La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica Come trovare una formula in una progressione aritmetica

La matematica ha una sua bellezza, proprio come la pittura e la poesia.

Scienziato russo, meccanico N.E. Zhukovsky

Compiti molto comuni in esami di ammissione in matematica ci sono problemi legati al concetto di progressione aritmetica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario avere una buona conoscenza delle proprietà della progressione aritmetica e possedere determinate competenze nella loro applicazione.

Ricordiamo innanzitutto le proprietà fondamentali di una progressione aritmetica e presentiamo le formule più importanti, associato a questo concetto.

Definizione. Sequenza numerica, in cui ogni termine successivo differisce dal precedente per lo stesso numero, chiamata progressione aritmetica. In questo caso il numerochiamata differenza di progressione.

Per una progressione aritmetica valgono le seguenti formule:

, (1)

Dove . La formula (1) è detta formula del termine generale di una progressione aritmetica, e la formula (2) rappresenta la proprietà principale di una progressione aritmetica: ciascun termine della progressione coincide con la media aritmetica dei termini vicini e .

Si noti che è proprio per questa proprietà che la progressione in esame viene chiamata “aritmetica”.

Le formule di cui sopra (1) e (2) sono generalizzate come segue:

(3)

Per calcolare l'importo Primo termini di una progressione aritmeticadi solito viene utilizzata la formula

(5) dove e .

Se prendiamo in considerazione la formula (1), quindi dalla formula (5) segue

Se denotiamo , allora

Dove . Poiché , le formule (7) e (8) sono una generalizzazione delle corrispondenti formule (5) e (6).

In particolare , dalla formula (5) segue, Che cosa

Poco nota alla maggior parte degli studenti è la proprietà della progressione aritmetica, formulata attraverso il seguente teorema.

Teorema. Se poi

Prova. Se poi

Il teorema è stato dimostrato.

Per esempio , utilizzando il teorema, lo si può dimostrare

Passiamo a considerare esempi tipici di risoluzione di problemi sull'argomento " Progressione aritmetica».

Esempio 1. Lascia fare. Trovare .

Soluzione. Applicando la formula (6), otteniamo . Da e , allora o .

Esempio 2. Lascia che sia tre volte maggiore e, diviso per il quoziente, il risultato è 2 e il resto è 8. Determina e .

Soluzione. Dalle condizioni dell'esempio segue il sistema di equazioni

Poiché , , e , quindi dal sistema di equazioni (10) otteniamo

La soluzione di questo sistema di equazioni è e .

Esempio 3. Trova se e .

Soluzione. Secondo la formula (5) abbiamo o . Tuttavia, utilizzando la proprietà (9), otteniamo .

Da e , quindi dall'uguaglianza segue l'equazione O .

Esempio 4. Trova se.

Soluzione.Secondo la formula (5) abbiamo

Tuttavia, utilizzando il teorema, possiamo scrivere

Da qui e dalla formula (11) otteniamo .

Esempio 5. Dato: . Trovare .

Soluzione. Da allora. Tuttavia, quindi.

Esempio 6. Lasciamo , e . Trovare .

Soluzione. Usando la formula (9), otteniamo . Pertanto, se , allora o .

Dal e allora qui abbiamo un sistema di equazioni

Risolvendolo, otteniamo e .

Radice naturale dell'equazioneÈ .

Esempio 7. Trova se e .

Soluzione. Poiché secondo la formula (3) abbiamo quello , il sistema di equazioni segue dalle condizioni del problema

Se sostituiamo l'espressionenella seconda equazione del sistema, quindi otteniamo o .

Le radici di un'equazione quadratica sono E .

Consideriamo due casi.

1. Sia , allora . Da allora e poi.

In questo caso, secondo la formula (6), abbiamo

2. Se , allora , e

Risposta: e.

Esempio 8.È noto che e. Trovare .

Soluzione. Tenendo conto della formula (5) e della condizione dell'esempio, scriviamo e .

Ciò implica il sistema di equazioni

Se moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2 e poi la aggiungiamo alla seconda equazione, otteniamo

Secondo la formula (9) abbiamo. A questo proposito, risulta dalla (12) O .

Da allora e poi.

Risposta: .

Esempio 9. Trova se e .

Soluzione. Poiché , e per condizione , allora o .

Dalla formula (5) è noto, Che cosa . Da allora.

Quindi , qui abbiamo un sistema di equazioni lineari

Da qui otteniamo e . Tenendo conto della formula (8), scriviamo .

Esempio 10. Risolvi l'equazione.

Soluzione. Dall'equazione data segue che . Supponiamo che , , e . In questo caso .

Secondo la formula (1), possiamo scrivere o .

Poiché , allora l'equazione (13) ha l'unica radice adatta .

Esempio 11. Trovare il valore massimo a condizione che e .

Soluzione. Da , allora la progressione aritmetica considerata è decrescente. A questo proposito l'espressione assume il suo valore massimo quando è il numero del minimo termine positivo della progressione.

Usiamo la formula (1) e il fatto, quello e . Quindi otteniamo quello o .

Dal , allora o . Tuttavia, in questa disuguaglianzanumero naturale più grande, Ecco perché .

Se i valori di , e vengono sostituiti nella formula (6), otteniamo .

Risposta: .

Esempio 12. Determina la somma di tutti i numeri naturali a due cifre che, divisi per il numero 6, lasciano come resto 5.

Soluzione. Indichiamo con l'insieme di tutti i numeri naturali a due cifre, cioè . Successivamente, costruiremo un sottoinsieme costituito da quegli elementi (numeri) dell'insieme che, divisi per il numero 6, danno come resto 5.

Facile da installare, Che cosa . Ovviamente , che gli elementi dell'insiemeformano una progressione aritmetica, in cui e .

Per stabilire la cardinalità (numero di elementi) dell'insieme, assumiamo che . Poiché e , segue dalla formula (1) o . Tenendo conto della formula (5), otteniamo .

Gli esempi di risoluzione dei problemi sopra riportati non possono in alcun modo pretendere di essere esaustivi. Questo articolo è scritto sulla base dell'analisi metodi moderni risolvere problemi tipici su un dato argomento. Per uno studio più approfondito dei metodi di risoluzione dei problemi legati alla progressione aritmetica si consiglia di fare riferimento all'elenco della letteratura consigliata.

1. Raccolta di problemi di matematica per i candidati alle università / Ed. MI. Scanavi. – M.: Pace ed educazione, 2013. – 608 pag.

2. Superare il V.P. Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. – 216 pag.

3. Medynsky M.M. Corso completo matematica elementare in problemi ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Editus, 2015. – 208 pag.

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Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(undici\); \(14\)... è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (pari a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate crescente.

Tuttavia, anche \(d\) può esserlo numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà più piccolo del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una piccola lettera latina.

I numeri che formano una progressione vengono chiamati membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera di una progressione aritmetica, ma con un indice numerico pari al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risoluzione di problemi di progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni presentate sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Sono dati i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:

	Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè ogni elemento differisce dal suo vicino per lo stesso numero. Scopriamo quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\).
	Ora possiamo ripristinare la nostra progressione sull'elemento (primo negativo) di cui abbiamo bisogno.
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Dati più elementi consecutivi di una progressione aritmetica: \(…5; x; 10; 12,5...\) Trovare il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:

	Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce da quello precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\).
	E ora possiamo trovare facilmente ciò che stiamo cercando: \(x=5+2.5=7.5\).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è definita dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:

Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato; ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori uno per uno, utilizzando quanto ci viene dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E dopo aver calcolato i sei elementi di cui abbiamo bisogno, troviamo la loro somma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

L'importo richiesto è stato trovato.

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). Nella progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(d=7\).

Formule importanti per la progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi sulla progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri, e ogni elemento successivo di questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (il differenza di progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui decidere “frontalmente” è molto scomodo. Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Dovremmo aggiungere quattro \(385\) volte? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Sarai stanco di contare...

Pertanto in questi casi non risolvono le cose “di petto”, ma utilizzano formule speciali derivate dalla progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'n-esimo termine della progressione e la formula per la somma dei \(n\) primi termini.

Formula del \(n\)esimo termine: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) – termine della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente anche il trecentesimo o il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza della progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) – l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Per calcolare la somma dei primi venticinque termini, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. La nostra progressione è data dalla formula dell'ennesimo termine in funzione del suo numero (per maggiori dettagli vedi). Calcoliamo il primo elemento sostituendolo con \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Bene, ora possiamo facilmente calcolare l'importo richiesto.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Noi abbiamo:

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta dei primi elementi \(n\);
\(a_1\) – il primo termine sommato;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) – numero di elementi in totale.

Esempio. Trovare la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluzione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Terminiamo l'argomento considerando i problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere la stessa cosa: prima troviamo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Ora vorrei sostituire \(d\) nella formula per la somma... e qui emerge una piccola sfumatura: non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando raggiungeremo il primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		È necessario che \(a_n\) diventi maggiore di zero. Scopriamo a cosa \(n\) accadrà questo.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare i segni
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calcoliamo...
\(n>65.333…\)		...e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, controlliamo questo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Quindi dobbiamo aggiungere i primi elementi \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma dal \(26\)esimo all'elemento \(42\) compreso.
Soluzione:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Anche in questo problema devi trovare la somma degli elementi, ma non partendo dal primo, ma dal \(26\)esimo. Per un caso del genere non abbiamo una formula. Come decidere? È facile: per ottenere la somma dal \(26\)esimo al \(42\)esimo, devi prima trovare la somma dal \(1\)esimo al \(42\)esimo, quindi sottrarre da esso la somma dal primo al \(25\)esimo (vedi immagine).
	Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopo tutto, aggiungiamo il quattro all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ora la somma dei primi \(25\) elementi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E infine, calcoliamo la risposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Risposta: \(S=1683\).

Per quanto riguarda la progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Ebbene, amici, se state leggendo questo testo, allora la prova interna del limite mi dice che non sapete ancora cos'è una progressione aritmetica, ma in realtà (no, così: COSÌOOOO!) volete saperlo. Pertanto non vi tormenterò con lunghe introduzioni e andrò dritto al punto.

Innanzitutto, un paio di esempi. Diamo un'occhiata a diverse serie di numeri:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\quadrato(2);\ 2\quadrato(2);\ 3\quadrato(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà qualcosa c'è. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è composto semplicemente da numeri consecutivi, ciascuno dei quali è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo caso la differenza tra numeri adiacenti è già cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso ci sono tutte le radici. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ovvero e in questo caso, ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non temere che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ciascuno dei numeri successivi differisce esattamente dalla stessa quantità da quello precedente è chiamata progressione aritmetica. L'entità della differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata con la lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di note importanti. Innanzitutto viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. I numeri non possono essere riorganizzati o scambiati.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa nello spirito (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro sembrano suggerire che ci saranno molti altri numeri in arrivo. Infiniti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni possono essere crescenti o decrescenti. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso insieme (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, lo capisci. Pertanto introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:

1. crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
2. decrescente se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": consistono nello stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

1. Se $d \gt 0$ allora la progressione aumenta;
2. Se $d \lt 0$ allora la progressione è ovviamente decrescente;
3. Infine c'è il caso $d=0$ - in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti sopra riportate. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio il primo e il secondo) e sottrarre il numero a sinistra dal numero a destra. Apparirà così:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\quadrato(5)-1-\quadrato(5)=-1$.

Come possiamo vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata effettivamente negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

Termini di progressione e formula di ricorrenza

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]

I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri di una progressione. Sono indicati da un numero: primo membro, secondo membro, ecc.

Inoltre, come già sappiamo, i termini vicini della progressione sono legati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Freccia destra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare l'$n$esimo termine di una progressione, è necessario conoscere l'$n$esimo termine e la differenza $d$. Questa formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero solo conoscendo quello precedente (e in effetti tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più astuta che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace fornirlo in tutti i tipi di libri di consultazione e libri di soluzioni. E in ogni libro di testo di matematica sensato è uno dei primi.

Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.

Compito n. 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluzione. Conosciamo quindi il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza della progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(allinea)\]

Risposta: (8; 3; −2)

È tutto! Nota: la nostra progressione sta diminuendo.

Naturalmente $n=1$ non può essere sostituito: il primo termine ci è già noto. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo convinti che anche per il primo termine la nostra formula funziona. In altri casi, tutto si riduceva all'aritmetica banale.

Compito n. 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è uguale a −40 e il suo diciassettesimo termine è uguale a −50.

Soluzione. Scriviamo la condizione problematica in termini familiari:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]

Metto il segno di sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. Notiamo ora che se sottraiamo la prima dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, visto che abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(allinea)\]

È così facile trovare la differenza di progressione! Non resta che sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(allinea)\]

Pronto! Il problema è risolto.

Risposta: (−34; −35; −36)

Nota l'interessante proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente sapere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi di progressione. Ecco un chiaro esempio di ciò:

Compito n.3. Il quinto termine di una progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(allinea)\]

Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui si ha:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(allinea)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di creare sistemi di equazioni e di calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato risolto in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca dei termini negativi e positivi di una progressione. Non è un segreto che se una progressione aumenta e il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, non è sempre possibile trovare questo momento “frontalmente” esaminando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono scritti in modo tale che, senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli di carta: ci addormenteremmo semplicemente mentre troviamo la risposta. Pertanto, proviamo a risolvere questi problemi in modo più rapido.

Compito n. 4. Quanti termini negativi ci sono nella progressione aritmetica −38,5; −35,8; ...?

Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, da dove troviamo immediatamente la differenza:

Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione aumenta. Il primo termine è negativo, quindi ad un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L’unica domanda è quando ciò accadrà.

Proviamo a scoprirlo: fino a quando (cioè fino a cosa numero naturale$n$) viene preservata la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \destra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(allinea)\]

L'ultima riga richiede qualche spiegazione. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, ci accontentiamo solo di valori interi del numero (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero più grande consentito è esattamente $n=15$, e in nessun caso 16 .

Compito n.5. Nella progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:

Inoltre, proviamo ad esprimere il quinto termine attraverso il primo e la differenza utilizzando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(allinea)\]

Ora procediamo per analogia con il compito precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(allinea)\]

La soluzione intera minima a questa disuguaglianza è il numero 56.

Nota: nel ultimo compito tutto si riduceva a una rigorosa disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non è adatta a noi.

Ora che abbiamo imparato a risolvere i problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima studiamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare molto tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e rientri uguali

Consideriamo più termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli sulla linea dei numeri:

Termini di una progressione aritmetica sulla retta numerica

Ho contrassegnato specificamente i termini arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ e non alcuni $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, ecc. Perché la regola di cui ti parlerò ora funziona allo stesso modo per qualsiasi “segmento”.

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorrente e scriviamola per tutti i termini contrassegnati:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(allinea)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(allinea)\]

Bene, e allora? E il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovano alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ alla stessa distanza pari a $2d$. Possiamo continuare all'infinito, ma il significato è ben illustrato dall'immagine

I termini della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che $((a)_(n))$ può essere trovato se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne abbiamo derivato un'eccellente affermazione: ogni termine di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei termini vicini! Inoltre: possiamo tornare indietro dai nostri $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi - e la formula sarà comunque corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti problemi sono appositamente studiati per utilizzare la media aritmetica. Guarda:

Compito n. 6. Trova tutti i valori di $x$ per i quali i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sono termini consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine indicato).

Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi la condizione della media aritmetica è soddisfatta: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(allinea)\]

Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: −3; 2.

Compito n.7. Trova i valori di $$ per i quali i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formano una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Soluzione. Esprimiamo ancora una volta il termine medio attraverso la media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(allinea)\]

Ancora una equazione quadratica. E ancora ci sono due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ti vengono in mente dei numeri brutali, o non sei del tutto sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora esiste una tecnica meravigliosa che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?

Diciamo che nel problema n. 6 abbiamo ricevuto le risposte −3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Colleghiamoli semplicemente alla condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che devono formare una progressione aritmetica. Sostituiamo $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(allinea)\]

Abbiamo i numeri −54; −2; 50 che differiscono di 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(allinea)\]

Ancora una volta una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi il problema è stato risolto correttamente. Chi lo desidera può verificare da solo il secondo problema, ma dico subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, risolvendo gli ultimi problemi, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che occorre ricordare anche:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media aritmetica del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, comprendere questa affermazione ci permetterà di “costruire” letteralmente le progressioni necessarie in base alle condizioni del problema. Ma prima di intraprendere tale “costruzione”, dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che deriva direttamente da quanto già discusso.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo all'asse dei numeri. Notiamo qui diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

Ci sono 6 elementi segnati sulla linea numerica

Proviamo a esprimere la “coda sinistra” tramite $((a)_(n))$ e $d$, e la “coda destra” tramite $((a)_(k))$ e $d$. È molto semplice:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(allinea)\]

Ora notiamo che i seguenti importi sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(allinea)\]

In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (uno verso l'altro o viceversa per allontanarsi), Poi saranno uguali anche le somme degli elementi in cui ci imbatteremo$S$. Ciò può essere rappresentato graficamente nel modo più chiaro:

Rientri uguali danno importi uguali

Comprendere questo fatto ci consentirà di risolvere i problemi in modo fondamentalmente maggiore alto livello difficoltà rispetto a quelle considerate sopra. Ad esempio, questi:

Compito n. 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Soluzione. Scriviamo tutto quello che sappiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(allinea)\]

Quindi, non conosciamo la differenza di progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(allinea)\]

Per quelli nel serbatoio: ho preso il moltiplicatore totale di 11 dalla seconda fascia. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con i rami verso l'alto, perché se espandiamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Come puoi vedere, il coefficiente del termine più alto è 11 - questo è un numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:

programma funzione quadratica- parabola

Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente possiamo calcolare questa ascissa utilizzando lo schema standard (esiste la formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole notare che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(allinea)\]

Ecco perché non avevo particolare fretta di aprire le parentesi: nella loro forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo mai calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non ci è richiesto). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione originale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: −36

Compito n. 9. Tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ inserire tre numeri in modo che insieme a questi numeri formino una progressione aritmetica.

Soluzione. In sostanza, dobbiamo creare una sequenza di cinque numeri, di cui il primo e l'ultimo numero sono già noti. Indichiamo i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il “centro” della nostra sequenza: è equidistante dai numeri $x$ e $z$ e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se attualmente non possiamo ricavare $y$ dai numeri $x$ e $z$, per gli estremi della progressione la situazione è diversa. Ricordiamo la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ che abbiamo appena trovato. Ecco perché

Usando un ragionamento simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui vanno inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito n. 10. Tra i numeri 2 e 42 inserisci più numeri che, insieme a questi numeri, formino una progressione aritmetica, se sai che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Soluzione. Un problema ancora più complesso, che però si risolve secondo lo stesso schema dei precedenti – attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri devono essere inseriti. Pertanto, assumiamo per certezza che dopo aver inserito tutto ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi sarà 2 e l'ultimo sarà 42. In questo caso, la progressione aritmetica richiesta può essere rappresentata nella forma:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti tuttavia che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ si ottengono dai numeri 2 e 42 ai bordi con un passo l'uno verso l'altro, cioè. . al centro della sequenza. E questo significa questo

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma allora l'espressione scritta sopra può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(allinea)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(allinea)\]

Non resta che trovare i restanti termini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(allinea)\]

Quindi, già al passo 9 arriveremo all'estremità sinistra della sequenza - il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemi di parole con progressioni

In conclusione, vorrei considerarne un paio relativamente compiti semplici. Ebbene, è semplice: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi problemi possono sembrare difficili. Tuttavia, questi sono i tipi di problemi che compaiono nell'OGE e nell'Esame di Stato Unificato in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito n. 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al mese precedente. Quante parti ha prodotto il team a novembre?

Soluzione. Ovviamente, il numero di parti elencate per mese rappresenterà una progressione aritmetica crescente. Inoltre:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito n. 12. Nel mese di gennaio il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri e in ogni mese successivo ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?

Soluzione. Lo stesso:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, il 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Questa è la risposta: a dicembre saranno rilegati 260 libri.

Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a farti i complimenti: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Puoi tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula per la somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.

Alcune persone trattano la parola “progressione” con cautela, poiché è un termine molto complesso tratto dalle sezioni matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è opera del tassametro (dove esistono ancora). E comprendere l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che “comprendere l'essenza”) di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato pochi concetti elementari.

Sequenza numerica matematica

Una sequenza numerica è solitamente chiamata serie di numeri, ognuno dei quali ha il proprio numero.

a 1 è il primo membro della sequenza;

e 2 è il secondo termine della sequenza;

e 7 è il settimo membro della sequenza;

e n è l'ennesimo membro della sequenza;

Tuttavia, non ci interessa alcun insieme arbitrario di numeri e numeri. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'ennesimo termine è legato al suo numero ordinale da una relazione che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: il valore numerico dell'n-esimo numero è una funzione di n.

a è il valore di un membro di una sequenza numerica;

n è il suo numero di serie;

f(n) è una funzione, dove il numero ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.

Definizione

Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ciascun termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo termine di una sequenza aritmetica è la seguente:

a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;

a n+1 - formula del numero successivo;

d - differenza (un certo numero).

È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.

Nel grafico sottostante è facile capire perché la sequenza numerica viene chiamata “crescente”.

Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valore del membro specificato

A volte è necessario determinare il valore di un termine arbitrario n di una progressione aritmetica. Questo può essere fatto calcolando in sequenza i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, partendo dal primo fino a quello desiderato. Tuttavia questo percorso non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. I calcoli tradizionali richiederanno molto tempo. Tuttavia, una progressione aritmetica specifica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di qualsiasi termine di una progressione aritmetica può essere determinato come la somma del primo termine della progressione con la differenza della progressione, moltiplicata per il numero del termine desiderato, ridotta di uno.

La formula è universale per la progressione crescente e decrescente.

Un esempio di calcolo del valore di un determinato termine

Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Condizione: esiste una progressione aritmetica con parametri:

Il primo termine della sequenza è 3;

La differenza nella serie numerica è 1,2.

Compito: devi trovare il valore di 214 termini

Soluzione: per determinare il valore di un dato termine, utilizziamo la formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sostituendo i dati della formulazione del problema nell'espressione, abbiamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Risposta: Il 214esimo termine della sequenza è uguale a 258,6.

I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.

Somma di un dato numero di termini

Molto spesso, in una determinata serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni dei suoi segmenti. Per fare ciò non è nemmeno necessario calcolare i valori di ciascun termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini di cui è necessario trovare la somma è piccolo. Negli altri casi è più conveniente utilizzare la seguente formula.

La somma dei termini di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo termine, moltiplicata per il numero del termine n e divisa per due. Se nella formula si sostituisce il valore dell'ennesimo termine con l'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, si ottiene:

Esempio di calcolo

Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:

Il primo termine della sequenza è zero;

La differenza è 0,5.

Il problema richiede di determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.

Soluzione. Usiamo la formula per determinare la quantità di progressione:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Per prima cosa determiniamo la somma dei valori di 101 termini della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Ovviamente per trovare la somma dei termini della progressione dalla 56a alla 101a occorre sottrarre S 55 da S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Pertanto, la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica

Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio di una sequenza aritmetica fornita nel primo paragrafo: un tassametro (taxi car meter). Consideriamo questo esempio.

Salire su un taxi (che comprende 3 km di viaggio) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al ritmo di 22 rubli/km. La distanza da percorrere è di 30 km. Calcola il costo del viaggio.

1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo dello sbarco.

30 - 3 = 27 km.

2. Un ulteriore calcolo non è altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.

Numero del membro: il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).

Il valore del membro è la somma.

Il primo termine di questo problema sarà pari a 1 = 50 rubli.

Differenza di progressione d = 22 r.

il numero che ci interessa è il valore del (27+1)esimo termine della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27esimo chilometro è 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dalla stella. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo in statistica e in altre aree applicate della matematica.

Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica

La progressione geometrica è caratterizzata da tassi di variazione maggiori rispetto alla progressione aritmetica. Non è un caso che in politica, sociologia e medicina, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un particolare fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, affermino che il processo si sviluppa in progressione geometrica.

L'ennesimo termine della serie di numeri geometrici differisce dal precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo termine è 1, il denominatore è corrispondentemente uguale a 2, quindi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - il valore del termine corrente della progressione geometrica;

b n+1 - formula del termine successivo della progressione geometrica;

q è il denominatore della progressione geometrica (un numero costante).

Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, una progressione geometrica dipinge un quadro leggermente diverso:

Come nel caso dell'aritmetica, la progressione geometrica ha una formula per il valore di un termine arbitrario. Qualsiasi n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e del denominatore della progressione alla potenza di n ridotto di uno:

Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine pari a 3 e il denominatore della progressione pari a 1,5. Troviamo il 5° termine della progressione

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Anche la somma di un determinato numero di termini viene calcolata utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'n-esimo termine della progressione e del suo denominatore e il primo termine della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:

Se b n viene sostituito utilizzando la formula discussa sopra, il valore della somma dei primi n termini della serie numerica considerata assumerà la forma:

Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Quando si studia l'algebra in una scuola secondaria (9a elementare), uno degli argomenti importanti è lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.

Cos'è una progressione aritmetica?

Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.

Una progressione aritmetica o algebrica è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun termine dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.

Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l'insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è un valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importanti

Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n ennesimo termine sequenze in cui n è un numero intero. Indichiamo la differenza con la lettera latina d. Allora valgono le seguenti espressioni:

1. Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n +a 1)*n/2.

Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in esame si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.

Esempio n. 1: trovare un membro sconosciuto

Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.

Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.

Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:

1. Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo i valori noti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.

Esempio n.2: differenza di progressione

Adesso complichiamo un po’ il compito, facciamo un esempio di come

È noto che in alcuni il 1o termine è uguale a 6 e il 7o termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7o termine.

Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.

Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Esempio n.3: redazione di una progressione

Complichiamo ancora di più il problema. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.

Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Quello che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.

Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.

Esempio n.4: primo termine della progressione

Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.

Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità sconosciute (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.

Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).

Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.

Esempio n.5: importo

Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.

Sia data una progressione numerica della forma seguente: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?

Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, è possibile risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché all’inizio del XVIII secolo il famoso tedesco, ancora solo 10enne, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.

Esempio n.6: somma dei termini da n a m

Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .

Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.

L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m ed n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (an + a 1) / 2.

Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.

Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.

Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e dividere il problema complessivo in sotto-attività separate (V in questo caso trovare prima i termini a n e a m).

Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.