Altezza del triangolo. Guida visiva (2020). Trova l'altezza massima di un triangolo Trova l'altezza di un triangolo abbassato dal vertice

Il calcolo dell'altezza di un triangolo dipende dalla figura stessa (isoscele, equilatero, scaleno, rettangolare). Nella geometria pratica, di regola, non si trovano formule complesse. È sufficiente conoscere il principio generale dei calcoli affinché possa essere universalmente applicabile a tutti i triangoli. Oggi vi presenteremo i principi di base del calcolo dell'altezza di una figura, formule di calcolo basate sulle proprietà delle altezze dei triangoli.

Cos'è l'altezza?

L'altezza ha diverse proprietà distintive

Il punto in cui tutte le altezze si uniscono si chiama ortocentro. Se il triangolo è appuntito, l'ortocentro si trova all'interno della figura; se uno degli angoli è ottuso, l'ortocentro, di regola, si trova all'esterno.
In un triangolo in cui un angolo misura 90° l'ortocentro e il vertice coincidono.
A seconda del tipo di triangolo, esistono diverse formule per trovare l'altezza del triangolo.

Informatica tradizionale

Se p è la metà del perimetro, allora a, b, c sono la designazione dei lati della figura richiesta, h è l'altezza, quindi il primo e il più formula semplice sarà simile a questo: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
IN libri di testo scolastici Spesso puoi trovare problemi in cui conosci il valore di uno dei lati del triangolo e la dimensione dell'angolo tra questo lato e la base. Quindi la formula per calcolare l'altezza sarà simile a questa: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Quando dato area di un triangolo– S, così come la lunghezza della base – a, quindi i calcoli saranno il più semplici possibile. L'altezza si trova utilizzando la formula: h = 2S/a.
Dato il raggio del cerchio descritto attorno alla figura, calcoliamo prima le lunghezze dei suoi due lati, quindi procediamo a calcolare l'altezza data del triangolo. Per fare questo usiamo la formula: h = b ∙ c/2R, dove b e c sono i due lati del triangolo che non sono la base, e R è il raggio.

Come trovare l'altezza di un triangolo isoscele?

Tutti i lati di questa figura sono equivalenti, le loro lunghezze sono uguali, quindi anche gli angoli alla base saranno uguali. Ne consegue che anche le altezze che disegniamo sulle basi saranno uguali, sono anche mediane e bisettrici allo stesso tempo. A proposito di in un linguaggio semplice, in un triangolo isoscele l'altezza divide la base in due. Il triangolo con angolo retto, che si ottiene dopo aver disegnato l'altezza, verrà considerato utilizzando il teorema di Pitagora. Indichiamo il lato con a e la base con b, quindi l'altezza h = ½ √4 a2 − b2.

Come trovare l'altezza di un triangolo equilatero?

La formula per un triangolo equilatero (una figura in cui tutti i lati hanno la stessa dimensione) può essere trovata sulla base dei calcoli precedenti. È solo necessario misurare la lunghezza di uno dei lati del triangolo e designarlo come a. Quindi l'altezza si ricava dalla formula: h = √3/2 a.

Come trovare l'altezza triangolo rettangolo?

Come sai, l'angolo in un triangolo rettangolo è 90°. L'altezza abbassata da un lato è anche il secondo lato. Su di essi giacciono le altezze di un triangolo retto. Per ottenere dati sull'altezza, è necessario trasformare leggermente la formula pitagorica esistente, designando le gambe - aeb, e misurando anche la lunghezza dell'ipotenusa - c.

Troviamo la lunghezza della gamba (il lato a cui sarà perpendicolare l'altezza): a = √ (c2 − b2). La lunghezza della seconda gamba si trova esattamente utilizzando la stessa formula: b =√ (c2 − b2). Dopo di che puoi iniziare a calcolare l'altezza di un triangolo con un angolo retto, avendo prima calcolato l'area della figura - s. Il valore dell'altezza è h = 2s/a.

Calcoli con triangolo scaleno

Quando un triangolo scaleno ha gli angoli acuti è visibile l'altezza abbassata alla base. Se il triangolo ha un angolo ottuso, l'altezza potrebbe essere all'esterno della figura ed è necessario continuarlo mentalmente per ottenere il punto di connessione dell'altezza e della base del triangolo. Più in modo semplice misurare l'altezza significa calcolarla attraverso uno dei lati e la misura degli angoli. La formula è la seguente: h = b sin y + c sin ß.

Quando si risolvono problemi di varia natura, sia di natura puramente matematica che applicata (soprattutto in edilizia), è spesso necessario determinare il valore dell'altezza di una determinata figura geometrica. Come calcolare questo valore(altezza) in un triangolo?

Se combiniamo 3 punti a coppie che non si trovano su un'unica linea, la figura risultante sarà un triangolo. L'altezza è la parte di una linea retta che parte da un vertice qualsiasi di una figura e che, intersecandosi con il lato opposto, forma un angolo di 90°.

Trova l'altezza di un triangolo scaleno

Determiniamo il valore dell'altezza di un triangolo nel caso in cui la figura abbia angoli e lati arbitrari.

La formula di Erone

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, dove

p – metà del perimetro della figura, h(a) – un segmento sul lato a, disegnato ad angolo retto rispetto ad esso,

p=(a+b+c)/2 – calcolo del semiperimetro.

Se nella figura è presente un'area, è possibile utilizzare la relazione h(a)=2S/a per determinarne l'altezza.

Funzioni trigonometriche

Per determinare la lunghezza di un segmento che forma un angolo retto intersecandosi con il lato a, si possono utilizzare le seguenti relazioni: se sono noti il lato b e l'angolo γ oppure il lato c e l'angolo β, allora h(a)=b*sinγ oppure h(a)=c *sinβ.
Dove:
γ – angolo tra il lato b e a,
β è l'angolo tra il lato c e a.

Relazione con il raggio

Se il triangolo originale è inscritto in un cerchio, puoi utilizzare il raggio di tale cerchio per determinare l'altezza. Il suo centro si trova nel punto in cui si intersecano tutte e 3 le altezze (da ciascun vertice) - l'ortocentro, e la distanza da esso al vertice (qualsiasi) è il raggio.

Allora h(a)=bc/2R, dove:
b, c – 2 altri lati del triangolo,
R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Trova l'altezza in un triangolo rettangolo

In questo tipo di figura geometrica, 2 lati, quando si intersecano, formano un angolo retto di 90°. Pertanto, se vuoi determinare il valore dell'altezza in esso, devi calcolare la dimensione di una delle gambe o la dimensione del segmento che forma 90° con l'ipotenusa. Quando si designa:
a, b – gambe,
c – ipotenusa,
h(c) – perpendicolare all'ipotenusa.
È possibile effettuare i calcoli necessari utilizzando le seguenti relazioni:

Teorema di Pitagora:

a=√(c2 -b2),
b=√(c2 -a2),
h(c)=2S/c, perché S=ab/2, quindi h(c)=ab/c.

Funzioni trigonometriche:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=ñ* sinβ* cosβ.

Trova l'altezza di un triangolo isoscele

Questo figura geometrica Si distingue per la presenza di due lati di uguali dimensioni e di un terzo – la base. Per determinare l'altezza portata al terzo lato distinto, viene in soccorso il teorema di Pitagora. Con notazioni
a parte,
c – base,
h(c) è un segmento verso c con un angolo di 90°, allora h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

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Triangolo) o passare all'esterno del triangolo in un triangolo ottuso.

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Sottotitoli

Proprietà del punto di intersezione di tre altezze di un triangolo (ortocentro)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Per dimostrare l'identità, dovresti usare le formule

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (CE)))

Il punto E dovrebbe essere considerato come l'intersezione di due altezze del triangolo.)

Ortocentro coniugati isogonalmente al centro cerchio circoscritto .
Ortocentro si trova sulla stessa linea del baricentro, il centro circonferenza e il centro di una circonferenza di nove punti (vedi retta di Eulero).
Ortocentro di un triangolo acuto è il centro del cerchio inscritto nel suo ortotriangolo.
Il centro di un triangolo descritto dall'ortocentro con vertici nei punti medi dei lati del triangolo dato. L'ultimo triangolo è detto triangolo complementare al primo triangolo.
L'ultima proprietà può essere formulata così: serve il centro del cerchio circoscritto al triangolo ortocentro triangolo aggiuntivo.
Punti, simmetrici ortocentro di un triangolo rispetto ai suoi lati giacciono sulla circonferenza circoscritta.
Punti, simmetrici ortocentro anche i triangoli relativi ai punti medi dei lati giacciono sulla circonferenza circoscritta e coincidono con punti diametralmente opposti ai vertici corrispondenti.
Se O è il centro della circonferenza circoscritta ΔABC, allora O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
La distanza dal vertice del triangolo all'ortocentro è doppia della distanza dal centro della circonferenza circoscritta al lato opposto.
Qualsiasi segmento tratto da ortocentro Prima di intersecarsi con la circonferenza circoscritta, è sempre divisa a metà dal cerchio di Eulero. Ortocentroè il centro di omotetià di questi due cerchi.
Il teorema di Hamilton. Tre segmenti di linea retta che collegano l'ortocentro con i vertici di un triangolo acuto lo dividono in tre triangoli aventi lo stesso cerchio di Eulero (cerchio di nove punti) del triangolo acuto originale.
Corollari del teorema di Hamilton:
- Tre segmenti retti che collegano l'ortocentro con i vertici di un triangolo acuto lo dividono in tre Triangolo di Hamilton aventi raggi uguali di cerchi circoscritti.
- I raggi dei cerchi circoscritti di tre Triangoli di Hamilton uguale al raggio del cerchio circoscritto al triangolo acuto originario.
In un triangolo acuto l'ortocentro è interno al triangolo; in un angolo ottuso - fuori dal triangolo; in uno rettangolare - al vertice di un angolo retto.

Proprietà delle altezze di un triangolo isoscele

Se due altezze in un triangolo sono uguali, allora il triangolo è isoscele (teorema di Steiner-Lemus) e la terza altezza è sia la mediana che la bisettrice dell'angolo da cui emerge.
È vero anche il contrario: in un triangolo isoscele due altezze sono uguali e la terza altezza è sia la mediana che la bisettrice.
Un triangolo equilatero ha tutte e tre le altezze uguali.

Proprietà delle basi delle altezze di un triangolo

Motivi le altezze formano un cosiddetto ortotriangolo, che ha le sue proprietà.
Il cerchio circoscritto ad un ortotriangolo è il cerchio di Eulero. Questo cerchio contiene anche tre punti medi dei lati del triangolo e tre punti medi di tre segmenti che collegano l'ortocentro con i vertici del triangolo.
Un'altra formulazione dell'ultima proprietà:
- Teorema di Eulero per una circonferenza di nove punti. Motivi tre altezza triangolo arbitrario, i punti medi dei suoi tre lati ( le fondamenta del suo interno mediane) e i punti medi di tre segmenti che collegano i suoi vertici con l'ortocentro, giacciono tutti sulla stessa circonferenza (su cerchio di nove punti).
Teorema. In ogni triangolo, il segmento che si connette motivi due altezza triangolo, taglia un triangolo simile a quello dato.
Teorema. In un triangolo, il segmento che si connette motivi due altezza triangoli giacenti su due lati antiparallelo a un terzo con il quale non ha punti in comune. Un cerchio può sempre essere disegnato attraverso le sue due estremità, così come attraverso i due vertici del terzo lato citato.

Altre proprietà delle altezze dei triangoli

Se un triangolo versatile (scaleno), allora interno la bisettrice tracciata da qualsiasi vertice si trova nel mezzo interno mediana e altezza ricavate dallo stesso vertice.
L'altezza di un triangolo è isogonalmente coniugata al diametro (raggio) cerchio circoscritto, disegnato dallo stesso vertice.
In un triangolo acuto ce ne sono due altezza ritaglia triangoli simili da esso.
In un triangolo rettangolo altezza, tracciato dal vertice di un angolo retto, lo divide in due triangoli simili a quello originale.

Proprietà dell'altezza minima di un triangolo

L'altezza minima di un triangolo ha molte proprietà estreme. Per esempio:

La proiezione ortogonale minima di un triangolo su rette giacenti nel piano del triangolo ha lunghezza pari alla minore delle sue altezze.
Il taglio rettilineo minimo in un piano attraverso il quale può essere tirata una piastra triangolare rigida deve avere una lunghezza pari alla più piccola delle altezze di tale piastra.
Con il movimento continuo di due punti lungo il perimetro del triangolo l'uno verso l'altro, la distanza massima tra loro durante il movimento dal primo incontro al secondo non può essere inferiore alla lunghezza dell'altezza più piccola del triangolo.
L'altezza minima in un triangolo si trova sempre all'interno di quel triangolo.

Relazioni di base

h un = b ⋅ peccato ⁡ γ = c ⋅ peccato ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
h un = 2 ⋅ S un , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),) Dove S (\displaystyle S)- area di un triangolo, un (\displaystyle un)- la lunghezza del lato del triangolo di cui si abbassa l'altezza.
h un = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Dove b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- prodotto dei lati, R − (\displaystyle R-) circumradius
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Dove r (\displaystyle r)- raggio del cerchio inscritto.
S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Dove S (\displaystyle S)- area di un triangolo.
a = 2 h un ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (UN))))))))), un (\displaystyle un)- il lato del triangolo verso il quale scende l'altezza h un (\displaystyle h_(a)).
Altezza di un triangolo isoscele abbassato alla base: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)

Dove c (\displaystyle c)-fondo, un (\displaystyle un)- lato.

Teorema dell'altitudine del triangolo rettangolo

Se l'altezza in un triangolo rettangolo ABC è di lunghezza h (\displaystyle h) tracciato dal vertice di un angolo retto, divide l'ipotenusa con la lunghezza c (\displaystyle c) in segmenti m (\displaystyle m) E n (\displaystyle n), corrispondente alle gambe b (\displaystyle b) E un (\displaystyle un), allora sono vere le seguenti uguaglianze.

Innanzitutto un triangolo è una figura geometrica formata da tre punti che non giacciono sulla stessa retta e sono collegati da tre segmenti. Per trovare l'altezza di un triangolo, devi prima determinarne il tipo. I triangoli differiscono nella dimensione degli angoli e nel numero angoli uguali. A seconda della dimensione degli angoli, un triangolo può essere acuto, ottuso e rettangolare. In base al numero di lati uguali i triangoli si distinguono in isosceli, equilateri e scaleni. L'altezza è la perpendicolare che si abbassa al lato opposto del triangolo rispetto al suo vertice. Come trovare l'altezza di un triangolo?

Come trovare l'altezza di un triangolo isoscele

Un triangolo isoscele è caratterizzato dall'uguaglianza dei lati e degli angoli alla base, pertanto le altezze di un triangolo isoscele disegnato ai lati laterali sono sempre uguali tra loro. Inoltre, l'altezza di questo triangolo è sia mediana che bisettrice. Di conseguenza, l'altezza divide la base a metà. Consideriamo il triangolo rettangolo risultante e troviamo il lato, cioè l'altezza del triangolo isoscele, utilizzando il teorema di Pitagora. Utilizzando la seguente formula, calcoliamo l'altezza: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, dove: a è il lato di questo triangolo isoscele, b è la base di questo triangolo isoscele.

Come trovare l'altezza di un triangolo equilatero

Un triangolo con i lati uguali si dice equilatero. L'altezza di un tale triangolo si ricava dalla formula per l'altezza di un triangolo isoscele. Risulta: H = √3/2*a, dove a è il lato di questo triangolo equilatero.

Come trovare l'altezza di un triangolo scaleno

Uno scaleno è un triangolo in cui due lati qualsiasi non sono uguali tra loro. In un triangolo del genere, tutte e tre le altezze saranno diverse. Puoi calcolare le lunghezze delle altezze utilizzando la formula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, dove a è il lato del triangolo oppure calcolare prima l'area di un particolare triangolo utilizzando la formula di Heron, che assomiglia a: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, dove a, b, c sono i lati di un triangolo scaleno e p è il suo semiperimetro. Ogni altezza = 2*area/lato

Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo ha un angolo retto. L'altezza che arriva a una delle gambe è allo stesso tempo la seconda gamba. Pertanto, per trovare le altezze giacenti sulle gambe, è necessario utilizzare la formula pitagorica modificata: a = √(c 2 − b 2), dove a, b sono le gambe (a è la gamba da trovare), c è la lunghezza dell'ipotenusa. Per trovare la seconda altezza, è necessario inserire il valore risultante a al posto di b. Per trovare la terza altezza interna al triangolo si usa la seguente formula: h = 2s/a, dove h è l'altezza del triangolo rettangolo, s è la sua area, a è la lunghezza del lato a cui si misurerà l'altezza perpendicolare.

Un triangolo si dice acuto se tutti i suoi angoli sono acuti. In questo caso tutte e tre le altezze si trovano all'interno di un triangolo acuto. Un triangolo si dice ottuso se ha un solo angolo ottuso. Due altezze di un triangolo ottuso sono esterne al triangolo e cadono sulla continuazione dei lati. Il terzo lato è interno al triangolo. L'altezza è determinata utilizzando lo stesso teorema di Pitagora.

Formule generali per il calcolo dell'altezza di un triangolo

Formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso i lati: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), dove h è l'altezza da trovare, a, b e c sono i lati di un dato triangolo, p è il suo semiperimetro, .
Formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando un angolo e un lato: H=b sin y = c sin ß
La formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso l'area e il lato: h = 2S/a, dove a è il lato del triangolo e h è l'altezza costruita sul lato a.
La formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando il raggio e i lati: H= bc/2R.