei quadrati dei cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato della sua ipotenusa: a²+b²=c²

• Trova il quadrato della lunghezza della gamba a;
• Trova il quadrato della gamba b;
• Li mettiamo insieme;
• Dal risultato ottenuto estraiamo la seconda radice.

Esempio: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Cioè, la lunghezza dell'ipotenusa di questo triangolo è 5.

Se il triangolo non ha un angolo retto, le lunghezze dei due lati non sono sufficienti. Per questo è necessario un terzo parametro: può essere un angolo, l'altezza del triangolo, il raggio del cerchio inscritto in esso, ecc.

Se il perimetro è noto

In questo caso il compito è ancora più semplice. Il perimetro (P) è la somma di tutti i lati del triangolo: P=a+b+c. Pertanto, risolvendo una semplice equazione matematica otteniamo il risultato.

Esempio: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Risolviamo l'equazione spostando tutti i parametri noti da un lato del segno uguale:

2) Sostituisci i valori al loro posto e calcola il terzo lato:

c=18-7-6=5, totale: il terzo lato del triangolo è 5.

Se l'angolo è noto

Per calcolare il terzo lato di un triangolo dato un angolo e altri due lati, la soluzione si riduce al calcolo dell'equazione trigonometrica. Conoscendo la relazione tra i lati del triangolo e il seno dell'angolo, è facile calcolare il terzo lato. Per fare ciò, devi quadrare entrambi i lati e sommare i loro risultati. Quindi sottrai dal prodotto risultante il prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Se la zona è conosciuta

In questo caso, una formula non funzionerà.

1) Innanzitutto, calcola il peccato γ, esprimendolo dalla formula per l'area di un triangolo:

peccato γ= 2S/(a*b)

2) Di la seguente formula calcola il coseno dello stesso angolo:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) E ancora usiamo il teorema dei seni:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Sostituendo i valori delle variabili in questa equazione, otteniamo la risposta al problema.

In matematica, quando si considera un triangolo, viene prestata molta attenzione ai suoi lati. Perché questi elementi formano questa figura geometrica. I lati di un triangolo vengono utilizzati per risolvere molti problemi di geometria.

Definizione del concetto

I segmenti che uniscono tre punti che non giacciono sulla stessa retta si chiamano lati di un triangolo. Gli elementi in esame delimitano una parte del piano, che si chiama interno di questo figura geometrica.

I matematici nei loro calcoli consentono generalizzazioni riguardanti i lati delle figure geometriche. Pertanto, in un triangolo degenere, tre dei suoi segmenti giacciono su una linea retta.

Caratteristiche del concetto

Il calcolo dei lati di un triangolo implica la determinazione di tutti gli altri parametri della figura. Conoscendo la lunghezza di ciascuno di questi segmenti, puoi facilmente calcolare il perimetro, l'area e persino gli angoli del triangolo.

Riso. 1. Triangolo arbitrario.

Sommando i lati di una data figura, puoi determinare il perimetro.

P=a+b+c, dove a, b, c sono i lati del triangolo

E per trovare l'area di un triangolo, dovresti usare la formula di Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Dove p è il semiperimetro.

Gli angoli di una data figura geometrica vengono calcolati utilizzando il teorema del coseno.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Senso

Alcune proprietà di questa figura geometrica sono espresse attraverso il rapporto tra i lati di un triangolo:

• Di fronte al lato più piccolo di un triangolo c'è il suo angolo più piccolo.
• L'angolo esterno della figura geometrica in questione si ottiene prolungando uno dei lati.
• Contro angoli uguali un triangolo ha i lati uguali.
• In ogni triangolo uno dei lati è sempre maggiore della differenza degli altri due segmenti. E la somma di due lati qualsiasi di questa figura è maggiore del terzo.

Uno dei segni che due triangoli sono uguali è il rapporto tra la somma di tutti i lati della figura geometrica. Se questi valori sono gli stessi, i triangoli saranno uguali.

Alcune proprietà di un triangolo dipendono dal suo tipo. Pertanto, dovresti prima prendere in considerazione la dimensione dei lati o degli angoli di questa figura.

Formare triangoli

Se i due lati della figura geometrica in questione sono uguali, allora questo triangolo si dice isoscele.

Riso. 2. Triangolo isoscele.

Quando tutti i segmenti di un triangolo sono uguali, ottieni un triangolo equilatero.

Riso. 3. Triangolo equilatero.

È più conveniente eseguire qualsiasi calcolo nei casi in cui un triangolo arbitrario può essere classificato come un tipo specifico. Perché allora trovare il parametro richiesto di questa figura geometrica sarà notevolmente semplificato.

Sebbene un'equazione trigonometrica scelta correttamente consenta di risolvere molti problemi in cui viene considerato un triangolo arbitrario.

Cosa abbiamo imparato?

Tre segmenti collegati da punti e che non appartengono alla stessa retta formano un triangolo. Questi lati formano un piano geometrico, che viene utilizzato per determinare l'area. Usando questi segmenti puoi trovare molte caratteristiche importanti di una figura, come il perimetro e gli angoli. Le proporzioni di un triangolo aiutano a trovarne il tipo. Alcune proprietà di una data figura geometrica possono essere utilizzate solo se si conoscono le dimensioni di ciascuno dei suoi lati.

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Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli misura 90º. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, gli altri due cateti.

Per trovare l'angolo in un triangolo rettangolo si utilizzano alcune proprietà dei triangoli rettangoli, vale a dire: la somma degli angoli acuti è 90º, e anche il fatto che di fronte al cateto, la cui lunghezza è la metà dell'ipotenusa, si trova un angolo pari a 30º.

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Triangolo isoscele

Una delle proprietà del triangolo isoscele è che i suoi due angoli sono uguali. Per calcolare gli angoli di un triangolo isoscele rettangolo devi sapere che:

• Un angolo retto è 90º.
• I valori degli angoli acuti sono determinati dalla formula: (180º-90º)/2=45º, cioè gli angoli α e β sono uguali a 45º.

Se si conosce la dimensione di uno degli angoli acuti, il secondo può essere trovato utilizzando la formula: β=180º-90º-α, oppure α=180º-90º-β. Molto spesso questo rapporto viene utilizzato se uno degli angoli è 60º o 30º.

Concetti chiave

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180º. Poiché un angolo è retto, i restanti due saranno acuti. Per trovarli devi sapere che:

altri metodi

I valori degli angoli acuti di un triangolo rettangolo possono essere calcolati conoscendo il valore della mediana - una linea tracciata dal vertice al lato opposto del triangolo, e l'altezza - una linea retta, che è una perpendicolare abbassata da un angolo retto all'ipotenusa. Sia s la mediana tracciata dall'angolo retto al centro dell'ipotenusa, h l'altezza. In questo caso risulta che:

• peccato α=b/(2*s); peccato β =a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• peccato α=h/b; peccato β =h/a.

Due lati

Se in un triangolo rettangolo si conoscono le lunghezze dell'ipotenusa e di uno dei cateti, o di due cateti, si utilizzano le identità trigonometriche per trovare i valori degli angoli acuti:

• α=arcoseno(a/c), β=arcoseno(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).