Forma trigonometrica del complesso. Forma trigonometrica di un numero complesso. Conversione di un numero complesso dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

3.1. Coordinate polari

Spesso usato su un aereo sistema di coordinate polari . È definito se è dato un punto O, chiamato palo, e il raggio proveniente dal polo (per noi questo è l'asse Bue) – asse polare. La posizione del punto M è fissata da due numeri: raggio (o raggio vettore) e angolo φ tra l'asse polare e il vettore. Si chiama l'angolo φ angolo polare; misurato in radianti e contato in senso antiorario dall'asse polare.

La posizione di un punto nel sistema di coordinate polari è data da una coppia ordinata di numeri (r; φ). Al Polo r = 0, e φ non è definito. Per tutti gli altri punti r > 0, e φ è definito fino ad un termine multiplo di 2π. In questo caso, coppie di numeri (r; φ) e (r 1 ; φ 1) sono associate allo stesso punto se .

Per un sistema di coordinate rettangolare xOy Le coordinate cartesiane di un punto possono essere facilmente espresse in termini di coordinate polari come segue:

3.2. Interpretazione geometrica dei numeri complessi

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano xOy.

Qualsiasi numero complesso z=(a, b) è associato a un punto del piano di coordinate ( x, y), Dove coordinata x = a, cioè la parte reale del numero complesso e la coordinata y = bi è la parte immaginaria.

Un piano i cui punti sono numeri complessi– piano complesso.

Nella figura, il numero complesso z = (a, b) corrisponde ad un punto M(x, y).

Esercizio.Disegnare su piano delle coordinate numeri complessi:

3.3. Forma trigonometrica di un numero complesso

Un numero complesso sul piano ha le coordinate di un punto M(x;y). In cui:

Scrivere un numero complesso - forma trigonometrica di un numero complesso.

Viene chiamato il numero r modulo numero complesso z ed è designato . Il modulo è un numero reale non negativo. Per .

Il modulo è zero se e solo se z = 0, cioè un = b = 0.

Viene chiamato il numero φ argomento z ed è designato. L'argomento z è definito in modo ambiguo, come l'angolo polare nel sistema di coordinate polari, cioè fino a un termine multiplo di 2π.

Allora accettiamo: , dove φ è il valore più piccolo dell'argomento. E' ovvio

.

Quando si approfondisce l'argomento, viene introdotto un argomento ausiliario φ*, tale che

Esempio 1. Trova la forma trigonometrica di un numero complesso.

Soluzione. 1) considera il modulo: ;

2) cercando φ: ;

3) forma trigonometrica:

Esempio 2. Trova la forma algebrica di un numero complesso .

Qui è sufficiente sostituire i valori funzioni trigonometriche e trasformiamo l'espressione:

Esempio 3. Trova il modulo e l'argomento di un numero complesso;

1) ;

2) ; φ – in 4 quarti:

3.4. Operazioni con numeri complessi in forma trigonometrica

· Addizione e sottrazioneÈ più conveniente trattare i numeri complessi in forma algebrica:

· Moltiplicazione– utilizzando semplici trasformazioni trigonometriche si può dimostrare che Quando si moltiplicano, i moduli dei numeri vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti: ;

In questa sezione parleremo più approfonditamente della forma trigonometrica di un numero complesso. La forma dimostrativa è molto meno comune nei compiti pratici. Consiglio di scaricarlo e stamparlo se possibile. tavole trigonometriche, il materiale metodologico è reperibile alla pagina Formule e tabelle matematiche. Non puoi andare lontano senza tavoli.

Qualsiasi numero complesso (tranne lo zero) può essere scritto in forma trigonometrica:

Dove si trova modulo di un numero complesso, UN - argomento sui numeri complessi.

Rappresentiamo il numero sul piano complesso. Per chiarezza e semplicità di spiegazione, lo posizioneremo nel primo quadrante di coordinate, cioè crediamo che:

Modulo di un numero complessoè la distanza dall'origine al punto corrispondente nel piano complesso. In poche parole, modulo è la lunghezza raggio vettore, indicato in rosso nel disegno.

Il modulo di un numero complesso è solitamente indicato con: o

Usando il teorema di Pitagora, è facile derivare una formula per trovare il modulo di un numero complesso: . Questa formula è corretta per ogni significati "a" e "essere".

Nota : Il modulo di un numero complesso è una generalizzazione del concetto modulo di un numero reale, come la distanza da un punto all'origine.

Argomento di un numero complesso chiamato angolo fra semiasse positivo l'asse reale e il raggio vettore tracciato dall'origine al punto corrispondente. L'argomento non è definito per il singolare:.

Il principio in esame è in realtà simile alle coordinate polari, dove il raggio polare e l'angolo polare definiscono univocamente un punto.

L'argomento di un numero complesso è normalmente indicato con: o

Da considerazioni geometriche, otteniamo la seguente formula per trovare l'argomento:

. Attenzione! Questa formula funziona solo nel semipiano destro! Se il numero complesso non si trova nel 1° o nel 4° quadrante delle coordinate, la formula sarà leggermente diversa. Analizzeremo anche questi casi.

Ma prima diamo un'occhiata agli esempi più semplici in cui i numeri complessi si trovano sugli assi delle coordinate.

Esempio 7

Rappresentare i numeri complessi in forma trigonometrica: ,,,. Facciamo il disegno:

In effetti, il compito è orale. Per chiarezza, riscriverò la forma trigonometrica di un numero complesso:

Ricordiamolo con fermezza, il modulo – lunghezza(che è sempre non negativo), discussione - angolo

1) Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica. Troviamo il suo modulo e argomento. E' ovvio. Calcolo formale utilizzando la formula :. È ovvio che (il numero giace direttamente sul semiasse positivo reale). Pertanto, il numero in forma trigonometrica:.

L'azione di controllo inverso è chiara come il giorno:

2) Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica. Troviamo il suo modulo e argomento. E' ovvio. Calcolo formale utilizzando la formula :. Ovviamente (o 90 gradi). Nel disegno l'angolo è indicato in rosso. Quindi il numero in forma trigonometrica è: .

Utilizzando , è semplice recuperare la forma algebrica del numero (eseguendo contestualmente una verifica):

3) Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica. Troviamo il suo modulo e

discussione. È ovvio che. Calcolo formale utilizzando la formula:

Ovviamente (o 180 gradi). Nel disegno l'angolo è indicato in blu. Pertanto, il numero in forma trigonometrica:.

Visita medica:

4) E il quarto caso interessante. E' ovvio. Calcolo formale utilizzando la formula :.

L’argomentazione può essere scritta in due modi: Primo modo: (270 gradi), e, di conseguenza: . Visita medica:

Tuttavia, la seguente regola è più standard: Se l'angolo è maggiore di 180 gradi, quindi è scritto con un segno meno e l'orientamento opposto (“scorrimento”) dell'angolo: (meno 90 gradi), nel disegno l'angolo è contrassegnato in verde. È facile notarlo

che è lo stesso angolo.

Pertanto, la voce assume la forma:

Attenzione! In nessun caso dovresti usare la parità del coseno, la disparità del seno e “semplificare” ulteriormente la notazione:

A proposito, è utile ricordare l'aspetto e le proprietà delle funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse; i materiali di riferimento si trovano negli ultimi paragrafi della pagina Grafici e proprietà delle funzioni elementari di base. E i numeri complessi verranno imparati molto più facilmente!

Nella progettazione degli esempi più semplici, ecco come dovresti scriverlo: : "è ovvio che il modulo è... è ovvio che l'argomento è...". Questo è davvero ovvio e facile da risolvere verbalmente.

Passiamo a considerare i casi più comuni. Non ci sono problemi con il modulo; dovresti sempre usare la formula. Ma le formule per trovare l'argomento saranno diverse, dipende da quale quarto di coordinate si trova il numero. In questo caso sono possibili tre opzioni (è utile riscriverle):

1) Se (quarti di coordinata 1° e 4° o semipiano destro), l'argomento deve essere trovato utilizzando la formula.

2) Se (2° quarto di coordinata), l'argomento deve essere trovato utilizzando la formula .

3) Se (3° quarto di coordinata), l'argomento deve essere trovato utilizzando la formula .

Esempio 8

Rappresentare i numeri complessi in forma trigonometrica: ,,,.

Poiché esistono formule già pronte, non è necessario completare il disegno. Ma c'è un punto: quando ti viene chiesto di rappresentare un numero in forma trigonometrica, allora È meglio fare comunque il disegno. Il fatto è che una soluzione senza disegno viene spesso rifiutata dagli insegnanti, l'assenza di un disegno è un motivo serio di svantaggio e fallimento.

Presentiamo i numeri in forma complessa e il primo e il terzo numero serviranno per soluzioni indipendenti.

Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica. Troviamo il suo modulo e argomento.

Poiché (caso 2), allora

– è qui che devi sfruttare la stranezza dell'arcotangente. Sfortunatamente, la tabella non contiene il valore , quindi in questi casi l'argomento deve essere lasciato in una forma scomoda: – numeri in forma trigonometrica.

Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica. Troviamo il suo modulo e argomento.

Da (caso 1), quindi (meno 60 gradi).

Così:

– un numero in forma trigonometrica.

Ma qui, come già notato, ci sono gli svantaggi non toccare.

Oltre al divertente metodo di verifica grafica, esiste anche una verifica analitica, già effettuata nell'Esempio 7. Usiamo tabella dei valori delle funzioni trigonometriche, tenendo conto che l'angolo è esattamente l'angolo della tabella (o 300 gradi): – numeri nella forma algebrica originale.

Presenta tu stesso i numeri in forma trigonometrica. Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Alla fine della sezione, brevemente sulla forma esponenziale di un numero complesso.

Qualsiasi numero complesso (tranne lo zero) può essere scritto in forma esponenziale:

Dov'è il modulo di un numero complesso e è l'argomento del numero complesso.

Cosa bisogna fare per rappresentare un numero complesso in forma esponenziale? Quasi la stessa cosa: esegui un disegno, trova un modulo e un argomento. E scrivi il numero nel modulo .

Ad esempio, per il numero nell'esempio precedente abbiamo trovato il modulo e l'argomento:,. Quindi questo numero verrà scritto in forma esponenziale come segue:.

Il numero in forma esponenziale sarà simile a questo:

Numero - COSÌ:

L'unico consiglio è non toccare l'indicatore esponenti, non è necessario riorganizzare i fattori, aprire parentesi, ecc. Un numero complesso si scrive in forma esponenziale rigorosamente secondo la forma.

Operazioni sui numeri complessi scritte in forma algebrica

Forma algebrica di un numero complesso z =(UN,B).è detta espressione algebrica della forma

z = UN + bi.

Operazioni aritmetiche sui numeri complessi z 1 = un 1 + b 1 io E z 2 = un 2 + b 2 io, scritti in forma algebrica, si effettuano come segue.

1. Somma (differenza) di numeri complessi

z 1 ±z 2 = (UN 1 ±a 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

quelli. l'addizione (sottrazione) viene eseguita secondo la regola per l'aggiunta di polinomi con riduzione di termini simili.

2. Prodotto di numeri complessi

z 1 ∙z 2 = (UN 1 ∙a 2 - B 1 ∙b 2) + (UN 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

quelli. la moltiplicazione viene eseguita secondo la consueta regola per la moltiplicazione dei polinomi, tenendo conto del fatto che io 2 = 1.

3. La divisione di due numeri complessi viene eseguita secondo la seguente regola:

, (z 2 ≠ 0),

quelli. la divisione si effettua moltiplicando il dividendo e il divisore per il numero coniugato del divisore.

L'esponenziazione dei numeri complessi è definita come segue:

È facile dimostrarlo

Esempi.

1. Trova la somma di numeri complessi z 1 = 2 – io E z 2 = – 4 + 3io.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3io) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) io = –2+2io.

2. Trova il prodotto di numeri complessi z 1 = 2 – 3io E z 2 = –4 + 5io.

= (2 – 3io) ∙ (–4 + 5io) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3io)+ 2∙5io– 3io∙ 5io = 7+22io.

3. Trova il quoziente z dalla divisione z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – io.

z = .

4. Risolvi l'equazione: , X E sì Î R.

(2x+y) + (x+y)io = 2 + 3io.

Per l'uguaglianza dei numeri complessi abbiamo:

Dove x =–1 , sì= 4.

5. Calcola: io 2 ,io 3 ,io 4 ,io 5 ,io 6 ,io -1 ,io -2 .

6. Calcola se .

.

7. Calcola il reciproco di un numero z=3-io.

Numeri complessi in forma trigonometrica

Piano complesso chiamato piano di coordinate cartesiane ( x, y), se ogni punto con coordinate ( un, b) è associato a un numero complesso z = a + bi. In questo caso viene chiamato l'asse delle ascisse asse reale e l'asse delle ordinate è immaginario. Quindi ogni numero complesso a+bi rappresentato geometricamente su un piano come un punto A (a, b) o vettoriale.

Pertanto, la posizione del punto UN(e, quindi, un numero complesso z) può essere specificato dalla lunghezza del vettore | | = R e angolo J, formato dal vettore | | con la direzione positiva dell'asse reale. Viene chiamata la lunghezza del vettore modulo di un numero complesso ed è indicato con | z |=r e l'angolo J chiamato argomento sui numeri complessi ed è designato j = argomento z.

È chiaro che | z| ³ 0 e | z | = 0 Û z = 0.

Dalla fig. 2 è chiaro che.

L'argomento di un numero complesso è determinato in modo ambiguo, ma con una precisione pari a 2 pk,kÎ Z.

Dalla fig. 2 è anche chiaro che se z=a+bi E j=arg z, Quello

cos j =,peccato j =, tg j = .

Se zÎR E z> 0, allora argomento z = 0 +2p.c;

Se z ОR E z< 0, allora argomento z = p + 2p.c;

Se z = 0,argomento z indefinito.

Il valore principale dell'argomento è determinato nell'intervallo 0 £ arg z£ 2 P,

O -P£ arg z £ p.

Esempi:

1. Trova il modulo dei numeri complessi z 1 = 4 – 3io E z 2 = –2–2io.

2. Definire le aree sul piano complesso definite dalle condizioni:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+io) | £ 3; 4) £ 6 | z – io| £ 7.

Soluzioni e risposte:

1) | z| = 5 Û Û - equazione della circonferenza con raggio 5 e centro nell'origine.

2) Una circonferenza di raggio 6 con centro nell'origine.

3) Cerchio di raggio 3 con centro nel punto z0 = 2 + io.

4) Un anello delimitato da cerchi di raggio 6 e 7 con centro in un punto z 0 = io.

3. Trova il modulo e l'argomento dei numeri: 1) ; 2).

1) ; UN = 1, B = Þ ,

Þj1= .

2) z 2 = –2 – 2io; un =–2, b =-2Þ ,

.

Suggerimento: quando si determina l'argomento principale, utilizzare il piano complesso.

Così: z 1 = .

2) , R 2 = 1, j2 = , .

3) , R 3 = 1, j3 = , .

4) , R 4 = 1, j4 = , .

NUMERI COMPLESSI XI

§ 256. Forma trigonometrica dei numeri complessi

Sia un numero complesso a+bi corrisponde al vettore O.A.> con coordinate ( un, b ) (vedi Fig. 332).

Indichiamo la lunghezza di questo vettore con R e l'angolo che forma con l'asse X , Attraverso φ . Per definizione di seno e coseno:

UN / R = cos φ , B / R = peccato φ .

Ecco perché UN = R cos φ , B = R peccato φ . Ma in questo caso il numero complesso a+bi può essere scritto come:

a+bi = R cos φ + lo peccato φ = R (cos φ + io peccato φ ).

Come è noto, il quadrato della lunghezza di qualsiasi vettore pari alla somma quadrati delle sue coordinate. Ecco perché R 2 = UN 2 + B 2, da dove R = √a 2 + B 2

COSÌ, qualsiasi numero complesso a+bi può essere rappresentato nella forma :

a+bi = R (cos φ + io peccato φ ), (1)

dove r = √a 2 + B 2 e l'angolo φ è determinato dalla condizione:

Questa forma di scrittura dei numeri complessi si chiama trigonometrico.

Numero R nella formula (1) è chiamato modulo e l'angolo φ - discussione, numero complesso a+bi .

Se un numero complesso a+bi non è uguale a zero, allora il suo modulo è positivo; Se a+bi = 0, quindi un = b = 0 e poi R = 0.

Il modulo di qualsiasi numero complesso è determinato in modo univoco.

Se un numero complesso a+bi non è uguale a zero, il suo argomento è determinato dalle formule (2) decisamente preciso rispetto ad un angolo divisibile per 2 π . Se a+bi = 0, quindi un = b = 0. In questo caso R = 0. Dalla formula (1) è facile capirlo come argomento φ V in questo caso puoi scegliere qualsiasi angolazione: dopotutto, in qualsiasi φ

0 (cos φ + io peccato φ ) = 0.

Pertanto l'argomento nullo non è definito.

Modulo di un numero complesso R a volte indicato | z |, e l'argomento arg z . Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di rappresentazione di numeri complessi in forma trigonometrica.

Esempio. 1. 1 + io .

Troviamo il modulo R e argomento φ questo numero.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Quindi peccato φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, da cui φ = π / 4 + 2Nπ .

Così,

1 + io = √ 2 ,

Dove P - qualsiasi numero intero. Di solito, dall'insieme infinito di valori dell'argomento di un numero complesso, se ne sceglie uno compreso tra 0 e 2 π . In questo caso, questo valore è π / 4 . Ecco perché

1 + io = √ 2 (cos π / 4 + io peccato π / 4)

Esempio 2. Scrivi un numero complesso in forma trigonometrica √ 3 - io . Abbiamo:

R = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, peccato φ = - 1 / 2

Pertanto fino ad un angolo divisibile per 2 π , φ = 11 / 6 π ; quindi,

√ 3 - io = 2(cos 11/6 π + io peccato 11/6 π ).

Esempio 3 Scrivi un numero complesso in forma trigonometrica io.

Numero complesso io corrisponde al vettore O.A.> , che termina nel punto A dell'asse A con ordinata 1 (Fig. 333). La lunghezza di tale vettore è 1 e l'angolo che forma con l'asse x è uguale a π / 2. Ecco perché

io = cos π / 2 + io peccato π / 2 .

Esempio 4. Scrivi il numero complesso 3 in forma trigonometrica.

Il numero complesso 3 corrisponde al vettore O.A. > X ascissa 3 (Fig. 334).

La lunghezza di tale vettore è 3 e l'angolo che forma con l'asse x è 0. Pertanto

3 = 3 (cos0+ io peccato 0),

Esempio 5. Scrivi il numero complesso -5 in forma trigonometrica.

Il numero complesso -5 corrisponde a un vettore O.A.> che termina in un punto dell'asse X con ascissa -5 (Fig. 335). La lunghezza di tale vettore è 5 e l'angolo che forma con l'asse x è uguale π . Ecco perché

5 = 5(cos π + io peccato π ).

Esercizi

2047. Scrivi questi numeri complessi in forma trigonometrica, definendone i moduli e gli argomenti:

1) 2 + 2√3 io , 4) 12io - 5; 7).3io ;

2) √3 + io ; 5) 25; 8) -2io ;

3) 6 - 6io ; 6) - 4; 9) 3io - 4.

2048. Indicare sul piano un insieme di punti rappresentanti numeri complessi i cui moduli r e argomenti φ soddisfano le condizioni:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. I numeri possono essere contemporaneamente modulo di un numero complesso? R E - R ?

2050. Gli argomenti di un numero complesso possono essere contemporaneamente angoli? φ E - φ ?

Presenta questi numeri complessi in forma trigonometrica, definendone i moduli e gli argomenti:

2051*. 1+cos α + io peccato α . 2054*. 2(cos 20° - io peccato 20°).

2052*. peccato φ + io cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - io peccato 15°).