Y è la parte intera di x. Aggiungi e sottrai invece di moltiplicare. Alcune proprietà dell'antie

Studiare l'algebra del decimo grado utilizzando il libro di testo di A.G. Mordkovich e P.V. Semenov, gli studenti hanno incontrato per la prima volta la funzione della parte intera del numero y = [x]. Alcuni ne erano interessati, ma c'erano pochissime informazioni teoriche e persino compiti contenenti una parte intera di un numero. Per sostenere l'interesse dei bambini per l'argomento è nata l'idea di creare questo manuale.

L'attuazione del programma del corso è pensata per la prima metà del 10° anno per gli studenti di fisica e matematica.

Scopo del corso: ampliare le conoscenze degli studenti su funzioni matematiche e sviluppare la capacità di utilizzare la conoscenza delle funzioni quando si risolvono equazioni e disequazioni di vari gradi di complessità. Il libro di testo presentato contiene informazioni teoriche di carattere di riferimento. Queste sono informazioni sulla funzione della parte intera del numero y = [x] e sulla funzione della parte frazionaria del numero y = (x), i loro grafici. Vengono spiegate le trasformazioni dei grafici contenenti una parte intera di un numero. Vengono considerate le soluzioni delle equazioni e disequazioni più semplici contenenti una parte intera o frazionaria di un numero. Oltre a metodi per risolvere equazioni e disuguaglianze quadratiche, frazionarie e razionali, sistemi di equazioni contenenti una parte intera o frazionaria di un numero.

Il manuale contiene attività per decisione indipendente.

Il manuale comprende i seguenti punti:

Introduzione.

§1. Introduzione alle funzioni y = [x] e y = (x).

§2. Equazioni contenenti una parte frazionaria o intera di un numero.

2.1 Le equazioni più semplici.

2.2 Risoluzione di equazioni della forma = g (x).

2.3 Metodo grafico per la risoluzione delle equazioni.

2.4 Risolvere equazioni introducendo una nuova variabile.

2.5 Sistemi di equazioni.

§3. Conversione di grafici di funzioni contenenti una parte intera di un numero.

3.1 Tracciatura di grafici di funzioni della forma y =

3.2 Tracciatura di grafici di funzioni della forma y = f ([x]).

§4. Disuguaglianze contenenti una parte intera o frazionaria di un numero.

§5. Parti intere e frazionarie dei numeri nei compiti delle Olimpiadi.

Risposte ai compiti per una soluzione indipendente.

Il manuale garantisce lo sviluppo di idee sulla funzione e la formazione di competenze applicate.

Rivolto agli insegnanti che risolvono problemi di istruzione specializzata.

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Rozina T.A

Problemi contenenti un tutto

o parte frazionaria di un numero

Meždurechensk 2011

Cari studenti delle scuole superiori!

Stai per iniziare uno studio approfondito dell'argomento "Parti intere e frazionarie di un numero". Questo manuale ti consentirà di ampliare la tua conoscenza delle funzioni matematiche durante la risoluzione di equazioni e disequazioni di vari gradi di complessità. Il manuale presentato contiene informazioni teoriche di carattere di riferimento, spiega le trasformazioni di grafici contenenti una parte intera o frazionaria di un numero e considera le soluzioni delle equazioni più semplici. Oltre a metodi per risolvere equazioni e disuguaglianze razionali quadratiche, frazionarie, sistemi di equazioni. Il manuale contiene attività per una soluzione indipendente. Esercitazione ti aiuterà a sistematizzare e generalizzare le conoscenze che hai acquisito sull'argomento "Parti intere e frazionarie di un numero".

Buona fortuna!

§1. Introduzione alle funzioni y = [x] e y = (x)……………4

§2. Equazioni contenenti un numero intero o una parte frazionaria di un numero......7

1. Le equazioni più semplici………………7

1. Risolvere equazioni della forma = g(x)…………..8.

2.3 Metodo grafico per la risoluzione delle equazioni………………10

1. Risolvere equazioni introducendo una nuova variabile……11

1. Sistemi di equazioni…………………………….12

§3. Trasformazioni di grafici di funzioni contenenti un intero

Parte del numero……………..….13

1. 3.1 Tracciare grafici di funzioni della forma y = ……………13
2. 3.2 Tracciatura di grafici di funzioni della forma y = f([x])……………15

§4. Disuguaglianze contenenti una parte intera o frazionaria di un numero...17

……

§5. Parte intera o frazionaria di un numero nelle prove delle Olimpiadi......20

Risposte ai compiti per una soluzione indipendente……………...23

Riferimenti……………………...25

§1. Introduzione alle funzioni y = [x]

e y = (x)

Storia e definizione di parte intera e frazionaria di un numero

Il concetto di parte intera di un numero fu introdotto dal matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855), autore di Transazioni sulla teoria dei numeri. Gauss ha anche sviluppato la teoria delle funzioni speciali, delle serie, dei metodi numerici e della risoluzione di problemi di fisica matematica teoria matematica potenziale.

La parte intera di un numero reale x è denotata dal simbolo [x] o E(x).

Simbolo [x] fu introdotto da K. Gauss nel 1808.

La funzione della parte intera di un numero è stata introdotta da Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - Matematico francese. La sua opera "Un'esperienza nella teoria dei numeri", pubblicata nel 1798, è un'opera fondamentale, il risultato delle conquiste aritmetiche del XVIII secolo. È in suo onore che viene chiamata la funzione y = [x]. Parola francese"Antje" (francese "entier" - intero) significa Ex).

Definizione: la parte intera di un numero x è il più grande intero c che non supera x, cioè se [x] = c, c ≤ x

Ad esempio: = 2;

[-1,5] = -2.

Utilizzando alcuni valori della funzione, puoi costruire il suo grafico. Sembra questo:

Proprietà della funzione y = [x]:

1. Il dominio di definizione della funzione y = [x] è l'insieme di tutti i numeri reali R.

2. L'intervallo della funzione y = [x] è l'insieme di tutti gli interi Z.

3. La funzione y = [x] è costante a tratti, non decrescente.

4. Funzione generale.

5. La funzione non è periodica.

6. La funzione non è limitata.

7. La funzione ha un punto di interruzione.

8. y=0, in x.

Ad esempio: (3,7) = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Tracciamo la funzione y = (x). Sembra questo:

Le proprietà più semplici della funzione y = (x):

1. Il dominio di definizione della funzione y = (x) è l'insieme di tutti i numeri reali R.

2. L'intervallo di valori della funzione y = (x) è un semiintervallo e y = (x) ti aiuterà a completare alcune attività.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

1) Costruisci grafici di funzioni:

A) y = [x] + 5;

B) y = (x) - 2;

B) y = |[x]|.

2) Quali potrebbero essere i numeri xey se:

A) [x + y] = y;

B) [x - y] = x;

B) (x - y) = x;

D) (x + y) = y.

3) Cosa si può dire sull'entità della differenza x - y se:

A) [x] = [y];

B) (x) = (y).

4) Quale è maggiore: [a] o (a)?

§2. Equazioni contenenti un numero intero o una parte frazionaria di un numero

2.1. Le equazioni più semplici

Le equazioni più semplici includono equazioni della forma [x] = a.

Equazioni di questo tipo si risolvono per definizione:

a ≤ x

Se a è un numero frazionario, tale equazione non avrà radici.

Diamo un'occhiata ad una soluzione di esempiouna di queste equazioni:

[x + 1.3] = - 5. Per definizione, tale equazione si trasforma in una disuguaglianza:

5 ≤ x + 1,3

Questa sarà la soluzione dell'equazione.

Risposta: x[-6.3;-5.3).

Consideriamo un'altra equazione che appartiene alla categoria più semplice:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Per risolvere equazioni di questo tipo è necessario sfruttare la proprietà della funzione intera: Se p è un intero, allora l'uguaglianza è vera

[x±p] = [x]±p

Dimostrazione: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k + a, dove k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ± p.

Risolviamo l'equazione proposta utilizzando la proprietà provata: otteniamo [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Portiamo termini simili e otteniamo l'equazione più semplice [x] = 6. La sua soluzione è il semiintervallo x = 1

Trasformiamo l'equazione in disuguaglianza: 1 ≤ x 2 -5x+6

x2 - 5x + 6

x2 - 5x + 6 ≥ 1 e risolvilo;

x2 - 5x + 4

x2 - 5x + 5>0

Otteniamo x(1;4)

Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),

X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Risposta: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Risolvi le equazioni:

1) = 1

2) = 0,487

3) – = 2

4) [x2] = 4

5) [x]2 = 4

6) = - 5

7) [x2 – x+4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 Risoluzione di equazioni della forma =g(x)

Un'equazione della forma =g(x) può essere risolta riducendoli all'equazione

[x] = a.

Diamo un'occhiata all'esempio 1.

Risolvi l'equazione

Sostituiamo il lato destro dell'equazione con una nuova variabile a ed esprimiamo da qui x

11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,

Allora = =

Ora risolviamo l'equazione per la variabile UN .

Espandiamo il segno della parte intera per definizione e scriviamolo utilizzando il sistema di disuguaglianze:

Dall'intervallo selezioniamo tutti i valori interi a: 3;4;5;6;7 ed effettuiamo la sostituzione inversa:

Risposta:

Esempio 2.

Risolvi l'equazione:

Dividi ogni termine del numeratore tra parentesi per il denominatore:

Dalla definizione di parte intera di un numero segue che (a+1) deve essere un numero intero, il che significa che a è un numero intero.I numeri a, (a+1), (a+2) sono tre numeri consecutivi, il che significa che uno di essi è necessariamente divisibile per 2 e uno per 3. Pertanto, il prodotto dei numeri è divisibile per 6.

Questo è un numero intero. Significa

Risolviamo questa equazione.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 oppure a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (non sono interi).

Risposta 1.

Risolvi l'equazione:

2.3. Metodo grafico per risolvere equazioni

Esempio 1. [x] = 2(x)

Soluzione. Risolviamo graficamente questa equazione. Tracciamo le funzioni y = [x] e y = 2(x). Troviamo le ascisse dei loro punti di intersezione.

Risposta: x = 0; x = 1,5.

In alcuni casi è più conveniente utilizzare un grafico per trovare le ordinate dei punti di intersezione dei grafici. Quindi sostituisci il valore risultante in una delle equazioni e trova i valori x desiderati.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

Risolvi graficamente le equazioni:

1. (x) = 1 – x;
2. (x) + 1 = [x];
3. = 3x;
4. 3(x) = x;
5. (x) = 5x + 2;
6. [|x|] = x;
7. [|x|] = x + 4;
8. [|x|] = 3|x| - 1;
9. 2(x) – 1 = [x] + 2;

10) Quante soluzioni ha l'equazione 2(x) = 1?.

2.4. Risolvere equazioni introducendo una nuova variabile.

Diamo un'occhiata al primo esempio:

(x)2 -8(x)+7 = 0

Sostituisci (x) con a, 0 a

un 2 - 8a + 7 = 0, che risolviamo utilizzando il teorema inverso al teorema di Vieta: le radici risultanti sono a = 7 e a = 1. Eseguiamo la sostituzione inversa e otteniamo due nuove equazioni: (x) = 7 e (x) = 1. Entrambe queste equazioni non hanno radici. Pertanto, l’equazione non ha soluzioni.

Risposta: non ci sono soluzioni.

Consideriamo un altro casorisolvere l'equazione introducendone una nuova

variabile:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Facciamo la modifica [x] = a, az. e otteniamo una nuova equazione cubica For 3+2a2 +5a-10=0. Troveremo la prima radice di questa equazione selezionando: a=1 è la radice dell'equazione. Dividiamo la nostra equazione per (a-1). Noi abbiamo equazione quadrata 3a 2 +5a+10=0. Questa equazione ha un discriminante negativo, il che significa che non ha soluzioni. Cioè a=1 è l'unica radice dell'equazione. Effettuiamo la sostituzione inversa: [x]=a=1. Risolviamo l'equazione risultante definendo la parte intera di un numero: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x])2 + 2([x]-x)-16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2(x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

1. 5[x]2 -7[x]-6 = 0
2. 6(x)2 +(x)-1 =0
3. 1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]
4. 12(x)3 -25(x)2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Sistemi di equazioni.

Consideriamo il sistema di equazioni:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Può essere risolto sia per addizione che per sostituzione. Concentriamoci sul primo metodo.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

Dopo aver sommato le due equazioni otteniamo 11[x] = 11. Quindi

[x] = 1. Sostituisci questo valore nella prima equazione del sistema e ottieni

[y] = 2.

[x] = 1 e [y] = 2 sono soluzioni del sistema. Questo è x= 18 anni

18-xy

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

§3. Trasformazioni di grafici di funzioni contenenti una parte intera di un numero

3.1. Tracciare grafici di funzioni della forma y =

Sia un grafico della funzione y = f(x). Per tracciare la funzione y =, procedere come segue:

1. Segniamo i punti di intersezione delle rette y = n, y = n + 1 con il grafico della funzione y = f(x). Questi punti appartengono al grafico della funzione y =, poiché le loro ordinate sono intere (nella figura si tratta dei punti A, B, C, D).

Tracciamo la funzione y = [x]. Per questo

1. Disegna linee rette y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...e consideriamo una delle strisce formate dalle rette y = n, y = n + 1.
2. Segniamo i punti di intersezione delle linee y = n, y = n + 1 con il grafico

Funzioni y = [x]. Questi punti appartengono al grafico della funzione y = [x],

Poiché le loro coordinate sono numeri interi.

1. Per ottenere i restanti punti del grafico della funzione y = [x] nella striscia indicata, proiettare la parte del grafico y = x che cade nella striscia parallelamente all'asse O A alla retta y = n, y = n + 1. Poiché qualsiasi punto M di questa parte del grafico della funzione y = x ha tale ordinata y 0 quel n 0 0] = n
2. In ogni altra striscia in cui sono presenti punti sul grafico della funzione y = x, la costruzione viene eseguita in modo simile.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

Rappresentare graficamente le funzioni:

3.2. Tracciare una funzione della forma y = f([x])

Sia dato il grafico di una funzione y = f(x). Il grafico della funzione y = f([x]) è costruito come segue:

1. Disegna linee rette x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
2. Consideriamo una delle strisce formate dalle linee y = n e y = n + 1. I punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = f(x) con queste linee appartengono al grafico della funzione y = f([x]), poiché le loro ascisse sono numeri interi.

1. Per ottenere i restanti punti del grafico della funzione y = f([x]) nella striscia indicata, proiettiamo la parte del grafico della funzione y = f(x) che cade in questa striscia parallelamente all'asse O y alla retta y = f(n).
2. In ogni altra striscia in cui sono presenti punti sul grafico della funzione y = f(x), la costruzione viene eseguita in modo simile.

Considera di tracciare la funzione y =. Per fare ciò, disegneremo un grafico della funzione y = con una linea tratteggiata. Ulteriore

numeri.

3. In ogni altra striscia dove ci sono punti sul grafico della funzione y =, la costruzione viene eseguita in modo simile.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

Rappresentare graficamente le funzioni:

§4. Disuguaglianze contenenti parti intere o frazionarie di un numero

Chiamiamo le seguenti relazioni le principali disuguaglianze con [x] e (x): [x] > b e (x) > b. Un metodo conveniente per risolverli è il metodo grafico. Spieghiamolo con due esempi.

Esempio 1. [x] ≥ b

Soluzione. Introduciamo due funzioni y = [x] e y = be disegniamo i loro grafici sullo stesso disegno. È chiaro che allora occorre distinguere due casi: b – intero e b – non intero.

Caso 1. b – numero intero

Dalla figura si può vedere che i grafici coincidono in .

Pertanto la soluzione della disuguaglianza [x] ≥ b sarà il raggio x ≥ b.

Il caso 2.b non è intero.

In questo caso i grafici delle funzioni y = [x] e y = b non si intersecano. Ma la parte del grafico y = [x] che si trova sopra la linea inizia nel punto con le coordinate ([b] + 1; [b] + 1). Quindi la soluzione della disuguaglianza [x] ≥ b è il raggio x ≥ [b] + 1.

Altri tipi di disuguaglianze di base vengono studiati esattamente allo stesso modo. I risultati di questi studi sono riassunti nella tabella seguente.

[X]

(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1

Nessuna soluzione

(x) ≥ b, (x) > b, b

(-∞; +∞)

(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b

n + b ≤ x n+b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; +∞)

(x) ≤ b, (x)

Nessuna soluzione

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b+n

Diamo un'occhiata a un esempio soluzioni alla disuguaglianza:

Sostituiamo [x] con la variabile a, dove a è un numero intero.

>1; >0; >0; >0.

Usando il metodo dell'intervallo, troviamo a > -4 [x] > -4

Per risolvere le disuguaglianze ottenute, utilizziamo la tabella compilata:

x≥ -3,

Risposta: [-3;1).

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x] > 2,3

4)[x]2

5) [x] 2 -5 [x] -6

6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121[x] + 80

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3(x)2 -8(x)-4

10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0

11) > 2

12) > 1

13) 0

14) 0

§5. Parte intera o frazionaria di un numero nelle attività delle Olimpiadi

Esempio 1.

Dimostrare che un numero è divisibile per 5 per qualsiasi numero naturale n.

Dimostrazione: Sia n un numero pari, cioè n=2m, dove m N,

Ecco perché.

Poi questa espressione ha la forma: ,

quelli. è divisibile per 5 per ogni n pari.

Se n = 2m -1, allora

allora questa espressione assomiglia a:

Questo numero è divisibile per 5 per qualsiasi n dispari.

Quindi, questa espressione è divisibile per 5 per qualsiasi n naturale.

Esempio 2.

Trova tutti i numeri primi della forma, dove n N.

Soluzione. Lascia stare. Se n=3k allora p=3k 2 . Questo numero sarà primo e uguale a 3, con k=1.

Se n=3k+1, k0, allora

Quello

Questo numero sarà primo e uguale a 5 quando k=1.

Se n = 3k + 2, k 0, allora

Numero composito per qualsiasi kN.

Risposta: 3;5

Esempio 3.

I numeri vengono scritti in una riga che è multipla di due, tre e sei. Trova il numero che sarà al millesimo posto in questa serie.

Soluzione:

Sia x il numero desiderato, quindi una serie di numeri che sono multipli di due in questa serie - , sono multipli di tre - , sono multipli di sei - . Ma i numeri sono multipli di sei, multipli di due e tre, cioè verrà conteggiato tre volte. Pertanto, dalla somma dei numeri. Per i multipli di due, tre, sei, devi sottrarre il doppio del numero di multipli di sei. Quindi l'equazione per risolvere il problema è:

Introduciamo la seguente notazione:

Allora a+b-c=1000 (*) e per la definizione di parte intera di un numero abbiamo:

Moltiplicando ciascun termine di disuguaglianza per 6, otteniamo:

6a3x

6b2x

Sommando le prime due disuguaglianze e sottraendo ad esse la terza disuguaglianza, otteniamo:

6(a+b+c) 4x

Usiamo l'uguaglianza (*), quindi: 60004x

1500x

Le soluzioni dell'equazione saranno i numeri: 1500 e 1501, ma a seconda delle condizioni del problema è adatto solo il numero 1500.

Risposta: 1500

Esempio 4.

È noto che il fratello minore non ha più di 8 anni, ma non meno di 7 anni. Se il numero degli anni interi del fratello minore viene raddoppiato e il numero degli anni parziali (cioè i mesi) della sua età viene triplicato, il totale sarà l’età del fratello maggiore. Indicare l'età di ciascuno dei fratelli, con precisione in mesi, se è noto che la loro età totale è di 21 anni e 8 mesi.

Soluzione:

Sia x (anni) l'età del fratello minore(mesi) della sua età. Secondo le condizioni del problema(anni) – l'età del fratello maggiore. L'età totale di entrambi i fratelli è:

(dell'anno).

3( , 3x + ,

Poiché (x)=x - [x], allora. (Equazione della forma = bx + c, dove a,b,c R)

N=6, n=7.

Quando n=6, x = - non soddisfa le condizioni del problema.

Quando n=7, x = .

L'età del fratello minore è di 7 anni e 2 mesi.

L'età del fratello maggiore è di 14 anni e 6 mesi.

Risposta: l'età del fratello minore è di 7 anni e 2 mesi,

L'età del fratello maggiore è di 14 anni e 6 mesi.

Compiti per una soluzione indipendente.

1. Risolvi le equazioni: a) x+2[x] = 3.2; b)x 3 –[x] =3

2. I numeri naturali m e n sono coprimi e n

O

3. Dato un numero x maggiore di 1. L'uguaglianza è necessaria?

Risolvi il sistema di equazioni: x+[y]+(z) = 1.1

Y+[z]+(x)=2.2

Z+[x]+(y)=3,3.

4. È noto che il numero di metri completi in un nastro è 4 volte maggiore del numero di metri parziali (cioè centimetri). Determinare la lunghezza massima possibile del nastro.

Risposte ai compiti per una soluzione indipendente.

§1 2. a) xÄ d) xÄ Z; y Ä >(a), se a ≥ 1, (a) ≥ [a], se a

§2. 2.1 1) , nЄ Z

3), n. Z

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1.a) x = 1,2

Se (x) è la parte frazionaria del numero x, allora [x] + (x) = x.

Allora [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Poiché 3[x] è un intero e 0 ≤ (x)

B) x =.

Nota. [x] = x- (x), dove 0 ≤ (x)

X3 - x + (x) = 3, da cui 2 2 - 1) ≤ 3.

1. La prima somma è maggiore della seconda di m – n.

1. Necessariamente.

Nota. Se [√] = n, allora n 4 ≤ x 4 . Ora è facile

Dimostrare che [√ ] = n.

1. (1; 0,2; 2,1)
2. 3 metri e 75 cm.

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3. Voronova A.N. Disuguaglianze con variabile sotto il segno della parte intera // La matematica a scuola. 2002. N. 2. P.56-59.
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5. Capitoli aggiuntivi sul corso di matematica del 10° anno per le classi opzionali: Un manuale per gli studenti / Comp. DIETRO. Eunuco. M.: Educazione, 1979.
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11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. e altri: “L'algebra e gli inizi dell'analisi. 10

Classe. Parte 2. Libro dei problemi. Livello del profilo» Smolensk

"Mnemosine" 2007.

y=b(bZ)

y=b(bZ)

Johann Gauss

Adrian Legendre

Funzione [ X] è uguale al massimo numero intero, superiore X (X– qualsiasi numero reale). Per esempio:

Funzione [ X] ha “punti di interruzione”: per valori interi X“cambia improvvisamente”.

La Figura 2 mostra un grafico di questa funzione e l'estremità sinistra di ciascuno dei segmenti orizzontali appartiene al grafico (punti in grassetto) e l'estremità destra no.

Prova a dimostrare che se la scomposizione canonica di un numero N! c'è allora

Formule simili valgono per

Sapendo questo, è facile determinare, ad esempio, con quanti zeri termina il numero 100! Infatti, lasciamo che sia. Poi

E .

Pertanto, 100! Diviso per, cioè termina con ventiquattro zeri.

Figure da pezzi quadrati

Un intrattenimento utile ed emozionante consiste nel comporre figure da sette pezzi di un quadrato, tagliati secondo la Fig. 3, (a), e quando si compongono le figure indicate, devono essere utilizzati tutti e sette i pezzi, e devono sovrapporsi, anche parzialmente, a ciascuno altro.

Nella fig. La Figura 4 mostra le figure simmetriche 1. Prova a mettere insieme queste figure partendo dalle parti del quadrato mostrato in Fig. 3, (a).

Dagli stessi disegni puoi creare molte altre figure (ad esempio immagini di vari oggetti, animali, ecc.).

Una versione meno comune del gioco consiste nel creare figure dai pezzi del quadrato mostrato in Fig. 3, (b).

Quadrati magici

Quadrato magico"N 2 -piazza" chiamiamo un quadrato diviso per N 2 celle riempite per prime N 2 numeri naturali in modo che le somme dei numeri su qualsiasi riga orizzontale o verticale, nonché su qualsiasi diagonale del quadrato, siano uguali allo stesso numero

Se solo la somma dei numeri in qualsiasi riga orizzontale e verticale è uguale, viene chiamato il quadrato semi-magico.

Il quadrato magico 4 2 prende il nome da Dürer, un matematico e artista del XVI secolo che raffigurò un quadrato nel famoso dipinto “La malinconia”.

A proposito, i due numeri centrali inferiori di questo quadrato formano il numero 1514, la data di creazione del dipinto.

Ci sono solo otto quadrati magici da nove celle. Nella figura sono mostrati due di essi, l'uno speculare all'altro; i restanti sei si ottengono da questi quadrati ruotandoli attorno al centro di 90°, 180°, 270°

2. Non è difficile approfondire la questione dei quadrati magici per n=3

In effetti, S 3 = 15, e ci sono solo otto modi per rappresentare il numero 15 come somma numeri diversi(da uno a nove):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Nota che ciascuno dei numeri 1, 3, 7, 9 è incluso in due, e ciascuno dei numeri 2, 4, 6, 8 è incluso in tre somme specificate, e solo il numero 5 è incluso in quattro somme. D'altra parte, su otto file di tre celle: tre orizzontali, tre verticali e due diagonali, tre file passano attraverso ciascuna delle celle d'angolo del quadrato, quattro attraverso la cella centrale e due file attraverso ciascuna delle celle rimanenti. . Pertanto, il numero 5 deve necessariamente trovarsi nella cella centrale, i numeri 2, 4, 6, 8 - nelle celle d'angolo e i numeri 1, 3, 7, 9 - nelle restanti celle del quadrato.

Casa editrice Shkolnik

Volvograd, 2003
A.P.Domoryad

BBK 22.1я2я72

Domoriade Aleksandr Petrovich

Giochi matematici e intrattenimento

Preferiti

La redattrice Kopylova A.N.

Tecnologia. editore Murashova N.Ya.

Correttore di bozze Secheiko L.O.

Consegnato per il reclutamento il 26 settembre 2003. Firmato per la pubblicazione il 14 dicembre 2003. Formato 84x 108 ¼.Stampa.fisica.l. 8.375. Forno condizionale 13.74. Accademico-ed.l. 12.82. Tiratura 200.000 copie. Ordine n. 979. Il prezzo del libro è di 50 rubli.

Domoriade A.P.

Giochi matematici e intrattenimento: Preferiti - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 p.

Il libro presenta problemi selezionati dalla monografia di Domoryad A.P. "Giochi e intrattenimento matematici", pubblicato nel 1961 dalla casa editrice statale di letteratura fisica e matematica a Mosca.

ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72

© Casa editrice "VGPU", 2003

Prefazione 6

Determinare il numero previsto utilizzando tre tabelle 7

Solitario 8

Sommare e sottrarre invece di moltiplicare 11

Funzione [x] (parte intera di x) 12

Figure da pezzi quadrati 14

Quadrati magici 16

Appendice 17

Prefazione

Da materiale vario, unito da vari autori sotto un nome comune giochi di matematica e intrattenimento, possiamo distinguere diversi gruppi di “intrattenimento classico” che da tempo attirano l’attenzione dei matematici:

1. 
   Intrattenimento legato alla ricerca di soluzioni originali ai problemi che consentano una varietà quasi inesauribile di soluzioni; Di solito sono interessati a stabilire il numero di soluzioni, sviluppando metodi che diano grandi gruppi di soluzioni o soluzioni che soddisfino alcuni requisiti particolari.
2. 
   Giochi matematici, ad es. giochi in cui due “mosse” affiancate, eseguite alternativamente secondo le regole specificate, tendono a raggiungere un determinato obiettivo, e risulta possibile per qualsiasi posizione iniziale predeterminare il vincitore e indicare come - con qualsiasi mossa di l'avversario: può ottenere la vittoria.
3. 
   "Giochi di una persona", ad es. intrattenimento in cui, attraverso una serie di operazioni eseguite da un giocatore in conformità con queste regole, è necessario raggiungere un determinato obiettivo prestabilito; qui sono interessati alle condizioni in cui l'obiettivo può essere raggiunto e stanno cercando numero più piccolo le mosse necessarie per raggiungerlo.

Gran parte di questo libro è dedicata ai giochi classici e all'intrattenimento.

Tutti possono provare, dimostrando tenacia e ingegno, a ottenere risultati interessanti (i propri!).

Se un intrattenimento classico come, ad esempio, la composizione di “quadrati magici” può attrarre una cerchia relativamente ristretta di persone, allora comporre, ad esempio, figure simmetriche dai dettagli di un quadrato tagliato, cercare curiosità numeriche, ecc., senza richiedere qualsiasi formazione matematica, può portare piacere sia ai dilettanti che ai non amanti della matematica. Lo stesso si può dire dell’intrattenimento che richiede preparazione nelle classi 9-11 delle scuole superiori.

Molti divertimenti e persino problemi individuali possono suggerire argomenti per la ricerca indipendente per gli amanti della matematica.

In generale, il libro è destinato ai lettori con un background matematico delle classi 10-11, sebbene la maggior parte del materiale sia accessibile agli alunni della nona elementare e alcune domande siano accessibili anche agli studenti delle classi 5-8.

Molti paragrafi possono essere utilizzati dagli insegnanti di matematica per organizzare attività extracurriculari.

1. 
   Diverse categorie di lettori possono utilizzare questo libro in modi diversi: le persone che non sono appassionate di matematica possono conoscere le curiose proprietà di numeri, figure, ecc., Senza approfondire la logica dei giochi e dell'intrattenimento, prendendo per fede le dichiarazioni individuali; Consigliamo agli amanti della matematica di studiare le singole parti del libro con carta e matita, risolvendo i problemi proposti e rispondendo alle singole domande proposte per la riflessione.

Determinare il numero previsto utilizzando tre tabelle

Posizionando i numeri da 1 a 60 in fila in ciascuna delle tre tabelle in modo che nella prima tabella siano su tre colonne di venti numeri ciascuna, nella seconda - in quattro colonne di 15 numeri ciascuna e nella terza - cinque colonne di 12 numeri ciascuna (vedi Fig. 1), è facile determinare rapidamente il numero N (N≤60) concepito da qualcuno se i numeri α, β, γ delle colonne contenenti il ​​numero concepito nella 1a, 2a e 3a sono indicate le tabelle: N sarà esattamente il resto della divisione del numero 40α+45β+36γ per 60 o, in altre parole, N sarà esattamente il minore numero positivo, paragonabile alla somma (40α+45β+36γ) modulo 60. Ad esempio, con α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), cioè N=6.

IO	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

IO		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
IO	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Una domanda simile può essere risolta per i numeri fino a 420, posti in quattro tabelle con tre, quattro, cinque e sette colonne: se - i numeri delle colonne in cui si trova il numero desiderato, allora è uguale al resto dopo aver diviso il numero 280α+105β+336γ+120δ a 420.

Tenia

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556	555557
414441	424442	434443	444444	454445	464446	474447
313331	323332	333333	343334	353335	363336	373337
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

Un gioco chiamato tenia si gioca su un tabellone con trentatré caselle. Questa scacchiera può essere facilmente ottenuta rivestendo la scacchiera con un foglio di cartone con un ritaglio a forma di croce.
Un intrattenimento utile ed emozionante consiste nel comporre figure da sette pezzi di un quadrato, tagliati secondo la Fig. 3, (a), e quando si compongono le figure indicate, devono essere utilizzati tutti e sette i pezzi, e devono sovrapporsi, anche parzialmente, a ciascuno altro.

Nella fig. La Figura 4 mostra le figure simmetriche 1. Prova a mettere insieme queste figure partendo dalle parti del quadrato mostrato in Fig. 3, (a).

(a) (b)
Fig.3

Riso. 4
Dagli stessi disegni puoi creare molte altre figure (ad esempio immagini di vari oggetti, animali, ecc.).

Una versione meno comune del gioco consiste nel creare figure dai pezzi del quadrato mostrato in Fig. 3, (b).

Quadrati magici

Quadrato magico"N 2 -piazza" chiamiamo un quadrato diviso per N 2 celle riempite per prime N 2 numeri naturali in modo che le somme dei numeri su qualsiasi riga orizzontale o verticale, nonché su qualsiasi diagonale del quadrato, siano uguali allo stesso numero

Se solo la somma dei numeri in qualsiasi riga orizzontale e verticale è uguale, viene chiamato il quadrato semi-magico.

, matematico e artista del XVI secolo, raffigurante un quadrato su famoso dipinto"Malinconia".

A proposito, i due numeri centrali inferiori di questo quadrato formano il numero 1514, la data di creazione del dipinto.
Ci sono solo otto quadrati magici da nove celle. Nella figura sono mostrati due di essi, l'uno speculare all'altro; i restanti sei si ottengono da questi quadrati ruotandoli attorno al centro di 90°, 180°, 270°

2. Non è difficile approfondire la questione dei quadrati magici per n=3

Infatti, S 3 = 15, e ci sono solo otto modi per rappresentare il numero 15 come somma di numeri diversi (da uno a nove):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Nota che ciascuno dei numeri 1, 3, 7, 9 è incluso in due, e ciascuno dei numeri 2, 4, 6, 8 è incluso in tre somme specificate, e solo il numero 5 è incluso in quattro somme. D'altra parte, su otto file di tre celle: tre orizzontali, tre verticali e due diagonali, tre file passano attraverso ciascuna delle celle d'angolo del quadrato, quattro attraverso la cella centrale e due file attraverso ciascuna delle celle rimanenti. . Pertanto, il numero 5 deve necessariamente trovarsi nella cella centrale, i numeri 2, 4, 6, 8 - nelle celle d'angolo e i numeri 1, 3, 7, 9 - nelle restanti celle del quadrato. 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.

Nota che ciascuno dei numeri 1, 3, 7, 9 è incluso in due, e ciascuno dei numeri 2, 4, 6, 8 è incluso in tre somme specificate, e solo il numero 5 è incluso in quattro somme. D'altra parte, su otto file di tre celle: tre orizzontali, tre verticali e due diagonali, tre file passano attraverso ciascuna delle celle d'angolo del quadrato, quattro attraverso la cella centrale e due file attraverso ciascuna delle celle rimanenti. . Pertanto, il numero 5 deve necessariamente trovarsi nella cella centrale, i numeri 2, 4, 6, 8 - nelle celle d'angolo e i numeri 1, 3, 7,9 - nelle restanti celle del quadrato.

Incontri sorprendenti con la matematica divertente

Una serie di problemi molto interessanti

Il bel volto della regina delle scienze MATEMATICA

1 Le figure sono prese in prestito dal libro di V.I. Obreimov "Triplo puzzle"

PEZZO INTERO MERAVIGLIOSO(METODO PER RISOLVERE EQUAZIONI CON PARTE INTERA DI UN NUMERO)

Le Thanh Dat

classe 10 f/m, GBOU PO "Liceo-Convitto provinciale per bambini dotati", Penza

Tsepkova Natalya Mikhailovna

supervisore scientifico, insegnante di matematica della più alta categoria dell'Istituto educativo di bilancio statale PO "Liceo-Convitto provinciale per bambini dotati", richiedente per il Dipartimento di Pedagogia e Psicologia della Formazione Professionale dell'Università Pedagogica Statale intitolata. V.G. Belinsky, Penza

Recentemente, sempre più spesso alle olimpiadi, alle competizioni matematiche e in molti altri Opzioni dell'Esame di Stato Unificato in matematica (C6) ci sono problemi contenenti la parte intera del numero x.

In varie questioni di teoria dei numeri, analisi matematica, la teoria delle funzioni ricorsive e altre aree della matematica utilizzano i concetti di parte intera e frazionaria di un numero reale. Nel programma delle scuole e delle classi con studio approfondito La matematica include domande individuali relative a questi concetti, ma solo 34 righe sono dedicate alla loro presentazione nel libro di testo di algebra per la terza media.

Introduciamo il concetto di parte intera di un numero reale e consideriamo alcune delle sue proprietà.

Definizione. La parte intera di un numero reale x è il più grande intero non maggiore di x.

Proprietà dell'intera parte:

1. [x]=x se x€Z.

2. [x]≤x<[x]+1.

3. =[x]+m, se m€Z.

Esaminando e analizzando i compiti che abbiamo riscontrato che contenevano una parte intera di un numero, abbiamo notato la loro uniformità, portando a una soluzione standard: sostituire alcune espressioni con una variabile.

Ad esempio, ++=6.

Sostituisci x+2.6 = y, quindi

[y]++=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

Ritorno alla sostituzione: y= x+2.6, quindi

1x+2,6<2,

1,6 volte<-0,6.

Risposta: [-1,6; -0,6).

Consideriamo un'altra equazione tratta dalle Olimpiadi interregionali di matematica per scolari sulla base delle istituzioni educative dipartimentali 2011-2012, anch'essa risolta mediante sostituzione:

Sostituiamo =k.

. (2)

Sostituiamo quindi l'espressione (1) con x nell'espressione (2).

K

40k-39 10k<40k+1,

1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1,

K 1.3, k> .

Da 1) e 2) => k=0; k=1.

Quando k=0 x= ;

A k=1x=0,8.

Risposta: ; 0,8.

La domanda sorge spontanea: è possibile trovare un'equazione in cui il metodo di queste sostituzioni non porti a trovare il risultato e come risolverlo?

Considera l'equazione: +-=5.

La complessità di questa equazione risiede nell'ambiguità del numero x.

Sia x=0,4, allora =1; =1; =4 e in x=0,8 =1; =2; =5.

Per tenere conto dell'ambiguità dell'incognita in un'equazione a parti intere, dobbiamo trovare i punti in cui ogni termine cambia di 1 il valore della parte intera. Chiamiamoli punti critici e consideriamo un esempio specifico.

X=t+a, t è la parte intera del numero, a è la parte frazionaria del numero.

T+t-t+4-3-3++-=5,

T++-=7,

A=0,7; a=0,4; a=0,5 – punti critici.

1) a€=a€N,

0≤t<1,

(2c-3) 2 =3a 2 -12c+46,

4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0,

4c 2 -37-3a 2 =0,

4c 2 -37-3[c] 2 =0,

4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,

(a+t)2 = ,

T=- -a - non si adatta alle condizioni del problema,