Testare la somma e il prodotto della permutazione dei fattori. Una storia sulla matematica russa, un contadino gentile e clienti stupidi. Problemi per trovare la somma

Com'è divertente osservare il ribollire di merda nella testa di persone lontane dalla matematica, dalla fisica, Scienze naturali in generale e sulle modalità del loro insegnamento nelle scuole secondarie.

Sto parlando della diffusa discussione sulla valutazione "ingiusta" da parte dell'insegnante di questa soluzione a un problema semplice:

Quando le persone vedono una simile valutazione, di solito sorge nelle loro teste una dissonanza cognitiva dovuta al fatto che la maggioranza, anche se intuitivamente, ricorda che l'operazione di moltiplicazione è comunicativa, cioè Riordinare la posizione dei fattori non cambia il prodotto, cioè a*b = b*a.

Ma qui bisogna capire che il problema in discussione appartiene alla categoria dei più basilari, quando il bambino non solo non conosce le proprietà della moltiplicazione, ma ha appena incontrato per la prima volta il concetto di moltiplicazione, introdotto come aggiunta di termini identici.

Quindi da un punto di vista matematico la soluzione del problema dovrebbe assomigliare a questa:

2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l = 2l * 9 = 18l

E l'ordine dei fattori è davvero importante per comprendere l'operazione di moltiplicazione. E questa non è una stranezza dei moderni metodologi russi. Questo è esattamente ciò che scrivevano nei libri di testo di matematica 130 anni fa: § 42. Che cos'è la moltiplicazione. La moltiplicazione è l'addizione di termini identici. In questo caso, il numero che viene ripetuto come addendo è chiamato moltiplicando (viene moltiplicato), e il numero che mostra quanti addendi identici vengono presi è chiamato moltiplicatore.(Kiselev, prima edizione 1884).

La stessa cosa è stata scritta nei libri di testo comunisti all'inizio del secolo scorso (Stato istituto pedagogico loro. Herzen, I.N. Kavun, N.S. Popova, "Metodi di insegnamento dell'aritmetica. Per insegnanti di scuola primaria e studenti di istituti pedagogici". Approvato dal Commissariato popolare per l'istruzione della RSFSR, 1934):

È ovvio che la soluzione proposta dallo studente dimostra la sua mancata comprensione dell'essenza dell'operazione di moltiplicazione, che è stata valutata di conseguenza dall'insegnante.

Anche supponendo che lo studente sia un genio che ha intuito (o addirittura sapeva) la natura comunicativa dell'operazione di moltiplicazione, la sua soluzione è comunque errata. Il punto è che se nella decisione avesse scritto:

allora la risposta sarebbe corretta. Tuttavia, i litri, come dimensione, sono assenti sul lato sinistro dell’equazione e compaiono dal nulla su quello destro. La registrazione è

in questo caso è corretto, nonostante l'assenza della dimensione (l) sul lato sinistro, perché questa dimensione viene omessa in base alle condizioni iniziali del problema, che implicano che la dimensione della risposta sarà uguale alla dimensione del moltiplicando, che viene sempre per primo.

A proposito, l'incomprensione delle dimensioni porta a tristi conseguenze nella vita adulta. Leggi l'opera arrabbiata biglebowsky che, con un sorriso compiaciuto, scrive vere e proprie sciocchezze, calcolando la distanza percorsa da un'auto in 2 ore alla velocità di 60 chilometri orari: S = 60 km/ora * 2 ore = 120 km/ora. Successivamente, ricordiamo il significato fisico del problema e scartiamo la coda della soluzione “/h”.

E queste persone analfabete, che non capiscono la matematica e la fisica elementare, ritengono possibile e accettabile criticare i metodi di un secolo e mezzo di insegnamento ai bambini delle basi della matematica.

Inoltre, loro stessi (e anche tutti voi) hanno studiato la moltiplicazione a scuola ai loro tempi. Nell'URSS esisteva un libro di testo per tutte le scuole e in esso era importante l'ordine dei fattori quando si studiava l'operazione di moltiplicazione. E allo stesso modo, i voti per la riorganizzazione dei fattori sono stati ridotti, poiché ciò dimostrava la mancanza di comprensione da parte dello studente dell'essenza dell'operazione di moltiplicazione e indicava una semplice selezione di fattori, senza comprendere l'essenza dei fenomeni.

Un'altra cosa è che in seguito, dopo aver studiato le leggi della moltiplicazione e consolidato la conoscenza della comunicatività dell'opzione di moltiplicazione, l'abilità di scrivere correttamente i fattori diventa superflua e viene dimenticata. Ma non dobbiamo dimenticare la dimensione corretta. Alla fine, tutti gli ulteriori studi di fisica si basano su questo.

In generale, volevo trasmettere un'idea semplice. Se una persona non capisce ciò che gli dice l'insegnante, di regola non è colpa dell'insegnante, ma un problema della persona.

Il modo in cui i bambini vengono introdotti a questa regola (legge) è determinato dal significato precedentemente introdotto dell'azione di moltiplicazione. Utilizzando modelli di oggetti di insiemi, i bambini calcolano i risultati del raggruppamento dei loro elementi in modi diversi, assicurandosi che i risultati non cambino quando si cambiano i metodi di raggruppamento.

Il conteggio degli elementi di un'immagine (set) a coppie in orizzontale coincide con il conteggio degli elementi in terzine in verticale. La considerazione di diverse varianti di casi simili fornisce all'insegnante la base per effettuare una generalizzazione induttiva (cioè una generalizzazione di diversi casi speciali in una regola generalizzata) secondo cui la riorganizzazione dei fattori non modifica il valore del prodotto.

Sulla base di questa regola, utilizzata come metodo di conteggio, viene compilata una tabella di moltiplicazione per 2.

Per esempio: Utilizzando la tavola pitagorica per il numero 2, calcola e ricorda la tavola pitagorica per 2:

Sulla base della stessa tecnica, viene compilata una tabella di moltiplicazione per 3:

La compilazione delle prime due tabelle è distribuita su due lezioni, il che aumenta di conseguenza il tempo dedicato alla loro memorizzazione. Ciascuna delle ultime due tabelle viene compilata in una lezione, poiché si presume che i bambini, conoscendo la tabella originale, non debbano memorizzare separatamente i risultati delle tabelle ottenuti riorganizzando i fattori. Molti bambini, infatti, imparano ciascuna tabella separatamente, poiché l'insufficiente livello di sviluppo della flessibilità del pensiero non consente loro di ricostruire facilmente il modello del diagramma della tabella memorizzato in ordine inverso. Quando si calcolano casi della forma 9 2 o 8 3, i bambini tornano nuovamente all'addizione sequenziale, che naturalmente richiede tempo per ottenere un risultato. Questa situazione è molto probabilmente generata dal fatto che per un numero significativo di bambini, tale separazione nel tempo di casi di moltiplicazione interconnessi (quelli collegati dalla regola del riordinamento dei fattori) non consente la formazione di una catena associativa focalizzata specificatamente sull'interconnessione .

Quando si compila una tavola pitagorica per il numero 5 nel grado 3, solo il primo prodotto si ottiene aggiungendo termini identici: 5 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. I restanti casi si ottengono aggiungendo cinque al precedente risultato:

5 6 = 5 5+ 5 = 30 5 7 = 5 6+ 5 = 35 5 8 = 5 7 + 5 = 40 5 9 = 5 8 + 5 = 45

Contemporaneamente a questa tabella viene compilata una tabella di moltiplicazione interconnessa per 5: 6 5; 7 5; 8 5; 95.

La tavola pitagorica del numero 6 contiene quattro casi: 6 6; 67; 6 8; 69.

La tavola pitagorica del 6 contiene tre casi: 7 6; 8 6; 96.

Approccio teorico a tale costruzione di un sistema per studiare la moltiplicazione delle tabelle presuppone che sia in questa corrispondenza che il bambino ricorderà i casi di moltiplicazione delle tabelle.

La tavola pitagorica più facile da ricordare per il numero 2 contiene il maggior numero di casi, mentre la tavola pitagorica più difficile da ricordare per il numero 9 contiene solo un caso. In realtà, considerando ogni nuova “porzione” della tavola pitagorica, l'insegnante solitamente ripristina l'intero volume di ciascuna tavola (tutti i casi). Anche se l’insegnante attira l’attenzione dei bambini sul fatto che un nuovo caso in questa lezione è, ad esempio, solo il caso 9 9,a 9 8, 9 7it. gli elementi sono stati studiati nelle lezioni precedenti, la maggior parte dei bambini percepisce l'intero volume proposto come materiale per un nuovo apprendimento. Pertanto, in effetti, per molti bambini, la tavola pitagorica del numero 9 è la più grande e complessa (e in effetti è così, se si tiene presente l'elenco di tutti i casi ad essa correlati).

Una grande quantità di materiale che richiede la memorizzazione, la difficoltà nel formare connessioni associative durante la memorizzazione di casi correlati, la necessità che tutti i bambini raggiungano una solida memorizzazione a memoria di tutti i casi tabulari entro i limiti di tempo stabiliti dal programma: tutto ciò rende il tema di studiare la moltiplicazione tabulare in scuola elementare uno dei più metodologicamente complessi. A questo proposito, sono importanti le questioni relative a come un bambino memorizza le tabelline.

Lezione dimostrativa di matematica in 2a elementare

Instradamento lezione di matematica

in 2a elementare sul tema “Permutazione di fattori”

Articolo: matematica Classe: 2-a

Argomento della lezione : Riorganizzazione dei moltiplicatori.

Bersaglio: creare le condizioni affinché gli studenti possano raggiungere risultati risultati educativi:

- personale: 1) avere un atteggiamento positivo nei confronti della scuola e dell’apprendimento; dimostrare bisogni cognitivi e motivazioni di apprendimento; Sii organizzato e disciplinato in classe.

2) mostrare attenzione e pazienza verso l'interlocutore, capacità di autovalutare le proprie attività.

- meta-soggetto:

UUD cognitivo:mio nuova conoscenza, trovare le informazioni necessarie, elaborare le informazioni (analisi, confronto) presentate in diverse forme.

UUD regolamentare:insieme all’insegnante, scoprire e formulare un problema educativo,determinare lo scopo del tuo lavoro, valuta il tuo risultato e quello dei tuoi compagni, distingui un'attività completata correttamente da una errata.

UUD di comunicazione:ascoltare e dialogare,difendere la propria posizione, esprimere la propria opinione, partecipare alla discussione di gruppo,collaborare in coppia, parlare davanti alla classe,

- soggetto: comprendere cos'è la “proprietà commutativa della moltiplicazione”, essere in grado di applicarla, consolidare il significato dell'azione della moltiplicazione e sviluppare abilità computazionali nel calcolo mentale.

Obiettivi della lezione:

introdurre gli studenti alla proprietà commutativa della moltiplicazione utilizzando esempi specifici;

sviluppare la capacità di applicarlo nella pratica; consolidare il significato della moltiplicazione;

sviluppo del discorso matematico basato sull'uso del modello studiato; sviluppare abilità computazionali, operazioni mentali di confronto, classificazione;

Metodi e forme di formazione : Esplicativo e illustrativo; individuale, frontale, bagno turco.

Tecniche per organizzare le attività didattiche degli studenti: ricerca di nuove conoscenze attraverso interviste e lavori in coppia; lavoro indipendente con supporto pedagogico per gli studenti che ne hanno bisogno

Durante le lezioni:

(fasi della lezione

Attività dell'insegnante

Attività
studenti

Risultati pianificati

1.Motivazione per le attività di apprendimento .

Accoglienza: esprimere gli auguri agli studenti

La campana ci chiamava tutti in classe,

Abbiamo una lezione di matematica.

Pensiamo e ragioniamo.

È ora di iniziare la nostra lezione.

Vuoi imparare qualcosa di nuovo? (SÌ)

Quindi tutti possono sedersi!

Iniziamo la nostra lezione.

Siate attenti, attivi e diligenti, tutti.

Apri i tuoi quaderni e scrivi il numero e il lavoro della classe.

Esprimetevi gli auguri a vicenda.

Annotare la data e il tipo di lavoro.

Organizzare il tempo.

Essere in grado di concordare congiuntamente le regole del comportamento comunicativo a scuola e seguirle.

Aggiornamento della conoscenza.

Osserva le espressioni numeriche

(Diapositiva)

2 + 2 + 2 + 2

5 + 5 + 55 + 5

6 + 6 + 6

Trova l'espressione in più.

Perché hai scelto la terza espressione?

Cosa hanno in comune tutte le espressioni?

Quale azione può essere utilizzata per sostituire la somma di termini identici?

Presenta le somme come prodotto e trova i valori.

Controllo da una diapositiva(diapositiva)

In cosa consiste il lavoro?

Cosa risulta dall’azione della moltiplicazione?

Con quali azioni continuiamo a lavorare?

Trova un'espressione non necessaria.

- i termini non sono gli stessi

-moltiplicazione

2*4=8

6*3=18

-Dai moltiplicatori.

-il significato dell'opera

-Con l'azione della moltiplicazione

(UUD comunicativo)

Essere in grado di pronunciare sequenziamento,

fare una supposizione.(UUD regolamentare)

Essere in grado di formulare verbalmente i propri pensieri.(UUD comunicativo)

Formulazione del problema. Argomento della lezione.

Impostazione degli obiettivi

Ci sono delle buste sulle vostre scrivanie (Busta n. 1)

Analizza il contenuto della busta, cosa sai già?

Che cosaè sconosciuto e nuovo per te.

Ciò che abbiamo imparato, lo sappiamo, rimettiamolo nella busta.

E lascia davanti a te ciò che è nuovo per te.

Su quale argomento lavoreremo?

In che modo questo ci aiuterà a verificare l’argomento della lezione?

Controlliamo e confrontiamo se abbiamo ragione.

Definiamo gli obiettivi della nostra lezione.

- Cosa avremo bisogno di sapere?

- Cosa impareremo allora?

Proviamo a valutare la nostra conoscenza sull'argomento all'inizio della lezione. E poi confrontiamo il risultato alla fine della lezione.

Completa l'attività nella busta n. 1

Controlla sulla diapositiva

- contenuti dei libri di testo

Cos'è la permutazione dei fattori?

Impara ad applicare la regola quando svolgi varie attività

Essere in grado di formulare verbalmente i propri pensieri.(UUD comunicativo)

Essere in grado di navigare nel proprio sistema di conoscenza: distinguere il nuovo dal già noto.(UUD cognitivo)

Valutazione iniziale delle conoscenze sull'argomento

Proviamo a valutare la nostra conoscenza sull'argomento all'inizio della lezione. E poi confrontiamo il risultato alla fine della lezione.

La conoscenza viene valutata all'inizio della lezione.

(semafori)

(UUD personale)

Scoperta di nuove conoscenze.

Ora giocheremo un po' ai soldati. Lavoreremo in coppia.

Ci sono soldatini nelle buste sui vostri tavoli. (busta n. 2)

Prova (a coppie) a disporre tutti i soldati in una colonna da 2

Cosa hai fatto7 Chi può dimostrare al tabellone usando l'esempio dei marinai?

(Opzione 2: se i bambini lo trovano difficile, apri i loro libri di testo)

Guarda l'illustrazione in cui Masha e Misha giocano a fare i soldati e litigano.

Misha dice a sua sorella di aver disposto i soldati in 2 file, ciascuna con 5 soldati. Ma Masha crede che i soldati siano disposti su 5 file. Ci sono 2 soldati in ogni riga. Quale bambino ha ragione?

Scrivilo numero totale soldati sotto forma di operadue strade.

- È possibile dire che i valori dei prodotti saranno uguali?

Quale segno mettere tra le opere? Perché?

5*2=2*5

Come puoi verificare che questa uguaglianza è vera?

Cosa ti ha sorpreso?

Siamo esploratori! Controlliamo se questa affermazione è vera per altre espressioni?

Lavorare in coppia con i soldati

Ti do il tempo per completare l'attività.

Spiegazione alla lavagna.

Bambini che spiegano il nuovo materiale alla lavagna

Ascoltiamo le opinioni dei bambini e suggeriamo loro di disporre le patatine nello stesso modo in cui stanno i soldati

Due bambini scrivono due opzioni alla lavagna

Controlliamo oralmente e scriviamo alla lavagna: 52 E 2 5

-Sì, poiché è lo stesso numero di soldati.

- I moltiplicatori sono gli stessi, solo che sono invertiti,

Sostituisci la moltiplicazione con la somma di termini identici.

Puoi chiamare due studenti alla lavagna, chiedendo a uno di calcolare il valore del prodotto 5 2, e all'altro di calcolare 2 5 (5 2 = 5 + 5 = 10, 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10).

I fattori vengono scambiati, ma il valore dei prodotti è lo stesso

Essere in grado di pronunciare la sequenza delle azioni nella lezione.(UUD regolamentare)

Consolidamento primario.

Applicazione della conoscenza

Controlliamo ancora una volta le nostre ipotesi (scoperte).

Completiamo l'attività n. 2

3 cucchiai. - 1 riga

4° - 2a fila.

5° - 3 righe

Quale regola hai utilizzato per completare questa attività?

- Le nostre scoperte sono state confermate?

Quale conclusione si può trarre?

- Confrontiamo le nostre ipotesi con la regola del libro di testo a pagina 109.

Sai come si chiama riordinare i fattori in matematica? Proprietà commutativa della moltiplicazione o legge commutativa della moltiplicazione.

Compito n. 3 (orale)

2 8 = 8 2

9 4 = 4 9

5 3 = 3 5

8 4 = 4 8

5 9 = 9 5

3 7 = 7 3

Esegui 1 e 2 colonne - insieme alla lavagna.

Scambia quaderni con il tuo vicino e valuta il suo lavoro (controllo reciproco).

regola per riorganizzare i fattori

Concludono: la riorganizzazione dei fattori non cambia il valore del prodotto.

Leggi la regola

Essere in grado di esprimere i propri pensieri oralmente e per iscritto: ascoltare e comprendere il discorso degli altri ( UUD Comunicativo), (UUD Regolamentare)

Essere in grado di formulare verbalmente i propri pensieri. (UUD comunicativo

Autocontrollo

Valutazione dei risultati

delle loro azioni

Compito n. 4 (U-1, pag. 109)

Utilizzando le conoscenze acquisite. Completa l'attività da solo.

- Leggiamo la formulazione del compito. (Trova i valori del primo prodotto) Come lo faremo?(

Illustriamo alla lavagna un esempio della forma scritta di una risposta orale.

Autoverifica(risposte nella diapositiva)

Chi ha commesso due errori - 4

Chi ha fatto 3 errori - 3

Lavoro indipendente.

Puoi organizzare il lavoro in coppia

Se i tuoi figli hanno difficoltà, chiedi al tuo vicino!

-Per trovare il valore del prodotto abbiamo utilizzato 5 4

uguaglianza 4 5 = 20.)

5 4 = 4 5 = 20.

Gli studenti trovano autonomamente i restanti significati delle opere e prendono appunti

Valutare l'attività completata

Essere in grado di pronunciare la sequenza di azioni in classe ed esprimere la propria ipotesi. (UUD regolamentare)

Essere in grado di valutare le tue azioni, le tue ipotesi. (UUD regolamentare)

Riflessione dell'attività. Riepilogo della lezione

Quale compito è stato assegnato nella lezione?

Sei riuscito a raggiungere il tuo obiettivo?

Dove utilizzeremo la nuova proprietà della moltiplicazione?

Quali risultati sono cambiati? Completa le frasi….

Grazie per la lezione!

Valutazione utilizzando i semafori.

La capacità di autovalutarsi in base al criterio del successo nelle attività educative (UUD personale)

Definizione. La moltiplicazione è l'azione di trovare la somma di termini identici. Moltiplicare numero UN per numero B significa trovare la somma B termini, ciascuno dei quali è uguale a a.

I numeri che vengono moltiplicati sono chiamati fattori (o fattori) e il risultato della moltiplicazione è chiamato prodotto.

A moltiplicazione numeri naturali il prodotto è sempre un numero positivo. Se uno dei fattori è uguale a 0 (zero), allora il prodotto è uguale a 0. Se il prodotto è uguale a zero, almeno uno dei fattori è uguale a 0.

Se uno dei due fattori è uguale a 1 (uno), allora lavoro uguale al secondo fattore.

• Per esempio:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Leggi sulla moltiplicazione

Legge sulla combinazione

Regola. Per moltiplicare il prodotto di due fattori per un terzo fattore, puoi moltiplicare il primo fattore per il prodotto del secondo e del terzo fattore.

• Per esempio:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a*b)*c = a* (b*c)

Legge sui viaggi

Regola. La riorganizzazione dei fattori non cambia il prodotto.

• Per esempio:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a*b*c = c*b*a

Diritto distributivo

Regola. Per moltiplicare un numero per una somma, puoi moltiplicare questo numero per ciascuno dei termini e aggiungere i prodotti risultanti.

• Per esempio:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a* (b+c) = ab+ac

La legge distributiva vale anche per l’azione di sottrazione.

• Per esempio:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Le leggi della moltiplicazione si applicano a qualsiasi numero di fattori nell'espressione numerica o alfabetica. La legge distributiva della moltiplicazione viene utilizzata per togliere il fattore comune dalle parentesi.

Regola. Per convertire una somma (differenza) in un prodotto, è sufficiente togliere lo stesso fattore dei termini tra parentesi e scrivere i restanti fattori tra parentesi come somma (differenza).