Troviamo il triangolo usando la formula di Erone. Area di un triangolo. Calcolo dell'area dei quadrilateri
Questa formula ti consente di calcolare l'area di un triangolo in base ai suoi lati a, b e c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),dove p è il semiperimetro del triangolo, cioè p = (a + b + c)/2.
La formula prende il nome dall'antico matematico greco Airone di Alessandria (circa I secolo). Heron considerava triangoli con lati interi le cui aree sono anch'esse intere. Tali triangoli sono chiamati triangoli Heroniani. Ad esempio, questi sono triangoli con i lati 13, 14, 15 o 51, 52, 53.
Esistono analoghi della formula di Erone per i quadrilateri. Dato che il problema della costruzione di un quadrilatero lungo i lati a, b, c e d ha più di una soluzione, per calcolare l'area di un quadrilatero nel caso generale non è sufficiente conoscere solo le lunghezze dei lati. È necessario inserire parametri aggiuntivi o imporre restrizioni. Ad esempio, l'area di un quadrilatero inscritto si trova con la formula: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Se un quadrilatero è contemporaneamente inscritto e circoscritto, la sua area lo è utilizzando una formula più semplice: S=√(abcd).
Airone di Alessandria - Matematico e meccanico greco.
Fu il primo a inventare le porte automatiche, un teatrino automatico delle marionette, un distributore automatico, una balestra autocaricante a fuoco rapido, turbina a vapore, decorazioni automatiche, un dispositivo per misurare la lunghezza delle strade (un antico contachilometri), ecc. Fu il primo a creare dispositivi programmabili (un albero con perni con una corda avvolta attorno ad esso).
Studiò geometria, meccanica, idrostatica e ottica. Opere principali: Metrica, Pneumatica, Automatopoetica, Meccanica (l'opera è conservata interamente nella traduzione araba), Catoptrics (la scienza degli specchi; conservata solo nella traduzione latina), ecc. Nel 1814 fu ritrovato il saggio di Erone “Sulla diottria”, che stabilisce le regole del rilevamento del territorio, basate appunto sull'uso di coordinate rettangolari. Airone utilizzò le conquiste dei suoi predecessori: Euclide, Archimede, Stratone di Lampsaco. Molti dei suoi libri sono irrimediabilmente perduti (i rotoli erano conservati nella Biblioteca di Alessandria).
Nel suo trattato "Meccanica", Erone descrisse cinque tipi di macchine semplici: leva, cancello, cuneo, vite e blocco.
Nel suo trattato "Pneumatica", Heron descrisse vari sifoni, vasi progettati in modo intelligente e automi azionati da aria compressa o vapore. Si tratta di un'eolipila, che fu la prima turbina a vapore: una palla fatta ruotare dalla forza dei getti di vapore acqueo; una macchina per aprire le porte, una macchina per vendere l'acqua “santa”, una pompa antincendio, un organo ad acqua, un teatrino meccanico delle marionette.
Il libro "Informazioni sulla diottria" descrive la diottria, il dispositivo più semplice utilizzato per il lavoro geodetico. Erone espone nel suo trattato le regole per il rilevamento del territorio, basate sull'uso di coordinate rettangolari.
In Catoptrics, Heron conferma la rettilineità dei raggi luminosi con una velocità di propagazione infinitamente elevata. Heron considera varie tipologie di specchi, prestando particolare attenzione agli specchi cilindrici.
La "Metrica" di Heron e la "Geometria" e la "Stereometria" da essa estratte sono libri di consultazione sulla matematica applicata. Tra le informazioni contenute in Metrica:
Formule per le aree dei poligoni regolari.
Volumi di poliedri regolari, piramide, cono, tronco di cono, toro, segmento sferico.
Formula di Erone per calcolare l'area di un triangolo dalle lunghezze dei suoi lati (scoperta da Archimede).
Regole per la soluzione numerica di equazioni quadratiche.
Algoritmi per l'estrazione di radici quadrate e cubiche.
Il libro di Erone "Definizioni" è una vasta raccolta di definizioni geometriche, per la maggior parte coincidenti con le definizioni degli "Elementi" di Euclide.
Riepilogo della lezione
Soggetto: "Formula di Airone e altre formule per l'area di un triangolo."
Tipo di lezione : una lezione per scoprire nuove conoscenze.
Classe: 10.
Obiettivi della lezione: durante la lezione, garantire la ripetizione consapevole delle formule per il calcolo dell'area di un triangolo, in cui vengono studiate curriculum scolastico. Mostra la necessità di conoscere la formula II di Erone, la formula per l'area di un triangolo data in un sistema di coordinate rettangolari. Garantire l'assimilazione e l'applicazione consapevole di queste formule durante la risoluzione dei problemi.
Compiti:
Educativo: sviluppo pensiero logico, capacità di decidere in autonomia obiettivi formativi; curiosità di sviluppostudenti, interesse cognitivo per la materia; sviluppo del pensiero creativo e del discorso matematico degli studenti;
Educativo: coltivare l'interesse per la matematica; creare le condizioni performazione di abilità comunicative e qualità volitive personalità.
Educativo: approfondire la conoscenzamodulo-esimo di un numero reale; insegnare la capacità di risolvere problemi tipici.
Attività di apprendimento universale:
Personale: rispetto della persona e della sua dignità; stabile interesse cognitivo; la capacità di condurre il dialogo sulla base di rapporti paritari e di rispetto reciproco.
Normativa: stabilire obiettivi per le attività della lezione; pianificare le modalità per raggiungere l'obiettivo; prendere decisioni in una situazione problematica sulla base di negoziati.
Cognitivo: V padroneggiare tecniche generali per risolvere problemi, eseguire compiti e calcoli; eseguire attività basate sull'uso delle proprietà del modulo dei numeri reali.
Comunicativo: UN utilizzare adeguatamente la parola per pianificare e regolare le proprie attività; formulare la propria opinione.
Supporto tecnico : computer, proiettore, lavagna interattiva.
Struttura della lezione
Fase motivazionale – 2 min.
Compiti a casa – 1 minuto.
La fase di aggiornamento delle conoscenze sull'argomento proposto e di esecuzione della prima azione di prova – 10 minuti.
Individuazione delle difficoltà: qual è la complessità del nuovo materiale, cosa crea esattamente il problema, ricerca delle contraddizioni - 4 min.
Sviluppo di un progetto, un piano per risolvere le difficoltà esistenti, considerazione di molte opzioni, ricerca della soluzione ottimale - 2 min.
Attuazione del piano scelto per risolvere la difficoltà - 5 min.
Consolidamento primario di nuove conoscenze - 10 min.
Lavoro indipendente e verifica rispetto allo standard - 5 min.
Riflessione, che include la riflessione sulle attività di apprendimento, l'autoanalisi e la riflessione su sentimenti ed emozioni – 1 min.
Durante le lezioni.
Fase motivazionale.
Ciao ragazzi, accomodatevi. Oggi la nostra lezione seguirà il seguente schema: durante la lezione studieremo un nuovo argomento: “ Formula di Erone e altre formule per l'area di un triangolo "; Ripetiamo le formule che conosci; Impariamo come applicare queste formule durante la risoluzione dei problemi. Quindi, mettiamoci al lavoro.
La fase di aggiornamento delle conoscenze sull'argomento proposto e di realizzazione della prima azione di prova.
Diapositiva 1.
Scrivi l'argomento della lezione. Prima di procedere direttamente alle formule, ricordiamo quali formule per calcolare l'area di un triangolo conosci?
Diapositiva 2.
Scrivi queste formule.
Quali formule conosci per calcolare l'area di un triangolo?(gli studenti ricordano tutte le formule apprese)
Diapositiva 3.
Area di un triangolo rettangolo. S=ab. Scrivi la formula
Diapositiva 4.
Area di qualsiasi triangolo. S= UN . UN = , = Scrivi la formula.
Diapositiva 5. L'area di un triangolo basata su due lati e l'angolo tra loro.
S=½·ab·senα. Scrivi la formula.
Ora studieremo nuove formule per trovare l'area.
Diapositiva 6.
L'area di un triangolo espressa in termini di raggio del cerchio inscritto. S= Pr. Scrivi la formula.
Diapositiva 7.
Area di un triangolo in termini di raggio R della circonferenza circoscritta.
Scrivi la formula.
Diapositiva 8.
La formula di Erone.
Prima di iniziare la dimostrazione, ricordiamo due teoremi di geometria: il teorema dei seni e il teorema dei coseni.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2.,cosγ = .
Diapositiva 9-10
Dimostrazione della formula di Erone. Scrivi la formula.
Diapositiva 11.
La formula per l'area di un triangolo basato su tre lati fu scoperta da Archimede nel III secolo a.C. Tuttavia, il lavoro corrispondente non è arrivato ai nostri giorni. Questa formula è contenuta nella “Metrica” di Erone di Alessandria (I secolo d.C.) e da lui prende il nome. Heron era interessato ai triangoli con lati interi e anche le aree sono intere. Tali triangoli sono chiamati triangoli Heroniani. Il triangolo eroniano più semplice è il triangolo egiziano
Individuare la difficoltà: qual è la complessità del nuovo materiale, cosa crea esattamente il problema, ricercare una contraddizione.
Diapositiva 12.
Trova l'area di un triangolo con i lati indicati: 4,6,8. Ci sono informazioni sufficienti per risolvere il problema? Quale formula puoi usare per risolvere questo problema?
Sviluppo di un progetto, un piano per risolvere le difficoltà esistenti, considerazione di molte opzioni, ricerca di una soluzione ottimale.
Questo problema può essere risolto utilizzando la formula di Heron. Innanzitutto, devi trovare il semiperimetro del triangolo e quindi sostituire i valori risultanti nella formula.
Attuazione del piano scelto per risolvere la difficoltà.
Trovare pag
P=(13+14+15)/2=21
P- UN=21-13=8
pb=21-14=7
pc=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Risposta :84
Compito n. 2
Trova i lati del triangoloABC, se l'area dei triangoliABO, BCO, ACO, dove O è il centro del cerchio inscritto, pari a 17,65,80 dc 2 .
Soluzione: 
S=17+65+80=162 – somma le aree dei triangoli. Secondo la formula
S ABO =1/2 AB* R, quindi 17=1/2AB* R; 65=1/2ВС* R; 80=1/2 AC.* R
34/r=AB; 130/r=a.C.; 160/r=AC
Trova pag
P= (34+130+160)/2=162/ R
(r-a)=162-34=128 (r- C)=162-160=2
(R- B)=162-130=32
Secondo la formula di EroneS= 128/ R*2/ R*32/ R*162/ R=256*5184/ R 4 =1152/ R 2
Perché S=162, quindiR = 1152/162=3128/18
Risposta: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Consolidamento primario di nuove conoscenze.
№10(1)
Trova l'area di un triangolo con i lati indicati:
№12
Lavoro indipendente e test rispetto allo standard.
№10.(2)
Compiti a casa . P.83, N. 10(3), N. 15
Riflessione, che include la riflessione sulle attività educative, l'introspezione e la riflessione su sentimenti ed emozioni.
Quali formule hai ripetuto oggi?
Quali formule hai imparato proprio oggi?
Può essere trovato conoscendo la base e l'altezza. Tutta la semplicità del diagramma sta nel fatto che l'altezza divide la base a in due parti a 1 e a 2, e il triangolo stesso in due triangoli rettangoli, la cui area è e. Quindi l'area dell'intero triangolo sarà la somma delle due aree indicate, e se togliamo un secondo dell'altezza dalla parentesi, nella somma ritroviamo la base:
Un metodo di calcolo più difficile è la formula di Erone, per la quale è necessario conoscere tutti e tre i lati. Per questa formula, devi prima calcolare il semiperimetro del triangolo: 
La stessa formula di Erone implica la radice quadrata del semiperimetro, moltiplicata a sua volta per la sua differenza su ciascun lato.
Il seguente metodo, rilevante anche per qualsiasi triangolo, consente di trovare l'area del triangolo attraverso due lati e l'angolo compreso tra loro. La prova di ciò viene dalla formula con l'altezza: disegniamo l'altezza su uno qualsiasi dei lati noti e attraverso il seno dell'angolo α otteniamo che h=a⋅senα. Per calcolare l'area, moltiplica metà dell'altezza per il secondo lato.
Un altro modo è trovare l'area di un triangolo, conoscendo 2 angoli e il lato compreso tra loro. La dimostrazione di questa formula è abbastanza semplice e può essere vista chiaramente dal diagramma.
Abbassiamo l'altezza dal vertice del terzo angolo al lato noto e chiamiamo x di conseguenza i segmenti risultanti. Da triangoli rettangoliè chiaro che il primo segmento x è uguale al prodotto
Teorema. L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto del suo lato per la sua altezza:
La dimostrazione è molto semplice. Questo triangolo ABC(Fig. 1.15) costruiamolo fino a formare un parallelogramma ABDC. triangoli ABC E DCB sono uguali su tre lati, quindi le loro aree sono uguali. Quindi l'area del triangolo ABC pari alla metà dell'area del parallelogramma ABDC, cioè.
Ma qui sorge la seguente domanda: perché i tre possibili semiprodotti della base e dell'altezza per qualsiasi triangolo sono uguali? Ciò però è facile da dimostrare dalla somiglianza dei rettangoli con un angolo acuto comune. Considera un triangolo ABC(Fig. 1.16):
E quindi
Tuttavia, dentro libri di testo scolastici Non è così che si fa. Al contrario, l'uguaglianza dei tre semiprodotti è stabilita sulla base del fatto che tutti questi semiprodotti esprimono l'area del triangolo. Pertanto, l'esistenza di un'unica funzione viene implicitamente sfruttata. Ma ecco che arriva un'opportunità conveniente e istruttiva per dimostrare un esempio modellazione matematica. Dietro il concetto di area, infatti, c'è una realtà fisica, ma la verifica diretta dell'uguaglianza di tre semiprodotti mostra la qualità della traduzione di questo concetto nel linguaggio della matematica.
Usando il teorema dell'area del triangolo sopra, è spesso conveniente confrontare le aree di due triangoli. Di seguito presentiamo alcune ovvie ma importanti conseguenze del teorema.
Corollario 1. Se si sposta il vertice di un triangolo lungo una retta parallela alla base, la sua area non cambia.
Nella fig. 1.17 triangoli ABC E ABD avere un terreno comune AB e altezze uguali calate su questa base, poiché una linea retta UN, che contiene i vertici CON E D parallelo alla base AB, e quindi le aree di questi triangoli sono uguali.
Il Corollario 1 può essere riformulato come segue.
Corollario 1?. Sia dato un segmento AB. Molti punti M tale che l'area del triangolo AMV uguale a dato valore S, ci sono due rette parallele al segmento AB e quelli situati a distanza da esso (Fig. 1. 18)
Corollario 2. Se uno dei lati di un triangolo adiacente ad un dato angolo viene aumentato di K volte, anche la sua area aumenterà di K una volta.
Nella fig. 1.19 triangoli ABC E ABD hanno un'altezza comune BH, quindi il rapporto delle loro aree è uguale al rapporto delle basi
Casi speciali importanti seguono dal Corollario 2:
1. La mediana divide il triangolo in due piccole parti.
2. Bisettrice dell'angolo di un triangolo, racchiuso tra i suoi lati UN E B, lo divide in due triangoli, le cui aree sono correlate come UN : B.
Corollario 3. Se due triangoli hanno un angolo in comune, le loro aree sono proporzionali al prodotto dei lati che racchiudono questo angolo.
Ciò deriva dal fatto che (Fig. 1.19)
In particolare vale la seguente affermazione:
Se due triangoli sono simili e il lato di uno di essi lo è K volte più grande dei lati corrispondenti dell'altro, allora la sua area è K 2 volte l'area del secondo.
Deriviamo la formula di Erone per l'area di un triangolo nei due modi seguenti. Nella prima usiamo il teorema del coseno:
dove a, b, c sono le lunghezze dei lati del triangolo, r è l'angolo opposto al lato c.
Dalla (1.3) troviamo.
Notandolo
dov'è il semiperimetro del triangolo, otteniamo.
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