Cinematica di un punto.

1. Oggetto della meccanica teorica. Astrazioni di base.

Meccanica teoricaè una scienza che studia leggi generali movimento meccanico e interazione meccanica corpi materiali

Movimento meccanicoè il movimento di un corpo in relazione ad un altro corpo, che avviene nello spazio e nel tempo.

Interazione meccanica è l'interazione dei corpi materiali che cambia la natura del loro movimento meccanico.

Statica - questa è la sezione meccanica teorica, che studia metodi per convertire i sistemi di forze in sistemi equivalenti e stabilisce condizioni di equilibrio per le forze applicate ad un corpo solido.

Cinematica - è una branca della meccanica teorica che studia movimento dei corpi materiali nello spazio con punto geometrico visione, indipendentemente dalle forze che agiscono su di essi.

Dinamica è una branca della meccanica che studia il movimento dei corpi materiali nello spazio in funzione delle forze che agiscono su di essi.

Oggetti di studio della meccanica teorica:

punto materiale,

sistema di punti materiali,

Corpo assolutamente solido.

Lo spazio assoluto e il tempo assoluto sono indipendenti l'uno dall'altro. Spazio assoluto - Spazio euclideo tridimensionale, omogeneo, immobile. Tempo assoluto - fluisce continuamente dal passato al futuro, è omogeneo, uguale in tutti i punti dello spazio e non dipende dal movimento della materia.

2. Oggetto della cinematica.

Cinematica - si tratta di una branca della meccanica in cui si studiano le proprietà geometriche del moto dei corpi senza tener conto della loro inerzia (cioè della massa) e delle forze che agiscono su di essi

Per determinare la posizione di un corpo in movimento (o punto) con il corpo in relazione al quale si sta studiando il movimento di questo corpo, è rigidamente associato un sistema di coordinate che, insieme al corpo, forma sistema di riferimento.

Il compito principale della cinematica consiste nel conoscere la legge del moto di un dato corpo (punto), determinare tutte le grandezze cinematiche che ne caratterizzano il movimento (velocità e accelerazione).

3. Metodi per specificare lo spostamento di un punto

· Il modo naturale

Dovrebbe essere noto:

La traiettoria del punto;

Origine e direzione di riferimento;

La legge del moto di un punto lungo una data traiettoria nella forma (1.1)

· Metodo delle coordinate

Le equazioni (1.2) sono le equazioni del moto del punto M.

L'equazione per la traiettoria del punto M può essere ottenuta eliminando il parametro tempo « T » dalle equazioni (1.2)

· Metodo vettoriale

(1.3) Relazione tra metodi di coordinate e vettori per specificare il movimento di un punto (1.4)

Relazione tra coordinate e metodi naturali per specificare il movimento di un punto

Determinare la traiettoria del punto eliminando il tempo dalle equazioni (1.2);

-- trovare la legge del moto di un punto lungo una traiettoria (utilizzare l'espressione per il differenziale dell'arco)

Dopo l'integrazione, otteniamo la legge del moto di un punto lungo una data traiettoria:

La connessione tra i metodi delle coordinate e dei vettori per specificare il movimento di un punto è determinata dall'equazione (1.4)

4. Determinazione della velocità di un punto utilizzando il metodo vettoriale per specificare il movimento.

Lasciamolo in un momentoTla posizione del punto è determinata dal raggio vettore e al momentoT 1 – raggio vettore, quindi per un periodo di tempo il punto si sposterà.

(1.5) velocità media del punto, la direzione del vettore è la stessa del vettore

Velocità di un punto in un dato momento

Per ottenere la velocità di un punto in un dato istante è necessario effettuare un passaggio al limite

(1.6)

(1.7)

Vettore velocità di un punto in un dato istante uguale alla derivata prima del raggio vettore rispetto al tempo e diretta tangenzialmente alla traiettoria in un dato punto.

(unitྠm/s, km/ora)

Vettore accelerazione media ha la stessa direzione del vettoreΔ v , cioè diretto verso la concavità della traiettoria.

Vettore accelerazione di un punto in un dato istante uguale alla derivata prima del vettore velocità o alla derivata seconda del raggio vettore del punto rispetto al tempo.

(unità - )

Come si trova il vettore rispetto alla traiettoria del punto?

A movimento rettilineo il vettore è diretto lungo la retta lungo la quale si muove il punto. Se la traiettoria di un punto è una curva piatta, allora il vettore accelerazione , così come il vettore ср, si trova nel piano di questa curva ed è diretto verso la sua concavità. Se la traiettoria non è una curva piana, allora il vettore ср sarà diretto verso la concavità della traiettoria e giacerà nel piano passante per la tangente alla traiettoria nel puntoM e una retta parallela alla tangente in un punto adiacenteM1 . IN limite quando puntoM1 si impegna per M questo piano occupa la posizione del cosiddetto piano osculatore. Pertanto, nel caso generale, il vettore accelerazione giace nel piano di contatto ed è diretto verso la concavità della curva.

Forza. Sistema di forze. Equilibrio di un corpo assolutamente rigido

In meccanica, la forza è intesa come una misura dell'interazione meccanica dei corpi materiali, a seguito della quale i corpi interagenti possono impartirsi accelerazione reciproca o deformarsi (cambiare la loro forma). La forza è una grandezza vettoriale. È caratterizzato da un valore numerico, o modulo, punto di applicazione e direzione. Il punto di applicazione della forza e la sua direzione determinano la linea di azione della forza. La figura mostra come viene applicata una forza al punto A. Segmento di linea AB = grandezza della forza F. La linea retta LM è chiamata linea di azione della forza. Nel sist. Misurazione forza SI in newton (N). Esistono anche 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N. Esistono 2 modi per impostare la forza: per descrizione diretta e vettoriale (tramite proiezione sugli assi coordinati). F= F x i + F y j + F z k, dove F x, F y, F z sono le proiezioni della forza sugli assi delle coordinate e i, j, k sono vettori unitari. Assolutamente solido corpo-corpo in cui la distanza tra 2 e i suoi punti è il resto. invariato indipendentemente dalle forze che agiscono su di esso.

Un insieme di più forze (F 1, F 2, ..., F n) è chiamato sistema di forze. Se, senza disturbare lo stato del corpo, un sistema di forze (F 1, F 2, ..., F n) può essere sostituito da un altro sistema (P 1, P 2, ..., P n) e vice viceversa, allora tali sistemi di forze sono detti equivalenti. Simbolicamente questo è indicato come segue: (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n). Ciò però non significa che se due sistemi di forze hanno lo stesso effetto su un corpo, saranno equivalenti. Sistemi equivalenti causano lo stesso stato di sistema. Quando un sistema di forze (F 1, F 2, ..., F n) equivale a una forza R, allora si chiama R. risultante. La forza risultante può sostituire l'azione di tutte le forze date. Ma non tutti i sistemi di forze hanno una risultante. Nel sistema di coordinate inerziali la legge di inerzia è soddisfatta. Ciò significa, in particolare, che un corpo che è a riposo nel momento iniziale, rimarrà in questo stato se su di lui non agiscono forze. Se un corpo assolutamente rigido rimane a riposo sotto l'azione di un sistema di forze (F 1, F 2, ..., F n), allora questo sistema è chiamato equilibrato, o un sistema di forze equivalenti a zero: (F 1 , F 2, ... , F n)~0. In questo caso si dice che il corpo è in equilibrio. In matematica, due vettori sono considerati uguali se sono paralleli, diretti nella stessa direzione e uguali in grandezza. Ciò non basta per l'equivalenza di due forze, e dall'uguaglianza F=P non segue ancora la relazione F~P. Due forze sono equivalenti se sono vettorialmente uguali e applicate allo stesso punto del corpo.

Assiomi della statica e loro conseguenze

Un corpo sotto l'influenza della forza acquisisce accelerazione e non può rimanere fermo. Il primo assioma stabilisce le condizioni alle quali il sistema di forze sarà equilibrato.

Assioma 1. Due forze applicate a un corpo assolutamente rigido saranno equilibrate (equivalenti a zero) se e solo se sono uguali in grandezza, agiscono su una linea retta e sono dirette in direzioni opposte. Ciò significa che se un corpo assolutamente rigido è a riposo sotto l'azione di due forze, allora queste forze sono di uguale grandezza, agiscono su una linea retta e sono dirette in direzioni opposte. Viceversa, se un corpo assolutamente rigido è sottoposto lungo una retta in direzioni opposte da due forze di uguale grandezza e il corpo era a riposo nel momento iniziale, allora permarrà lo stato di riposo del corpo.

Nella fig. La Figura 1.4 mostra le forze bilanciate F 1, F 2 e P 1, P 2, che soddisfano le relazioni: (F 1,F 2)~0, (P 1,P 2)~0. Quando si risolvono alcuni problemi di statica è necessario considerare le forze applicate alle estremità delle aste rigide, il cui peso può essere trascurato, ed è noto che le aste sono in equilibrio. Dall'assioma formulato, le forze che agiscono su tale asta sono dirette lungo una linea retta che passa attraverso le estremità dell'asta, opposte in direzione e uguali tra loro in grandezza (Fig. 1.5, a). Lo stesso vale nel caso in cui l'asse dell'asta è curvo (Fig. 1.5, b).

Assioma 2. Senza disturbare minimamente lo Stato solido, le forze possono essere applicate o respinte ad esso se e solo se costituiscono un sistema equilibrato, in particolare, se questo sistema è costituito da due forze di uguale grandezza, agenti su una linea retta e dirette in direzioni opposte. Da questo assioma segue un corollario: senza disturbare lo stato del corpo, il punto di applicazione della forza può essere trasferito lungo la linea della sua azione: sia infatti applicata la forza F A al punto A (Fig. 1.6, a) . Applichiamo nel punto B sulla linea d'azione della forza F A due forze equilibrate F B e F" B, assumendo che F B = F A (Fig. 1.6, b). Allora, secondo l'assioma 2, avremo F A ~F A , F B, F` B). Quindi, poiché anche le forze F A e F B formano un sistema equilibrato di forze (assioma 1), secondo l'assioma 2 possono essere scartate (Fig. 1.6, c). Quindi, F A ~ F A, F B,F` B)~F B, o F A ~F B , che dimostra il corollario. Questo corollario mostra che la forza applicata ad un corpo assolutamente rigido è un vettore scorrevole. Entrambi gli assiomi e il corollario dimostrato non possono essere applicati a corpi deformabili, in In particolare, spostando il punto di applicazione della forza lungo la linea della sua azione si modifica lo stato deformativo tensionale del corpo.

Assioma 3.Senza modificare lo stato del corpo, due forze applicate in un punto possono essere sostituite da una forza risultante applicata nello stesso punto e pari alla loro somma geometrica (assioma del parallelogramma delle forze). Questo assioma stabilisce due circostanze: 1) due forze F 1 e F 2 (Fig. 1.7), applicate ad un punto, hanno una risultante, cioè equivalgono ad una forza (F 1,F 2) ~ R; 2) l'assioma determina completamente modulo, punto di applicazione e direzione della forza risultante R=F 1 +F 2 .(1.5) In altre parole, la risultante R può essere costruita come la diagonale di un parallelogramma con i lati coincidenti con F 1 e F2. Il modulo della risultante è determinato dall'uguaglianza R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2, dove a è l'angolo tra i vettori F 1 e F 2 dati. Il terzo assioma si applica a qualsiasi corpo. Il secondo e il terzo assioma della statica permettono di passare da un sistema di forze a un altro sistema ad esso equivalente. In particolare, consentono di scomporre qualsiasi forza R in due, tre, ecc. componenti, cioè di passare ad un altro sistema di forze di cui la forza R è la risultante. Specificando, ad esempio, due direzioni che giacciono sullo stesso piano con R, puoi costruire un parallelogramma in cui la diagonale rappresenta la forza R. Allora le forze dirette lungo i lati del parallelogramma formeranno un sistema per il quale la forza R sarà il risultante (Fig. 1.7). Una costruzione simile può essere realizzata nello spazio. Per fare ciò è sufficiente tracciare dal punto di applicazione della forza R tre linee rette che non giacciano sullo stesso piano, e costruire su di esse un parallelepipedo con la diagonale rappresentante la forza R e con gli spigoli diretti lungo queste rette linee (Fig. 1.8).

Assioma 4 (3a legge di Newton). Le forze di interazione tra due corpi sono uguali in grandezza e dirette lungo una linea retta in direzioni opposte. Si noti che le forze di interazione di due corpi non costituiscono un sistema di forze in equilibrio, poiché sono applicate a corpi diversi. Se il corpo I agisce sul corpo II con una forza P e il corpo II agisce sul corpo I con una forza F (Fig. 1.9), allora queste forze sono uguali in grandezza (F = P) e sono dirette lungo una linea retta in direzioni opposte direzioni, cioè .F= –P. Se indichiamo con F la forza con cui il Sole attrae la Terra, allora la Terra attira il Sole con la stessa grandezza, ma con una forza diretta in modo opposto - F. Quando un corpo si muove lungo un piano, ad esso verrà applicata una forza di attrito T , diretto nella direzione opposta al movimento. È la forza con cui un piano stazionario agisce su un corpo. In base al quarto assioma, il corpo agisce sul piano con la stessa forza, ma la sua direzione sarà opposta alla forza T.

Nella fig. 1.10 mostra un corpo che si muove verso destra; la forza di attrito T è applicata ad un corpo in movimento, e la forza T "= –T è applicata al piano. Consideriamo un sistema ancora fermo, mostrato in Fig. 1.11, a. È costituito da un motore A installato sul fondazione B, che a sua volta si trova sulla base C. Il motore e la fondazione sono influenzati rispettivamente dalle forze di gravità F 1 e F 2. Agiscono anche le seguenti forze: F 3 - la forza di azione del corpo A sul corpo B ( è uguale al peso del corpo A); F'з - la forza dell'azione inversa del corpo B sul corpo A ; F 4 è la forza dell'azione dei corpi A e B sulla base C (è uguale al peso totale peso dei corpi A e B); F` 4 è la forza dell'azione inversa della base C sul corpo B. Queste forze sono mostrate in Fig. 1.11, b, c, d .Secondo l'assioma 4, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4, e queste forze di interazione sono determinate dalle forze date F 1 e F 2. Per trovare le forze di interazione, è necessario procedere dall'assioma 1. A causa del resto del corpo A ( Fig. 1.11.6) dovrebbe essere F ç = –F 1, che significa F 3 =F 1. Allo stesso modo, dalla condizione di equilibrio del corpo B (Fig. 1.11, c) segue F` 4 =–( FA 2 + FA 3), cioè FA` 4 =–(FA 1 + FA 2) e FA 4 = FA 1 + FA 2.

Assioma 5. L'equilibrio di un corpo deformabile non sarà disturbato se i suoi punti sono rigidamente collegati e il corpo è considerato assolutamente solido. Questo assioma viene utilizzato nei casi in cui si parla dell'equilibrio di corpi che non possono essere considerati solidi. Le forze esterne applicate a tali corpi devono soddisfare le condizioni di equilibrio di un corpo rigido, ma per i corpi non rigidi queste condizioni sono solo necessarie, ma non sufficienti. Ad esempio, per l'equilibrio di un'asta assolutamente solida e senza peso, è necessario e sufficiente che le forze F e F" applicate alle estremità dell'asta agiscano lungo una linea retta che collega le sue estremità, siano uguali in grandezza e dirette in direzioni diverse Le stesse condizioni sono necessarie per l'equilibrio di un pezzo di filo senza peso, ma per un filo non sono sufficienti; è necessario inoltre richiedere che le forze agenti sul filo siano di trazione (Fig. 1.12, b), mentre per un'asta possono anche essere compressivi (Fig. 1.12, a).

Consideriamo il caso di equivalenza a zero di tre forze non parallele applicate a un corpo rigido (Fig. 1.13, a). Teorema delle tre forze non parallele. Se, sotto l'influenza di tre forze, un corpo è in equilibrio e le linee di azione delle due forze si intersecano, allora tutte le forze giacciono sullo stesso piano e le loro linee di azione si intersecano in un punto Lascia che un sistema di tre forze F 1, F 3 e F 3 agisca sul corpo e le linee di azione delle forze F 1 e F 2 si intersecano nel punto A (Fig. 1.13, a). Secondo il corollario dell'assioma 2, le forze F 1 e F 2 possono essere trasferite al punto A (Fig. 1.13, b), e secondo l'assioma 3 possono essere sostituite da una forza R, e (Fig. 1.13, c) R = F1 + F2 . Pertanto, il sistema di forze in esame si riduce a due forze R e F 3 (Fig. 1.13, c). Secondo le condizioni del teorema, il corpo è in equilibrio, quindi, secondo l'assioma 1, le forze R e F 3 devono avere una linea d'azione comune, ma quindi le linee d'azione di tutte e tre le forze devono intersecarsi in un punto .

Forze attive e reazioni delle connessioni

Il corpo è chiamato gratuito, se i suoi movimenti non sono limitati da nulla. Viene chiamato un corpo i cui movimenti sono limitati da altri corpi non libero, e i corpi che limitano il movimento di un dato corpo lo sono connessioni. Nei punti di contatto si creano forze di interazione tra il dato corpo e le connessioni. Si chiamano le forze con cui i legami agiscono su un dato corpo reazioni delle connessioni.

Il principio di liberazione : qualsiasi corpo non libero può considerarsi libero se all'azione dei legami si sostituiscono le loro reazioni applicate al corpo dato. In statica, le reazioni dei legami possono essere completamente determinate utilizzando le condizioni o equazioni di equilibrio del corpo, che verranno stabilite in seguito, ma le loro direzioni in molti casi possono essere determinate considerando le proprietà dei legami. Come semplice esempio in Fig. 1.14, e viene presentato un corpo, il cui punto M è collegato al punto fisso O mediante un'asta, il cui peso può essere trascurato; le estremità dell'asta sono dotate di cerniere che consentono libertà di rotazione. IN in questo caso per il corpo l'attacco è l'asta OM; la restrizione della libertà di movimento del punto M si esprime nel fatto che è costretto a trovarsi a una distanza costante dal punto O. La forza d'azione su tale asta dovrebbe essere diretta lungo la linea retta OM, e secondo l'assioma 4, la controforza dell'asta (reazione) R deve essere diretta lungo la stessa linea retta. Pertanto, la direzione della reazione dell'asta coincide con la linea retta OM (Fig. 1.14, b). Allo stesso modo, la forza di reazione di un filo flessibile e inestensibile deve essere diretta lungo il filo. Nella fig. La Figura 1.15 mostra un corpo appeso a due fili e le reazioni dei fili R 1 e R 2. Le forze che agiscono su un corpo vincolato si dividono in due categorie. Una categoria è formata da forze che non dipendono dalle connessioni, mentre l'altra è formata da reazioni di connessioni. In questo caso, le reazioni delle connessioni sono di natura passiva: sorgono perché le forze della prima categoria agiscono sul corpo. Le forze che non dipendono dai legami sono dette attive, mentre le reazioni dei legami sono dette forze passive. Nella fig. 1.16, e in alto sono mostrate due forze attive F 1 e F 2 di uguale grandezza, allungando l'asta AB, in basso sono mostrate le reazioni R 1 e R 2 dell'asta allungata. Nella fig. 1.16, b in alto sono riportate le forze attive F 1 e F 2 che comprimono l'asta, in basso sono riportate le reazioni R 1 e R 2 dell'asta compressa.

Proprietà del collegamento

1. Se un corpo solido poggia su una superficie idealmente liscia (senza attrito), il punto di contatto del corpo con la superficie può scorrere liberamente lungo la superficie, ma non può muoversi nella direzione lungo la normale alla superficie. La reazione di una superficie idealmente liscia è diretta lungo la normale comune alle superfici in contatto (Fig. 1.17, a). Se un corpo solido ha una superficie liscia e poggia su una punta (Fig. 1.17, b), allora la reazione è diretto lungo la normale alla superficie del corpo stesso.Se il corpo solido La punta poggia contro un angolo (Fig. 1.17, c), la connessione impedisce alla punta di muoversi sia orizzontalmente che verticalmente. Di conseguenza, la reazione R dell'angolo può essere rappresentata da due componenti: orizzontale R x e verticale R y, le cui grandezze e direzioni sono in definitiva determinate dalle forze date.

2. Una cerniera sferica è il dispositivo mostrato in Fig. 1.18, a, che rende immobile il punto O del corpo in esame. Se la superficie di contatto sferica è idealmente liscia, allora la reazione della cerniera sferica avviene nella direzione della normale a questa superficie. La reazione passa per il centro della cerniera O; la direzione della reazione può essere qualsiasi ed è determinata in ciascun caso specifico.

È inoltre impossibile determinare in anticipo la direzione di reazione del cuscinetto reggispinta mostrato in Fig. 1.18, b. 3. Supporto cilindrico incernierato-fisso (Fig. 1.19, a). La reazione di tale supporto passa attraverso il suo asse e la direzione della reazione può essere qualsiasi (nel piano perpendicolare all'asse del supporto). 4. Un supporto mobile articolato cilindrico (Fig. 1.19, b) impedisce il movimento di un punto fisso del corpo perpendicolare a aerei I-I; di conseguenza anche la reazione di tale sostegno ha la direzione di questa perpendicolare.

Nei sistemi meccanici formati dall'articolazione di più corpi solidi sono presenti collegamenti interni con collegamenti esterni (supporti). In questi casi, a volte il sistema viene sezionato mentalmente e le connessioni scartate non solo esterne, ma anche interne vengono sostituite con reazioni appropriate. Le forze di interazione tra i singoli punti di un dato corpo sono chiamate interne, e le forze che agiscono su un dato corpo e causate da altri corpi sono chiamate esterne.

Principali compiti della statica

1. Il problema della riduzione di un sistema di forze: come sostituire un dato sistema di forze con un altro, più semplice ed equivalente?

2. Problema dell'equilibrio: quali condizioni deve soddisfare un sistema di forze applicato ad un dato corpo (o punto materiale) affinché sia ​​un sistema in equilibrio?

Il secondo problema si pone spesso nei casi in cui si sa che si verifica l'equilibrio, ad esempio quando si sa in anticipo che il corpo è in equilibrio, il che è garantito dalle connessioni imposte al corpo. In questo caso le condizioni di equilibrio stabiliscono una relazione tra tutte le forze applicate al corpo. Utilizzando queste condizioni è possibile determinare le reazioni vincolari. Va tenuto presente che la determinazione delle reazioni di legame (esterne ed interne) è necessaria per il successivo calcolo della resistenza della struttura.

In un caso più generale, quando si considera un sistema di corpi che hanno la capacità di muoversi l'uno rispetto all'altro, uno dei principali problemi della statica è il problema di determinare le possibili posizioni di equilibrio.

Portare un sistema di forze convergenti alla risultante

Le forze si dicono convergenti se le linee di azione di tutte le forze che compongono il sistema si intersecano in un punto. Dimostriamo il teorema: un sistema di forze convergenti equivale ad una forza (risultante), che è uguale alla somma di tutte queste forze e passa per il punto di intersezione delle loro linee d'azione. Sia dato un sistema di forze convergenti F 1, F 2, F 3, ..., F n, applicato ad un corpo assolutamente rigido (Fig. 2.1, a). Spostiamo i punti di applicazione delle forze lungo le linee della loro azione fino al punto di intersezione di queste linee (21, b). Abbiamo ricevuto un sistema di forze, applicato a un punto. È equivalente a quello dato. Sommiamo F 1 e F 2 e otteniamo la loro risultante: R 2 =F 1 +F 2. Aggiungiamo R 2 con F 3: R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3. Aggiungiamo F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . Eccetera. Invece dei parallelogrammi, puoi costruire un poligono di forza. Supponiamo che il sistema sia composto da 4 forze (Fig. 2.2.). Dalla fine del vettore F 1 mettiamo da parte il vettore F 2 . Il vettore che collega l'inizio di O e la fine del vettore F 2 sarà il vettore R 2 . Successivamente, posticiperemo il vettore F 3, ponendo il suo inizio alla fine del vettore F 2. Quindi otteniamo un vettore R 8 che va dal punto O alla fine del vettore F 3. Aggiungiamo allo stesso modo il vettore F 4; in questo caso troviamo che il vettore che va dall'inizio del primo vettore F 1 alla fine del vettore F 4 è la risultante R. Un tale poligono spaziale è chiamato poligono delle forze. Se la fine dell'ultima forza non coincide con l'inizio della prima forza, viene chiamato il poligono della forza aprire. Se per trovare la risultante viene utilizzato un geometra, questo metodo è chiamato geometrico.

Usano il metodo analitico più spesso per determinare il risultante. La proiezione della somma dei vettori su un certo asse è uguale alla somma delle proiezioni dei vettori dell'addendo sullo stesso asse, otteniamo R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; dove F kx, F ky, F kz sono le proiezioni della forza F k sugli assi, e R x, R y, R z sono le proiezioni della risultante sugli stessi assi. Proiezioni del sistema risultante di forze convergenti su assi coordinati sono uguali alle somme algebriche delle proiezioni di queste forze sugli assi corrispondenti. Il modulo della risultante R è pari a: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2. I coseni di direzione sono uguali: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Se le forze sono distribuite nella stessa direzione, allora tutto è uguale, non esiste l'asse Z.

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze convergenti

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => per l'equilibrio di un corpo sotto l'influenza di un sistema di forze convergenti, è necessario e sufficiente che la loro risultante sia uguale a zero: R = 0 Di conseguenza, nel poligono delle forze di un sistema equilibrato di forze convergenti, la fine dell'ultima forza deve coincidere con l'inizio della prima forza; in questo caso si dice che il poligono delle forze è chiuso (Fig. 2.3). Questa condizione viene utilizzata quando soluzione grafica Problemi per i sistemi di forze piane. L'uguaglianza vettoriale R=0 equivale a tre uguaglianze scalari: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; dove F kx, F ky, F kz sono le proiezioni della forza F k sugli assi, e R x, R y, R z sono le proiezioni della risultante sugli stessi assi. Cioè, per l'equilibrio di un sistema di forze convergente, è necessario e sufficiente che le somme algebriche delle proiezioni di tutte le forze di un dato sistema su ciascuno degli assi coordinati siano uguali a zero. Per un sistema di forze piano scompare la condizione associata all'asse Z. Le condizioni di equilibrio consentono di verificare se l'asse Z questo sistema forza

Somma di due forze parallele

1) Si applichino forze parallele e identicamente dirette F 1 e F 2 ai punti A e B del corpo e sia necessario trovare la loro risultante (Fig. 3.1). Applichiamo forze uguali in grandezza e dirette in modo opposto Q 1 e Q 2 ai punti A e B (il loro modulo può essere qualsiasi); tale aggiunta può essere fatta sulla base dell'assioma 2. Quindi nei punti A e B otteniamo due forze R 1 e R 2: R 1 ~(F 1, Q 1) e R 2 ~(F 2, Q 2). Le linee d'azione di queste forze si intersecano in un certo punto O. Trasferiamo le forze R 1 e R 2 al punto O e scomponiamo ciascuna in componenti: R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') e R 2 ~( Fa 2', Q 2'). Dalla costruzione è chiaro che Q 1 ’=Q 1 e Q 2 ’=Q 2 , quindi, Q 1 ’= –Q 2 ’ e queste due forze, secondo l’assioma 2, possono essere scartate. Inoltre F 1 ’=FA 1 , F 2 ’=FA 2 . Le forze F 1 ’ e F 2 ’ agiscono su una linea retta e possono essere sostituite da una forza R = F 1 + F 2, che sarà la risultante desiderata. Il modulo della risultante è pari a R = F 1 + F 2. La retta d'azione della risultante è parallela alle rette d'azione F 1 e F 2. Dalla somiglianza dei triangoli Oac 1 e OAC, nonché di Obc 2 e OBC, otteniamo il rapporto: F 1 /F 2 =BC/AC. Questa relazione determina il punto di applicazione della risultante R. Un sistema di due forze parallele dirette in una direzione ha una risultante parallela a queste forze e il suo modulo pari alla somma moduli di queste forze.

2) Lasciamo che sul corpo agiscano due forze parallele, dirette in direzioni diverse e non uguali in grandezza. Dati: F 1, F 2; Fa 1 > Fa 2 .

Utilizzando le formule R = F 1 + F 2 e F 1 /F 2 =BC/AC, possiamo scomporre la forza F 1 in due componenti, F" 2 e R, dirette verso la forza F 1. Facciamo così in modo che Risultò che la forza F" 2 era applicata al punto B, e poniamo F" 2 = –F 2. Pertanto, (Fa l, Fa 2)~(Re, Fa" 2, Fa 2). Poteri Fa2, Fa2' può essere scartato come equivalente a zero (assioma 2), quindi, (FA 1, FA 2)~R, cioè la forza R è la risultante. Definiamo la forza R che soddisfa questa espansione della forza F 1 . Formule R = FA 1 + FA 2 e F 1 /F 2 =BC/AC danno R+FA 2 '=FA 1, R/F 2 =AB/AC (*). ciò implica R = Fa 1 – Fa 2 '= Fa 1 + Fa 2, e poiché le forze F t e F 2 sono dirette in direzioni diverse, allora R=F 1 –F 2. Sostituendo questa espressione nella seconda formula (*), otteniamo dopo semplici trasformazioni F 1 /F 2 =BC/AC. la relazione determina il punto di applicazione della risultante R. Due forze parallele dirette in modo opposto di diversa grandezza hanno una risultante parallela a queste forze e il suo modulo è uguale alla differenza nei moduli di queste forze.

3) Sul corpo agiscano due forze parallele, uguali in intensità, ma opposte in direzione. Questo sistema è chiamato coppia di forze ed è indicato con il simbolo (Fa 1, Fa 2). Supponiamo che il modulo F 2 aumenti gradualmente, avvicinandosi al valore del modulo F 1 . Allora la differenza di moduli tenderà a zero e il sistema di forze (F 1, F 2) tenderà a una coppia. In questo caso |R|Þ0, e la linea della sua azione si allontana dalle linee di azione di queste forze. Una coppia di forze è un sistema sbilanciato che non può essere sostituito da una singola forza. Una coppia di forze non ha risultante.

Momento di una forza rispetto ad un punto e ad un asse Momento di una coppia di forze

Il momento di una forza rispetto a un punto (centro) è un vettore numericamente uguale al prodotto del modulo della forza per il braccio, cioè per la distanza più breve dal punto specificato alla linea di azione della forza . È diretto perpendicolarmente al piano che passa per il punto selezionato e la linea di azione della forza. Se la coppia è in senso orario, allora la coppia è negativa, se è in senso antiorario, allora è positiva. Se O è il punto, la relazione è il momento della forza F, allora il momento della forza è indicato con il simbolo M o (F). Se il punto di applicazione della forza F è determinato dal raggio vettore r relativo a O, allora vale la relazione M o (F) = r x F. (3.6) Cioè il momento della forza è uguale al prodotto vettoriale del vettore r per il vettore F. Il modulo del prodotto vettoriale è uguale a М о (F)=rF sin a=Fh, (3.7) dove h è il braccio della forza. Il vettore Mo (F) è diretto perpendicolarmente al piano che passa attraverso i vettori r e F, e in senso antiorario. Pertanto, la formula (3.6) determina completamente il modulo e la direzione del momento della forza F. La formula (3.7) può essere scritta nella forma M O (F) = 2S, (3.8) dove S è l'area del triangolo OAB . Siano x, y, z le coordinate del punto di applicazione della forza, e F x , F y , F z le proiezioni della forza sugli assi coordinati. Se è così, chi siamo. all'origine, poi il momento della forza:

Ciò significa che le proiezioni del momento della forza sugli assi delle coordinate sono determinate da f-mi: M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3.10 ).

Introduciamo il concetto di proiezione della forza su un piano. Sia data una forza F e una certa forza. Lasciamo cadere le perpendicolari dall'inizio e dalla fine del vettore forza su questo piano (Fig. 3.5). La proiezione di una forza su un piano è un vettore il cui inizio e fine coincidono con la proiezione dell'inizio e della fine della forza su questo piano. La proiezione della forza F sull'area xOy sarà F xy. Momento di forza F xy rel. t.O (se z=0, F z =0) sarà M o (F xy)=(xF y –yF x)k. Questo momento è diretto lungo l'asse z, e la sua proiezione sull'asse z coincide esattamente con la proiezione sullo stesso asse del momento di forza F relativo al punto O.T.e, M Oz (F) = М Оz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Lo stesso risultato si può ottenere se proiettiamo la forza F su un qualsiasi altro piano parallelo al piano xOy. In questo caso, il punto di intersezione dell'asse con il piano sarà diverso (indicato con O 1). Tuttavia, tutte le quantità x, y, F x, F y comprese nel membro destro dell'uguaglianza (3.11) rimarranno invariate: M Oz (F) = M Olz (F xy). La proiezione del momento della forza relativo ad un punto su un asse passante per questo punto non dipende dalla scelta di un punto sull'asse. Invece di M Oz (F) scriviamo M z (F). Questa proiezione del momento è chiamata momento della forza attorno all'asse z. Prima dei calcoli, la forza F viene proiettata sull'asse quadrato e perpendicolare. M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12). h- spalla. Se in senso orario, allora +, in senso antiorario, allora –. Per calcolare m.m. forze necessarie: 1) seleziona un punto arbitrario sull'asse e costruisci un piano perpendicolare all'asse; 2) proiettare una forza su questo piano; 3) determinare il braccio di proiezione della forza h. Il momento della forza rispetto all'asse è pari al prodotto del modulo di proiezione della forza sulla sua spalla, preso con l'apposito segno. Dalla (3.12) segue che il momento della forza rispetto all'asse è pari a zero: 1) quando la proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse è pari a zero, cioè quando la forza e l'asse sono paralleli; 2) quando il braccio di proiezione h è uguale a zero, cioè quando la linea d'azione della forza interseca l'asse. Oppure: il momento di una forza attorno ad un asse è zero se e solo se la linea d'azione della forza e l'asse sono sullo stesso piano.

Introduciamo il concetto di momento di coppia. Troviamo la somma dei momenti delle forze che compongono la coppia rispetto ad un punto arbitrario. Sia O un punto arbitrario nello spazio (Fig. 3.8), e F e F" siano le forze che compongono la coppia. Allora M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF", da cui M o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF", ma poiché F"=–F, allora M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. Tenendo conto dell'uguaglianza OA –OB = BA, troviamo infine: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. Cioè la somma dei momenti di forza che compongono la coppia non dipende dalla posizione del punto rispetto al quale vengono presi i momenti. Il prodotto vettoriale BAxF è chiamato momento della coppia. Il momento di una coppia è indicato con il simbolo M(F,F"), con M(F,F")=BAxF=ABxF", oppure M=BAxF=ABxF". (3.13). Il momento di una coppia è un vettore perpendicolare al piano della coppia, uguale in grandezza al prodotto del modulo di una delle forze della coppia per il braccio della coppia (cioè la distanza più breve tra le linee di azione delle forze che compongono la coppia) e diretto nella direzione da cui è visibile la “rotazione” della coppia che avviene in senso antiorario. Se h è la spalla della coppia, allora M(F,F") = hF. Affinché la coppia di forze sia equilibrata, è necessario che il momento della coppia = 0, ovvero la spalla = 0.

Teoremi di coppia

Teorema 1.Due coppie giacenti sullo stesso piano possono essere sostituite da una coppia giacente sullo stesso piano, con momento pari alla somma dei momenti di queste due coppie . Per prova, considera due coppie (F 1, F` 1) e (F 2, F` 2) (Fig. 3.9) e sposta i punti di applicazione di tutte le forze lungo le linee della loro azione rispettivamente nei punti A e B . Sommando le forze secondo l'assioma 3, otteniamo R=F 1 +F 2 e R"=F` 1 +F` 2, ma F" 1 =–F 1 e F` 2 =–F 2. Di conseguenza, R=–R", cioè le forze R e R" formano una coppia. Il momento di questa coppia: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14). Quando le forze che compongono la coppia si trasferiscono lungo le rette della loro azione non cambia né la spalla né il senso di rotazione della coppia, quindi non cambia nemmeno il momento della coppia. Ciò significa che VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2, e la formula (3.14) assumerà la forma M=M 1 +M 2 , (3.15) ecc. Facciamo due commenti. 1. Le linee d'azione delle forze che compongono le coppie possono risultare parallele. Il teorema resta valido anche in questo caso. 2. Dopo l'addizione, può risultare che M(R,R")=0; in base all'osservazione 1, ne consegue che l'insieme di due coppie (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 .

Teorema 2.Due coppie aventi momenti uguali sono equivalenti. Lasciamo che una coppia (F 1 ,F` 1) agisca su un corpo nel piano I con momento M 1 . Mostriamo che questa coppia può essere sostituita da un'altra coppia (F 2, F` 2), situata nel piano II, se solo il suo momento M 2 è uguale a M 1. Si noti che i piani I e II devono essere paralleli; in particolare possono coincidere. Infatti dal parallelismo dei momenti M 1 e M 2 segue che anche i piani d'azione delle coppie, perpendicolari ai momenti, sono paralleli. Introduciamo una nuova coppia (F 3 , F` 3) e applichiamola insieme alla coppia (F 2 , F` 2) al corpo, posizionando entrambe le coppie nel piano II. Per fare ciò, secondo l'assioma 2, è necessario selezionare una coppia (F 3, F` 3) con un momento M 3 in modo che il sistema di forze applicato (F 2, F` 2, F 3, F` 3) è equilibrato. Poniamo F 3 =–F` 1 e F` 3 =–F 1 e combiniamo i punti di applicazione di queste forze con le proiezioni A 1 e B 1 dei punti A e B sul piano II (vedi Fig. 3.10). A seconda della costruzione avremo: M 3 ​​=–M 1 oppure, tenendo conto che M 1 = M 2, M2 + M3 = 0, otteniamo (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Pertanto, le coppie (F 2 , F` 2) e (F 3 , F` 3) sono reciprocamente bilanciate e il loro attaccamento al corpo non viola il suo stato (assioma 2), quindi (F 1 , F` 1)~ (Fa 1, Fa` 1, Fa 2, Fa` 2, Fa 3, Fa` 3). (3.16). D'altra parte, le forze F 1 e F 3, nonché F` 1 e F` 3 possono essere sommate secondo la regola per sommare forze parallele dirette in una direzione. Sono uguali in modulo, quindi le loro risultanti R e R "devono essere applicate nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo ABB 1 A 1, inoltre, sono uguali in modulo e dirette in direzioni opposte. Ciò significa che sono uguali in modulo costituiscono un sistema equivalente a zero. Quindi , (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Ora possiamo scrivere (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Confrontando le relazioni (3.16) e (3.17), otteniamo (F 1 , F` 1)~(F 2 , F` 2), ecc. Da questo teorema segue che una coppia di forze può essere spostata e ruotata nel piano della sua azione, trasferita su un piano parallelo; in una coppia è possibile modificare contemporaneamente le forze e la leva finanziaria, mantenendo solo il senso di rotazione della coppia e il modulo del suo momento (F 1 h 1 = F 2 h 2).

Teorema 3. Due coppie che giacciono su piani che si intersecano equivalgono a una coppia il cui momento è uguale alla somma dei momenti delle due coppie date. Siano posizionate le coppie (F 1 , F` 1) e (F 2 , F` 2) rispettivamente nei piani intersecanti I e II. Utilizzando il corollario del Teorema 2, portiamo entrambe le coppie al braccio AB (Fig. 3.11), situato sulla linea di intersezione dei piani I e II. Indichiamo le coppie trasformate con (Q 1 , Q` 1) e (Q 2 , Q` 2). In questo caso devono essere soddisfatte le seguenti uguaglianze: M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) e M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F 2, F`2). Aggiungiamo, secondo l'assioma 3, le forze applicate rispettivamente nei punti A e B. Quindi otteniamo R=Q 1 +Q 2 e R"=Q` 1 +Q` 2. Considerando che Q` 1 =–Q 1 e Q` 2 = –Q 2, otteniamo: R=–R". Abbiamo quindi dimostrato che un sistema di due coppie è equivalente ad una coppia (R, R"). Troviamo il momento M di questa coppia. M(R, R")=BAxR, ma R=Q 1 +Q 2 e M(R , R")=BAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1)+M(Q 2, Q` 2)=M(F 1, F" 1)+ M(F 2 , F` 2), ovvero M=M 1 +M 2, cioè il teorema è dimostrato.

Conclusione: il momento della coppia è un vettore libero e determina completamente l'azione della coppia su un corpo assolutamente rigido. Per i corpi deformabili la teoria delle coppie non è applicabile.

Riduzione di un sistema di coppie alla sua forma più semplice Equilibrio di un sistema di coppie

Sia dato un sistema di n coppie (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n), collocate arbitrariamente nello spazio, i cui momenti sono uguali a M1, M2..., Mn. Le prime due coppie possono essere sostituite da una coppia (R 1,R` 1) con il momento M* 2:M* 2 =M 1 +M 2. Aggiungiamo la coppia risultante (R 1, R` 1) con la coppia (F 3, F` 3), quindi otteniamo una nuova coppia (R 2, R` 2) con momento M* 3: M* 3 = M * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3. Continuando la somma sequenziale dei momenti delle coppie, otteniamo l'ultima coppia risultante (R, R") con il momento M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k. (3.18). Il sistema di coppie è ridotta ad una coppia, il cui momento è uguale alla somma dei momenti di tutte le coppie. Ora è facile risolvere il secondo problema di statica, cioè trovare le condizioni di equilibrio di un corpo su cui si trova un sistema di coppie agisce. Affinché un sistema di coppie sia equivalente a zero, cioè ridotto a due forze equilibrate, è necessario e sufficiente che il momento della coppia risultante sia pari a zero.Quindi dalla formula (3.18) si ottiene la seguente condizione di equilibrio in forma vettoriale: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate, l'equazione (3.19) fornisce tre equazioni scalari. La condizione di equilibrio (3.19) è semplificata quando tutte le coppie giacciono sullo stesso piano. In questo caso tutti i momenti sono perpendicolari a questo piano, e quindi è sufficiente proiettare l'equazione (3.19) su un solo asse, ad esempio l'asse perpendicolare al piano delle coppie. Sia questo l'asse z (Fig. 3.12). Quindi dall'equazione (3.19) otteniamo: Ì 1Z + Ì 2Z +...+ Ì nZ =0. È chiaro che M Z = M se la rotazione della coppia è visibile dalla direzione positiva dell'asse z in senso antiorario, e M Z = –M nel senso di rotazione opposto. Entrambi questi casi sono mostrati in Fig. 3.12.

Lemma sul trasferimento di forze parallele

Dimostriamo il lemma:Una forza applicata in qualsiasi punto di un corpo rigido equivale alla stessa forza applicata in qualsiasi altro punto di questo corpo, e una coppia di forze il cui momento è uguale al momento della forza data rispetto al nuovo punto di applicazione. Sia applicata una forza F nel punto A di un corpo rigido (Fig. 4.1). Applichiamo ora nel punto B del corpo un sistema di due forze F" e F²-, equivalenti a zero, e scegliamo F"=F (quindi F"=–F). Allora la forza F~(F, F" , F"), poiché (F",F")~0. Ma, d'altra parte, il sistema di forze (F, F", F") è equivalente alla forza F" e alla coppia di forze (F , F"); quindi la forza F è equivalente alla forza F" e alla coppia di forze (F, F"). Il momento della coppia (F, F") è uguale a M=M(F,F" )=BAxF, cioè uguale al momento della forza F relativo al punto B M=M B (F), quindi è dimostrato il lemma sul trasferimento parallelo della forza.

Teorema fondamentale della statica

Sia dato un sistema arbitrario di forze (F 1, F 2,..., F n). La somma di queste forze F=åF k è chiamata il vettore principale del sistema di forze. La somma dei momenti delle forze rispetto a qualsiasi polo è chiamata momento principale del sistema di forze in esame rispetto a questo polo.

Teorema fondamentale della statica (teorema di Poinsot ):Nel caso generale, qualsiasi sistema spaziale di forze può essere sostituito da un sistema equivalente costituito da una forza applicata in un punto del corpo (centro di riduzione) e uguale al vettore principale di questo sistema di forze, e da una coppia di forze , il cui momento è uguale al momento principale di tutte le forze relative al centro di adduzione selezionato. Sia O il centro di riduzione, preso come origine delle coordinate, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - i corrispondenti vettori del raggio dei punti di applicazione delle forze F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n , che costituiscono le forze di questo sistema (Fig. 4.2, a). Spostiamo le forze F 1, F a, F 3, ..., F n nel punto O. Sommiamo queste forze come convergenti; otteniamo una forza: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, che è uguale al vettore principale (Fig. 4.2, b). Ma con il trasferimento sequenziale delle forze F 1, F 2,..., F n al punto O, ogni volta otteniamo la corrispondente coppia di forze (F 1, F” 1), (F 2, F” 2), ...,( F n, F" n). I momenti di queste coppie sono rispettivamente uguali ai momenti di queste forze rispetto al punto O: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2 , F” 2)=r 2 x F 2 =M o (F 2), ..., M n =M(F n, F" n) =r n x F n = M o (F n). In base alla regola per ridurre un sistema di coppie alla forma più semplice, tutte queste coppie possono essere sostituite da una coppia. Il suo momento è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze del sistema rispetto al punto O, cioè è uguale al momento principale, poiché secondo le formule (3.18) e (4.1) abbiamo (Fig. 4.2, c) M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F K . Un sistema di forze, situato arbitrariamente nello spazio, può essere sostituito, in un centro di riduzione scelto arbitrariamente, dalla forza F o =åF k (4.2) e da una coppia di forze con momento M 0 =åM 0 (F k)=år k x Fk. (4.3). Nella tecnologia spesso è più semplice specificare non una forza o una coppia, ma i loro momenti. Ad esempio, le caratteristiche di un motore elettrico non comprendono la forza con cui lo statore agisce sul rotore, ma la coppia.

Condizioni per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze

Teorema.Per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze è necessario e sufficiente che il vettore principale e il momento principale di questo sistema siano uguali a zero. Adeguatezza: a F o =0 il sistema di forze convergenti applicato al centro di riduzione O è equivalente a zero, e a M o =0 il sistema di coppie di forze è equivalente a zero. Di conseguenza, il sistema di forze originario è equivalente a zero. Necessità: Sia questo sistema di forze equivalente a zero. Avendo ridotto il sistema a due forze, notiamo che il sistema delle forze Q e P (Fig. 4.4) deve essere equivalente a zero, quindi queste due forze devono avere una linea d'azione comune e l'uguaglianza Q = –P deve essere soddisfatto. Ma questo può avvenire se la linea d'azione della forza P passa per il punto O, cioè se h = 0. Ciò significa che il momento principale è zero (M o =0). Perché Q + P = 0, a Q = F o + P ", quindi F o + P " + P = 0, e quindi F o = 0. Le condizioni necessarie e sufficienti sono uguali al sistema spaziale di forze nel forma: F o = 0 , M o =0 (4.15),

oppure, nelle proiezioni sugli assi coordinati, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4.17)

Quello. Quando risolvi problemi con 6 livelli, puoi trovare 6 incognite. Nota: una coppia di forze non può essere ridotta ad una risultante. Casi particolari: 1) Equilibrio di un sistema spaziale di forze parallele. Sia l'asse Z parallelo alle linee di azione della forza (Figura 4.6), allora le proiezioni delle forze su xey sono pari a 0 (F kx = 0 e F ky = 0), e rimane solo F oz . Per quanto riguarda i momenti, rimangono solo M ox e M oy, e M oz manca. 2) Equilibrio di un sistema piano di forze. I restanti livelli sono Fox , F oy e il momento M oz (Figura 4.7). 3) Equilibrio di un sistema piano di forze parallele. (Fig. 4.8). Rimangono solo 2 livelli: F oy e M oz. Quando si compilano i livelli di equilibrio, qualsiasi punto può essere scelto come centro del fantasma.

Riduzione di un sistema piatto di forze alla sua forma più semplice

Consideriamo un sistema di forze (F 1, F 2,..., F n) situate sullo stesso piano. Combiniamo il sistema di coordinate Oxy con il piano di localizzazione delle forze e, scegliendo la sua origine come centro di riduzione, riduciamo il sistema di forze in esame ad una forza F 0 =åF k , (5.1) pari al vettore principale , e ad una coppia di forze, il cui momento è uguale al momento principale M 0 =åM 0 (F k), (5.2) dove M o (F k) è il momento della forza F k relativo al centro di riduzione O. Poiché le forze si trovano su un piano, anche la forza F o giace su questo piano. Il momento della coppia M o è diretto perpendicolarmente a questo piano, perché la coppia stessa si trova nell'azione delle forze in esame. Pertanto, per un sistema piano di forze, il vettore principale e il momento principale sono sempre perpendicolari tra loro (Fig. 5.1). Il momento è completamente caratterizzato dalla quantità algebrica M z , pari al prodotto del braccio della coppia per il valore di una delle forze che compongono la coppia, presa con segno più se la “rotazione-” della coppia avviene in senso antiorario e con un segno meno se avviene in senso orario frecce. Siano date, ad esempio, due coppie, (F 1, F` 1) e (F 2, F` 2) (Fig. 5.2); allora, secondo questa definizione, abbiamo M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2. Il momento della forza relativo ad un punto sarà essere una quantità algebrica pari alla proiezione del momento forza vettore relativo a tale punto su un asse perpendicolare al piano, cioè pari al prodotto del modulo di forza per la spalla, preso con l'apposito segno. Per i casi indicati in Fig. 5.3, aeb, rispettivamente, sarà M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = –hF 2 (5.4). L'indice z nelle formule (5.3) e (5.4) è conservato per indicare la natura algebrica dei momenti.I moduli del momento della coppia e del momento della forza si indicano come segue: M(F ,F")=| Ì z (F,F`)|, Ì о (F)=|Ì Оz (F)|. Otteniamo M oz =åM oz (F z). Per determinare analiticamente il vettore principale si utilizzano le seguenti formule: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5,8); cos(x, F o)=F ox /F o , cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). E il momento principale è pari a М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) dove x k, y k sono le coordinate del punto di applicazione della forza F k.

Dimostriamo che se il vettore principale di un sistema piano di forze non è uguale a zero, allora questo sistema di forze è equivalente a una forza, cioè si riduce a una risultante. Sia Fo≠0, MOz ≠0 (Fig. 5.4, a). Freccia ad arco in Fig. 5.4, ​​ma raffigura simbolicamente una coppia con il momento MOz. Rappresentiamo una coppia di forze, il cui momento è uguale al momento principale, sotto forma di due forze F1 e F`1, uguali in grandezza al vettore principale Fo, cioè F1=F`1 =Fo. In questo caso, applicheremo una delle forze (F`1) che compongono la coppia al centro di riduzione e la dirigeremo nella direzione opposta alla direzione della forza Fo (Fig. 5.4, b). Allora il sistema di forze Fo e F`1 equivale a zero e può essere scartato. Pertanto, il dato sistema di forze è equivalente l'unica forza F1 applicato al punto 01; questa forza è la risultante. Indicheremo la risultante con la lettera R, cioè F1=R. Ovviamente la distanza h dal precedente centro di riduzione O alla retta d'azione della risultante si ricava dalla condizione |MOz|=hF1 =hFo, cioè h=|MOz|/Fo. La distanza h deve essere allontanata dal punto O in modo che il momento della coppia di forze (F1, F`1) coincida con il momento principale MOz (Fig. 5.4, b). Come risultato del portare un sistema di forze in un dato centro, possono verificarsi i seguenti casi: (1) Fo≠0, MOz≠0. In questo caso, il sistema di forze può essere ridotto ad una forza (risultante), come mostrato in Fig. 5.4, ​​c.(2) Fo≠0, MOz=0. In questo caso il sistema di forze si riduce ad una forza (risultante) passante per un dato centro di riduzione. (3) Fo=0, MOz≠0. In questo caso il sistema di forze equivale ad una coppia di forze. (4) Fo=0, MOz=0. In questo caso il sistema di forze in esame equivale a zero, cioè le forze che compongono il sistema sono in equilibrio tra loro.

Teorema di Varignon

Teorema di Varignon. Se il sistema piano di forze considerato viene ridotto a una risultante, allora il momento di questa risultante rispetto a qualsiasi punto è uguale alla somma algebrica dei momenti di tutte le forze del sistema dato rispetto a quello stesso punto. Supponiamo che il sistema di forze si riduca ad una risultante R passante per il punto O. Prendiamo ora un altro punto O 1 come centro di riduzione. Il momento principale (5.5) attorno a questo punto è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). D'altra parte abbiamo M O1Z =M Olz (R), (5.12) poiché il momento principale per il centro di riduzione O è pari a zero (M Oz =0). Confrontando le relazioni (5.11) e (5.12), otteniamo M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) ecc. Usando il teorema di Varignon si può trovare l'equazione della retta d'azione della risultante. Sia applicata la risultante R 1 in un punto O 1 con coordinate xey (Fig. 5.5) e siano noti il ​​vettore principale F o e il momento principale M O nel centro di riduzione all'origine. Poiché R 1 =F o, le componenti della risultante lungo gli assi xey sono pari a R lx =F Ox =F Ox i e R ly =F Oy =F oy j. Secondo il teorema di Varignon, il momento della risultante rispetto all’origine è uguale al momento principale nel centro di riduzione all’origine, cioè Моz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox. (5.14). Le quantità M Oz, F Ox e Foy non cambiano quando si sposta il punto di applicazione della risultante lungo la sua linea d'azione; pertanto, le coordinate xey nell'equazione (5.14) possono essere viste come le coordinate attuali della linea d'azione della risultante. Pertanto, l'equazione (5.14) è l'equazione della retta d'azione della risultante. Quando F ox ≠0 può essere riscritto come y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze

Una condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un sistema di forze è l'uguaglianza del vettore principale e del momento principale a zero. Per un sistema piano di forze, queste condizioni assumono la forma F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), dove O è un punto arbitrario nel piano di azione delle forze . Otteniamo: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, М Оz =åM Oz (F k) = M oz (F 1)+M oz (F 2)+…+M oz (F n)=0, cioè Per l'equilibrio di un sistema piano di forze, è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle proiezioni di tutte le forze su due assi coordinati e la somma algebrica dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto arbitrario siano uguali a zero. La seconda forma dell'equazione di equilibrio è l'uguaglianza a zero delle somme algebriche dei momenti di tutte le forze relative a tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa retta; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), dove A, B e C sono i punti indicati. La necessità di soddisfare queste uguaglianze deriva dalle condizioni (5.15). Dimostriamo la loro sufficienza. Supponiamo che tutte le uguaglianze (5.17) siano soddisfatte. L'uguaglianza del momento principale a zero nel centro di riduzione nel punto A è possibile sia se il sistema è ridotto alla risultante (R≠0) e la retta della sua azione passa per il punto A, oppure R=0; analogamente, l'uguaglianza del momento principale a zero rispetto ai punti B e C significa che o R≠0 e la risultante passa per entrambi i punti, oppure R=0. Ma la risultante non può passare per tutti e tre i punti A, B e C (per condizione, non giacciono sulla stessa retta). Di conseguenza, le uguaglianze (5.17) sono possibili solo quando R = 0, cioè il sistema di forze è in equilibrio. Si noti che se i punti A, B e C giacciono sulla stessa retta, allora l'adempimento delle condizioni (5.17) non sarà una condizione sufficiente per l'equilibrio: in questo caso, il sistema può essere ridotto a una risultante la cui linea d'azione passa attraverso questi punti.

La terza forma di equazioni di equilibrio per un sistema piano di forze

La terza forma delle equazioni di equilibrio per un sistema piano di forze è l'uguaglianza a zero delle somme algebriche dei momenti di tutte le forze del sistema rispetto a due punti qualsiasi e l'uguaglianza a zero della somma algebrica delle proiezioni di tutti forze del sistema su un asse non perpendicolare alla linea passante per due punti selezionati; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (l'asse x non è perpendicolare al segmento A B). Ne consegue la necessità di soddisfare queste uguaglianze per l'equilibrio delle forze direttamente dalle condizioni (5.15). Assicuriamoci che l'adempimento di queste condizioni sia sufficiente per l'equilibrio delle forze. Dalle prime due uguaglianze, come nel caso precedente, segue che se un sistema di forze ha una risultante, allora la sua retta d'azione passa per i punti A e B (Fig. 5.7). Allora la proiezione della risultante sull'asse x, che non è perpendicolare al segmento AB, sarà diversa da zero. Ma questa possibilità è esclusa dalla terza equazione (5.18) poiché R x =åF hx). Pertanto la risultante deve essere uguale a zero e il sistema è in equilibrio. Se l'asse x è perpendicolare al segmento AB, allora le equazioni (5.18) non saranno condizioni di equilibrio sufficienti, poiché in questo caso il sistema può avere una risultante la cui retta d'azione passa per i punti A e B. Pertanto, il sistema di equilibrio le equazioni possono contenere un'equazione dei momenti e due equazioni delle proiezioni, oppure due equazioni dei momenti e un'equazione delle proiezioni, oppure tre equazioni dei momenti. Lascia che le linee d'azione di tutte le forze siano parallele all'asse y (Fig. 4.8). Allora le equazioni di equilibrio per il sistema di forze parallele in esame saranno åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) e i punti A e B non dovrebbero giacere su una linea retta parallela all'asse y. Un sistema di forze che agisce su un corpo solido può essere costituito sia da forze concentrate (isolate) che da forze distribuite. Ci sono forze distribuite lungo una linea, su una superficie e sul volume di un corpo.

Equilibrio di un corpo in presenza di attrito radente

Se due corpi I e II (Fig. 6.1) interagiscono tra loro, toccandosi nel punto A, allora sempre la reazione R A, agendo, ad esempio, dal corpo II e applicata al corpo I, può essere scomposta in due componenti: N A, diretto lungo la normale comune alla superficie dei corpi in contatto nel punto A, e T A giacente nel piano tangente. La componente N A è chiamata reazione normale, la forza T A è chiamata forza di attrito radente: impedisce al corpo I di scivolare sul corpo II. Secondo l'assioma 4 (terza legge di Newton), sul corpo II agisce una forza di reazione di uguale grandezza e direzione opposta rispetto al corpo I. La sua componente perpendicolare al piano tangente è chiamata forza di pressione normale. Forza di attrito T A = 0 se le superfici a contatto sono perfettamente lisce. In condizioni reali le superfici sono ruvide e in molti casi la forza di attrito non può essere trascurata. La forza di attrito massima è approssimativamente proporzionale alla pressione normale, cioè T max =fN. (6.3) – Legge di Amonton-Coulomb. Il coefficiente f è chiamato coefficiente di attrito radente. Il suo valore non dipende dall'area delle superfici a contatto, ma dipende dal materiale e dal grado di rugosità delle superfici a contatto. La forza di attrito può essere calcolata dalla formula T=fN solo se si verifica un caso critico. In altri casi, la forza di attrito dovrebbe essere determinata da equazioni. La figura mostra la reazione R (qui le forze attive tendono a spostare il corpo verso destra). L'angolo j compreso tra la reazione limite R e la normale alla superficie è chiamato angolo di attrito. tgj=Tmax /N=f.

Luogo geometrico tra tutti direzioni possibili la reazione limitante R forma una superficie conica - un cono di attrito (Fig. 6.6, b). Se il coefficiente di attrito f è lo stesso in tutte le direzioni, il cono di attrito sarà circolare. Nei casi in cui il coefficiente di attrito f dipende dalla direzione del possibile movimento del corpo, il cono di attrito non sarà circolare. Se la risultante delle forze attive. è all'interno del cono di attrito, quindi aumentando il suo modulo non si può disturbare l'equilibrio del corpo; Perché un corpo si metta in movimento è necessario (e sufficiente) che la risultante delle forze attive F sia esterna al cono di attrito. Consideriamo l'attrito dei corpi flessibili (Fig. 6.8). La formula di Eulero aiuta a trovare la forza più piccola P in grado di bilanciare la forza Q. P=Qe -fj*. Puoi anche trovare una forza P capace di vincere la resistenza di attrito insieme alla forza Q. In questo caso, nella formula di Eulero cambierà solo il segno di f: P=Qe fj* .

Equilibrio di un corpo in presenza di attrito volvente

Consideriamo un cilindro (rullo) appoggiato su un piano orizzontale quando su di esso agisce una forza attiva orizzontale S; oltre ad essa agisce la forza di gravità P, così come la reazione normale N e la forza di attrito T (Fig. 6.10, a). Con un modulo di forza S sufficientemente piccolo il cilindro rimane fermo. Ma questo fatto non può essere spiegato se ci accontentiamo dell’introduzione delle forze mostrate in Fig. 6.10, a. Secondo questo schema, l’equilibrio è impossibile, poiché il momento principale di tutte le forze agenti sul cilindro M Cz = –Sr è diverso da zero, e una delle condizioni di equilibrio non è soddisfatta. La ragione di questa discrepanza è che immaginiamo questo corpo assolutamente solido e assumiamo che il contatto del cilindro con la superficie avvenga lungo una generatrice. Per eliminare la discrepanza rilevata tra teoria ed esperimento, è necessario abbandonare l'ipotesi di un corpo assolutamente rigido e tenere conto che in realtà il cilindro e il piano in prossimità del punto C sono deformati e vi è una certa area di contatto di dimensione finita larghezza. Di conseguenza, nella sua parte destra il cilindro viene premuto più forte che in quella sinistra e la reazione completa R viene applicata a destra del punto C (vedere punto C 1 in Fig. 6.10, b). Il diagramma risultante delle forze agenti è staticamente soddisfacente, poiché il momento della coppia (S, T) può essere bilanciato dal momento della coppia (N, P). A differenza del primo schema (Fig. 6.10, a), al cilindro viene applicata una coppia di forze con momento MT = Nh (6.11). Questo momento è chiamato momento di attrito volvente. h=Sr/, dove h è la distanza da C a C 1. (6.13). All'aumentare del modulo di forza attiva S, la distanza h aumenta. Ma questa distanza è correlata alla superficie di contatto e, quindi, non può aumentare indefinitamente. Ciò significa che si arriverà ad uno stato in cui un aumento della forza S porterà ad uno squilibrio. Indichiamo il massimo valore possibile di h con la lettera d. Il valore di d è proporzionale al raggio del cilindro ed è diverso per i diversi materiali. Pertanto, se si verifica l'equilibrio, allora la condizione è soddisfatta: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Centro delle forze parallele

Le condizioni per portare un sistema di forze parallele ad una forza risultante si riducono ad una disuguaglianza F≠0. Cosa succede alla risultante R quando le linee di azione di queste forze parallele ruotano simultaneamente dello stesso angolo, se i punti di applicazione di queste forze rimangono invariati e le rotazioni delle linee di azione delle forze avvengono attorno ad assi paralleli. In queste condizioni, anche la risultante di un dato sistema di forze ruota simultaneamente dello stesso angolo e la rotazione avviene attorno a un certo punto fisso, chiamato centro delle forze parallele. Passiamo alla dimostrazione di questa affermazione. Supponiamo che per il sistema di forze parallele F 1 , F 2 ,...,F n in esame, il vettore principale non sia uguale a zero, quindi questo sistema di forze si riduce ad una risultante. Sia il punto O 1 qualsiasi punto sulla linea d'azione di questa risultante. Sia ora r il raggio vettore del punto 0 1 relativo al polo selezionato O, ark il raggio vettore del punto di applicazione della forza F k (Fig. 8.1). Secondo il teorema di Varignon, la somma dei momenti di tutte le forze del sistema rispetto al punto 0 1 è uguale a zero: å(r k –r)xF k =0, cioè år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Introduciamo un vettore unitario e, quindi qualsiasi forza F k può essere rappresentata come F k =F * k e (dove F * k =F h, se la direzione della forza F h e il vettore e coincidono, e F * k = –F h, se F k ed e sono diretti tra loro opposti); åF k =eåF * k . Otteniamo: år k xF * k e–rxeåF * k =0, da cui [år k F * k –råF * k ]xe=0. L'ultima uguaglianza è soddisfatta per qualsiasi direzione delle forze (cioè la direzione del versore e) solo a condizione che il primo fattore sia uguale a zero: år k F * k –råF * k =0. Questa equazione ha un'unica soluzione rispetto al raggio vettore r, che determina un punto di applicazione della risultante che non cambia posizione quando ruotano le linee di azione delle forze. Questo punto è il centro delle forze parallele. Indicando il raggio vettore del centro delle forze parallele attraverso r c: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n). Sia x с, у с, z с – coordinate del centro delle forze parallele, a x k, y k, z k – coordinate del punto di applicazione di una forza arbitraria F k; quindi le coordinate del centro delle forze parallele possono essere trovate dalle formule:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Le espressioni x k F * k , y k F * k , z k F * k sono chiamate i momenti statici di un dato sistema di forze, rispettivamente, rispetto ai piani di coordinate yOz, xOz, xOy. Se l'origine delle coordinate è scelta al centro delle forze parallele, allora x c = y c = z c = 0, e i momenti statici di un dato sistema di forze sono uguali a zero.

Centro di gravità

Un corpo di forma arbitraria situato in un campo di gravità può essere diviso in volumi elementari da sezioni parallele ai piani coordinati (Fig. 8.2). Se trascuriamo le dimensioni del corpo rispetto al raggio terrestre, allora le forze gravitazionali agenti su ciascun volume elementare possono essere considerate parallele tra loro. Indichiamo con DV k il volume di un parallelepipedo elementare con centro nel punto M k (vedi Fig. 8.2), e la forza di gravità che agisce su questo elemento con DP k. Quindi il peso specifico medio di un elemento di volume è chiamato rapporto DP k /DV k. Contraendo il parallelepipedo al punto M k, si ottiene il peso specifico in un dato punto del corpo come limite del peso specifico medio g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10). Pertanto, il peso specifico è una funzione delle coordinate, cioè g=g(x, y, z). Assumeremo che insieme alle caratteristiche geometriche del corpo venga fornito anche il peso specifico in ogni punto del corpo. Torniamo a scomporre il corpo in volumi elementari. Se escludiamo i volumi degli elementi che delimitano la superficie del corpo, allora possiamo ottenere un corpo a gradini costituito da un insieme di parallelepipedi. Applichiamo la forza di gravità al centro di ciascun parallelepipedo DP k =g k DV k , dove g h è il peso specifico nel punto del corpo coincidente con il centro del parallelepipedo. Per un sistema di n forze di gravità parallele così formate, si può trovare il centro delle forze parallele r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + …+r n DP n) / (DP 1 + DP 2 +…+ DP n). Questa formula determina la posizione di un certo punto C n. Il baricentro è il punto limite per i punti C n in n®μ.

Staticaè una branca della meccanica teorica in cui si studiano le condizioni di equilibrio dei corpi materiali sotto l'influenza di forze.

In statica, per stato di equilibrio si intende uno stato in cui tutte le parti di un sistema meccanico sono a riposo (rispetto a un sistema di coordinate fisso). Sebbene i metodi della statica siano applicabili anche ai corpi in movimento e con il loro aiuto sia possibile studiare i problemi della dinamica, gli oggetti fondamentali dello studio della statica sono i corpi e i sistemi meccanici stazionari.

Forzaè una misura dell'influenza di un corpo su un altro. La forza è un vettore che ha un punto di applicazione sulla superficie del corpo. Sotto l'influenza di una forza, un corpo libero riceve un'accelerazione proporzionale al vettore forza e inversamente proporzionale alla massa del corpo.

Legge di uguaglianza di azione e reazione

La forza con cui agisce il primo corpo sul secondo è uguale in valore assoluto e opposta in direzione alla forza con cui agisce il secondo corpo sul primo.

Principio di indurimento

Se un corpo deformabile è in equilibrio, il suo equilibrio non sarà disturbato se il corpo è considerato assolutamente solido.

Statica di un punto materiale

Consideriamo un punto materiale in equilibrio. E su di esso agiscano n forze, k = 1, 2, ..., n.

Se un punto materiale è in equilibrio, allora la somma vettoriale delle forze che agiscono su di esso è uguale a zero:
(1) .

In equilibrio la somma geometrica delle forze che agiscono su un punto è zero.

Interpretazione geometrica. Se posizioni l'inizio del secondo vettore alla fine del primo vettore e posizioni l'inizio del terzo alla fine del secondo vettore, e poi continui questo processo, la fine dell'ultimo, n-esimo vettore verrà allineata con l'inizio del primo vettore. Cioè, otteniamo una figura geometrica chiusa, le lunghezze dei lati sono uguali ai moduli dei vettori. Se tutti i vettori giacciono sullo stesso piano otteniamo un poligono chiuso.

Spesso conviene scegliere sistema di coordinate rettangolari Oxyz. Quindi le somme delle proiezioni di tutti i vettori di forza sugli assi delle coordinate sono uguali a zero:

Se scegli una direzione qualsiasi specificata da un vettore, la somma delle proiezioni dei vettori forza su questa direzione è uguale a zero:
.
Moltiplichiamo scalarmente l'equazione (1) per il vettore:
.
Ecco il prodotto scalare dei vettori e .
Si noti che la proiezione del vettore sulla direzione del vettore è determinata dalla formula:
.

Statica del corpo rigido

Momento di forza attorno ad un punto

Determinazione del momento di forza

Un momento di potere, applicata al corpo nel punto A, rispetto al centro fisso O, si chiama vettore uguale al prodotto vettoriale dei vettori e:
(2) .

Interpretazione geometrica

Il momento della forza è uguale al prodotto della forza F per il braccio OH.

Lascia che i vettori si trovino nel piano del disegno. Secondo la proprietà del prodotto vettoriale, il vettore è perpendicolare ai vettori e, cioè, perpendicolare al piano del disegno. La sua direzione è determinata dalla regola della vite giusta. Nella figura, il vettore coppia è diretto verso di noi. Valore di coppia assoluto:
.
Da allora
(3) .

Usando la geometria possiamo dare una diversa interpretazione del momento della forza. Per fare ciò, traccia una linea retta AH passante per il vettore forza. Dal centro O abbassiamo la perpendicolare OH a questa retta. La lunghezza di questa perpendicolare si chiama spalla di forza. Poi
(4) .
Poiché , allora le formule (3) e (4) sono equivalenti.

Così, valore assoluto del momento della forza rispetto al centro O è uguale a prodotto della forza per spalla questa forza relativa al centro selezionato O.

Quando si calcola la coppia, spesso è conveniente scomporre la forza in due componenti:
,
Dove . La forza passa per il punto O. Quindi il suo momento è zero. Poi
.
Valore di coppia assoluto:
.

Componenti del momento in un sistema di coordinate rettangolari

Se scegliamo un sistema di coordinate rettangolari Oxyz con centro nel punto O, il momento della forza avrà le seguenti componenti:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ecco le coordinate del punto A nel sistema di coordinate selezionato:
.
Le componenti rappresentano rispettivamente i valori del momento di forza attorno agli assi.

Proprietà del momento della forza rispetto al centro

Il momento attorno al centro O, dovuto alla forza che passa attraverso questo centro, è pari a zero.

Se il punto di applicazione della forza viene spostato lungo una linea passante per il vettore forza, il momento con tale movimento non cambierà.

Il momento derivante dalla somma vettoriale delle forze applicate ad un punto del corpo è uguale alla somma vettoriale dei momenti di ciascuna delle forze applicate allo stesso punto:
.

Lo stesso vale per le forze le cui linee di continuazione si intersecano in un punto.

Se la somma vettoriale delle forze è zero:
,
quindi la somma dei momenti di queste forze non dipende dalla posizione del centro rispetto al quale vengono calcolati i momenti:
.

Un paio di forze

Un paio di forze- si tratta di due forze, uguali in grandezza assoluta e aventi direzioni opposte, applicate a diversi punti del corpo.

Una coppia di forze è caratterizzata dal momento in cui si creano. Poiché la somma vettoriale delle forze che entrano nella coppia è zero, il momento creato dalla coppia non dipende dal punto rispetto al quale viene calcolato il momento. Dal punto di vista dell'equilibrio statico, la natura delle forze coinvolte nella coppia non ha importanza. Una coppia di forze si usa per indicare che su un corpo agisce un momento di forza di un certo valore.

Momento di forza attorno ad un dato asse

Ci sono spesso casi in cui non abbiamo bisogno di conoscere tutte le componenti del momento di una forza attorno ad un punto selezionato, ma abbiamo solo bisogno di conoscere il momento di una forza attorno ad un asse selezionato.

Il momento della forza attorno ad un asse passante per il punto O è la proiezione del vettore del momento della forza, relativo al punto O, sulla direzione dell'asse.

Proprietà del momento della forza attorno all'asse

Il momento attorno all'asse dovuto alla forza che passa attraverso questo asse è uguale a zero.

Il momento attorno ad un asse dovuto ad una forza parallela a tale asse è pari a zero.

Calcolo del momento di forza attorno ad un asse

Lasciamo che una forza agisca sul corpo nel punto A. Troviamo il momento di questa forza rispetto all'asse O′O′′.

Costruiamo un sistema di coordinate rettangolare. Lasciamo che l'asse Oz coincida con O′O′′. Dal punto A abbassiamo la perpendicolare OH a O′O′′. Attraverso i punti O e A disegniamo l'asse del Bue. Disegniamo l'asse Oy perpendicolare a Ox e Oz. Scomponiamo la forza in componenti lungo gli assi del sistema di coordinate:
.
La forza interseca l'asse O′O′′. Quindi il suo momento è zero. La forza è parallela all'asse O′O′′. Pertanto anche il suo momento è zero. Utilizzando la formula (5.3) troviamo:
.

Si noti che la componente è diretta tangenzialmente alla circonferenza il cui centro è il punto O. La direzione del vettore è determinata dalla regola della vite giusta.

Condizioni per l'equilibrio di un corpo rigido

In equilibrio, la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo è uguale a zero e la somma vettoriale dei momenti di queste forze rispetto a un centro fisso arbitrario è uguale a zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Sottolineiamo che il centro O, rispetto al quale vengono calcolati i momenti delle forze, può essere scelto arbitrariamente. Il punto O può appartenere al corpo o trovarsi al di fuori di esso. Di solito si sceglie la O centrale per rendere i calcoli più semplici.

Le condizioni di equilibrio possono essere formulate in altro modo.

In equilibrio, la somma delle proiezioni delle forze su qualsiasi direzione specificata da un vettore arbitrario è uguale a zero:
.
Anche la somma dei momenti delle forze rispetto ad un asse arbitrario O′O′′ è uguale a zero:
.

A volte tali condizioni risultano più convenienti. Ci sono casi in cui, selezionando gli assi, i calcoli possono essere semplificati.

Centro di gravità del corpo

Consideriamo una delle forze più importanti: la gravità. Qui le forze non vengono applicate in determinati punti del corpo, ma vengono distribuite in modo continuo in tutto il suo volume. Per ogni zona del corpo dal volume infinitesimale ΔV, agisce la forza di gravità. Qui ρ è la densità della sostanza del corpo ed è l'accelerazione di gravità.

Sia la massa di una parte infinitamente piccola del corpo. E lascia che il punto A k determini la posizione di questa sezione. Troviamo le quantità legate alla gravità incluse nelle equazioni di equilibrio (6).

Troviamo la somma delle forze di gravità formate da tutte le parti del corpo:
,
dove è la massa corporea. Pertanto, la somma delle forze gravitazionali delle singole parti infinitesimali del corpo può essere sostituita da un vettore della forza gravitazionale dell'intero corpo:
.

Troviamo la somma dei momenti di gravità, in modo relativamente arbitrario per il centro selezionato O:

.
Qui abbiamo introdotto il punto C, che si chiama centro di gravità corpi. La posizione del baricentro, in un sistema di coordinate centrato nel punto O, è determinata dalla formula:
(7) .

Pertanto, quando si determina l'equilibrio statico, la somma delle forze di gravità delle singole parti del corpo può essere sostituita dalla risultante
,
applicata al baricentro del corpo C, la cui posizione è determinata dalla formula (7).

La posizione del baricentro di varie figure geometriche può essere trovata nei corrispondenti libri di consultazione. Se un corpo ha un asse o un piano di simmetria, allora il centro di gravità si trova su questo asse o piano. Pertanto, i centri di gravità di una sfera, cerchio o cerchio si trovano al centro dei cerchi di queste figure. Anche i centri di gravità di un parallelepipedo rettangolare, rettangolo o quadrato si trovano nei loro centri, nei punti di intersezione delle diagonali.

Carico distribuito uniformemente (A) e linearmente (B).

Esistono anche casi simili alla gravità, in cui le forze non vengono applicate in determinati punti del corpo, ma sono distribuite continuamente sulla sua superficie o volume. Tali forze sono chiamate forze distribuite O .

(Figura A). Inoltre, come nel caso della gravità, può essere sostituita da una forza risultante di grandezza , applicata al centro di gravità del diagramma. Poiché il diagramma nella Figura A è un rettangolo, il centro di gravità del diagramma si trova nel punto C: | AC| = | CB|.

(Figura B). Può anche essere sostituito dalla risultante. La grandezza della risultante è uguale all'area del diagramma:
.
Il punto di applicazione è al centro di gravità del diagramma. Il baricentro di un triangolo, altezza h, si trova ad una distanza dalla base. Ecco perché .

Forze di attrito

Attrito radente. Lascia che il corpo sia su una superficie piana. E sia la forza perpendicolare alla superficie con cui la superficie agisce sul corpo (forza di pressione). Quindi la forza di attrito radente è parallela alla superficie e diretta lateralmente, impedendo il movimento del corpo. Il suo valore più grande è:
,
dove f è il coefficiente di attrito. Il coefficiente di attrito è una grandezza adimensionale.

Attrito volvente. Lascia che un corpo di forma rotonda rotoli o sia in grado di rotolare sulla superficie. E sia la forza di pressione perpendicolare alla superficie da cui la superficie agisce sul corpo. Quindi un momento di forze di attrito agisce sul corpo, nel punto di contatto con la superficie, impedendo il movimento del corpo. Il valore massimo del momento di attrito è pari a:
,
dove δ è il coefficiente di attrito volvente. Ha la dimensione della lunghezza.

Riferimenti:
S. M. Targ, Corso breve di meccanica teorica, “Scuola superiore”, 2010.

Come parte di qualsiasi percorso formativo, lo studio della fisica inizia con la meccanica. Non da quello teorico, non da quello applicato o computazionale, ma dalla buona vecchia meccanica classica. Questa meccanica è detta anche meccanica newtoniana. Secondo la leggenda, uno scienziato stava passeggiando in giardino e vide una mela cadere, e fu questo fenomeno che lo spinse a scoprire la legge di gravitazione universale. Naturalmente, la legge è sempre esistita e Newton le ha dato solo una forma comprensibile alle persone, ma il suo merito non ha prezzo. In questo articolo non descriveremo le leggi della meccanica newtoniana nel modo più dettagliato possibile, ma delineeremo i fondamenti, le conoscenze di base, le definizioni e le formule che possono sempre fare al caso tuo.

La meccanica è una branca della fisica, una scienza che studia il movimento dei corpi materiali e le interazioni tra loro.

La parola stessa è di origine greca e viene tradotta come “l’arte di costruire macchine”. Ma prima di costruire macchine, siamo ancora come la Luna, quindi seguiamo le orme dei nostri antenati e studiamo il movimento delle pietre lanciate obliquamente rispetto all’orizzonte e delle mele che cadono sulle nostre teste da un’altezza h.

Perché lo studio della fisica inizia con la meccanica? Poiché questo è del tutto naturale, non dovremmo iniziare con l’equilibrio termodinamico?!

La meccanica è una delle scienze più antiche, e storicamente lo studio della fisica è iniziato proprio con i fondamenti della meccanica. Collocate nel quadro del tempo e dello spazio, le persone, infatti, non potevano iniziare con qualcos'altro, non importa quanto lo desiderassero. I corpi in movimento sono la prima cosa a cui prestiamo attenzione.

Cos'è il movimento?

Il movimento meccanico è un cambiamento nella posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro nel tempo.

È dopo questa definizione che arriviamo in modo del tutto naturale al concetto di quadro di riferimento. Cambiare la posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro. Parole chiave qui: rispetto l'uno all'altro . Dopotutto, un passeggero in un'auto si muove rispetto alla persona in piedi sul lato della strada a una certa velocità, ed è fermo rispetto al suo vicino seduto accanto a lui, e si muove a una velocità diversa rispetto al passeggero nell'auto che li sta sorpassando.

Ecco perché, per misurare normalmente i parametri degli oggetti in movimento e non confonderci, ne abbiamo bisogno sistema di riferimento: corpo di riferimento, sistema di coordinate e orologio rigidamente interconnessi. Ad esempio, la Terra si muove attorno al Sole in un sistema di riferimento eliocentrico. Nella vita di tutti i giorni effettuiamo quasi tutte le nostre misurazioni in un sistema di riferimento geocentrico associato alla Terra. La terra è un corpo di riferimento rispetto al quale si muovono automobili, aerei, persone e animali.

La meccanica, come scienza, ha il suo compito. Il compito della meccanica è conoscere la posizione di un corpo nello spazio in ogni istante. In altre parole, la meccanica costruisce una descrizione matematica del movimento e trova connessioni tra le quantità fisiche che lo caratterizzano.

Per andare oltre, abbiamo bisogno del concetto “ punto materiale " Dicono che la fisica è una scienza esatta, ma i fisici sanno quante approssimazioni e ipotesi bisogna fare per concordare proprio su questa accuratezza. Nessuno ha mai visto un punto materiale o annusato un gas ideale, ma esistono! È semplicemente molto più facile convivere con loro.

Un punto materiale è un corpo la cui dimensione e forma possono essere trascurate nel contesto di questo problema.

Sezioni di meccanica classica

La meccanica è composta da diverse sezioni

• Cinematica
• Dinamica
• Statica

Cinematica dal punto di vista fisico studia esattamente come si muove un corpo. In altre parole, questa sezione tratta le caratteristiche quantitative del movimento. Trova velocità, percorso: problemi tipici della cinematica

Dinamica risolve la questione del perché si muove in quel modo. Cioè, considera le forze che agiscono sul corpo.

Statica studia l'equilibrio dei corpi sotto l'influenza delle forze, cioè risponde alla domanda: perché non cade affatto?

Limiti di applicabilità della meccanica classica.

La meccanica classica non pretende più di essere una scienza che spiega tutto (all'inizio del secolo scorso tutto era completamente diverso), e ha un chiaro quadro di applicabilità. In generale, le leggi della meccanica classica sono valide nel mondo a cui siamo abituati in termini di dimensioni (macromondo). Smettono di funzionare nel caso del mondo delle particelle, quando la meccanica quantistica sostituisce la meccanica classica. Inoltre, la meccanica classica non è applicabile ai casi in cui il movimento dei corpi avviene a una velocità prossima alla velocità della luce. In tali casi, gli effetti relativistici diventano pronunciati. In parole povere, nel quadro della meccanica quantistica e relativistica - meccanica classica, questo è un caso speciale quando le dimensioni del corpo sono grandi e la velocità è piccola. Puoi saperne di più dal nostro articolo.

In generale gli effetti quantistici e relativistici non scompaiono mai; si verificano anche durante il moto ordinario dei corpi macroscopici a velocità molto inferiori a quella della luce. Un'altra cosa è che l'effetto di questi effetti è così piccolo che non va oltre le misurazioni più accurate. La meccanica classica non perderà quindi mai la sua fondamentale importanza.

Continueremo a studiare i fondamenti fisici della meccanica nei prossimi articoli. Per una migliore comprensione della meccanica, puoi sempre rivolgerti a loro, che individualmente faranno luce sul punto oscuro del compito più difficile.

Meccanica teoricaè una sezione della meccanica che espone le leggi fondamentali del movimento meccanico e dell'interazione meccanica dei corpi materiali.

La meccanica teorica è una scienza che studia il movimento dei corpi nel tempo (movimenti meccanici). Serve come base per altri rami della meccanica (teoria dell'elasticità, resistenza dei materiali, teoria della plasticità, teoria dei meccanismi e delle macchine, idroaerodinamica) e molte discipline tecniche.

Movimento meccanico- questo è un cambiamento nel tempo nella posizione relativa nello spazio dei corpi materiali.

Interazione meccanica- si tratta di un'interazione a seguito della quale cambia il movimento meccanico o cambia la posizione relativa delle parti del corpo.

Statica del corpo rigido

Staticaè una sezione di meccanica teorica che tratta i problemi dell'equilibrio dei corpi solidi e della trasformazione di un sistema di forze in un altro, ad esso equivalente.

Concetti fondamentali e leggi della statica
• Corpo assolutamente rigido(corpo solido, corpo) è un corpo materiale, la distanza tra i punti in cui non cambia.
• Punto materialeè un corpo le cui dimensioni, a seconda delle condizioni del problema, possono essere trascurate.
• Corpo libero- si tratta di un organismo alla cui circolazione non sono imposte restrizioni.
• Corpo non libero (legato).è un corpo il cui movimento è soggetto a restrizioni.
• Connessioni– si tratta di corpi che impediscono il movimento dell'oggetto in questione (un corpo o un sistema di corpi).
• Reazione comunicativaè una forza che caratterizza l'azione di un legame su un corpo solido. Se consideriamo un'azione la forza con cui un corpo solido agisce su un legame, allora la reazione del legame è una reazione. In questo caso, l'azione della forza viene applicata alla connessione e la reazione della connessione viene applicata al corpo solido.
• Sistema meccanicoè una raccolta di corpi interconnessi o punti materiali.
• Solido può essere considerato come un sistema meccanico, le cui posizioni e distanze tra i punti non cambiano.
• Forzaè una quantità vettoriale che caratterizza l'azione meccanica di un corpo materiale su un altro.
  La forza come vettore è caratterizzata dal punto di applicazione, dalla direzione dell'azione e dal valore assoluto. L'unità del modulo di forza è Newton.
• Linea d'azione della forzaè una retta lungo la quale è diretto il vettore forza.
• Potenza focalizzata– forza applicata in un punto.
• Forze distribuite (carico distribuito)- si tratta di forze che agiscono su tutti i punti del volume, della superficie o della lunghezza di un corpo.
  Il carico distribuito è specificato dalla forza che agisce per unità di volume (superficie, lunghezza).
  La dimensione del carico distribuito è N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Forza esternaè una forza agente da un corpo che non appartiene al sistema meccanico in esame.
• Forza interioreè una forza che agisce su un punto materiale di un sistema meccanico da un altro punto materiale appartenente al sistema in esame.
• Sistema di forzeè un insieme di forze che agiscono su un sistema meccanico.
• Sistema di forze piatteè un sistema di forze le cui linee di azione giacciono sullo stesso piano.
• Sistema spaziale di forzeè un sistema di forze le cui linee di azione non giacciono sullo stesso piano.
• Sistema di forze convergentiè un sistema di forze le cui linee di azione si intersecano in un punto.
• Sistema arbitrario di forzeè un sistema di forze le cui linee d'azione non si intersecano in un punto.
• Sistemi di forze equivalenti- si tratta di sistemi di forze, la cui sostituzione l'una con l'altra non modifica lo stato meccanico del corpo.
  Denominazione accettata: .
• Equilibrio- questo è uno stato in cui un corpo, sotto l'azione di forze, rimane immobile o si muove uniformemente in linea retta.
• Sistema equilibrato di forze- questo è un sistema di forze che, applicato a un corpo solido libero, non ne modifica lo stato meccanico (non lo sbilancia).
  .
• Forza risultanteè una forza la cui azione su un corpo equivale all'azione di un sistema di forze.
  .
• Momento di potereè una quantità che caratterizza la capacità di rotazione di una forza.
• Un paio di forzeè un sistema di due forze parallele di uguale grandezza e dirette in modo opposto.
  Denominazione accettata: .
  Sotto l'influenza di una coppia di forze, il corpo eseguirà un movimento rotatorio.
• Proiezione della forza sull'asse- questo è un segmento racchiuso tra le perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore forza a questo asse.
  La proiezione è positiva se la direzione del segmento coincide con la direzione positiva dell'asse.
• Proiezione della forza su un pianoè un vettore su un piano, racchiuso tra le perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore forza su questo piano.
• Legge 1 (legge di inerzia). Un punto materiale isolato è fermo oppure si muove in modo uniforme e rettilineo.
  Il moto uniforme e rettilineo di un punto materiale è moto per inerzia. Lo stato di equilibrio di un punto materiale e di un corpo rigido è inteso non solo come stato di quiete, ma anche come movimento per inerzia. Per un corpo rigido esistono vari tipi di movimento per inerzia, ad esempio la rotazione uniforme di un corpo rigido attorno ad un asse fisso.
• Legge 2. Un corpo rigido è in equilibrio sotto l'azione di due forze solo se queste sono di uguale intensità e dirette in direzioni opposte lungo una linea d'azione comune.
  Queste due forze sono chiamate equilibrio.
  In generale le forze si dicono equilibrate se il corpo solido a cui vengono applicate è a riposo.
• Legge 3. Senza disturbare lo stato (la parola “stato” qui significa lo stato di movimento o di quiete) di un corpo rigido, si possono aggiungere e rifiutare forze di equilibrio.
  Conseguenza. Senza alterare lo stato del corpo solido, la forza può trasferirsi lungo la sua linea d'azione in qualsiasi punto del corpo.
  Due sistemi di forze si dicono equivalenti se uno di essi può essere sostituito dall'altro senza alterare lo stato del corpo solido.
• Legge 4. La risultante di due forze applicate in un punto, applicate nello stesso punto, è uguale in grandezza alla diagonale di un parallelogramma costruito su queste forze, ed è diretta lungo questa
  diagonali.
  Il valore assoluto della risultante è:
  
• Legge 5 (legge di uguaglianza di azione e reazione). Le forze con cui due corpi agiscono l'uno sull'altro sono uguali in grandezza e dirette in direzioni opposte lungo la stessa retta.
  Questo va tenuto presente azione- forza applicata al corpo B, E opposizione- forza applicata al corpo UN, non sono equilibrati, poiché applicati a corpi diversi.
• Legge 6 (legge di solidificazione). L'equilibrio di un corpo non solido non viene disturbato quando si solidifica.
  Non va dimenticato che le condizioni di equilibrio, necessarie e sufficienti per un corpo solido, sono necessarie ma insufficienti per il corrispondente corpo non solido.
• Legge 7 (legge di emancipazione dai legami). Un corpo solido non libero può considerarsi libero se è liberato mentalmente dai legami, sostituendo all'azione dei legami le corrispondenti reazioni dei legami.

Connessioni e loro reazioni
• Superficie liscia limita il movimento normale alla superficie di appoggio. La reazione è diretta perpendicolarmente alla superficie.
• Supporto mobile articolato limita il movimento del corpo normale al piano di riferimento. La reazione è diretta perpendicolarmente alla superficie di supporto.
• Supporto fisso articolato contrasta qualsiasi movimento su un piano perpendicolare all'asse di rotazione.
• Asta articolata senza peso contrasta il movimento del corpo lungo la linea dell'asta. La reazione sarà diretta lungo la linea dell'asta.
• Sigillo cieco contrasta qualsiasi movimento e rotazione nel piano. La sua azione può essere sostituita da una forza rappresentata sotto forma di due componenti e una coppia di forze con un momento.

Cinematica

Cinematica- una sezione di meccanica teorica che esamina le proprietà geometriche generali del movimento meccanico come processo che avviene nello spazio e nel tempo. Gli oggetti in movimento sono considerati punti geometrici o corpi geometrici.

Concetti base di cinematica
• Legge del moto di un punto (corpo)– questa è la dipendenza della posizione di un punto (corpo) nello spazio dal tempo.
• Traiettoria del punto– questa è la posizione geometrica di un punto nello spazio durante il suo movimento.
• Velocità di un punto (corpo)– questa è una caratteristica del cambiamento nel tempo della posizione di un punto (corpo) nello spazio.
• Accelerazione di un punto (corpo)– questa è una caratteristica del cambiamento nel tempo della velocità di un punto (corpo).

Determinazione delle caratteristiche cinematiche di un punto
• Traiettoria del punto
  In un sistema di riferimento vettoriale la traiettoria è descritta dall'espressione: .
  Nel sistema di riferimento delle coordinate, la traiettoria è determinata dalla legge del moto del punto ed è descritta dalle espressioni z = f(x,y)- nello spazio, o y = f(x)- in un aereo.
  In un sistema di riferimento naturale, la traiettoria è specificata in anticipo.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di coordinate vettoriali
  Quando si specifica il movimento di un punto in un sistema di coordinate vettoriali, il rapporto tra il movimento e un intervallo di tempo è chiamato valore medio della velocità su questo intervallo di tempo: .
  Considerando l'intervallo di tempo un valore infinitesimo, otteniamo il valore della velocità in un dato istante (valore della velocità istantanea): .
  Il vettore velocità media è diretto lungo il vettore nella direzione del movimento del punto, il vettore velocità istantanea è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto.
  Conclusione: la velocità di un punto è una quantità vettoriale pari alla derivata temporale della legge del moto.
  Proprietà derivativa: la derivata di qualsiasi quantità rispetto al tempo determina il tasso di variazione di questa quantità.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di riferimento di coordinate
  Tasso di cambiamento delle coordinate del punto:
  .
  Il modulo della velocità totale di un punto con un sistema di coordinate rettangolari sarà uguale a:
  .
  La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni degli angoli di direzione:
  ,
  dove sono gli angoli tra il vettore velocità e gli assi delle coordinate.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di riferimento naturale
  La velocità di un punto nel sistema di riferimento naturale è definita come la derivata della legge di moto del punto: .
  Secondo le conclusioni precedenti, il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto e negli assi è determinato da una sola proiezione.

Cinematica del corpo rigido
• Nella cinematica dei corpi rigidi vengono risolti due problemi principali:
  1) impostare il movimento e determinare le caratteristiche cinematiche del corpo nel suo complesso;
  2) determinazione delle caratteristiche cinematiche dei punti del corpo.
• Moto traslatorio di un corpo rigido
  Il moto di traslazione è un movimento in cui una linea retta passante per due punti di un corpo rimane parallela alla sua posizione originale.
  Teorema: durante il movimento traslatorio, tutti i punti del corpo si muovono lungo traiettorie identiche e in ogni momento hanno la stessa grandezza e direzione di velocità e accelerazione.
  Conclusione: il movimento traslatorio di un corpo rigido è determinato dal movimento di uno qualsiasi dei suoi punti, e quindi il compito e lo studio del suo movimento si riducono alla cinematica del punto.
• Moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
  Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso è il moto di un corpo rigido in cui due punti appartenenti al corpo rimangono immobili durante l'intero tempo del movimento.
  La posizione del corpo è determinata dall'angolo di rotazione. L'unità di misura dell'angolo è il radiante. (Un radiante è l'angolo al centro di un cerchio, la cui lunghezza dell'arco è uguale al raggio; l'angolo totale del cerchio contiene 2π radiante.)
  La legge del moto rotatorio di un corpo attorno ad un asse fisso.
  Determiniamo la velocità angolare e l'accelerazione angolare del corpo utilizzando il metodo di differenziazione:
  — velocità angolare, rad/s;
  — accelerazione angolare, rad/s².
  Se sezioni il corpo con un piano perpendicolare all'asse, seleziona un punto sull'asse di rotazione CON e un punto arbitrario M, quindi puntare M descriverà attorno a un punto CON raggio del cerchio R. Durante dt c'è una rotazione elementare attraverso un angolo e il punto M si muoverà lungo la traiettoria per una certa distanza .
  Modulo velocità lineare:
  .
  Accelerazione del punto M con traiettoria nota, è determinata dalle sue componenti:
  ,
  Dove .
  Di conseguenza, otteniamo le formule
  accelerazione tangenziale: ;
  accelerazione normale: .

Dinamica

Dinamicaè una sezione della meccanica teorica in cui si studiano i movimenti meccanici dei corpi materiali a seconda delle cause che li provocano.

Concetti base di dinamica
• Inerzia- questa è la proprietà dei corpi materiali di mantenere uno stato di riposo o di moto rettilineo uniforme finché forze esterne non modificano questo stato.
• Pesoè una misura quantitativa dell'inerzia di un corpo. L'unità di massa è il chilogrammo (kg).
• Punto materiale- questo è un corpo con massa, le cui dimensioni vengono trascurate quando si risolve questo problema.
• Centro di massa di un sistema meccanico- un punto geometrico le cui coordinate sono determinate dalle formule:
  
  Dove mk, xk, yk, zk— massa e coordinate K-quel punto del sistema meccanico, M— massa del sistema.
  In un campo di gravità uniforme, la posizione del centro di massa coincide con la posizione del baricentro.
• Momento d'inerzia di un corpo materiale rispetto ad un asseè una misura quantitativa dell'inerzia durante il movimento rotatorio.
  Il momento di inerzia di un punto materiale rispetto all'asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse:
  .
  Il momento di inerzia del sistema (corpo) rispetto all'asse è uguale alla somma aritmetica dei momenti di inerzia di tutti i punti:
  
• Forza d'inerzia di un punto materialeè una quantità vettoriale uguale in modulo al prodotto della massa di un punto e al modulo di accelerazione e diretta opposta al vettore di accelerazione:
• La forza d'inerzia di un corpo materialeè una quantità vettoriale uguale in modulo al prodotto della massa corporea per il modulo di accelerazione del centro di massa del corpo e diretta opposta al vettore accelerazione del centro di massa: ,
  dove è l'accelerazione del centro di massa del corpo.
• Impulso elementare di forzaè una quantità vettoriale pari al prodotto del vettore forza per un periodo di tempo infinitesimo dt:
  .
  L'impulso di forza totale per Δt è uguale all'integrale degli impulsi elementari:
  .
• Lavoro di forza elementareè una quantità scalare dA, pari allo scalare proi