Equazioni della retta nello spazio. Una linea retta definita dall'intersezione di due piani Come trovare l'intersezione dei piani

Con questo calcolatore in linea puoi trovare la linea di intersezione dei piani. Dato soluzione dettagliata con spiegazioni. Per trovare l'equazione della linea di intersezione dei piani, inserisci i coefficienti nelle equazioni dei piani e clicca sul pulsante "Risolvi". Vedi la parte teorica e gli esempi numerici qui sotto.

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Linea di intersezione dei piani: teoria, esempi e soluzioni

Due piani nello spazio possono essere paralleli, coincidere o intersecarsi. In questo articolo definiremo posizione relativa due piani e se questi piani si intersecano si ricava l'equazione della linea di intersezione dei piani.

Sia dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxyz e lasciamo che i piani siano specificati in questo sistema di coordinate α 1 e α 2:

Poiché i vettori N 1 e N 2 sono collineari, allora esiste un tale numero λ ≠0, che l'uguaglianza è soddisfatta N 1 =λ N 2, cioè UN 1 =λ UN 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

Moltiplicando l'equazione (2) per λ , otteniamo:

Se l'uguaglianza D 1 =λ D 2, poi l'aereo α 1 e α 2 coincidono, se D 1 ≠λ D 2 poi aerei α 1 e α 2 sono paralleli, cioè non si intersecano.

2. Vettori normali N 1 e N 2 aerei α 1 e α 2 non sono collineari (Fig. 2).

Se i vettori N 1 e N 2 non sono collineari, allora risolviamo il sistema di equazioni lineari (1) e (2). Per fare ciò, trasferiamo i termini liberi sul lato destro delle equazioni e componiamo l'equazione di matrice corrispondente:

Dove X 0 , sì 0 , z 0 , m, p, l numeri reali e T− variabile.

L’uguaglianza (5) può essere scritta nella seguente forma:

Esempio 1. Trova la linea di intersezione dei piani α 1 e α 2:

Risolviamo il sistema di equazioni lineari (9) rispetto a x, y, z. Per risolvere il sistema costruiamo una matrice estesa:

Seconda fase. Movimento gaussiano inverso.

Escludiamo gli elementi della 2a colonna della matrice sopra l'elemento UN 22. Per fare ciò, aggiungi la riga 1 con la riga 2 moltiplicata per −2/5:

Otteniamo la soluzione:

Abbiamo ottenuto l'equazione della linea di intersezione dei piani α 1 e α 2 in forma parametrica. Scriviamolo in forma canonica.

Risposta. Equazione della retta di intersezione dei piani α 1 e α 2 assomiglia a:

α 1 ha un vettore normale N 1 ={UN 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Aereo α 2 ha un vettore normale N 2 ={UN 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

N 1 e N 2 collineari ( N 1 può essere ottenuto mediante moltiplicazione N 2 con il numero 1/2), poi l'aereo α 1 e α 2 sono paralleli o coincidenti.

α 2 moltiplicato per il numero 1/2:

Soluzione. Determiniamo innanzitutto la posizione relativa di questi piani. Aereo α 1 ha un vettore normale N 1 ={UN 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Aereo α 2 ha un vettore normale N 2 ={UN 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Poiché i vettori di direzione N 1 e N 2 collineari ( N 1 può essere ottenuto mediante moltiplicazione N 2 con il numero 1/3), poi l'aereo α 1 e α 2 sono paralleli o coincidenti.

Quando moltiplichi un'equazione per un numero diverso da zero, l'equazione non cambia. Trasformiamo l'equazione del piano α 2 moltiplicato per il numero 1/3:

Poiché i vettori normali delle equazioni (17) e (19) coincidono e i termini liberi sono uguali, allora i piani α 1 e α 2 partita.

Inseriamo le equazioni canoniche della retta

il coefficiente è diverso da zero, cioè la retta non è parallela al piano xOy. Scriviamo queste equazioni separatamente in questa forma:

Nelle nostre condizioni, le equazioni (6) definiscono completamente la retta. Ciascuno di essi esprime individualmente un piano, con il primo parallelo all'asse Oy e il secondo all'asse

Quindi, rappresentando una retta con equazioni della forma (6), la consideriamo come l'intersezione di due piani che proiettano questa retta sul piano delle coordinate xOz e yOz. La prima delle equazioni (6), considerata in un piano, determina la proiezione di una data retta su tale piano; allo stesso modo, la seconda delle equazioni (6), considerata nel piano, determina la proiezione di una data retta sul piano yOz. Possiamo quindi dire che dare le equazioni di una retta nella forma (6) significa dare la sua proiezione sul piano delle coordinate xOz e yOz.

Se il coefficiente guida fosse zero, almeno uno degli altri due coefficienti, ad esempio, sarebbe diverso da zero, cioè la retta non sarebbe parallela al piano yOz. In questo caso potremmo esprimere la retta

equazioni dei piani su cui lo proiettano piani coordinati scrivere le equazioni (5) nel modulo

Pertanto, qualsiasi linea retta può essere espressa dalle equazioni di due piani che la attraversano e la proiettano su piani coordinati. Ma non è affatto necessario definire una linea retta soltanto mediante tale coppia di piani.

Per ogni linea retta passano innumerevoli piani. Due di essi, intersecandosi, lo definiscono nello spazio. Di conseguenza, le equazioni di due piani qualsiasi, considerati insieme, rappresentano le equazioni di questa linea.

In generale, due piani qualsiasi non paralleli tra loro con equazioni generali

determinare la retta della loro intersezione.

Le equazioni (7), considerate insieme, sono chiamate equazioni generali della retta.

Dalle equazioni generali della retta (7) si passa alle sue equazioni canoniche. A questo scopo dobbiamo conoscere un punto sulla retta e un vettore direzione.

Possiamo facilmente trovare le coordinate di un punto da un dato sistema di equazioni scegliendo arbitrariamente una delle coordinate e quindi risolvendo un sistema di due equazioni utilizzando i termini delle restanti due coordinate.

Per trovare il vettore direttivo di una retta, notiamo che questo vettore, diretto lungo la linea di intersezione di questi piani, deve essere perpendicolare ad entrambi i vettori normali di questi piani. Viceversa ogni vettore perpendicolare a è parallelo ad entrambi i piani, e quindi alla retta data.

Ma prodotto vettoriale ha anche questa proprietà. Pertanto, il prodotto vettoriale dei vettori normali di questi piani può essere preso come vettore direttivo della retta.

Esempio 1. Riduci l'equazione di una retta alla forma canonica

Scegliamo una delle coordinate arbitrariamente. Lasciamo, ad esempio, . Poi

da dove Quindi, abbiamo trovato il punto (2, 0, 1) che giace sulla retta,

Trovando ora il prodotto vettoriale dei vettori, otteniamo il vettore direzione della retta. Pertanto le equazioni canoniche saranno:

Commento. Dalle equazioni generali delle linee rette della forma (7) si può passare a quelle canoniche senza ricorrere al metodo vettoriale.

Soffermiamoci prima un po' più in dettaglio sulle equazioni

Esprimiamo xey da loro attraverso . Quindi otteniamo:

dove dovrebbe essere

Le equazioni (6) sono chiamate equazioni lineari nelle proiezioni sul piano

Installiamo significato geometrico costanti M e N: M è il coefficiente angolare della proiezione di una determinata linea sul piano delle coordinate (la tangente dell'angolo di questa proiezione con l'asse Oz), e N è il coefficiente angolare della proiezione di questa linea retta su il piano delle coordinate (la tangente dell'angolo di questa proiezione con l'asse Oz). I numeri determinano quindi le direzioni delle proiezioni di una data retta su due piani coordinati, cioè caratterizzano anche la direzione della stessa retta data. Pertanto, i numeri M e N sono chiamati coefficienti angolari di una data linea.

Per scoprire il significato geometrico delle costanti poniamo una retta nelle equazioni (6), quindi otteniamo: cioè il punto giace su una retta data. Ovviamente questo punto è il punto di intersezione di questa retta con il piano. Quindi queste sono le coordinate della traccia di questa retta sul piano delle coordinate

Ora è facile passare dalle equazioni di proiezione a quelle canoniche. Siano date, ad esempio, le equazioni (6). Risolvendo queste equazioni per , troviamo:

da cui si ottengono direttamente le equazioni canoniche nella forma

Esempio 2. Fornisci le equazioni canoniche della retta

alle equazioni nelle proiezioni sul piano

Riscriviamo queste equazioni nella forma

Risolvendo la prima di queste equazioni per x e la seconda per y, troviamo le equazioni richieste nelle proiezioni:

Esempio 3. Fornisci equazioni in opposizioni

alla forma canonica.

Risolvendo queste equazioni per , otteniamo:

Il compito richiede trova la linea di intersezione di due piani e determina la dimensione effettiva di uno di essi con il metodo del movimento piano parallelo.

Per risolvere un problema così classico nella geometria descrittiva, è necessario conoscere il seguente materiale teorico:

— disegnare proiezioni di punti dello spazio su un disegno complesso a coordinate date;

— metodi per specificare un piano in un disegno complesso, un piano generale e particolare;

— linee principali dell'aereo;

— determinazione del punto di intersezione di una retta con un piano (ricerca "punti d'incontro");

— metodo di movimento piano parallelo per determinare la dimensione naturale di una figura piatta;

— determinare la visibilità di linee rette e piani in un disegno utilizzando punti concorrenti.

Procedura per risolvere il problema

1. Secondo l'opzione Assegnazione utilizzando le coordinate dei punti, tracciamo due piani su un disegno complesso, specificati sotto forma di triangoli ABC(A', B', C'; A, B, C) e DKE(D', K', E'; D, K, E) ( Fig.1.1).

Fig.1.1

2 . Per trovare la linea di intersezione usiamo metodo del piano di proiezione. La sua essenza è che un lato (linea) del primo piano (triangolo) viene preso e racchiuso nel piano proiettante. Viene determinato il punto di intersezione di questa linea con il piano del secondo triangolo. Ripetendo nuovamente questo compito, ma per la linea del secondo triangolo e il piano del primo triangolo, determiniamo il secondo punto di intersezione. Poiché i punti risultanti appartengono contemporaneamente ad entrambi i piani, devono trovarsi sulla linea di intersezione di questi piani. Collegando questi punti con una linea retta, avremo la linea di intersezione dei piani desiderata.

3. Il problema è risolto come segue:

UN) racchiudere nel piano di proiezione F(F’) lato AB(UN’ B’) il primo triangolo nel piano frontale delle proiezioni V. Segniamo i punti di intersezione del piano sporgente con i lati Non so E DE secondo triangolo, ottenendo punti 1(1') e 2 (2'). Li trasferiamo lungo le linee di comunicazione sul piano di proiezione orizzontale H ai lati corrispondenti del triangolo, punto 1 (1) sul lato DE e periodo 2(2) sul lato Non so.

Fig.1.2

B) collegando le proiezioni dei punti 1 e 2, avremo una proiezione del piano proiettante F. Quindi il punto di intersezione della linea AB con il piano del triangolo DKE è determinato (secondo la regola) insieme all'intersezione della proiezione del piano proiettante 1-2 e la proiezione della linea omonima AB. Pertanto, abbiamo ottenuto una proiezione orizzontale del primo punto di intersezione dei piani - M, con cui determiniamo (proiettiamo lungo le linee di comunicazione) la sua proiezione frontale – M’ su una linea retta UN’ B’ (Fig.1.2.a);

V) troviamo il secondo punto in modo simile. Lo racchiudiamo nel piano proiettante Sol(G) lato del secondo triangolo Non so(Non so) . Segniamo i punti di intersezione del piano sporgente con i lati del primo triangolo ACEa.C. in proiezione orizzontale, ottenendo proiezioni di punti 3 e 4. Li proiettiamo sui lati corrispondenti nel piano frontale, otteniamo 3’ e 4'. Collegandoli con una retta si ottiene la proiezione del piano proiettante. Quindi il secondo punto di intersezione dei piani sarà all'intersezione della linea 3’-4’ con il lato del triangolo D’ K’ , che era racchiuso nel piano di proiezione. Pertanto, abbiamo ottenuto una proiezione frontale del secondo punto di intersezione - N’ , lungo la linea di comunicazione troviamo la proiezione orizzontale - N (Fig.1.2.b).

G) collegando i punti risultanti MN(MN) E (M’ N’) sui piani orizzontale e frontale si ha la linea di intersezione desiderata dei piani dati.

4. Utilizzando punti concorrenti, determiniamo la visibilità degli aerei. Prendiamo ad esempio un paio di punti in competizione, 1’=5’ in proiezione frontale. Li proiettiamo sui lati corrispondenti nel piano orizzontale e otteniamo 1 e 5. Vediamo questo il punto 1 , sdraiato su un fianco DE ha una coordinata grande rispetto all'asse X più di un punto 5 , sdraiato su un fianco UNIN. Pertanto, secondo la regola, la coordinata più grande, il punto 1 e lato del triangolo D'E’ nel piano frontale sarà visibile. Pertanto, viene determinata la visibilità di ciascun lato del triangolo nei piani orizzontale e frontale. Le linee visibili nei disegni vengono disegnate come una linea di contorno continua, mentre le linee non visibili vengono disegnate come una linea tratteggiata. Ricordiamo che nei punti di intersezione dei piani ( M— N EM’- N’ ) ci sarà un cambiamento nella visibilità.

Fig.1.3

RFig.1.4 .

Il diagramma mostra inoltre la determinazione della visibilità sul piano orizzontale utilizzando punti concorrenti 3 E 6 su linee rette Non so E AB.

5. Usando il metodo del movimento piano parallelo, determiniamo la dimensione naturale del piano del triangolo ABC, Per quello:

UN) nel piano specificato attraverso un punto C(C) eseguire il frontale C— F(CON-FEC’- F’) ;

B) sul campo libero del disegno nella proiezione orizzontale prendiamo (contrassegniamo) un punto arbitrario C1, considerando che questo è uno dei vertici del triangolo (nello specifico il vertice C). Da esso ripristiniamo la perpendicolare al piano frontale (attraverso asse x);

Fig.1.5

V) con il movimento piano parallelo trasliamo la proiezione orizzontale del triangolo ABC, ad una nuova posizione UN 1 B 1 C 1 in modo che nella proiezione frontale assuma una posizione sporgente (si trasformi in una linea retta). Per fare questo: sulla perpendicolare dal punto C1, mettere da parte la proiezione orizzontale frontale C 1 — F 1 (lunghezza l CF) otteniamo un punto F 1 . Soluzione bussola da un punto F1 misurare FA facciamo una tacca ad arco e dal punto C 1 - dimensione della tacca C.A., quindi all'intersezione delle linee dell'arco otteniamo un punto UN 1 (secondo vertice del triangolo);

- allo stesso modo capiamo il punto B 1 (dal punto C 1 fare una tacca di dimensioni C— B(57mm), e dal punto F 1 misurare F— B(90mm). Notare che con la soluzione corretta ci sono tre punti UN 1 F’ 1 E B’ 1 deve giacere sulla stessa retta (lato del triangolo UN 1 — B 1 )altri due lati CON 1 — UN 1 E C 1 — B 1 si ottengono collegando i loro vertici;

G) dal metodo di rotazione ne consegue che quando si sposta o si ruota un punto in un piano di proiezione - sul piano coniugato, la proiezione di questo punto deve muoversi in linea retta, nel nostro caso particolare lungo un asse rettilineo parallelo X. Quindi attingiamo dai punti UN’ B’ C’ dalla proiezione frontale queste rette (si chiamano piani di rotazione dei punti), e dalle proiezioni frontali dei punti spostati UN 1 B1C 1 ripristinare le perpendicolari (linee di collegamento) ( Fig.1.6).

Fig.1.6

L'intersezione di queste linee con le perpendicolari corrispondenti dà nuove posizioni della proiezione frontale del triangolo ABC, nello specifico UN’ 1 B'1C’ 1 che dovrebbe diventare proiettiva (linea retta), essendo orizzontale H 1 abbiamo disegnato perpendicolare al piano frontale delle proiezioni ( Fig.1.6);

5) quindi, per ottenere la dimensione naturale del triangolo, è sufficiente ruotarne la proiezione frontale fino a portarla parallela al piano orizzontale. La virata viene effettuata utilizzando un compasso attraverso un punto A'1, considerandolo come centro di rotazione, posizioniamo un triangolo UN’ 1 B'1C’ 1 parallelo all'asse X, otteniamo UN’ 2 B'2C’ 2 . Come accennato in precedenza, quando un punto viene ruotato, sulla proiezione coniugata (ora orizzontale) si muovono lungo linee rette parallele all'asse X. Omissione delle perpendicolari (linee di connessione) dalle proiezioni frontali dei punti UN’ 2 B'2C’ 2 incrociandoli con le linee corrispondenti troviamo la proiezione orizzontale del triangolo ABC (UN 2 B2C 2 ) a grandezza naturale ( Fig.1.7).

Riso. 1.7

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Per la sua importanza, il problema dell’intersezione dei piani è chiamato da numerosi autori “problema posizionale n. 2”.

Dalla stereometria si sa che la linea di intersezione di due piani è una retta. Nei precedenti problemi preliminari, dove si parlava di casi particolari di intersezione di piani, si è proceduto da questa definizione.

Come è noto, per costruire l'una o l'altra retta, nel caso più semplice è necessario trovare due punti appartenenti a tale retta. Nel caso di specificazione di un piano tramite tracce, questi due punti sono i punti di intersezione delle stesse tracce di piani che si intersecano.

Esempi di lavoro indipendente

Esercizio 5.1

Costruire linee di intersezione dei piani definiti dai binari (Fig. 72):

• a) I sporgente orizzontalmente e A sporgente frontalmente;
• b) Z e piano sporgenti orizzontalmente posizione generale Q;
• c) due piani di posizione generale I e 0.

Riso. 72

Nella fig. 73 fornisce le risposte a questo esercizio.

Per i casi in cui i piani sono specificati da figure piane locali, è opportuno utilizzare almeno due diversi percorsi di soluzione.

Riso. 73

La prima soluzione è utilizzando un algoritmo a tre fasi per trovare il punto d'incontro di una linea generale con un piano generale. Per trovare la linea di intersezione di due triangoli, uno dei triangoli viene lasciato invariato e il secondo viene diviso mentalmente in segmenti separati, rappresentandoli come linee rette nella posizione generale. Innanzitutto, trova il punto di intersezione di una delle linee generali con il piano del triangolo. Quindi trovano un altro punto mancante appartenente alla linea desiderata. Questo viene fatto in modo simile, ripetendo l'intera sequenza di azioni descritta.

Esercizio 5.2

Date le coordinate dei vertici di due triangoli LAN E DEK costruisci un diagramma di questi ultimi e trova la linea della loro intersezione. Indicare la visibilità degli elementi di entrambi i triangoli sul diagramma: UN(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12.0, 2). Per trovare le linee di intersezione dei triangoli, si consiglia di trovare prima il punto d'incontro della retta KD con triangolo ABC, e poi il punto d'incontro della retta NE con triangolo EDK.

La vista generale del diagramma risultante è mostrata in Fig. 74.

La seconda soluzione è utilizzo di due piani di taglio ausiliari del livello.

Data l'intersezione figure piatte deve essere attraversato due volte da piani ausiliari (con lo stesso nome o con quello opposto, non importa), ad esempio due piani orizzontali.

È facile capire che una dissezione una tantum consente di trovare due linee che si intersecano h l E E 2, dando un punto UN, appartenente alla linea di intersezione desiderata (Fig. 75). Disegnare un altro piano ausiliario simile a una certa distanza

Riso. 74

Riso. 75

dal primo ottengono una costruzione simile e un punto in più. Collegando le proiezioni omonime dei due punti ottenuti si trova la desiderata linea di intersezione dei due piani.

Esercizio 5.3

Utilizzando le coordinate date dei punti di due figure triangolari, costruisci un diagramma di quest'ultimo, su cui costruire una linea di intersezione dei triangoli utilizzando piani ausiliari. Indicare la visibilità degli elementi di entrambi i triangoli sul diagramma:

all'ABC. UN(16, 5, 17); Io (10, 19,

UN DIF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

La vista generale del problema risolto è mostrata in Fig. 76.

Esercizio 5.4

Per rafforzare le capacità di trovare la linea di intersezione di due piani, viene dato un problema, la cui soluzione è data nella dinamica delle costruzioni secondo le fasi dell'algoritmo.

Trova la linea di intersezione di due piani in posizione comune p è jq

zioni definite da due triangoli ABC E DEF e determinare la visibilità della loro compenetrazione (Fig. 77).

Per risolvere l'esempio si tratta di trovare i punti di intersezione dei lati (rette) A ABC con un piano generico dato da A DEF. L'algoritmo per risolvere questo esempio è noto.

Concludiamo il lato (dritto) COME LAN nel piano ausiliario sporgente frontalmente t _1_ P 2 (Fig. 78).

La traccia frontale di questo piano ausiliario interseca le proiezioni dei lati D2E2gE2 - 1 2 e D2F2 pt 2 = 2 2 nei punti 1 2 e 2 2 . Le linee di comunicazione di proiezione permettono di determinare la linea di intersezione (1 !~2 2) = n A sul piano di proiezione orizzontale D X E X F ( . Quindi punta K1 e la sua proiezione K2 determinare il punto di intersezione della linea AC con A DEF.

Ripetiamo l'algoritmo per trovare il punto di intersezione del lato A ABC diretto Sole con l'ADEF. Racchiudiamo il sole nel piano ausiliario di proiezione frontale p_L P 2 (Fig. 79).

Troviamo le proiezioni dei punti 3 e 4 e sul piano orizzontale delle proiezioni determiniamo la proiezione del punto di intersezione della retta B1C [ con la linea di intersezione (3,-4,):

La linea di comunicazione di proiezione consente di trovare il suo punto di proiezione frontale M2.

Collegamento dei punti trovati Ki Mi trovare la retta di intersezione di due generici piani A ABC n / a DEF= AF (Fig. 80).

Visibilità dei lati AABC relativamente ADEF determinato utilizzando i punti concorrenti. Per prima cosa determiniamo la visibilità forme geometriche sul piano di proiezione P 2. Per fare ciò, attraverso i punti concorrenti 5 e 6 (5 2 = 6 2) tracciare una linea di comunicazione di proiezione perpendicolare all'asse di proiezione x n(Fig. 81).

Secondo proiezioni orizzontali 5U E 6 { punti 5 e 6, in cui la linea di collegamento della proiezione interseca rispettivamente le linee intersecanti AC 4 D.F. risulta che il punto 6 è più distante dal piano di proiezione P 2 rispetto al punto 5. Pertanto il punto 6 è una linea retta D.F. a cui appartiene sono visibili rispetto al piano di proiezione P 2 . Ne consegue che il segmento (K 2 -6 2) sarà invisibile. Allo stesso modo, determiniamo la visibilità dei lati A LAN e A DEF - sole E D.F. quelli. il segmento (F 2 -8 2) sarà invisibile.

Visibilità AABC E ADEF rispetto al piano di proiezione П j, è stabilito in modo simile. Per determinare la visibilità delle linee che si intersecano AC*DF E BC±DF rispetto al piano di proiezione P] attraverso i punti concorrenti 9 1 = 10 1 e 11 1 = 12 1 tracciamo perpendicolarmente le linee di comunicazione di proiezione x pag. Sulla base delle proiezioni frontali di questi punti concorrenti, stabiliamo che le proiezioni dei punti 10 2 e 12 2 sono più distanti dal piano di proiezione P ( . Di conseguenza, i segmenti (А^-УД e (Mg21) sarà invisibile. Da qui la visibilità AABC E ADEFè chiaramente presentato in Fig. 82.