Studenti e scolari: assistenza negli studi. Il concetto di serie di variazioni. Tipi di serie di variazioni Date le serie di variazioni

Il metodo di raggruppamento consente anche di misurare variazione(variabilità, fluttuazione) dei segni. Quando il numero di unità in una popolazione è relativamente piccolo, la variazione viene misurata in base al numero classificato di unità che compongono la popolazione. La serie si chiama classificato, se le unità sono disposte in ordine crescente (discendente) della caratteristica.

Tuttavia, le serie classificate sono abbastanza indicative quando è necessaria una caratteristica comparativa della variazione. Inoltre, in molti casi si ha a che fare con popolazioni statistiche costituite da un gran numero di unità, praticamente difficili da rappresentare sotto forma di serie specifiche. A questo proposito, per una prima conoscenza generale dei dati statistici e soprattutto per facilitare lo studio della variazione delle caratteristiche, i fenomeni e i processi studiati vengono solitamente combinati in gruppi, e i risultati del raggruppamento sono presentati sotto forma di tabelle di gruppo.

Se una tabella di gruppo ha solo due colonne: gruppi in base alla caratteristica selezionata (opzioni) e al numero di gruppi (frequenza o frequenza), viene chiamata vicino alla distribuzione.

Gamma di distribuzione - il tipo più semplice di raggruppamento strutturale basato su una caratteristica, visualizzato in una tabella di gruppo con due colonne contenenti varianti e frequenze della caratteristica. In molti casi, con un tale raggruppamento strutturale, ad es. Con la compilazione delle serie distributive inizia lo studio del materiale statistico iniziale.

Un raggruppamento strutturale sotto forma di serie di distribuzione può trasformarsi in un vero e proprio raggruppamento strutturale se i gruppi selezionati sono caratterizzati non solo dalle frequenze, ma anche da altri indicatori statistici. Lo scopo principale delle serie di distribuzione è studiare la variazione delle caratteristiche. La teoria delle serie di distribuzione è sviluppata in dettaglio dalla statistica matematica.

Le serie di distribuzione sono suddivise in attributivo(raggruppamento in base a caratteristiche attributive, ad esempio dividendo la popolazione per sesso, nazionalità, stato civile, ecc.) e variazionale(raggruppamento per caratteristiche quantitative).

Serie di variazioniè una tabella di gruppo che contiene due colonne: raggruppamento di unità in base a una caratteristica quantitativa e numero di unità in ciascun gruppo. Gli intervalli nelle serie di variazioni sono solitamente formati uguali e chiusi. La serie di variazioni è il seguente raggruppamento della popolazione russa in base al reddito monetario medio pro capite (Tabella 3.10).

Tabella 3.10

Distribuzione della popolazione russa in base al reddito medio pro capite nel periodo 2004-2009.

Gruppi di popolazione in base al reddito in contanti medio pro capite, rub./mese	Popolazione del gruppo,% del totale





8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Oltre 25.000,0
Tutta la popolazione

Le serie di variazioni, a loro volta, si dividono in discrete e intervallate. Discreto le serie di variazioni combinano varianti di caratteristiche discrete che variano entro limiti ristretti. Un esempio di serie di variazioni discrete è la distribuzione delle famiglie russe in base al numero di figli che hanno.

Intervallo le serie di variazioni combinano varianti di caratteristiche continue o caratteristiche discrete che variano in un ampio intervallo. L'intervallo è la serie di variazioni della distribuzione della popolazione russa in base al reddito monetario medio pro capite.

Le serie a variazioni discrete non vengono utilizzate molto spesso nella pratica. Nel frattempo, compilarli non è difficile, poiché la composizione dei gruppi è determinata dalle varianti specifiche che effettivamente possiedono le caratteristiche del raggruppamento studiato.

Le serie con variazione di intervallo sono più diffuse. Durante la loro compilazione, sorge una domanda difficile sul numero di gruppi e sulla dimensione degli intervalli che dovrebbero essere stabiliti.

I principi per risolvere questo problema sono esposti nel capitolo sulla metodologia per la costruzione dei raggruppamenti statistici (cfr. paragrafo 3.3).

Le serie di variazioni sono un mezzo per comprimere o comprimere informazioni diverse in una forma compatta; da esse si può esprimere un giudizio abbastanza chiaro sulla natura della variazione e studiare le differenze nelle caratteristiche dei fenomeni inclusi nell'insieme in esame. Ma il significato più importante delle serie di variazioni è che sulla base di esse vengono calcolate le speciali caratteristiche generalizzate della variazione (vedi capitolo 7).

Raggruppamento- è la divisione di una popolazione in gruppi omogenei secondo alcune caratteristiche.

Scopo del servizio. Utilizzando il calcolatore online potrai:

costruire una serie di varianti, costruisci un istogramma e un poligono;
trovare indicatori di variazione (media, modalità (anche graficamente), mediana, intervallo di variazione, quartili, decili, coefficiente di differenziazione quartile, coefficiente di variazione e altri indicatori);

Istruzioni. Per raggruppare una serie è necessario selezionare il tipo di serie di variazione ottenuta (discrete o intervallate) e indicare la quantità di dati (numero di righe). La soluzione risultante viene salvata in un file Word (vedi esempio di raggruppamento di dati statistici).

Se il raggruppamento è già stato effettuato e il serie di variazioni discrete O serie di intervalli, allora è necessario utilizzare il calcolatore online Indici di variazione. Testare l'ipotesi sul tipo di distribuzione viene effettuato utilizzando il servizio Studio del modulo di distribuzione.

Tipi di raggruppamenti statistici

Serie di variazioni. Nel caso di osservazioni di una variabile casuale discreta, lo stesso valore può essere riscontrato più volte. Tali valori x i di una variabile casuale vengono registrati indicando n i il numero di volte in cui appare in n osservazioni, questa è la frequenza di questo valore.
Nel caso di una variabile casuale continua, in pratica viene utilizzato il raggruppamento.

Raggruppamento tipologico- questa è la divisione della popolazione qualitativamente eterogenea oggetto di studio in classi, tipologie socioeconomiche, gruppi omogenei di unità. Per creare questo raggruppamento, utilizzare il parametro Serie di variazioni discrete.
Un raggruppamento è detto strutturale, in cui una popolazione omogenea è divisa in gruppi che ne caratterizzano la struttura secondo alcune caratteristiche variabili. Per creare questo raggruppamento, utilizzare il parametro Serie di intervalli.
Viene chiamato un raggruppamento che rivela le relazioni tra i fenomeni studiati e le loro caratteristiche gruppo analitico(vedi raggruppamento analitico delle serie).

Esempio n. 1. Sulla base dei dati nella tabella 2, costruisci serie di distribuzione per 40 banche commerciali della Federazione Russa. Utilizzando le serie di distribuzione risultanti, determinare: profitto in media per banca commerciale, investimenti creditizi in media per banca commerciale, valore modale e mediano del profitto; quartili, decili, intervallo di variazione, deviazione lineare media, deviazione standard, coefficiente di variazione.

Soluzione:
Nel capitolo "Tipo di serie statistiche" seleziona Serie discreta. Fare clic su Inserisci da Excel. Numero di gruppi: secondo la formula di Sturgess

Principi per la costruzione di raggruppamenti statistici

Viene chiamata una serie di osservazioni ordinate in ordine crescente serie di variazioni . Funzionalità di raggruppamentoè una caratteristica attraverso la quale una popolazione è divisa in gruppi separati. Si chiama la base del gruppo. Il raggruppamento può essere basato su caratteristiche sia quantitative che qualitative.
Dopo aver determinato la base del raggruppamento, si dovrebbe decidere la questione del numero di gruppi in cui dividere la popolazione studiata.

Quando si utilizzano personal computer per elaborare dati statistici, il raggruppamento di unità oggetto viene effettuato utilizzando procedure standard.
Una di queste procedure si basa sull'uso della formula di Sturgess per determinare il numero ottimale di gruppi:

k = 1+3,322*log(N)

Dove k è il numero di gruppi, N è il numero di unità di popolazione.

La lunghezza degli intervalli parziali viene calcolata come h=(x max -x min)/k

Successivamente si conta il numero di osservazioni che rientrano in questi intervalli, che vengono prese come frequenze n i . Poche frequenze, i cui valori sono inferiori a 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
I valori medi degli intervalli x i =(c i-1 +c i)/2 vengono presi come nuovi valori.

Esempio n.3. Come risultato di un campione casuale del 5%, è stata ottenuta la seguente distribuzione dei prodotti in base al contenuto di umidità. Calcolare: 1) percentuale media di umidità; 2) indicatori che caratterizzano le variazioni di umidità.
La soluzione è stata ottenuta utilizzando una calcolatrice: Esempio n. 1

Costruisci una serie di variazioni. Sulla base delle serie trovate, costruisci un poligono di distribuzione, un istogramma e cumula. Determinare la moda e la mediana.
Scarica la soluzione

Esempio. Secondo i risultati dell'osservazione del campione (campione A, Appendice):
a) effettuare una serie di variazioni;
b) calcolare le frequenze relative e le frequenze relative accumulate;
c) costruire un poligono;
d) creare una funzione di distribuzione empirica;
e) tracciare la funzione di distribuzione empirica;
f) calcolare caratteristiche numeriche: media aritmetica, dispersione, deviazione standard. Soluzione

Sulla base dei dati forniti nella Tabella 4 (Appendice 1) e corrispondenti alla tua opzione, esegui:

In base al raggruppamento strutturale, costruisci serie di frequenza variazionale e distribuzione cumulativa utilizzando intervalli chiusi uguali, prendendo il numero di gruppi pari a 6. Presenta i risultati sotto forma di tabella e visualizzali graficamente.
Analizzare la serie di variazioni della distribuzione calcolando:
- valore medio aritmetico della caratteristica;
- moda, mediana, 1° quartile, 1° e 9° decile;
- deviazione standard;
- il coefficiente di variazione.
Trarre conclusioni.

Richiesto: classificare la serie, costruire una serie di distribuzione a intervalli, calcolare il valore medio, variabilità del valore medio, moda e mediana per le serie classificate e a intervalli.

Sulla base dei dati iniziali, costruire una serie di variazioni discrete; presentarlo sotto forma di tabella statistica e grafici statistici. 2). Sulla base dei dati iniziali, costruisci una serie di variazioni di intervalli con intervalli uguali. Scegli tu stesso il numero di intervalli e spiega questa scelta. Presentare le serie di variazioni risultanti sotto forma di tabella statistica e grafici statistici. Indicare le tipologie di tabelle e grafici utilizzati.

Per determinare la durata media del servizio clienti in un fondo pensione, il cui numero di clienti è molto elevato, è stata condotta un'indagine su 100 clienti utilizzando uno schema di campionamento casuale e non ripetitivo. I risultati dell'indagine sono presentati nella tabella. Trovare:
a) i confini entro i quali è contenuta, con probabilità 0,9946, l'anzianità media di servizio di tutti i clienti del fondo pensione;
b) la probabilità che la quota di tutti i clienti del fondo con una durata del servizio inferiore a 6 minuti differisca dalla quota di tali clienti nel campione di non più del 10% (in valore assoluto);
c) il volume del campionamento ripetuto, in cui con una probabilità di 0,9907 si può affermare che la quota di tutti i clienti dei fondi con una durata del servizio inferiore a 6 minuti differisce dalla quota di tali clienti nel campione di non più di 10 % (in valore assoluto).
2. Secondo l'attività 1, utilizzando il test X2 di Pearson, al livello di significatività α = 0,05, verificare l'ipotesi che valore casuale X – tempo di servizio al cliente – è distribuito secondo una legge normale. Costruisci un istogramma della distribuzione empirica e della curva normale corrispondente in un disegno.
Scarica la soluzione

Viene fornito un campione di 100 elementi. Necessario:

Costruire una serie di variazioni classificate;
Trovare i termini massimi e minimi della serie;
Trova l'intervallo di variazione e il numero di intervalli ottimali per costruire una serie di intervalli. Trova la lunghezza dell'intervallo della serie di intervalli;
Costruisci una serie di intervalli. Trova le frequenze degli elementi campione che rientrano negli intervalli composti. Trova i punti medi di ciascun intervallo;
Costruisci un istogramma e un poligono di frequenza. Confrontare con distribuzione normale(analiticamente e graficamente);
Tracciare la funzione di distribuzione empirica;
Calcolare le caratteristiche numeriche del campione: media campionaria e momento campione centrale;
Calcola valori approssimativi di deviazione standard, asimmetria e curtosi (utilizzando il pacchetto di analisi MS Excel). Confrontare i valori calcolati approssimativi con quelli esatti (calcolati utilizzando le formule di MS Excel);
Confronta le caratteristiche grafiche selezionate con quelle teoriche corrispondenti.

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Sono disponibili i seguenti dati campione (campione 10%, meccanico) sulla produzione del prodotto e sull'importo del profitto, milioni di rubli. Secondo i dati originali:
Compito 13.1.
13.1.1. Costruisci una serie statistica di distribuzione delle imprese in base all'importo del profitto, formando cinque gruppi con intervalli uguali. Costruire grafici di serie di distribuzione.
13.1.2. Calcolare le caratteristiche numeriche della serie di distribuzione delle imprese in base all'importo del profitto: media aritmetica, deviazione standard, dispersione, coefficiente di variazione V. Trarre conclusioni.
Compito 13.2.
13.2.1. Determinare i confini entro i quali si trova, con probabilità 0,997, l’ammontare del profitto di un’impresa nella popolazione generale.
13.2.2. Utilizzando il test x2 di Pearson, al livello di significatività α, verifica l'ipotesi che la variabile casuale X - l'importo del profitto - sia distribuita secondo una legge normale.
Compito 13.3.
13.3.1. Determinare i coefficienti dell'equazione di regressione campionaria.
13.3.2. Stabilire la presenza e la natura della correlazione tra il costo dei prodotti fabbricati (X) e l'importo del profitto per impresa (Y). Costruisci un grafico a dispersione e una retta di regressione.
13.3.3. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare. Utilizzando il test t di Student, verificare la significatività del coefficiente di correlazione. Traccia una conclusione sulla stretta relazione tra i fattori X e Y utilizzando la scala di Chaddock.
Linee guida . L'attività 13.3 viene eseguita utilizzando questo servizio.
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Compito. I seguenti dati rappresentano il tempo impiegato dai clienti nella conclusione dei contratti. Costruisci una serie di variazioni di intervalli dei dati presentati, un istogramma, trova una stima imparziale aspettativa matematica, stimatore della varianza distorto e imparziale.

Esempio. Secondo la tabella 2:
1) Costruire serie di distribuzione per 40 banche commerciali della Federazione Russa:
A) in termini di profitto;
B) per l'importo degli investimenti creditizi.
2) Utilizzando le serie di distribuzione ottenute, determinare:
A) profitto medio per banca commerciale;
B) investimenti creditizi in media per banca commerciale;
C) valore modale e mediano del profitto; quartili, decili;
D) valore modale e mediano degli investimenti creditizi.
3) Utilizzando le righe di distribuzione ottenute nel passaggio 1, calcolare:
a) intervallo di variazione;
b) deviazione lineare media;
c) deviazione standard;
d) coefficiente di variazione.
Completa i calcoli necessari in forma tabellare. Analizzare i risultati. Trarre conclusioni.
Tracciare i grafici delle serie di distribuzione risultanti. Determinare graficamente la moda e la mediana.

Soluzione:
Per costruire un raggruppamento con intervalli uguali, utilizzeremo il servizio Raggruppamento dati statistici.

Figura 1 – Inserimento parametri

Descrizione dei parametri
Numero di righe: numero di dati in ingresso. Se la dimensione della riga è piccola, indicarne la quantità. Se la selezione è sufficientemente grande, fare clic sul pulsante Inserisci da Excel.
Numero di gruppi: 0 – il numero di gruppi sarà determinato dalla formula di Sturgess.
Se viene specificato un numero specifico di gruppi, specificarlo (ad esempio, 5).
Tipo di serie: Serie discreta.
Livello di significatività: ad esempio 0,954 . Questo parametro è impostato per determinare l'intervallo di confidenza della media.
Campione: Ad esempio, è stato effettuato un campionamento meccanico del 10%. Indichiamo il numero 10. Per i nostri dati indichiamo 100.

Viene chiamato un insieme di oggetti o fenomeni uniti da qualche caratteristica o proprietà comune di natura qualitativa o quantitativa oggetto di osservazione .

Ogni oggetto di osservazione statistica è costituito da singoli elementi: unità di osservazione .

I risultati dell'osservazione statistica rappresentano informazioni numeriche - dati . Dati statistici - si tratta di informazioni su quali valori ha assunto la caratteristica di interesse del ricercatore nella popolazione statistica.

Se i valori di una caratteristica sono espressi in numeri, viene chiamata la caratteristica quantitativo .

Se un segno caratterizza una proprietà o uno stato degli elementi di una popolazione, viene chiamato segno alta qualità .

Se tutti gli elementi di una popolazione sono oggetto di studio (osservazione continua), allora viene chiamata popolazione statistica generale

Se una parte degli elementi della popolazione generale è oggetto di ricerca, allora viene chiamata popolazione statistica selettivo (campionamento) . Un campione da una popolazione viene estratto a caso in modo che ciascuno degli n elementi del campione abbia la stessa probabilità di essere selezionato.

I valori di una caratteristica cambiano (variano) quando si passa da un elemento della popolazione a un altro, quindi in statistica vengono anche chiamati diversi valori di una caratteristica opzioni . Le opzioni sono solitamente indicate con lettere latine minuscole x, y, z.

Viene richiamato il numero di serie dell'opzione (valore caratteristico). rango . x 1 - 1a opzione (1° valore dell'attributo), x 2 - 2a opzione (2° valore dell'attributo), x i - i-esima opzione (i-esimo valore cartello).

Viene chiamata una serie di valori di attributi (opzioni) ordinati in ordine crescente o decrescente con i relativi pesi serie di variazione (serie di distribuzione).

COME bilancia appaiono frequenze o frequenze.

Frequenza(m i) mostra quante volte questa o quella opzione (valore dell'attributo) si verifica nella popolazione statistica.

Frequenza o frequenza relativa(w i) mostra quale parte delle unità di popolazione ha l'una o l'altra opzione. La frequenza viene calcolata come il rapporto tra la frequenza di una particolare opzione e la somma di tutte le frequenze della serie.

. (6.1)

La somma di tutte le frequenze è 1.

. (6.2)

Le serie di variazioni sono discrete e intervallate.

Serie di variazioni discrete Di solito vengono costruiti se i valori della caratteristica studiata possono differire tra loro non meno di una certa quantità finita.

Nelle serie di variazioni discrete, vengono specificati i valori puntuali della caratteristica.

La visione generale delle serie di variazioni discrete è mostrata nella Tabella 6.1.

Tabella 6.1

dove i = 1, 2, … , l.

Nelle serie di variazioni di intervallo, in ciascun intervallo si distinguono i limiti superiore e inferiore dell'intervallo.

Viene chiamata la differenza tra i limiti superiore e inferiore dell'intervallo differenza di intervallo O lunghezza (valore) dell'intervallo .

Il valore del primo intervallo k 1 è determinato dalla formula:

k1= un 2 - un 1;

secondo: k2= un 3 - un 2; ...

ultimo: k l = un l - un l -1 .

Generalmente differenza di intervallo k i si calcola con la formula:

k io = x io (massimo) - x io (min) . (6.3)

Se un intervallo ha entrambi i confini, allora viene chiamato Chiuso .

Il primo e l'ultimo intervallo possono essere aprire , cioè. hanno un solo confine.

Ad esempio, il primo intervallo può essere impostato come "fino a 100", il secondo - "100-110", ..., il penultimo - "190-200", l'ultimo - "200 e oltre". Ovviamente il primo intervallo non ha limite inferiore, e l'ultimo non ha limite superiore; entrambi sono aperti.

Spesso gli intervalli aperti devono essere chiusi condizionatamente. Per fare ciò, di solito il valore del primo intervallo viene preso uguale al valore del secondo e il valore dell'ultimo al valore del penultimo. Nel nostro esempio il valore del secondo intervallo è 110-100=10, quindi il limite inferiore del primo intervallo sarà condizionalmente 100-10=90; il valore del penultimo intervallo è 200-190=10, pertanto il limite superiore dell'ultimo intervallo sarà condizionalmente 200+10=210.

Inoltre, in una serie di variazioni di intervalli possono esserci intervalli di diversa lunghezza. Se gli intervalli in una serie di variazioni hanno la stessa lunghezza (differenza di intervallo), vengono chiamati di dimensioni uguali , Altrimenti - di dimensioni disuguali.

Quando si costruisce una serie di variazioni di intervalli, spesso si pone il problema della scelta della dimensione degli intervalli (differenza di intervallo).

Per determinare la dimensione ottimale degli intervalli (nel caso in cui una serie sia costruita con intervalli uguali), utilizzare Formula di Sturgess:

, (6.4)

dove n è il numero di unità della popolazione,

x (max) e x (min): i valori più grande e più piccolo delle opzioni della serie.

Per caratterizzare le serie di variazioni, insieme a frequenze e frequenze, vengono utilizzate frequenze e frequenze accumulate.

Frequenze accumulate (frequenze) mostrare quante unità della popolazione (quale parte di esse) non superano un dato valore (variante) x.

Frequenze accumulate ( v i) basato su dati di serie discrete può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

. (6.5)

Per una serie di variazioni di intervalli, questa è la somma delle frequenze (frequenze) di tutti gli intervalli che non superano questo.

Una serie di variazioni discrete può essere rappresentata graficamente utilizzando poligono o frequenze di distribuzione della frequenza.

Quando si costruisce un poligono di distribuzione, i valori delle caratteristiche (varianti) vengono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le frequenze o frequenze vengono tracciate lungo l'asse delle ordinate. All'intersezione dei valori degli attributi e delle frequenze corrispondenti (frequenze), vengono posti dei punti che, a loro volta, sono collegati da segmenti. La linea spezzata risultante è chiamata poligono di distribuzione della frequenza (frequenza).

x1 xi

Riso. 6.1.

Le serie di variazioni di intervallo possono essere rappresentate graficamente utilizzando istogrammi, cioè. grafico a barre.

Quando si costruisce un istogramma, i valori della caratteristica studiata (confini dell'intervallo) vengono tracciati lungo l'asse delle ascisse.

Nel caso in cui gli intervalli abbiano la stessa dimensione, le frequenze o le frequenze possono essere tracciate lungo l'asse delle ordinate.

Se gli intervalli hanno dimensioni diverse, i valori della densità di distribuzione assoluta o relativa devono essere tracciati lungo l'asse delle ordinate.

Densità assoluta- rapporto tra la frequenza dell'intervallo e la dimensione dell'intervallo:

; (6.6)

dove: f(a) i - densità assoluta dell'intervallo i-esimo;

m i - frequenza dell'intervallo i-esimo;

k i - il valore dell'intervallo i-esimo (differenza di intervallo).

La densità assoluta mostra quante unità di popolazione ci sono per intervallo unitario.

Densità relativa- rapporto tra la frequenza dell'intervallo e la dimensione dell'intervallo:

; (6.7)

dove: f(о) i - densità relativa dell'i-esimo intervallo;

w i - frequenza dell'intervallo i-esimo.

La densità relativa mostra quale parte delle unità di popolazione rientra in un'unità dell'intervallo.

un 1 x i

un 2

Sia le serie di variazioni discrete che quelle intervallate possono essere rappresentate graficamente sotto forma di cumuli e ogive.

Durante la costruzione cumula secondo i dati di una serie discreta, i valori delle caratteristiche (varianti) sono tracciati lungo l'asse x e le frequenze o frequenze accumulate sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. All'intersezione dei valori dell'attributo (varianti) e delle corrispondenti frequenze accumulate (frequenze), vengono costruiti punti che, a loro volta, sono collegati da segmenti o una curva. La linea spezzata (curva) risultante è chiamata cumulata (curva cumulativa).

Quando si costruiscono cumuli basati sui dati di una serie di intervalli, i confini degli intervalli vengono tracciati lungo l'asse delle ascisse. Le ascisse dei punti sono i limiti superiori degli intervalli. Le ordinate formano le frequenze accumulate (frequenze) degli intervalli corrispondenti. Spesso viene aggiunto un altro punto, la cui ascissa è il limite inferiore del primo intervallo e l'ordinata è zero. Collegando i punti con segmenti o con una curva, otteniamo un cumulato.

Ogivaè costruito in modo simile ad un cumulo con l'unica differenza che i punti corrispondenti alle frequenze accumulate (frequenze) sono riportati sull'asse delle ascisse, mentre i valori delle caratteristiche (varianti) sono riportati sull'asse delle ordinate.

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Il concetto di serie di variazioni. Il primo passo nella sistematizzazione dei materiali di osservazione statistica è contare il numero di unità che hanno una caratteristica particolare. Disponendo le unità in ordine crescente o decrescente secondo la loro caratteristica quantitativa e contando il numero di unità con un determinato valore della caratteristica, otteniamo una serie di variazioni. Una serie di variazioni caratterizza la distribuzione delle unità di una determinata popolazione statistica secondo alcune caratteristiche quantitative.

La serie di variazioni è composta da due colonne, la colonna di sinistra contiene i valori delle caratteristiche variabili, chiamate varianti e indicate con (x), e la colonna di destra contiene numeri assoluti che mostrano quante volte si verifica ciascuna variante. Gli indicatori in questa colonna sono chiamati frequenze e sono designati (f).

Le serie di variazioni possono essere presentate schematicamente sotto forma di Tabella 5.1:

Tabella 5.1

Tipo di serie di variazione

Opzioni (x)	Frequenze (f)

Nella colonna di destra possono essere utilizzati anche indicatori relativi che caratterizzano la quota della frequenza delle singole opzioni sulla somma totale delle frequenze. Questi indicatori relativi sono chiamati frequenze e sono convenzionalmente indicati con , cioè . La somma di tutte le frequenze è uguale a uno. Le frequenze possono anche essere espresse in percentuale, e quindi la loro somma sarà pari al 100%.

I segni diversi possono essere di diversa natura. Le varianti di alcune caratteristiche sono espresse in numeri interi, ad esempio il numero di stanze in un appartamento, il numero di libri pubblicati, ecc. Questi segni sono chiamati discontinui o discreti. Le varianti di altre caratteristiche possono assumere qualsiasi valore entro determinati limiti, come l'adempimento dei compiti pianificati, i salari, ecc. Queste caratteristiche sono chiamate continue.

Serie di variazioni discrete. Se le varianti della serie di variazioni sono espresse nel modulo quantità discrete, allora tale serie di variazioni è chiamata discreta; il suo aspetto è presentato nella tabella. 5.2:

Tabella 5.2

Distribuzione degli studenti per voto d'esame

Valutazioni (x)	Numero di studenti (f)	In % del totale ()

La natura della distribuzione in serie discrete è rappresentata graficamente sotto forma di un poligono di distribuzione, Fig. 5.1.

Riso. 5.1. Distribuzione degli studenti in base ai voti ottenuti all'esame.

Serie di variazioni di intervallo. Per le caratteristiche continue, le serie di variazioni sono costruite come serie di intervalli, cioè i valori delle caratteristiche in essi contenuti sono espressi sotto forma di intervalli “da e a”. In questo caso, il valore minimo della caratteristica in tale intervallo è chiamato limite inferiore dell'intervallo e il massimo è chiamato limite superiore dell'intervallo.

Le serie di variazioni di intervallo sono costruite sia per caratteristiche discontinue (discrete) sia per quelle che variano in un ampio intervallo. Le righe di intervallo possono avere intervalli uguali o diversi. Nella pratica economica vengono utilizzati intervalli per lo più disuguali, progressivamente crescenti o decrescenti. Questa esigenza nasce soprattutto nei casi in cui la fluttuazione di una caratteristica avviene in modo non uniforme ed entro ampi limiti.

Consideriamo il tipo di serie di intervalli con intervalli uguali, tabella. 5.3:

Tabella 5.3

Distribuzione dei lavoratori per produzione

Uscita, t.r. (X)	Numero di lavoratori (f)	Frequenza cumulativa (f´)

La serie di distribuzione degli intervalli è rappresentata graficamente sotto forma di istogramma, Fig. 5.2.

Fig.5.2. Distribuzione dei lavoratori per produzione

Frequenza accumulata (cumulativa). In pratica, è necessario trasformare le serie di distribuzione in serie cumulative, costruito in base alle frequenze accumulate. Con il loro aiuto, puoi determinare le medie strutturali che facilitano l'analisi dei dati delle serie di distribuzione.

Le frequenze cumulative sono determinate aggiungendo sequenzialmente alle frequenze (o frequenze) del primo gruppo questi indicatori dei gruppi successivi delle serie di distribuzione. Cumuli e ogive vengono utilizzati per illustrare le serie di distribuzione. Per costruirli, i valori della caratteristica discreta (o le estremità degli intervalli) sono segnati sull'asse delle ascisse, e i totali cumulativi delle frequenze (cumulati) sono segnati sull'asse delle ordinate, Fig. 5.3.

Riso. 5.3. Distribuzione cumulativa dei lavoratori per produzione

Se le scale delle frequenze e delle opzioni sono invertite, ad es. l'asse delle ascisse riflette le frequenze accumulate e l'asse delle ordinate mostra i valori delle varianti, quindi la curva che caratterizza la variazione delle frequenze da gruppo a gruppo sarà chiamata ogiva di distribuzione, Fig. 5.4.

Riso. 5.4. Ogiva di distribuzione dei lavoratori per produzione

Le serie di variazioni con intervalli uguali forniscono uno dei requisiti più importanti per le serie di distribuzione statistica, garantendo la loro comparabilità nel tempo e nello spazio.

Densità di distribuzione. Tuttavia, le frequenze dei singoli intervalli disuguali nelle serie citate non sono direttamente confrontabili. In tali casi, per garantire la necessaria comparabilità, viene calcolata la densità di distribuzione, ovvero determinare quante unità in ciascun gruppo sono per unità del valore dell'intervallo.

Quando si costruisce un grafico della distribuzione di una serie di variazioni con intervalli disuguali, l'altezza dei rettangoli è determinata in proporzione non alle frequenze, ma agli indicatori di densità della distribuzione dei valori della caratteristica studiata nel corrispondente intervalli.

La redazione di una serie di variazioni e la sua rappresentazione grafica è il primo passo nell'elaborazione dei dati iniziali e la prima fase nell'analisi della popolazione oggetto di studio. Il passo successivo nell'analisi delle serie di variazioni consiste nel determinare i principali indicatori generali, chiamati caratteristiche della serie. Queste caratteristiche dovrebbero dare un'idea del valore medio della caratteristica tra le unità di popolazione.

valore medio. Il valore medio è una caratteristica generalizzata della caratteristica studiata nella popolazione in studio, che riflette il suo livello tipico per unità di popolazione in condizioni specifiche di luogo e tempo.

Il valore medio è sempre nominato e ha la stessa dimensione della caratteristica delle singole unità della popolazione.

Prima di calcolare i valori medi è necessario raggruppare le unità della popolazione oggetto di studio, individuando gruppi qualitativamente omogenei.

La media calcolata per la popolazione nel suo insieme è chiamata media complessiva e per ciascun gruppo - medie di gruppo.

Esistono due tipi di medie: potenza (media aritmetica, media armonica, media geometrica, media quadratica); strutturale (modalità, mediana, quartili, decili).

La scelta della media per il calcolo dipende dallo scopo.

Tipi di medie di potenza e metodi per il loro calcolo. Nella pratica dell'elaborazione statistica del materiale raccolto sorgono vari problemi, la cui soluzione richiede medie diverse.

La statistica matematica ricava varie medie dalle formule della media della potenza:

dov'è il valore medio; x – opzioni individuali (valori delle funzionalità); z – esponente (con z = 1 – media aritmetica, z = 0 media geometrica, z = - 1 – media armonica, z = 2 – media quadrata).

Tuttavia, la questione su quale tipo di media dovrebbe essere applicata in ogni singolo caso è risolta analisi specifica la popolazione oggetto di studio.

Il tipo più comune di media nelle statistiche è significato aritmetico. Viene calcolato nei casi in cui il volume della caratteristica media è formato come la somma dei suoi valori per le singole unità della popolazione statistica studiata.

A seconda della natura dei dati di origine, la media aritmetica viene determinata in vari modi:

Se i dati non sono raggruppati, il calcolo viene eseguito utilizzando la formula della media semplice

Calcolo della media aritmetica in una serie discreta avviene secondo la formula 3.4.

Calcolo della media aritmetica in una serie di intervalli. In una serie di variazioni di intervallo, dove il valore di una caratteristica in ciascun gruppo è convenzionalmente considerato pari al centro dell'intervallo, la media aritmetica può differire dalla media calcolata da dati non raggruppati. Inoltre, maggiore è l'intervallo tra i gruppi, maggiori saranno le possibili deviazioni della media calcolata dai dati raggruppati dalla media calcolata dai dati non raggruppati.

Quando si calcola la media su una serie di variazioni di intervalli, per eseguire i calcoli necessari, ci si sposta dagli intervalli ai loro punti medi. E poi la media viene calcolata utilizzando la formula della media aritmetica ponderata.

Proprietà della media aritmetica. La media aritmetica ha alcune proprietà che permettono di semplificare i calcoli; consideriamole.

1. La media aritmetica dei numeri costanti è uguale a questo numero costante.

Se x = a. Poi .

2. Se i pesi di tutte le opzioni vengono modificati proporzionalmente, ad es. aumenta o diminuisce dello stesso numero di volte, la media aritmetica della nuova serie non cambierà.

Se tutti i pesi f vengono ridotti di k volte, allora .

3. La somma delle deviazioni positive e negative delle singole opzioni dalla media, moltiplicata per i pesi, è uguale a zero, vale a dire

Se poi. Da qui.

Se tutte le opzioni vengono ridotte o aumentate di un numero qualsiasi, la media aritmetica della nuova serie diminuirà o aumenterà della stessa quantità.

Riduciamo tutte le opzioni X SU UN, cioè. X´ = X– UN.

Poi

La media aritmetica della serie originaria si ottiene sommando alla media ridotta il numero precedentemente sottratto alle opzioni UN, cioè. .

5. Se tutte le opzioni vengono ridotte o aumentate K volte, la media aritmetica della nuova serie diminuirà o aumenterà della stessa quantità, cioè V K una volta.

Lascia che sia allora .

Quindi, cioè per ottenere la media della serie originaria occorre incrementare la media aritmetica della nuova serie (con opzioni ridotte) di K una volta.

Media armonica. La media armonica è il reciproco della media aritmetica. Si usa quando informazioni statistiche non contiene frequenze per varianti individuali della popolazione, ma è presentato come il loro prodotto (M = xf). La media armonica verrà calcolata utilizzando la formula 3.5

L'applicazione pratica della media armonica è quella di calcolare alcuni indici, in particolare l'indice dei prezzi.

Media geometrica. Quando si utilizza la media geometrica, i valori individuali di una caratteristica sono, di regola, valori relativi della dinamica, costruiti sotto forma di valori a catena, come rapporto con il livello precedente di ciascun livello in una serie di dinamiche. La media caratterizza quindi il tasso di crescita medio.

Il valore medio geometrico viene utilizzato anche per determinare il valore equidistante dai valori massimo e minimo della caratteristica. Per esempio, Compagnia assicurativa conclude contratti per la fornitura di servizi di assicurazione auto. A seconda dello specifico evento assicurato, la rata assicurativa può variare da 10.000 a 100.000 dollari all'anno. L'importo medio dei pagamenti assicurativi sarà di USD.

La media geometrica è una quantità utilizzata come media di rapporti o in serie di distribuzione presentate sotto forma di progressione geometrica quando z = 0. Questa media è conveniente da utilizzare quando si presta attenzione non alle differenze assolute, ma ai rapporti di due numeri.

Le formule per il calcolo sono le seguenti

dove sono le varianti della caratteristica mediata; – prodotto di opzioni; F– frequenza delle opzioni.

La media geometrica viene utilizzata nei calcoli dei tassi di crescita medi annuali.

Quadrato medio. La formula quadrata media viene utilizzata per misurare il grado di fluttuazione dei singoli valori di una caratteristica attorno alla media aritmetica nella serie di distribuzione. Pertanto, quando si calcolano gli indicatori di variazione, la media viene calcolata dalle deviazioni al quadrato dei singoli valori di una caratteristica dalla media aritmetica.

Il valore della radice quadrata viene calcolato utilizzando la formula

IN ricerca economica il quadrato medio in forma modificata è ampiamente utilizzato nel calcolo degli indicatori di variazione di una caratteristica, come dispersione, deviazione standard.

La legge della maggioranza. Esiste la seguente relazione tra le medie di potenza: maggiore è l'esponente, maggiore è il valore della media, Tabella 5.4:

Tabella 5.4

Rapporto tra le medie

valore z
Rapporto tra le medie

Questa relazione è chiamata regola della maggioranza.

Medie strutturali. Per caratterizzare la struttura della popolazione vengono utilizzati indicatori speciali, che possono essere chiamati medie strutturali. Questi indicatori includono la moda, la mediana, i quartili e i decili.

Moda. La moda (Mo) è il valore più frequente di una caratteristica tra le unità di popolazione. La moda è il valore dell'attributo che corrisponde al punto massimo della curva di distribuzione teorica.

La moda è ampiamente utilizzata nella pratica commerciale quando si studia la domanda dei consumatori (quando si determinano le taglie di vestiti e scarpe che sono molto richiesti) e si registrano i prezzi. Potrebbero esserci diverse mod in totale.

Calcolo della moda in una serie discreta. In una serie discreta, la modalità è la variante con la frequenza più alta. Consideriamo l'individuazione di un modo in una serie discreta.

Calcolo della moda in una serie di intervalli. In una serie di variazioni di intervallo, la modalità è approssimativamente considerata la variante centrale dell'intervallo modale, cioè l'intervallo che ha la frequenza più alta (frequenza). All'interno dell'intervallo è necessario trovare il valore dell'attributo che rappresenta la modalità. Per una serie di intervalli, la modalità sarà determinata dalla formula

dov'è il limite inferiore dell'intervallo modale; – il valore dell'intervallo modale; – frequenza corrispondente all'intervallo modale; – frequenza precedente l'intervallo modale; – frequenza dell'intervallo successivo a quello modale.

Mediano. Mediana () è il valore dell'attributo dell'unità centrale della serie classificata. Una serie classificata è una serie in cui i valori degli attributi sono scritti in ordine crescente o decrescente. Oppure la mediana è un valore che divide il numero di una serie di variazioni ordinate in due parti uguali: una parte ha un valore della caratteristica variabile inferiore all'opzione media e l'altra ha un valore maggiore.

Per trovare la mediana, determina prima il suo numero ordinale. Per fare ciò, se il numero di unità è dispari, si aggiunge uno alla somma di tutte le frequenze e il tutto viene diviso per due. Con un numero pari di unità, la mediana si trova come il valore dell'attributo di un'unità, il cui numero seriale è determinato dalla somma totale delle frequenze divisa per due. Conoscendo il numero progressivo della mediana è facile ricavarne il valore utilizzando le frequenze accumulate.

Calcolo della mediana in una serie discreta. Secondo l'indagine campionaria sono stati ottenuti i dati sulla distribuzione delle famiglie per numero di figli, tabella. 5.5. Per determinare la mediana, determiniamo prima il suo numero ordinale

Poi costruiremo una serie di frequenze accumulate (, utilizzando il numero di serie e la frequenza accumulata troveremo la mediana. La frequenza accumulata di 33 mostra che in 33 famiglie il numero di figli non supera 1 bambino, ma poiché il numero di la mediana è 50, la mediana sarà compresa tra 34 e 55 famiglie.

Tabella 5.5

Distribuzione del numero delle famiglie in base al numero dei figli

Numero di figli in famiglia

Numero di famiglie, – il valore dell'intervallo mediano;

Tutte le forme considerate di medie di potenza hanno una proprietà importante (a differenza delle medie strutturali): la formula per determinare la media include tutti i valori della serie, ad es. la dimensione della media è influenzata dal valore di ciascuna opzione.

Da un lato, questa è una proprietà molto positiva perché in questo caso viene preso in considerazione l'effetto di tutte le cause che interessano tutte le unità della popolazione oggetto di studio. D'altra parte, anche una sola osservazione inclusa per caso nei dati di origine può distorcere significativamente l'idea del livello di sviluppo del tratto studiato nella popolazione considerata (soprattutto nelle serie brevi).

Quartili e decili. Per analogia con la ricerca della mediana nelle serie di variazioni, è possibile trovare il valore di una caratteristica per qualsiasi unità della serie classificata. Quindi, in particolare, puoi trovare il valore dell'attributo per le unità che dividono una serie in 4 parti uguali, in 10, ecc.

Quartili. Le opzioni che dividono la serie classificata in quattro parti uguali sono chiamate quartili.

In questo caso, distinguono: il quartile inferiore (o primo) (Q1) - il valore dell'attributo per un'unità della serie classificata, dividendo la popolazione nel rapporto da ¼ a ¾ e il quartile superiore (o terzo) ( Q3) - il valore dell'attributo per l'unità della serie classificata, dividendo la popolazione nel rapporto da ¾ a ¼.

Il secondo quartile è la mediana Q2 = Me. I quartili inferiore e superiore in una serie di intervalli vengono calcolati utilizzando una formula simile alla mediana.

dove è il limite inferiore dell'intervallo contenente rispettivamente il quartile inferiore e quello superiore;

– frequenza cumulativa dell'intervallo che precede l'intervallo contenente il quartile inferiore o superiore;

– frequenze degli intervalli quartili (inferiore e superiore)

Gli intervalli contenenti Q1 e Q3 sono determinati dalle frequenze (o frequenze) accumulate.

decili. Oltre ai quartili, vengono calcolati i decili, opzioni che dividono la serie classificata in 10 parti uguali.

Sono designati con D, il primo decile D1 divide la serie nel rapporto tra 1/10 e 9/10, il secondo D2 - 2/10 e 8/10, ecc. Sono calcolati secondo lo stesso schema della mediana e dei quartili.

Sia la mediana, i quartili che i decili appartengono alla cosiddetta statistica ordinale, intesa come un'opzione che occupa un certo posto ordinale nella serie classificata.

ACCADEMIA RUSSA DELL'ECONOMIA NAZIONALE E DEL SERVIZIO PUBBLICO sotto il PRESIDENTE DELLA FEDERAZIONE RUSSA

FILIALE DI ORYOL

Dipartimento di Matematica e metodi matematici nella gestione

Lavoro indipendente

Matematica

sul tema “Serie di variazioni e sue caratteristiche”

per studenti dipartimento a tempo pieno Facoltà di Economia e Management

aree di formazione "Gestione delle Risorse Umane"

Obiettivo del lavoro: Padroneggiare i concetti statistica matematica e modalità del trattamento primario dei dati.

Un esempio di risoluzione di problemi tipici.

Compito 1.

Attraverso l’indagine () sono stati ottenuti i seguenti dati:

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

Necessario:

1) Comporre una serie di variazioni ( distribuzione statistica campioni), avendo precedentemente annotato una serie discreta di opzioni classificate.

2) Costruisci un poligono di frequenza e cumula.

3) Compilare una serie di distribuzioni di frequenze relative (frequenze).

4) Trovare le principali caratteristiche numeriche della serie di variazioni (usare formule semplificate per trovarle): a) media aritmetica, b) mediana Mah e moda Mo, c) dispersione S 2, d) deviazione standard S, e) coefficiente di variazione V.

5) Spiegare il significato dei risultati ottenuti.

Soluzione.

1) Compilare serie discrete di opzioni classificate Ordiniamo i dati del sondaggio per dimensione e disponiamoli in ordine crescente

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Componiamo una serie di variazioni scrivendo i valori osservati (varianti) nella prima riga della tabella, e le frequenze corrispondenti nella seconda (Tabella 1)

Tabella 1.

2) Un poligono di frequenza è una linea spezzata che collega i punti ( x io; no io), io=1, 2,…, M, Dove M X.

Rappresentiamo il poligono delle frequenze della serie di variazioni (Fig. 1).

Fig. 1. Poligono di frequenza

La curva cumulativa (cumulata) per una serie di variazioni discrete rappresenta una linea spezzata che collega i punti ( x io; no, no), io=1, 2,…, M.

Troviamo le frequenze accumulate no, no(la frequenza accumulata mostra quante varianti sono state osservate con un valore caratteristico inferiore X). Inseriamo i valori trovati nella terza riga della Tabella 1.

Costruiamo un cumulo (Fig. 2).

Fig.2. Cumula

3) Troviamo le frequenze relative (frequenze), dove, dove M– numero di valori caratteristici diversi X, che calcoleremo con uguale precisione.

Scriviamo la serie di distribuzione delle frequenze relative (frequenze) sotto forma di Tabella 2

Tavolo 2

4) Troviamo le principali caratteristiche numeriche della serie di variazione:

a) Trova la media aritmetica utilizzando una formula semplificata:

dove sono le opzioni condizionali

Mettiamo Con= 3 (uno dei valori medi osservati), K= 1 (la differenza tra due opzioni vicine) e redigere una tabella di calcolo (Tabella 3).

Tabella 3.

x io	N io	tu io	tu io io	u io 2 n io
		-3	-12
		-2	-26
		-1	-14





Somma			-11

Quindi la media aritmetica

b) Mediana Mah la serie di variazioni è il valore della caratteristica che cade al centro della serie di osservazioni classificata. Questa serie di variazioni discrete contiene un numero pari di termini ( N=80), il che significa che la mediana è pari alla metà della somma delle due opzioni centrali.

Moda Mo la serie di variazione è chiamata l'opzione che corrisponde alla frequenza più alta. Per una determinata serie di variazioni, la frequenza più alta N max = 24 corrisponde all'opzione X= 3, significa moda Mo=3.

c) Varianza S 2, che è una misura della dispersione dei possibili valori dell'indicatore X attorno al suo valore medio, lo troviamo utilizzando una formula semplificata:

, Dove tu io– opzioni condizionali

Includeremo anche i calcoli intermedi nella Tabella 3.

Poi la varianza

d) Deviazione standard S lo troviamo utilizzando la formula:

e) Coefficiente di variazione V: (),

Il coefficiente di variazione è una quantità incommensurabile, quindi è adatto per confrontare la dispersione di serie di variazioni, le cui varianti hanno dimensioni diverse.

Il coefficiente di variazione

5) Il significato dei risultati ottenuti è che il valore caratterizza il valore medio della caratteristica X all'interno del campione in esame, cioè, il valore medio era 2,86. Deviazione standard S descrive la diffusione assoluta dei valori degli indicatori X e dentro in questo caso ammonta a S≈ 1,55. Il coefficiente di variazione V caratterizza la variabilità relativa dell’indicatore X, ovvero lo spread relativo attorno al suo valore medio, e in questo caso è .

Risposta: ; ; ; .

Compito 2.

Sul capitale proprio delle 40 maggiori banche della Russia centrale sono disponibili i seguenti dati:

12,0	49,4	22,4	39,3	90,5	15,2	75,0	73,0	62,3	25,2
70,4	50,3	72,0	71,6	43,7	68,3	28,3	44,9	86,6	61,0
41,0	70,9	27,3	22,9	88,6	42,5	41,9	55,0	56,9	68,1
120,8	52,4	42,0	119,3	49,6	110,6	54,5	99,3	111,5	26,1

Necessario:

1) Costruire una serie di variazioni di intervalli.

2) Calcolare la media campionaria e la varianza campionaria

3) Trova la deviazione standard e il coefficiente di variazione.

4) Costruire un istogramma delle distribuzioni di frequenza.

Soluzione.

1) Scegliamo un numero arbitrario di intervalli, ad esempio 8. Quindi la larghezza dell'intervallo è:

Creiamo una tabella di calcolo:

Opzione intervallo, x k –x k +1	Frequenza, no io	Metà dell'intervallo x io	Opzione condizionale, e io	e io n io	e io 2 no io	(e io+ 1) 2 no io
10 – 25		17,5	– 3	– 12
25 – 40		32,5	– 2	– 10
40 – 55		47,5	– 1	– 11
55 – 70		62,5
70 – 85		77,5
85 – 100		92,5
100 – 115		107,5
115 – 130		122,5
Somma				– 5

Il valore selezionato come falso zero è c= 62.5 (questa opzione si trova all'incirca a metà della serie di varianti) .

Le opzioni condizionali sono determinate dalla formula