Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:

1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Risolvere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è formato da xey.Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso sostituiamo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x. Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. Le equazioni di potenza o esponenziali sono equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze e la base è un numero. Per esempio:

La risoluzione di un'equazione esponenziale si riduce a 2 passaggi abbastanza semplici:

1. Devi verificare se le basi dell'equazione a destra e a sinistra sono le stesse. Se i motivi non sono gli stessi, cerchiamo opzioni per risolvere questo esempio.

2. Dopo che le basi diventano uguali, uguagliamo i gradi e risolviamo la nuova equazione risultante.

Supponiamo di avere un'equazione esponenziale della seguente forma:

Vale la pena iniziare la soluzione di questa equazione con un'analisi della base. Le basi sono diverse - 2 e 4, ma per risolverle abbiamo bisogno che siano uguali, quindi trasformiamo 4 usando la seguente formula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Aggiungiamo all'equazione originale:

Togliamolo dalle parentesi \

Esprimiamo \

Dato che i gradi sono gli stessi li scartiamo:

Risposta: \

Dove posso risolvere un'equazione esponenziale utilizzando un risolutore online?

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Equazioni

Come risolvere le equazioni?

In questa sezione ricorderemo (o studieremo, a seconda di chi scegli) le equazioni più elementari. Allora qual è l'equazione? Nel linguaggio umano, questa è una sorta di espressione matematica in cui sono presenti un segno uguale e un'incognita. Che di solito è indicato con la lettera "X". Risolvi l'equazione- si tratta di trovare tali valori di x che, quando sostituiti in originale l'espressione ci darà l'identità corretta. Permettetemi di ricordarvi che l'identità è un'espressione fuori dubbio anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab, ecc. Allora come risolvere le equazioni? Scopriamolo.

Ci sono tutti i tipi di equazioni (sono sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere divisa in soli quattro tipi.

4. Altro.)

Tutto il resto, ovviamente, soprattutto sì...) Ciò include cubico, esponenziale, logaritmico, trigonometrico e ogni genere di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni appropriate.

Dirò subito che a volte le equazioni del primo tre tipi ti fregheranno così tanto che non li riconoscerai nemmeno... Niente. Impareremo come svolgerli.

E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo piazza altri, razionali frazionari - terzo, UN riposo Non osano affatto! Beh, non è che non riescano affatto a decidere, è che mi sbagliavo con la matematica.) È solo che hanno le loro tecniche e i loro metodi speciali.

Ma per qualsiasi (ripeto - per Qualunque!) le equazioni forniscono una base affidabile e sicura per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa fondazione - Sembra spaventoso, ma è molto semplice. E molto (Molto!) importante.

In realtà, la soluzione dell'equazione consiste proprio in queste trasformazioni. 99% Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" sta proprio in queste trasformazioni. È chiaro il suggerimento?)

Trasformazioni identiche di equazioni.

IN eventuali equazioni Per trovare l'ignoto, è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. E così quando l'aspetto cambia l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.

Tieni presente che si applicano queste trasformazioni specificatamente alle equazioni. Ci sono anche trasformazioni di identità in matematica espressioni. Questo è un altro argomento.

Ora ripeteremo tutto, tutto, tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.

Fondamentali perché applicabili Qualunque equazioni: lineari, quadratiche, frazionarie, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, ecc. e così via.

Prima trasformazione dell'identità: puoi aggiungere (sottrarre) a entrambi i lati di qualsiasi equazione Qualunque(ma lo stesso!) numero o espressione (inclusa un'espressione con un'incognita!). Ciò non cambia l’essenza dell’equazione.

A proposito, hai utilizzato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:

Il caso è familiare, spostiamo i due a destra e otteniamo:

In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione è due. Il risultato è lo stesso:

x+2 - 2 = 3 - 2

Lo spostamento dei termini a sinistra e a destra con un cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione dell'identità. E perché abbiamo bisogno di una conoscenza così profonda? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Per l'amor di Dio, sopportalo. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l’abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco...

Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosa diverso da zero numero o espressione. Qui appare già una limitazione comprensibile: moltiplicare per zero è stupido e dividere è completamente impossibile. Questa è la trasformazione che usi quando risolvi qualcosa di interessante come

È chiaro X= 2. Come l'hai trovato? Per selezione? O ti è venuto in mente solo adesso? Per non selezionare e non aspettare l'intuizione, devi capire che sei giusto diviso entrambi i lati dell'equazione per 5. Quando si divideva il lato sinistro (5x), il cinque veniva ridotto, lasciando X puro. Che è esattamente ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, il risultato è, ovviamente, due.

È tutto.

È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono la base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Oh! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)

Esempi di trasformazioni identiche di equazioni. Principali problemi.

Iniziamo con Primo trasformazione dell'identità. Trasferimento da sinistra a destra.

Un esempio per i più piccoli.)

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

3-2x=5-3x

Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo contiene le istruzioni per utilizzare la prima trasformazione dell'identità.) Quale espressione con una X è sulla destra? 3x? La risposta non è corretta! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando ci si sposta a sinistra, il segno cambierà in più. Risulterà:

3-2x+3x=5

Quindi, le X sono state raccolte in una pila. Entriamo nei numeri. C'è un tre a sinistra. Con quale segno? La risposta “con nessuno” non è accettata!) Davanti ai tre, infatti, non viene disegnato nulla. E questo vuol dire che prima del tre c'è più. Quindi i matematici furono d'accordo. Non c'è scritto nulla, il che significa più. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un segno meno. Noi abbiamo:

-2x+3x=5-3

Sono rimaste solo sciocchezze. A sinistra - portane di simili, a destra - conta. La risposta arriva subito:

In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione dell'identità. Il secondo non ce n'era bisogno. Allora ok.)

Un esempio per i bambini più grandi.)

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

In questo video analizzeremo l'intero set equazioni lineari, che vengono risolti utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamati i più semplici.

Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?

Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:

1. Espandi le parentesi, se presenti;
2. Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
3. Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
4. Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

1. L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
2. La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

Ora vediamo come funziona tutto questo utilizzando esempi di vita reale.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:

1. Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
2. Quindi combina simili
3. Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso alla variabile, i termini in cui è contenuta, e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.

Quindi, di regola, è necessario portarne di simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti più esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in ​​equazioni lineari abbastanza semplici. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con il vero compiti semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

1. Espandi le parentesi, se presenti.
2. Isoliamo le variabili, cioè Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
3. Presentiamo termini simili.
4. Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.

Naturalmente, questo schema non sempre funziona, contiene alcune sottigliezze e trucchi e ora li conosceremo.

Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito n. 1

Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di termini individuali. Scriviamolo:

Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Quindi abbiamo ottenuto la risposta.

Compito n. 2

Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:

Eccone alcuni simili:

Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito n.3

La terza equazione lineare è più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da segni diversi. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Facciamo i conti:

Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:

• Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
• Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.

Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando fare queste cose è dato per scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno sicuramente.

Esempio n. 1

Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora diamo un'occhiata alla privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:

\[\nulla\]

oppure non ci sono radici.

Esempio n.2

Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:

\[\nulla\],

oppure non ci sono radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse

Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito n. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:

Facciamo un po' di privacy:

Eccone alcuni simili:

Completiamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.

Compito n. 2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ciascun elemento della prima parentesi per ciascun elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:

Ora eseguiamo attentamente la moltiplicazione in ciascun termine:

Spostiamo i termini con "X" a sinistra e quelli senza - a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con quest’ultimo esempio vorrei ricordare agli studenti cos’è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.

Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risoluzione di equazioni con le frazioni

Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:

1. Apri le parentesi.
2. Variabili separate.
3. Portatene di simili.
4. Dividi per il rapporto.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:

1. Sbarazzarsi delle frazioni.
2. Apri le parentesi.
3. Variabili separate.
4. Portatene di simili.
5. Dividi per il rapporto.

Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio n. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ora espandiamo:

Escludiamo la variabile:

Eseguiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio n.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Il problema è risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.

Punti chiave

I risultati principali sono:

• Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
• Possibilità di aprire parentesi.
• Non preoccuparti se vedi funzioni quadratiche, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni diminuiranno.
• Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!

Un'equazione ad una incognita, che, dopo aver aperto le parentesi e riportato termini simili, assume la forma

ax + b = 0, dove a e b sono numeri arbitrari, viene chiamato equazione lineare con uno sconosciuto. Oggi scopriremo come risolvere queste equazioni lineari.

Ad esempio, tutte le equazioni:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineare.

Viene chiamato il valore dell'incognita che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza decisione O radice dell'equazione .

Ad esempio, se nell'equazione 3x + 7 = 13 al posto dell'incognita x sostituiamo il numero 2, otteniamo l'uguaglianza corretta 3 2 +7 = 13. Ciò significa che il valore x = 2 è la soluzione o radice dell'equazione.

E il valore x = 3 non trasforma l'equazione 3x + 7 = 13 in una vera uguaglianza, poiché 3 2 +7 ≠ 13. Ciò significa che il valore x = 3 non è una soluzione o una radice dell'equazione.

Risolvere qualsiasi equazione lineare si riduce alla risoluzione di equazioni della forma

ax + b = 0.

Spostiamo il termine libero dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a b in quello opposto, otteniamo

Se a ≠ 0, allora x = ‒ b/a .

Esempio 1. Risolvi l'equazione 3x + 2 =11.

Spostiamo 2 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a 2 in quello opposto, otteniamo
3x = 11 – 2.

Facciamo allora la sottrazione
3x = 9.

Per trovare x, devi dividere il prodotto per un fattore noto
x = 9:3.

Ciò significa che il valore x = 3 è la soluzione o radice dell'equazione.

Risposta: x = 3.

Se a = 0 e b = 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = 0. Questa equazione ha infinite soluzioni, poiché quando moltiplichiamo qualsiasi numero per 0 otteniamo 0, ma anche b è uguale a 0. La soluzione di questa equazione è un numero qualsiasi.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Espandiamo le parentesi:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Ecco alcuni termini simili:
0x = 0.

Risposta: x - qualsiasi numero.

Se a = 0 e b ≠ 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = - b. Questa equazione non ha soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0 otteniamo 0, ma b ≠ 0.

Esempio 3. Risolvi l'equazione x + 8 = x + 5.

Raggruppiamo i termini contenenti incognite sul lato sinistro e i termini liberi sul lato destro:
x – x = 5 – 8.

Ecco alcuni termini simili:
0х = ‒ 3.

Risposta: nessuna soluzione.

SU Figura 1 mostra un diagramma per risolvere un'equazione lineare

Elaboriamo uno schema generale per risolvere equazioni con una variabile. Consideriamo la soluzione dell'Esempio 4.

Esempio 4. Supponiamo di dover risolvere l'equazione

1) Moltiplicare tutti i termini dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, pari a 12.

2) Dopo la riduzione otteniamo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Per separare i termini contenenti termini sconosciuti e liberi, aprire le parentesi:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Raggruppiamo da una parte i termini contenenti incognite e dall'altra i termini liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Presentiamo termini simili:
- 22х = - 154.

6) Dividi per – 22, otteniamo
x = 7.

Come puoi vedere, la radice dell'equazione è sette.

Generalmente tale le equazioni possono essere risolte utilizzando il seguente schema:

a) portare l'equazione alla sua forma intera;

b) aprire le parentesi;

c) raggruppare i termini contenenti l'incognita in una parte dell'equazione, e i termini liberi nell'altra;

d) portare membri simili;

e) risolvere un'equazione della forma aх = b, ottenuta dopo aver introdotto termini simili.

Tuttavia, questo schema non è necessario per ogni equazione. Quando risolvi molte equazioni più semplici, devi iniziare non dalla prima, ma dalla seconda ( Esempio. 2), terzo ( Esempio. 13) e anche dalla quinta fase, come nell'esempio 5.

Esempio 5. Risolvi l'equazione 2x = 1/4.

Trova l'incognita x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Vediamo di risolvere alcune equazioni lineari trovate nell'esame di stato principale.

Esempio 6. Risolvi l'equazione 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Risposta: - 0,125

Esempio 7. Risolvi l'equazione – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Risposta: 2.3

Esempio 8. Risolvi l'equazione

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Esempio 9. Trova f(6) se f (x + 2) = 3 7

Soluzione

Poiché dobbiamo trovare f(6) e conosciamo f (x + 2),
allora x + 2 = 6.

Risolviamo l'equazione lineare x + 2 = 6,
otteniamo x = 6 – 2, x = 4.

Se x = 4 allora
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Risposta: 27.

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