Tipi di funzioni e loro tabella grafica. Proprietà fondamentali delle funzioni. Proprietà di una funzione lineare

Funzione di potenza. Questa è la funzione: y = axn, Dove UN– permanente. A N= 1 otteniamo proporzionalità diretta: sì = ascia; A N = 2 - parabola quadrata ; A N = - 1 - proporzionalità inversa O iperbole. Pertanto, queste funzioni sono casi speciali della funzione di potenza. Sappiamo che la potenza zero di qualsiasi numero diverso da zero è 1, quindi, a N= 0 la funzione potenza diventa un valore costante:sì = UN, cioè. il suo programma è retta parallela all'asseX, esclusa l'origine (chiarisci per favore, Perché ? ). Tutti questi casi (con UN= 1 ) mostrato nella Figura 13 (N 0) e Fig. 14 ( N < 0). Отрицательные значения Xnon sono considerati qui, quindi come allora alcune funzioni:

La Figura 16 mostra la funzione. Questo la funzione è inversa ad una parabola quadrata sì = X 2 , il suo grafico si ottiene ruotando il grafico di una parabola quadrata attorno alla bisettrice del 1° angolo di coordinata. Questo è un metodo per ottenere il grafico di qualsiasi funzione inversa dal grafico della sua funzione originale. Vediamo dal grafico che si tratta di una funzione a due valori (questo è indicato anche dal segno ± davanti alla radice quadrata). Tali funzioni non sono studiate nella matematica elementare, quindi come funzione di solito consideriamo uno dei suoi rami: superiore o inferiore.

Funzioni elementari di base sono: funzione costante (costante), radice N-esimo grado, funzione potenza, esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse.

Funzione permanente.

Una funzione costante è data sull'insieme di tutti i numeri reali dalla formula , dove C– qualche numero reale. Una funzione costante assegna a ciascun valore effettivo della variabile indipendente X stesso valore della variabile dipendente sì- Senso CON. Una funzione costante è anche chiamata costante.

Il grafico di una funzione costante è una linea retta parallela all'asse x e passante per il punto con coordinate (0,C). Ad esempio, mostriamo i grafici di funzioni costanti y=5,y=-2 e , che nella figura sottostante corrispondono rispettivamente alle linee nera, rossa e blu.

Proprietà di una funzione costante.

Dominio: l'insieme dei numeri reali.

La funzione costante è pari.

Intervallo di valori: insieme formato da un numero singolare CON.

Una funzione costante non è né crescente né decrescente (ecco perché è costante).

Non ha senso parlare di convessità e concavità di una costante.

Non ci sono asintoti.

La funzione passa per il punto (0,C) piano delle coordinate.

Radice dell'ennesimo grado.

Consideriamo la funzione elementare di base, che è data dalla formula, dove N– un numero naturale maggiore di uno.

L'ennesima radice, n è un numero pari.

Cominciamo con la funzione root N-esima potenza per valori pari dell'esponente radice N.

Ad esempio, ecco un'immagine con immagini di grafici di funzioni e corrispondono alle linee nere, rosse e blu.

I grafici delle funzioni radice di grado pari hanno un aspetto simile per altri valori dell'esponente.

Proprietà della funzione radiceN -esima potenza per pariN .

L'ennesima radice, n è un numero dispari.

Funzione di radice N-esima potenza con esponente radice dispari Nè definito sull'intero insieme dei numeri reali. Ad esempio, ecco i grafici delle funzioni e corrispondono alle curve nere, rosse e blu.

Per altri valori dispari dell'esponente radice, i grafici delle funzioni avranno un aspetto simile.

Proprietà della funzione radiceN -esima potenza per dispariN .

Funzione di costruzione

Offriamo alla vostra attenzione un servizio per la costruzione di grafici di funzioni online, tutti i diritti di cui appartengono all'azienda Desmo. Utilizza la colonna di sinistra per inserire le funzioni. Puoi inserirlo manualmente o utilizzando la tastiera virtuale nella parte inferiore della finestra. Per ingrandire la finestra con il grafico è possibile nascondere sia la colonna di sinistra che la tastiera virtuale.

Vantaggi dei grafici online

• Visualizzazione visiva delle funzioni immesse
• Costruire grafici molto complessi
• Costruzione di grafici specificati implicitamente (ad esempio, ellisse x^2/9+y^2/16=1)
• La possibilità di salvare grafici e ricevere un collegamento ad essi, che diventa disponibile a tutti su Internet
• Controllo della scala, del colore della linea
• Possibilità di tracciare grafici per punti, utilizzando costanti
• Tracciare più grafici di funzioni contemporaneamente
• Tracciamento in coordinate polari (usare r e θ(\theta))

Con noi è facile creare online grafici di varia complessità. La costruzione viene eseguita immediatamente. Il servizio è richiesto per trovare punti di intersezione di funzioni, per rappresentare grafici per spostarli ulteriormente in un documento Word come illustrazioni durante la risoluzione dei problemi, per analizzare le caratteristiche comportamentali dei grafici delle funzioni. Il browser ottimale per lavorare con i grafici su questa pagina del sito è Google Chrome. Utilizzando altri browser non è garantito il corretto funzionamento.

Conoscenza funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici non meno importante che conoscere le tabelline. Sono come le fondamenta, tutto si basa su di loro, tutto si costruisce a partire da loro e tutto si riduce a loro.

In questo articolo elencheremo tutte le principali funzioni elementari, forniremo i loro grafici e forniremo senza conclusioni o prove proprietà delle funzioni elementari di base secondo lo schema:

• comportamento di una funzione ai confini del dominio di definizione, asintoti verticali (se necessario, vedere l'articolo classificazione dei punti di discontinuità di una funzione);
• pari e dispari;
• intervalli di convessità (convessità verso l'alto) e concavità (convessità verso il basso), punti di flesso (se necessario, vedere l'articolo convessità di una funzione, direzione di convessità, punti di flesso, condizioni di convessità e flesso);
• asintoti obliqui e orizzontali;
• punti singolari di funzioni;
• proprietà speciali di alcune funzioni (ad esempio, il più piccolo periodo positivo delle funzioni trigonometriche).

Se sei interessato a o, puoi andare a queste sezioni della teoria.

Funzioni elementari di base sono: funzione costante (costante), radice n-esima, funzione potenza, esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse.

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Funzione permanente.

Una funzione costante è definita sull'insieme di tutti i numeri reali dalla formula , dove C è un numero reale. Una funzione costante associa ogni valore reale della variabile indipendente x con lo stesso valore della variabile dipendente y, il valore C. Una funzione costante è anche chiamata costante.

Il grafico di una funzione costante è una retta parallela all'asse x e passante per il punto di coordinate (0,C). Ad esempio, mostreremo i grafici delle funzioni costanti y=5, y=-2 e, che nella figura seguente corrispondono rispettivamente alle linee nera, rossa e blu.

Proprietà di una funzione costante.

• Dominio: l'insieme dei numeri reali.
• La funzione costante è pari.
• Intervallo di valori: un insieme costituito dal numero singolare C.
• Una funzione costante non è né crescente né decrescente (ecco perché è costante).
• Non ha senso parlare di convessità e concavità di una costante.
• Non ci sono asintoti.
• La funzione passa per il punto (0,C) del piano delle coordinate.

Radice dell'ennesimo grado.

Consideriamo la funzione elementare di base, che è data dalla formula , dove n è un numero naturale maggiore di uno.

Radice dell'ennesimo grado, n è un numero pari.

Cominciamo con l'ennesima funzione radice per valori pari dell'esponente radice n.

Ad esempio, ecco un'immagine con immagini di grafici di funzioni e corrispondono alle linee nere, rosse e blu.

I grafici delle funzioni radice di grado pari hanno un aspetto simile per altri valori dell'esponente.

Proprietà dell'ennesima funzione radice per n pari.

L'ennesima radice, n è un numero dispari.

L'ennesima funzione radice con esponente radice dispari n è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Ad esempio, ecco i grafici delle funzioni e corrispondono alle curve nere, rosse e blu.

Per altri valori dispari dell'esponente radice, i grafici delle funzioni avranno un aspetto simile.

Proprietà della funzione radice n-esima per n dispari.

Funzione di potenza.

La funzione potenza è data da una formula della forma .

Consideriamo la forma dei grafici di una funzione di potenza e le proprietà di una funzione di potenza in base al valore dell'esponente.

Cominciamo con una funzione di potenza con esponente intero a. In questo caso, l'aspetto dei grafici delle funzioni potenza e le proprietà delle funzioni dipendono dalla parità o disparità dell'esponente, nonché dal suo segno. Consideriamo quindi prima le funzioni di potenza per valori positivi dispari dell'esponente a, poi per esponenti positivi pari, poi per esponenti negativi dispari e infine per a negativi pari.

Le proprietà delle funzioni di potenza con esponenti frazionari e irrazionali (così come il tipo di grafici di tali funzioni di potenza) dipendono dal valore dell'esponente a. Li considereremo, in primo luogo, per a da zero a uno, in secondo luogo, per a maggiore di uno, in terzo luogo, per a da meno uno a zero, in quarto luogo, per a minore di meno uno.

Alla fine di questa sezione, per completezza, descriveremo una funzione potenza con esponente zero.

Funzione di potenza con esponente positivo dispari.

Consideriamo una funzione di potenza con esponente positivo dispari, cioè con a = 1,3,5,....

La figura seguente mostra i grafici delle funzioni di potenza – linea nera, – linea blu, – linea rossa, – linea verde. Per a=1 abbiamo funzione lineare y=x.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente positivo dispari.

Funzione di potenza con esponente pari positivo.

Consideriamo una funzione potenza con esponente pari positivo, cioè per a = 2,4,6,....

Ad esempio, forniamo i grafici delle funzioni di potenza – linea nera, – linea blu, – linea rossa. Per a=2 abbiamo una funzione quadratica, il cui grafico è parabola quadratica.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente pari positivo.

Funzione di potenza con esponente negativo dispari.

Osserva i grafici della funzione potenza per valori dispari negativi dell'esponente, cioè per a = -1, -3, -5,....

La figura mostra i grafici delle funzioni di potenza come esempi: linea nera, - linea blu, - linea rossa, - linea verde. Per a=-1 abbiamo proporzionalità inversa, il cui grafico è iperbole.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente negativo dispari.

Funzione di potenza con esponente pari negativo.

Passiamo alla funzione potenza per a=-2,-4,-6,….

La figura mostra i grafici delle funzioni di potenza – linea nera, – linea blu, – linea rossa.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente pari negativo.

Una funzione di potenza con un esponente razionale o irrazionale il cui valore è maggiore di zero e minore di uno.

Nota! Se a è una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori considerano l'intervallo il dominio di definizione della funzione potenza. Si stabilisce che l'esponente a è una frazione irriducibile. Ora gli autori di molti libri di testo sull'algebra e sui principi di analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Aderiremo proprio a questa visione, cioè considereremo l'insieme come i domini di definizione delle funzioni di potenza con esponenti positivi frazionari. Raccomandiamo agli studenti di informarsi sull'opinione del proprio insegnante su questo punto delicato per evitare disaccordi.

Consideriamo una funzione di potenza con esponente razionale o irrazionale a, e .

Presentiamo i grafici delle funzioni di potenza per a=11/12 (linea nera), a=5/7 (linea rossa), (linea blu), a=2/5 (linea verde).

Una funzione di potenza con un esponente razionale o irrazionale non intero maggiore di uno.

Consideriamo una funzione di potenza con esponente non intero razionale o irrazionale a, e .

Presentiamo i grafici delle funzioni di potenza date dalle formule (linee nere, rosse, blu e verdi rispettivamente).

Per altri valori dell'esponente a i grafici della funzione avranno un aspetto simile.

Proprietà della funzione di potenza in .

Una funzione di potenza con un esponente reale maggiore di meno uno e minore di zero.

Nota! Se a è una frazione negativa con denominatore dispari, alcuni autori considerano il dominio di definizione di una funzione di potenza l'intervallo . Si stabilisce che l'esponente a è una frazione irriducibile. Ora gli autori di molti libri di testo sull'algebra e sui principi di analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Aderiremo esattamente a questa visione, cioè considereremo rispettivamente un insieme i domini di definizione delle funzioni di potenza con esponenti negativi frazionari frazionari. Raccomandiamo agli studenti di informarsi sull'opinione del proprio insegnante su questo punto delicato per evitare disaccordi.

Passiamo alla funzione di potenza, kgod.

Per avere una buona idea della forma dei grafici delle funzioni di potenza per , diamo esempi di grafici delle funzioni (curve nere, rosse, blu e verdi, rispettivamente).

Proprietà di una funzione di potenza con esponente a, .

Una funzione di potenza con un esponente reale non intero inferiore a meno uno.

Diamo esempi di grafici di funzioni di potenza per , sono rappresentati rispettivamente da linee nere, rosse, blu e verdi.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente negativo non intero inferiore a meno uno.

Quando a = 0 abbiamo una funzione - questa è una linea retta dalla quale è escluso il punto (0;1) (è stato concordato di non attribuire alcun significato all'espressione 0 0).

Funzione esponenziale.

Una delle principali funzioni elementari è la funzione esponenziale.

Il grafico della funzione esponenziale, dove e assume forme diverse a seconda del valore della base a. Scopriamolo.

Consideriamo innanzitutto il caso in cui la base della funzione esponenziale assume un valore compreso tra zero e uno, ovvero .

Ad esempio, presentiamo i grafici della funzione esponenziale per a = 1/2 – linea blu, a = 5/6 – linea rossa. I grafici della funzione esponenziale hanno un aspetto simile per gli altri valori della base dell'intervallo.

Proprietà di una funzione esponenziale con base minore di uno.

Passiamo al caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno, cioè .

A titolo illustrativo, presentiamo i grafici delle funzioni esponenziali: linea blu e linea rossa. Per altri valori della base maggiori di uno i grafici della funzione esponenziale avranno un aspetto simile.

Proprietà di una funzione esponenziale con base maggiore di uno.

Funzione logaritmica.

La successiva funzione elementare di base è la funzione logaritmica, dove , . La funzione logaritmica è definita solo per valori positivi dell'argomento, cioè per .

Il grafico di una funzione logaritmica assume forme diverse a seconda del valore della base a.