Equazione di un segmento. Linea retta. Equazione di una retta. Cosa faremo con il materiale ricevuto?

Sia dato un sistema di coordinate affine OXY.

Teorema 2.1. Qualsiasi linea retta l il sistema di coordinate OX è dato da un'equazione lineare della forma

UN X+B sì+ C = O, (1)

dove A, B, C R e A 2 + B 2 0. Viceversa, qualsiasi equazione della forma (1) definisce una retta.

Equazione come (1) - equazione generale di una retta .

Lasciamo che tutti i coefficienti A, B e C nell'equazione (1) siano diversi da zero. Poi

Ah-By=-C, e .

Indichiamo -C/A=a, -C/B=b. Otteniamo

-equazione in segmenti .

Infatti i numeri |a| e |b| indicare la dimensione dei segmenti tagliati da una linea retta l rispettivamente sugli assi OX e OY.

Lascia che sia dritto lè dato dall'equazione generale (1) in un sistema di coordinate rettangolari e appartengano i punti M 1 (x 1,y 1) e M 2 (x 2,y 2) l. Poi

UN X 1+V A 1 + C = A X 2+V A 2 + C, cioè A( X 1 -X 2) + B( A 1 -A 2) = 0.

L'ultima uguaglianza significa che il vettore =(A,B) è ortogonale al vettore =(x 1 -x 2,y 1 -y 2). quelli. Viene chiamato il vettore (A,B). vettore normale della retta l.

Considera il vettore =(-B,A). Poi

A(-B)+BA=0. quelli. ^.

Pertanto il vettore =(-B,A) è il vettore direzionale del piccante l.

Equazioni parametriche e canoniche della retta

Equazione di una retta passante per due punti dati

Sia data una retta nel sistema di coordinate affini (0, X, Y) l, il suo vettore direzione = (m,n) e il punto M 0 ( X 0 ,sì 0) posseduto l. Quindi per un punto arbitrario M ( X,A) di questa linea abbiamo

e da allora .

Se denotiamo e

Quindi vettori raggio dei punti M e M 0 rispettivamente

- equazione di una retta in forma vettoriale.

Poiché =( X,A), =(X 0 ,A 0), quindi

X= X 0 + mt,

sì= sì 0 + nt

- Equazione parametrica di una retta .

Ne consegue che

- Equazione canonica della retta .

Infine, se su una linea retta l dati due punti M 1 ( X 1 ,A 1) e

M2( X 2 ,A 2), quindi vettore =( X 2 -X 1 ,sì 2 -A 1) è guide vettore di una retta l. Poi

- equazione della retta passante per due punti dati.

Posizione reciproca due linee rette.

Lasciamo stare l 1 e l 2 sono dati dalle loro equazioni generali

l 1: A1 X+B1 A+ C1 = 0, (1)

l 2: UN 2 X+B2 A+ C2 = 0.

Teorema. Lasciamo stare l 1 e l 2 sono dati dalle equazioni (1). Allora e solo allora:

1) le linee si intersecano quando non esiste un numero λ tale che

A1 =λA2, B1 =λB2;

2) le rette coincidono quando esiste un numero λ tale che

A1 =λA2, B1 =λB2, C1 =λC2;

3) le rette sono distinte e parallele quando esiste un numero λ tale che

A1 =λA2, B1 =λB2, C1λC2.

Un mucchio di linee rette

Un mucchio di linee rette è l'insieme di tutte le rette del piano passanti per un certo punto chiamato centro trave.

Per specificare l'equazione della trave è sufficiente conoscere due rette qualsiasi l 1 e l 2 passante per il centro della trave.

Consideriamo le rette nel sistema di coordinate affini l 1 e l 2 sono dati dalle equazioni

l 1: A1 X+B1 sì+ C1 = 0,

l 2: UN 2 X+B2 sì+ C2 = 0.

Equazione:

UN 1 X+B1 sì+ C + λ (A2 X+B2 sì+ C) = 0

- equazione di una matita di linee definita dalle equazioni l 1 e l 2.

In futuro, per sistema di coordinate intenderemo un sistema di coordinate rettangolare .

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette

Lasciamo che le linee siano date l 1 e l 2. le loro equazioni generali; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – vettori normali di queste linee; k 1 = tgα 1, k 2 = tanα 2 – coefficienti angolari; = ( M 1 ,N 1), (M 2 ,N 2) – vettori di direzione. Poi, dritto l 1 e l 2 sono paralleli se e solo se è vera una delle seguenti condizioni:

o o k 1 =k 2, o .

Lascia che sia tutto chiaro adesso l 1 e l 2 sono perpendicolari. Quindi, ovviamente, cioè A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Se dritto l 1 e l 2 sono dati rispettivamente dalle equazioni

l 1: A=k 1 X+ B 1 ,

l 2: A=k 2 X+ B 2 ,

allora tanα 2 = tan(90º+α) = .

Ne consegue che

Infine, se e i vettori di direzione sono rettilinei, allora ^

M 1 M 2 + N 1 N 2 = 0

L'ultima relazione esprime la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due piani.

Angolo tra due rette

Ad un angolo φ tra due linee rette l 1 e l 2 comprenderemo l'angolo più piccolo di cui una retta deve essere ruotata affinché diventi parallela o coincida con un'altra retta, cioè 0 £ φ £

Le rette siano date da equazioni generali. E' ovvio

cosφ=

Lascia che sia tutto chiaro adesso l 1 e l 2 è data da equazioni con coefficienti di pendenza k 1 pollice k 2 rispettivamente. Poi

È ovvio che, cioè ( X-X 0) + B( A-A 0) + C( z-z 0) = 0

Apriamo le parentesi e indichiamo D= -A X 0-V A 0-c z 0 . Otteniamo

UN X+B sì+C z+ D = 0 (*)

- Equazione piana in forma generale O equazione del piano generale.

Teorema 3.1 Equazione lineare(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) è un'equazione del piano e viceversa, qualsiasi equazione del piano è lineare.

1) D = 0, allora il piano passa per l'origine.

2) A = 0, allora il piano è parallelo all'asse OX

3) A = 0, B = 0, allora il piano è parallelo al piano OXY.

Lascia che tutti i coefficienti nell'equazione siano diversi da zero.

- Equazione del piano in segmenti. Numeri |a|, |b|, |c| indicare i valori dei segmenti tagliati dal piano in assi coordinati.

E lo analizzeremo nel dettaglio tipo speciale equazioni della retta - . Cominciamo con la forma dell'equazione di una linea retta in segmenti e facciamo un esempio. Successivamente ci concentreremo sulla costruzione di una linea retta, che è data dall'equazione della linea retta in segmenti. In conclusione, mostreremo come viene effettuata la transizione dall'equazione generale completa di una retta all'equazione di una retta in segmenti.

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Equazione di una linea in segmenti: descrizione ed esempio.

Lasciamo che Oxy venga fissato sull'aereo.

Equazione di una retta in segmenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolari, Oxy ha la forma , dove a e b sono numeri reali diversi da zero.

Non è un caso che l'equazione di una linea in segmenti abbia ricevuto questo nome: i valori assoluti dei numeri aeb sono uguali alla lunghezza dei segmenti che la linea taglia sugli assi coordinati Ox e Oy, contando da l'origine.

Chiariamo questo punto. Sappiamo che le coordinate di qualsiasi punto su una linea soddisfano l'equazione di quella linea. Allora è chiaramente visibile che la retta definita dall'equazione della retta in segmenti passa per i punti e , poiché E . E i punti e si trovano precisamente rispettivamente sugli assi coordinati Ox e Oy e sono distanti dall'origine delle coordinate di unità a e b. I segni dei numeri aeb indicano la direzione in cui devono essere posati i segmenti. Il segno “+” significa che il segmento viene tracciato nella direzione positiva dell'asse delle coordinate, il segno “-” significa il contrario.

Descriviamo un disegno schematico che spiega tutto quanto sopra. Mostra la posizione delle linee rispetto al sistema di coordinate rettangolari fisse Oxy, a seconda dei valori dei numeri a e b nell'equazione della linea in segmenti.

Ora è diventato chiaro che l'equazione di una retta in segmenti facilita la costruzione di questa retta nel sistema di coordinate rettangolari Oxy. Per costruire una linea retta, che è data dall'equazione di una linea retta in segmenti della forma , devi segnare i punti e in un sistema di coordinate rettangolari sul piano, quindi collegarli con una linea retta usando un righello.

Facciamo un esempio.

Esempio.

Costruisci una retta data dall'equazione di una retta in segmenti della forma.

Soluzione.

Basandosi sull'equazione data di una linea in segmenti, si può vedere che la linea passa attraverso i punti . Li contrassegniamo e li colleghiamo con una linea retta.

Ridurre l'equazione generale di una retta all'equazione di una retta in segmenti.

Quando si risolvono alcuni problemi relativi a una linea su un piano, è conveniente lavorare con l'equazione di una linea in segmenti. Tuttavia, esistono altri tipi di equazioni che definiscono una linea su un piano. Pertanto, è necessario effettuare la transizione da una determinata equazione di una linea all'equazione di questa linea in segmenti.

In questo paragrafo mostreremo come ottenere l'equazione di una retta in segmenti se è data l'equazione generale completa della retta.

Conosciamo l'equazione generale completa di una retta su un piano . Poiché A, B e C non sono uguali a zero, puoi spostare il numero C a destra dell'uguaglianza, dividere entrambi i lati dell'uguaglianza risultante per –C e inviare i coefficienti di x e y ai denominatori:
.

(Nell'ultima transizione abbiamo utilizzato l'uguaglianza ).

Quindi partiamo dall'equazione generale della retta passato all'equazione della retta in segmenti, dove .

Esempio.

La retta nel sistema di coordinate rettangolari Oxy è data dall'equazione . Scrivi l'equazione di questa linea in segmenti.

Soluzione.

Spostiamoci di un secondo a destra dell'uguaglianza data: . Ora dividiamo l'uguaglianza risultante in entrambi i membri: . Resta da trasformare l'uguaglianza risultante nella forma desiderata: . In questo modo abbiamo ottenuto l'equazione richiesta della retta in segmenti.

Risposta:

Se una linea retta definisce

Equazione di una retta in segmenti

Sia data l'equazione generale di una retta:

L'equazione di una retta in segmenti, dove sono i segmenti che la retta taglia sugli assi coordinati corrispondenti.

Costruisci una retta data dall'equazione generale:

Da cui possiamo costruire un'equazione di questa linea in segmenti:

La posizione relativa delle linee su un piano.

Dichiarazione 1.

In ordine per linee rette e dati da equazioni:

La coincidenza è necessaria e sufficiente affinché:

Dimostrazione: e coincidono, i loro vettori di direzione e sono collineari, cioè:

Prendiamo il punto M 0 con questa retta, quindi:

Moltiplicando la prima equazione per e aggiungendo alla seconda per (2) otteniamo:

Quindi le formule (2), (3) e (4) sono equivalenti. Sia soddisfatta la (2), allora le equazioni del sistema (*) sono equivalenti le rette corrispondenti coincidono.

Dichiarazione 2.

Le rette e date dalle equazioni (*) sono parallele e non coincidono se e solo se:

Prova:

Anche se non corrispondono:

Incoerente, cioè secondo il teorema di Kronecker-Capelli:

Ciò è possibile solo se:

Cioè, quando la condizione (5) è soddisfatta.

Quando è soddisfatta la prima uguaglianza (5), - il mancato rispetto della seconda uguaglianza comporta l'incompatibilità del sistema (*) le linee sono parallele e non coincidono.

Nota 1.

Sistema di coordinate polari.

Fissiamo un punto sul piano e chiamiamolo polo. Il raggio proveniente dal polo sarà chiamato asse polare.

Scegliamo una scala per misurare la lunghezza dei segmenti e concordiamo che la rotazione attorno al punto in senso antiorario sarà considerata positiva. Considera qualsiasi punto in merito dato piano, denotiamo la sua distanza dal polo e lo chiamiamo raggio polare. L'angolo di cui l'asse polare deve essere ruotato affinché coincida sarà indicato e chiamato angolo polare.

Definizione 3.

Le coordinate polari di un punto sono il suo raggio polare e l'angolo polare:

Nota 2. nel palo. Il valore per i punti diversi da un punto viene determinato fino a un termine.

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari: il polo coincide con l'origine e l'asse polare coincide con il semiasse positivo. Qui. Poi:

Qual è la relazione tra i sistemi di coordinate cartesiane rettangolari e polari.

Equazione della lemniscata di Bernoulli. Scrivilo nel sistema di coordinate polari.

Equazione normale di una retta su un piano. Lasciamo che l'asse polare coincida con l'asse passante per l'origine. Permettere:

Lasciamo quindi:

Condizione (**) per il punto:

Equazione di una retta in un sistema di coordinate polari.

Qui - la lunghezza tracciata dall'origine alla linea retta, - l'angolo di inclinazione della normale all'asse.

L’equazione (7) può essere riscritta:

Equazione normale di una retta su un piano.

Se nell'equazione generale della retta Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, allora dividendo per –С, otteniamo: oppure

Significato geometrico coefficienti è che il coefficiente UNè la coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse del Bue, e B– la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Viene data l'equazione generale della linea x – y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa linea in segmenti.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ax + By + C = 0 sono divisi per un numero chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo

Xcosj + ysinj - p = 0 –

equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale che m×С< 0.

p è la lunghezza della perpendicolare lasciata dall'origine alla retta, e j è l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse del Bue.

Esempio. Viene data l'equazione generale della linea 12x – 5y – 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni per questa linea.

equazione di questa linea in segmenti:

equazione di questa linea con pendenza: (dividi per 5)

equazione normale di una retta:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio, rette parallele agli assi o passanti per l'origine delle coordinate.

Esempio. La linea retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi un'equazione di una linea retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

L'equazione della retta ha la forma: , a = b = 1; ab/2 = 8; un = 4; -4.

a = -4 non è adatto a seconda delle condizioni del problema.

Totale: oppure x + y – 4 = 0.

Esempio. Scrivi un'equazione per una retta passante per il punto A(-2, -3) e l'origine.

L'equazione della retta ha la forma: , dove x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Equazione di una retta passante questo punto

Perpendicolare ad una linea data.

Definizione. Una retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y = kx + b è rappresentata dall'equazione:

L'angolo tra le rette su un piano.

Definizione. Se due linee sono date y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, allora l'angolo acuto tra queste linee sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2.

Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Le rette Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 = lA, B 1 = lB sono proporzionali. Se anche С 1 = lС, allora le rette coincidono.

Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Bу + C = 0 è determinata come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base di una perpendicolare caduta dal punto M ad una data retta. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate risolvendo il sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione della retta passante dato punto M 0 è perpendicolare ad una data retta.

Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio . Determina l'angolo tra le linee: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2tgj = ; j = p/4.

Esempio. Mostra che le rette 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 sono perpendicolari.

Troviamo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Dati i vertici del triangolo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trova l'equazione dell'altezza ricavata dal vertice C.

Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza richiesta ha la forma: Ax + By + C = 0 oppure y = kx + b.

k = . Allora y = . Perché altezza passa per il punto C, allora le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale: .

Risposta: 3x + 2y – 34 = 0.

Curve del secondo ordine.

Una curva del secondo ordine può essere data dall'equazione

Ascia 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Esiste un sistema di coordinate (non necessariamente cartesiano rettangolare) in cui questa equazione può essere rappresentata in una delle forme indicate di seguito.

1) - equazione dell'ellisse.

2) - equazione di un'ellisse “immaginaria”.

3) - Equazione dell'iperbole.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – equazione di due rette che si intersecano.

5) y 2 = 2px – equazione di una parabola.

6) y 2 – a 2 = 0 – equazione di due rette parallele.

7) y 2 + a 2 = 0 – equazione di due rette parallele “immaginarie”.

8) y 2 = 0 – una coppia di linee coincidenti.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – equazione della circonferenza.

Cerchio.

In una circonferenza (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 il centro ha coordinate (a; b).

Esempio. Trova le coordinate del centro e del raggio del cerchio se la sua equazione è data nella forma:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Per trovare le coordinate del centro e del raggio del cerchio, questa equazione deve essere portata nella forma indicata sopra al paragrafo 9. Per fare ciò, seleziona i quadrati completi:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Da qui troviamo O(2; -5/4); R = 11/4.

Ellisse.

Definizione. Ellisseè chiamata la curva data dall'equazione.

Definizione. Si concentra vengono chiamati tali due punti, la somma delle distanze da cui a qualsiasi punto dell'ellisse è un valore costante.

F 1, F 2 – focalizza. F1 = (c; 0); FA 2 (-c; 0)

c – metà della distanza tra i fuochi;

a – semiasse maggiore;

b – semiasse minore.

Teorema. La lunghezza focale e i semiassi dell'ellisse sono legati dalla relazione:

un2 = b2 + c2 .

Prova: Se il punto M è all'intersezione dell'ellisse con l'asse verticale, r1 + r2= 2 (secondo il teorema di Pitagora). Se il punto M è all'intersezione dell'ellisse con l'asse orizzontale, r1 + r2 = un – c + un + c. Perché per definizione l'importo r1 + r2è un valore costante, quindi, eguagliando, otteniamo:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Definizione. La forma dell'ellisse è determinata dalla caratteristica, che è il rapporto tra la lunghezza focale e l'asse maggiore e si chiama eccentricità.

Perché Con< a, то е < 1.

Definizione. Si chiama la quantità k = b/a rapporto di compressione ellisse, e si chiama la quantità 1 – k = (a – b)/a compressione ellisse.

Il rapporto di compressione e l'eccentricità sono legati dalla relazione: k 2 = 1 – e 2 .

Se a = b (c = 0, e = 0, i fuochi si fondono), l'ellisse si trasforma in un cerchio.

Se la condizione è soddisfatta per il punto M(x 1, y 1): allora si trova all'interno dell'ellisse, e se , allora il punto è all'esterno dell'ellisse.

Teorema. Per un punto arbitrario M(x, y) appartenente ad un'ellisse, valgono le seguenti relazioni::

R 1 = a – es, r 2 = a + es.

Prova.È stato mostrato sopra che r 1 + r 2 = 2a. Inoltre da considerazioni geometriche possiamo scrivere:

Dopo aver elevato al quadrato e riportato termini simili:

Si dimostra in modo analogo che r 2 = a + ex. Il teorema è stato dimostrato.

Un'ellisse è collegata a due rette chiamate direttrici. Le loro equazioni sono:

X = a/e; x = -a/e.

Teorema. Affinché un punto giaccia su un'ellisse è necessario e sufficiente che il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice corrispondente sia uguale all'eccentricità e.

Esempio. Scrivi un'equazione per la linea che passa per il fuoco sinistro e il vertice inferiore dell'ellisse data dall'equazione:

1) Coordinate del vertice inferiore: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Coordinate del fuoco sinistro: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; FA2 (-3; 0).

3) Equazione di una retta passante per due punti:

Esempio. Scrivi un'equazione per un'ellisse se i suoi fuochi sono F 1 (0; 0), F 2 (1; 1) e l'asse maggiore è 2.

L'equazione dell'ellisse ha la forma: . Distanza di messa a fuoco:

2c = quindi a 2 – b 2 = c 2 = ½

per la condizione 2a = 2, quindi a = 1, b =

Iperbole.

Definizione. Iperboleè l'insieme dei punti del piano per i quali vale il modulo della differenza delle distanze da due punti dati, detto trucchiè un valore costante inferiore alla distanza tra i fuochi.

Per definizione ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 – fuochi dell’iperbole. F1F2 = 2c.

Scegliamo un punto arbitrario M(x, y) sull'iperbole. Poi:

indichiamo c 2 – a 2 = b 2 (geometricamente questa quantità è il semiasse minore)

Abbiamo ottenuto l'equazione canonica dell'iperbole.

L'iperbole è simmetrica rispetto al centro del segmento che collega i fuochi e rispetto agli assi coordinati.

L'asse 2a è chiamato asse reale dell'iperbole.

L'asse 2b è chiamato asse immaginario dell'iperbole.

Un'iperbole ha due asintoti, le cui equazioni sono

Definizione. La relazione si chiama eccentricità iperboli, dove c è la metà della distanza tra i fuochi ed è il semiasse reale.

Tenendo conto del fatto che c 2 – a 2 = b 2:

Se a = b, e = , allora si chiama iperbole equilatero (equilatero).

Definizione. Due rette perpendicolari all'asse reale dell'iperbole e poste simmetricamente rispetto al centro e a distanza a/e da esso si chiamano direttrici iperbole. Le loro equazioni sono: .

Teorema. Se r è la distanza da un punto arbitrario M dell'iperbole a un fuoco qualsiasi, d è la distanza dallo stesso punto alla direttrice corrispondente a questo fuoco, allora il rapporto r/d è un valore costante uguale all'eccentricità.

Prova. Rappresentiamo schematicamente un'iperbole.

Dalle ovvie relazioni geometriche possiamo scrivere:

a/e + d = x, quindi d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Dall’equazione canonica: , tenendo conto di b 2 = c 2 – a 2:

Allora perché ñ/a = e, quindi r = ex – a.

Per il ramo sinistro dell’iperbole la dimostrazione è simile. Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Trova l'equazione di un'iperbole i cui vertici e fuochi si trovano nei corrispondenti vertici e fuochi dell'ellisse.

Per un'ellisse: c 2 = a 2 – b 2.

Per un'iperbole: c 2 = a 2 + b 2.

Equazione dell'iperbole: .

Esempio. Scrivi un'equazione per un'iperbole se la sua eccentricità è 2 e i suoi fuochi coincidono con i fuochi dell'ellisse e l'equazione è il parametro della parabola. Deriviamo l'equazione canonica della parabola.

Dalle relazioni geometriche: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x2 +xp + p2 /4 = y2 + x2 – xp + p2 /4

Equazione della direttrice: x = -p/2.

Esempio . Trova sulla parabola y 2 = 8x un punto la cui distanza dalla direttrice sia 4.

Dall'equazione della parabola troviamo che p = 4.

r = x + p/2 = 4; quindi:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Punti cercati: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Esempio. L'equazione di una curva in un sistema di coordinate polari ha la forma:

Trova l'equazione di una curva in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, determina il tipo di curva, trova i fuochi e l'eccentricità. Disegna schematicamente la curva.

Usiamo la connessione tra il sistema di coordinate cartesiane rettangolari e polari: ;

Abbiamo ottenuto l'equazione canonica dell'iperbole. Dall'equazione risulta chiaro che l'iperbole è spostata lungo l'asse Ox di 5 a sinistra, il semiasse maggiore a è uguale a 4, il semiasse minore b è uguale a 3, da cui si ottiene c 2 = a 2+b2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Mette a fuoco F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Costruiamo un grafico di questa iperbole.

Il compito è utilizzare le coordinate fornite dell'estremità di un segmento per costruire una linea retta che lo attraversa.

Riteniamo che il segmento non sia degenerato, vale a dire ha una lunghezza maggiore di zero (altrimenti, ovviamente, ci sono infinite rette diverse che lo attraversano).

Caso bidimensionale

Sia dato un segmento, cioè le coordinate delle sue estremità , , , sono note.

Necessario per costruire equazione di una retta in un piano, passando per questo segmento, cioè trovare i coefficienti , , nell'equazione della retta:

Si noti che le triple richieste che passano attraverso un dato segmento lo sono infinitamente molti: Puoi moltiplicare tutti e tre i coefficienti per un numero arbitrario diverso da zero e ottenere la stessa linea retta. Pertanto, il nostro compito è trovare una di queste terzine.

È facile verificare (sostituendo queste espressioni e le coordinate dei punti e nell'equazione della retta) che è opportuno il seguente insieme di coefficienti:

Caso intero

Un vantaggio importante di questo metodo di costruzione di una linea retta è che se le coordinate degli estremi fossero intere, anche i coefficienti risultanti saranno numeri interi. In alcuni casi, ciò consente di eseguire operazioni geometriche senza ricorrere affatto ai numeri reali.

C'è però un piccolo inconveniente: per la stessa retta si possono ottenere triplette di coefficienti diverse. Per evitare ciò, ma non allontanarsi dai coefficienti interi, è possibile utilizzare la seguente tecnica, spesso chiamata razionamento. Troviamo il massimo comun divisore dei numeri , , , dividiamo tutti e tre i coefficienti per esso, quindi normalizziamo il segno: se o , moltiplichiamo tutti e tre i coefficienti per . Di conseguenza, arriveremo alla conclusione che per linee identiche otterremo triplette di coefficienti identiche, il che renderà facile verificare l'uguaglianza delle linee.

Caso di valore reale

Quando lavori con numeri reali, dovresti sempre essere consapevole degli errori.

I coefficienti che otteniamo sono dell'ordine delle coordinate originali, il coefficiente è già dell'ordine del loro quadrato. Questo potrebbe già essere sufficiente grandi numeri, e, ad esempio, quando le linee rette si intersecano, diventeranno ancora più grandi, il che può portare a grandi errori di arrotondamento anche con le coordinate originali dell'ordine .

Pertanto, quando si lavora con numeri reali, è consigliabile eseguire il cosiddetto normalizzazione diretto: cioè rendere i coefficienti tali che . Per fare ciò è necessario calcolare il numero:

e dividi tutti e tre i coefficienti , , per esso.

Pertanto, l'ordine dei coefficienti e non dipenderà più dall'ordine delle coordinate di input e il coefficiente sarà dello stesso ordine delle coordinate di input. In pratica, ciò porta ad un miglioramento significativo nella precisione del calcolo.

Infine, menzioniamo confronto linee rette - dopotutto, dopo tale normalizzazione per la stessa retta, si possono ottenere solo due triplette di coefficienti: fino alla moltiplicazione per . Di conseguenza, se eseguiamo un'ulteriore normalizzazione tenendo conto del segno (se o , quindi moltiplichiamo per ), i coefficienti risultanti saranno unici.