Il motivo dell'attenuazione è che in qualsiasi sistema oscillatorio, oltre alla forza di richiamo, esistono sempre diversi tipi di resistenza dell'aria

ecc., che rallentano il movimento. Ad ogni oscillazione, una parte viene spesa nel lavoro contro le forze di attrito. In definitiva, questo lavoro consuma l'intera fornitura di energia inizialmente fornita al sistema oscillatorio.

Nel considerare , avevamo a che fare con oscillazioni naturali ideali, strettamente periodiche. Utilizzando un modello di questo tipo per descrivere le oscillazioni reali, consentiamo deliberatamente un'imprecisione nella descrizione. Tuttavia una tale semplificazione è opportuna perché in molti sistemi oscillatori lo smorzamento delle oscillazioni causate dall'attrito è veramente piccolo: il sistema riesce a fare molte oscillazioni prima che queste diminuiscano sensibilmente.

Grafici delle oscillazioni smorzate

In presenza di smorzamento l'oscillazione naturale (Fig. 1) cessa di essere armonica. Inoltre, un'oscillazione smorzata cessa di essere un processo periodico: l'attrito influenza non solo l'ampiezza delle oscillazioni (cioè provoca lo smorzamento), ma anche la durata delle oscillazioni. All’aumentare dell’attrito, aumenta il tempo necessario al sistema per completare un’oscillazione completa. Il grafico delle oscillazioni smorzate è mostrato in Fig. 2.

Fig. 1. Grafico armonico libero

Fig.2. Grafico delle oscillazioni smorzate

Una caratteristica dei sistemi oscillatori è che un leggero attrito influisce sul periodo di oscillazione in misura molto minore rispetto all'ampiezza. Questa circostanza ha avuto un ruolo enorme nel miglioramento degli orologi. Il primo orologio fu costruito dal fisico e matematico olandese Christiaan Huygens nel 1673. Quest'anno può essere considerato la data di nascita dei moderni meccanismi dell'orologio. Il movimento degli orologi a pendolo è poco sensibile alle variazioni dovute all'attrito, che in generale dipendono da molti fattori, mentre la velocità dei precedenti orologi a pendolo dipendeva molto dall'attrito.

In pratica è necessario sia ridurre che aumentare lo smorzamento delle oscillazioni. Ad esempio, quando si progettano i movimenti degli orologi, si cerca di ridurre lo smorzamento delle oscillazioni del bilanciere dell'orologio. Per fare ciò, l'asse del bilanciatore è dotato di punte affilate, che poggiano su cuscinetti conici ben lucidati in pietra dura (agata o rubino). Al contrario, in molti strumenti di misura è molto desiderabile che la parte mobile del dispositivo venga installata rapidamente durante il processo di misurazione, ma subisca un gran numero di oscillazioni. Per aumentare l'attenuazione in questo caso vengono utilizzati vari smorzatori, dispositivi che aumentano l'attrito e, in generale, la perdita di energia.

1.21. 3OSCILLAZIONI AMMORTIZZATE E FORZATE

Equazione differenziale delle oscillazioni smorzate e sua soluzione. Coefficiente di attenuazione. Mazzo logaritmicotempo di decadimento.Fattore di qualità dell'oscillazionesistema corporeo.Processo aperiodico. Equazione differenziale delle oscillazioni forzate e sua soluzione.Ampiezza e fase delle oscillazioni forzate. Il processo di creazione delle oscillazioni. Il caso della risonanza.Autooscillazioni.

Lo smorzamento delle oscillazioni è una diminuzione graduale dell'ampiezza delle oscillazioni nel tempo, dovuta alla perdita di energia da parte del sistema oscillatorio.

Le oscillazioni naturali senza smorzamento sono un'idealizzazione. Le ragioni dell'attenuazione possono essere diverse. In un sistema meccanico le vibrazioni sono smorzate dalla presenza di attrito. Quando tutta l'energia immagazzinata nel sistema oscillatorio sarà esaurita, le oscillazioni si fermeranno. Quindi l'ampiezza oscillazioni smorzate diminuisce fino a diventare uguale a zero.

Le oscillazioni smorzate, come le oscillazioni naturali, in sistemi di natura diversa, possono essere considerate da un unico punto di vista: caratteristiche comuni. Tuttavia, caratteristiche come l'ampiezza e il periodo richiedono una ridefinizione, mentre altre richiedono aggiunte e chiarimenti rispetto alle stesse caratteristiche delle oscillazioni naturali non smorzate. Le caratteristiche generali e i concetti delle oscillazioni smorzate sono i seguenti:

L'equazione differenziale deve essere ottenuta tenendo conto della diminuzione dell'energia vibrazionale durante il processo di oscillazione.

L'equazione delle oscillazioni è una soluzione di un'equazione differenziale.

L'ampiezza delle oscillazioni smorzate dipende dal tempo.

La frequenza e il periodo dipendono dal grado di attenuazione delle oscillazioni.

Fase e fase iniziale hanno lo stesso significato delle oscillazioni continue.

Oscillazioni meccaniche smorzate.

Sistema meccanico : pendolo a molla che tiene conto delle forze di attrito.

Forze agenti su un pendolo :

Forza elastica., dove k è il coefficiente di rigidezza della molla, x è lo spostamento del pendolo dalla posizione di equilibrio.

Forza di resistenza. Consideriamo una forza resistente proporzionale alla velocità v del movimento (questa dipendenza è tipica di un'ampia classe di forze resistenti): . Il segno meno indica che la direzione della forza di resistenza è opposta alla direzione della velocità del corpo. Il coefficiente di resistenza r è numericamente uguale alla forza di resistenza derivante ad una velocità unitaria del movimento del corpo:

Legge del movimento pendolo a molla - questa è la seconda legge di Newton:

M UN = F ex. + F resistenza

Considerando che entrambi , scriviamo la seconda legge di Newton nella forma:

. (21.1)

Dividendo tutti i termini dell'equazione per m e spostandoli tutti a destra, otteniamo equazione differenziale oscillazioni smorzate:

Indichiamo dove β – coefficiente di attenuazione , , Dove ω 0 – frequenza delle oscillazioni libere non smorzate in assenza di perdite di energia nel sistema oscillatorio.

Nella nuova notazione, l’equazione differenziale delle oscillazioni smorzate ha la forma:

. (21.2)

Questa è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine.

Questa equazione differenziale lineare viene risolta modificando le variabili. Rappresentiamo la funzione x, dipendente dal tempo t, nella forma:

.

Troviamo la derivata prima e seconda di questa funzione rispetto al tempo, tenendo conto che anche la funzione z è una funzione del tempo:

, .

Sostituiamo le espressioni nell'equazione differenziale:

Presentiamo termini simili nell'equazione e riduciamo ciascun termine di , otteniamo l'equazione:

.

Indichiamo la quantità .

Risolvere l'equazione sono le funzioni , .

Ritornando alla variabile x, otteniamo le formule per le equazioni delle oscillazioni smorzate:

Così , equazione delle oscillazioni smorzateè una soluzione dell’equazione differenziale (21.2):

Frequenza smorzata :

(solo la radice reale ha significato fisico, quindi).

Periodo delle oscillazioni smorzate :

(21.5)

Il significato che è stato dato al concetto di periodo per le oscillazioni non smorzate non è adatto per le oscillazioni smorzate, poiché il sistema oscillatorio non ritorna mai al suo stato originale a causa della perdita di energia oscillatoria. In presenza di attrito le vibrazioni sono più lente: .

Periodo delle oscillazioni smorzate è il periodo di tempo minimo durante il quale il sistema supera la posizione di equilibrio due volte in una direzione.

Per il sistema meccanico di un pendolo a molla abbiamo:

, .

Ampiezza delle oscillazioni smorzate :

Per un pendolo a molla.

L'ampiezza delle oscillazioni smorzate non è un valore costante, ma cambia nel tempo, tanto più velocemente quanto maggiore è il coefficiente β. Pertanto, la definizione di ampiezza, data in precedenza per le oscillazioni libere non smorzate, deve essere modificata per le oscillazioni smorzate.

Per piccole attenuazioni ampiezza delle oscillazioni smorzate è chiamata la più grande deviazione dalla posizione di equilibrio in un periodo.

Grafici I grafici dello spostamento rispetto al tempo e dell'ampiezza rispetto al tempo sono presentati nelle Figure 21.1 e 21.2.

Figura 21.1 – Dipendenza dello spostamento dal tempo per oscillazioni smorzate.

Figura 21.2 – Dipendenza dell'ampiezza dal tempo per oscillazioni smorzate

Caratteristiche delle oscillazioni smorzate.

1. Coefficiente di attenuazione β .

L’ampiezza delle oscillazioni smorzate cambia secondo una legge esponenziale:

Lascia che l'ampiezza dell'oscillazione diminuisca di “e” volte durante il tempo τ (“e” è la base del logaritmo naturale, e ≈ 2,718). Allora, da un lato, , e d'altra parte, avendo descritto le ampiezze A zat. (t) e A zat. (t+τ), abbiamo . Da queste relazioni segue βτ = 1, quindi .

Intervallo di tempo τ , durante il quale l'ampiezza diminuisce di “e” volte, è chiamato tempo di rilassamento.

Coefficiente di attenuazione β – una quantità inversamente proporzionale al tempo di rilassamento.

2. Decremento logaritmico dello smorzamento δ - una grandezza fisica numericamente uguale al logaritmo naturale del rapporto tra due ampiezze successive separate nel tempo da un periodo.

Se l'attenuazione è piccola, ad es. il valore di β è piccolo, quindi l'ampiezza cambia leggermente nel periodo e il decremento logaritmico può essere definito come segue:

,

dov'è A zat. (t) e A zat. (t+NT) – ampiezze delle oscillazioni al tempo e e dopo N periodi, cioè al tempo (t + NT).

3. Fattore di qualità Q sistema oscillatorio – una quantità fisica adimensionale pari al prodotto della quantità (2π) ν e il rapporto tra l’energia W(t) del sistema in un momento di tempo arbitrario e la perdita di energia in un periodo di oscillazioni smorzate:

.

Poiché l'energia è proporzionale al quadrato dell'ampiezza, allora

Per piccoli valori del decremento logaritmico δ, il fattore di qualità del sistema oscillatorio è uguale a

,

dove N e è il numero di oscillazioni durante le quali l'ampiezza diminuisce di “e” volte.

Pertanto, il fattore di qualità di un pendolo a molla è: quanto più alto è il fattore di qualità del sistema oscillatorio, tanto minore è l'attenuazione, tanto più a lungo durerà il processo periodico in un tale sistema. Fattore di qualità del sistema oscillatorio - una quantità adimensionale che caratterizza la dissipazione dell'energia nel tempo.

4. All'aumentare del coefficiente β, la frequenza delle oscillazioni smorzate diminuisce e il periodo aumenta. A ω 0 = β, la frequenza delle oscillazioni smorzate diventa pari a zero ω zat. = 0 e T zat. = ∞. In questo caso le oscillazioni perdono il loro carattere periodico e vengono chiamate aperiodico.

A ω 0 = β i parametri del sistema responsabili della diminuzione dell'energia vibrazionale assumono valori chiamati critico . Per un pendolo a molla la condizione ω 0 = β si scriverà così: da dove troviamo la quantità coefficiente di resistenza critica:

.

Riso. 21.3. Dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni aperiodiche dal tempo

Vibrazioni forzate.

Tutte le oscillazioni reali vengono smorzate. Affinché le oscillazioni reali si verifichino sufficientemente a lungo, è necessario ricostituire periodicamente l'energia del sistema oscillatorio agendo su di esso con una forza esterna che cambia periodicamente

Consideriamo il fenomeno delle oscillazioni se esterne (forzare) la forza cambia nel tempo secondo una legge armonica. In questo caso, nei sistemi sorgeranno oscillazioni, la cui natura, in un modo o nell'altro, ripeterà la natura della forza motrice. Tali oscillazioni sono chiamate costretto .

Segni generali di vibrazioni meccaniche forzate.

1. Consideriamo le oscillazioni meccaniche forzate di un pendolo a molla, su cui agisce un agente esterno (avvincente ) forza periodica . Le forze che agiscono sul pendolo, una volta allontanato dalla sua posizione di equilibrio, si sviluppano nel sistema oscillatorio stesso. Queste sono la forza elastica e la forza di resistenza.

Legge del movimento (Seconda legge di Newton) sarà scritta come segue:

(21.6)

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per m, teniamone conto e otteniamo equazione differenziale oscillazioni forzate:

Indichiamo ( β – coefficiente di attenuazione ), (ω 0 – frequenza delle oscillazioni libere non smorzate), forza che agisce su un'unità di massa. In queste notazioni equazione differenziale le oscillazioni forzate assumeranno la forma:

(21.7)

Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine con un lato destro diverso da zero. La soluzione di tale equazione è la somma di due soluzioni

.

– soluzione generale di un’equazione differenziale omogenea, ovvero equazione differenziale senza parte destra quando è uguale a zero. Conosciamo una soluzione del genere: questa è l'equazione delle oscillazioni smorzate, scritta con la precisione di una costante, il cui valore è determinato dalle condizioni iniziali del sistema oscillatorio:

Abbiamo discusso in precedenza che la soluzione può essere scritta in termini di funzioni seno.

Se consideriamo il processo di oscillazione del pendolo dopo un periodo di tempo Δt sufficientemente ampio dopo l'attivazione della forza motrice (Figura 21.2), le oscillazioni smorzate nel sistema praticamente si fermeranno. E allora la soluzione dell'equazione differenziale con il secondo membro sarà la soluzione.

La soluzione è una soluzione particolare dell'equazione differenziale disomogenea, cioè equazioni con la parte destra. Dalla teoria delle equazioni differenziali è noto che variando il membro destro secondo una legge armonica, la soluzione sarà una funzione armonica (seno o cos) con una frequenza di variazione corrispondente alla frequenza Ω di variazione del membro destro -lato mano:

dove A ampl. – ampiezza delle oscillazioni forzate, φ 0 – sfasamento , quelli. la differenza di fase tra la fase della forza motrice e la fase dell'oscillazione forzata. E ampiezza A ampl. , e lo sfasamento φ 0 dipendono dai parametri del sistema (β, ω 0) e dalla frequenza della forza motrice Ω.

Periodo di oscillazioni forzate equivale (21.9)

Grafico delle vibrazioni forzate nella Figura 4.1.

Fig.21.3. Grafico delle oscillazioni forzate

Anche le oscillazioni forzate in stato stazionario sono armoniche.

Dipendenze dell'ampiezza delle oscillazioni forzate e sfasamento dalla frequenza dell'influenza esterna. Risonanza.

1. Torniamo al sistema meccanico di un pendolo a molla, sul quale agisce una forza esterna che varia secondo una legge armonica. Per un tale sistema, l’equazione differenziale e la sua soluzione, rispettivamente, hanno la forma:

, .

Analizziamo la dipendenza dell'ampiezza dell'oscillazione e dello sfasamento dalla frequenza della forza motrice esterna; per fare ciò troveremo la derivata prima e seconda di x e le sostituiremo nell'equazione differenziale.

Usiamo il metodo del diagramma vettoriale. L'equazione mostra che la somma delle tre vibrazioni sul lato sinistro dell'equazione (Figura 4.1) deve essere uguale alla vibrazione sul lato destro. Il diagramma vettoriale è realizzato per un momento di tempo arbitrario t. Da ciò puoi determinare.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Tenendo conto del valore di , ,, otteniamo le formule per φ 0 e A ampl. sistema meccanico:

,

.

2. Studiamo la dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice e dall'entità della forza di resistenza in un sistema meccanico oscillante, utilizzando questi dati costruiamo un grafico . I risultati dello studio si riflettono nella Figura 21.5, che mostra ciò a una certa frequenza della forza motrice l'ampiezza delle oscillazioni aumenta bruscamente. E questo aumento è tanto maggiore quanto più basso è il coefficiente di attenuazione β. Quando l'ampiezza delle oscillazioni diventa infinitamente grande.

Il fenomeno di un forte aumento di ampiezza oscillazioni forzate ad una frequenza della forza motrice pari a , si chiama risonanza.

(21.12)

Le curve nella Figura 21.5 riflettono la relazione e vengono chiamati curve di risonanza di ampiezza .

Figura 21.5 – Grafici della dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice.

L'ampiezza delle oscillazioni risonanti assumerà la forma:

Le vibrazioni forzate lo sono non smorzato fluttuazioni. Le inevitabili perdite di energia dovute all'attrito sono compensate dalla fornitura di energia da una fonte esterna di forza che agisce periodicamente. Esistono sistemi in cui si verificano oscillazioni non smorzate non a causa di influenze esterne periodiche, ma come risultato della capacità di tali sistemi di regolare la fornitura di energia da una fonte costante. Tali sistemi sono chiamati auto-oscillante, e il processo di oscillazioni non smorzate in tali sistemi lo è auto-oscillazioni.

In un sistema auto-oscillante si possono distinguere tre elementi caratteristici: un sistema oscillatorio, una fonte di energia e un dispositivo di feedback tra il sistema oscillatorio e la fonte. Qualsiasi sistema meccanico in grado di eseguire proprie oscillazioni smorzate (ad esempio il pendolo di un orologio da parete) può essere utilizzato come sistema oscillatorio.

La fonte di energia può essere l'energia di deformazione di una molla o l'energia potenziale di un carico in un campo gravitazionale. Un dispositivo di feedback è un meccanismo mediante il quale un sistema auto-oscillante regola il flusso di energia da una fonte. Nella fig. La Figura 21.6 mostra un diagramma dell'interazione di vari elementi di un sistema auto-oscillante.

Un esempio di sistema meccanico auto-oscillante è un meccanismo di orologio con ancora progresso (Fig. 21.7.). La ruota mobile con denti obliqui è fissata rigidamente a un tamburo dentato, attraverso il quale viene lanciata una catena con un peso. All'estremità superiore del pendolo è presente un'ancora (ancora) con due piastre di materiale duro, piegate lungo un arco circolare con il centro sull'asse del pendolo. Negli orologi manuali, il peso è sostituito da una molla e il pendolo da un bilanciatore, un volantino collegato a una molla a spirale.

Il bilanciatore esegue vibrazioni torsionali attorno al proprio asse. Il sistema oscillatorio in un orologio è un pendolo o bilanciatore. La fonte di energia è un peso sollevato o una molla avvolta. Il dispositivo utilizzato per fornire feedback è un'ancora, che consente alla ruota in movimento di girare un dente in un semiciclo.

Il feedback è fornito dall'interazione dell'ancora con la ruota in movimento. Ad ogni oscillazione del pendolo, un dente della ruota spinge la forcella dell'ancora nella direzione del movimento del pendolo, trasferendo ad essa una certa porzione di energia, che compensa le perdite di energia dovute all'attrito. Pertanto, l'energia potenziale del peso (o della molla attorcigliata) viene gradualmente, in porzioni separate, trasferita al pendolo.

I sistemi meccanici auto-oscillanti sono molto diffusi nella vita intorno a noi e nella tecnologia. Le autooscillazioni si verificano nei motori a vapore, nei motori a combustione interna, nei campanelli elettrici, nelle corde degli strumenti musicali ad arco, nelle colonne d'aria nelle canne degli strumenti a fiato, nelle corde vocali quando si parla o si canta, ecc.

Mentre studi questa sezione, tienilo presente fluttuazioni di diversa natura fisica sono descritti da posizioni matematiche comuni. Qui è necessario comprendere chiaramente concetti come oscillazione armonica, fase, differenza di fase, ampiezza, frequenza, periodo di oscillazione.

Va tenuto presente che in ogni sistema oscillatorio reale esiste una resistenza del mezzo, ad es. le oscillazioni verranno smorzate. Per caratterizzare lo smorzamento delle oscillazioni vengono introdotti un coefficiente di smorzamento e un decremento logaritmico dello smorzamento.

Se le oscillazioni si verificano sotto l'influenza di una forza esterna che cambia periodicamente, tali oscillazioni vengono chiamate forzate. Non saranno smorzati. L'ampiezza delle oscillazioni forzate dipende dalla frequenza della forza motrice. Quando la frequenza delle oscillazioni forzate si avvicina alla frequenza delle oscillazioni naturali, l'ampiezza delle oscillazioni forzate aumenta notevolmente. Questo fenomeno è chiamato risonanza.

Quando si passa allo studio delle onde elettromagnetiche, è necessario comprenderlo chiaramenteOnda elettromagneticaè un campo elettromagnetico che si propaga nello spazio. Il sistema più semplice che emette onde elettromagnetiche è un dipolo elettrico. Se un dipolo subisce oscillazioni armoniche, emette un'onda monocromatica.

Tabella delle formule: oscillazioni e onde

Oscillazioni smorzate

Oscillazioni smorzate di un pendolo a molla

Oscillazioni smorzate- vibrazioni la cui energia diminuisce nel tempo. In natura è impossibile un processo di specie che duri all’infinito. Le oscillazioni libere di qualsiasi oscillatore prima o poi svaniscono e si fermano. Pertanto in pratica si tratta solitamente di oscillazioni smorzate. Sono caratterizzati dal fatto che l'ampiezza delle oscillazioni UNè una funzione decrescente. Tipicamente, l'attenuazione avviene sotto l'influenza delle forze di resistenza del mezzo, spesso espresse come dipendenza lineare dalla velocità di oscillazione o dal suo quadrato.

In acustica: attenuazione: riduzione del livello del segnale fino alla completa inudibilità.

Oscillazioni smorzate di un pendolo a molla

Lascia che ci sia un sistema costituito da una molla (soggetto alla legge di Hooke), un'estremità della quale è rigidamente fissata, e dall'altra c'è un corpo di massa M. Le oscillazioni si verificano in un mezzo in cui la forza di resistenza è proporzionale alla velocità con un coefficiente C(vedi attrito viscoso).

Le cui radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula

Soluzioni

A seconda del valore del coefficiente di attenuazione la soluzione si divide in tre possibili opzioni.

• Aperiodicità

Se , allora ci sono due radici reali e la soluzione dell'equazione differenziale assume la forma:

In questo caso le oscillazioni decadono esponenzialmente fin dall'inizio.

• Limite di aperiodicità

Se , due radici reali coincidono e la soluzione dell'equazione è:

In questo caso si può verificare un aumento temporaneo, ma poi un decadimento esponenziale.

• Attenuazione debole

Se , allora la soluzione dell'equazione caratteristica è costituita da due radici complesse coniugate

Allora la soluzione dell'equazione differenziale originale è

Dov'è la frequenza naturale delle oscillazioni smorzate.

Le costanti e in ogni caso sono determinate dalle condizioni iniziali:

Guarda anche

• Decremento dell'attenuazione

Letteratura

Lett.: Savelyev I.V., Corso di Fisica Generale: Meccanica, 2001.

Fondazione Wikimedia. 2010.

Scopri cosa sono le "oscillazioni smorzate" in altri dizionari:

Oscillazioni smorzate- Oscillazioni smorzate. VIBRAZIONI Smorzate, oscillazioni la cui ampiezza A diminuisce nel tempo a causa delle perdite di energia: conversione dell'energia di oscillazione in calore a causa dell'attrito nei sistemi meccanici (ad esempio in un punto di sospensione... ... Dizionario enciclopedico illustrato

Oscillazioni naturali, la cui ampiezza A diminuisce con il tempo t secondo la legge dell'esponenziale A(t) = Аоexp (?t) (? indicatore di attenuazione dovuta alla dissipazione di energia dovuta alle forze di attrito viscoso per oscillazioni meccaniche smorzate e ohmiche. .. ... Grande dizionario enciclopedico

Oscillazioni la cui ampiezza diminuisce gradualmente, ad es. oscillazioni di un pendolo che sperimentano la resistenza dell'aria e l'attrito nella sospensione. Tutte le vibrazioni libere che si verificano in natura sono, in misura maggiore o minore, Z.K. Elettrico Z.K.... ...Dizionario marino

oscillazioni smorzate- Oscillazioni meccaniche con valori decrescenti dell'intervallo della coordinata generalizzata o della sua derivata rispetto al tempo. [Raccolta di termini consigliati. Numero 106. Vibrazioni meccaniche. Accademia delle Scienze dell'URSS. Comitato Tecnico Scientifico... ... Guida del traduttore tecnico

Oscillazioni smorzate- (VIBRAZIONE) oscillazioni (vibrazione) con valori di oscillazione decrescenti... Enciclopedia russa della protezione del lavoro

Oscillazioni naturali del sistema, la cui ampiezza A diminuisce con il tempo t secondo la legge esponenziale A(t) = A0exp(?α t) (α è l'indice di smorzamento) a causa della dissipazione di energia dovuta alle forze di attrito viscoso per gli ammortizzatori meccanici oscillazioni e ohmiche... ... Dizionario enciclopedico

Oscillazioni smorzate- 31. Oscillazioni smorzate Oscillazioni con valori di swing decrescenti Sorgente... Dizionario-libro di consultazione dei termini della documentazione normativa e tecnica

Oscillazioni naturali del sistema, l'ampiezza A di ryx diminuisce con il tempo t secondo la legge esponenziale A(t) = = Aoeхр(at) (un indice di smorzamento) a causa della dissipazione di energia dovuta alle forze di attrito viscoso per meccanica. 3. a. e resistenza ohmica per componenti elettrici ... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

oscillazioni smorzate- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. oscillazione smorzata vok. gedämpfte Schwingung, f rus. oscillazioni smorzate, n pranc. oscillazioni ammorti, f; oscillazioni décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

oscillazioni smorzate- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. oscillazioni smorzate; vibrazioni smorzate; oscillazioni morenti vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. oscillazioni smorzate, n pranc. oscillazioni amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Finora abbiamo considerato le oscillazioni armoniche che sorgono, come già notato, in presenza di un'unica forza nel sistema: una forza elastica o una forza quasi elastica. Nella natura che ci circonda, in senso stretto, tali fluttuazioni non esistono. Nei sistemi reali, oltre alle forze elastiche o quasi elastiche, ci sono sempre altre forze che differiscono nella natura dell'azione dalle forze elastiche - queste sono forze che sorgono durante l'interazione dei corpi del sistema con l'ambiente - forze dissipative. Il risultato finale della loro azione è la conversione dell'energia meccanica di un corpo in movimento in calore. In altre parole, si verifica la dispersione o dissipazione energia meccanica. Il processo di dissipazione dell'energia non è puramente meccanico e per la sua descrizione richiede l'utilizzo di conoscenze provenienti da altre branche della fisica. Nell'ambito della meccanica, possiamo descrivere questo processo introducendo forze di attrito o di resistenza. Come risultato della dissipazione di energia, l'ampiezza dell'oscillazione diminuisce. In questo caso si è soliti dire che le vibrazioni di un corpo o di un sistema di corpi si smorzano. Le oscillazioni smorzate non sono più armoniche, poiché la loro ampiezza e frequenza cambiano nel tempo.

Vengono chiamate oscillazioni che, a causa della dissipazione di energia in un sistema oscillante, si verificano con un'ampiezza continuamente decrescente sbiadimento. Se un sistema oscillatorio, rimosso da uno stato di equilibrio, oscilla sotto l'influenza di sole forze interne, senza resistenza e dissipazione (dissipazione) di energia, allora vengono chiamate le oscillazioni che si verificano in esso gratuito(O proprie) oscillazioni non smorzate. Nei sistemi meccanici reali con dissipazione di energia le oscillazioni libere sono sempre smorzate. La loro frequenza co differisce dalla frequenza co 0 delle oscillazioni del sistema senza smorzamento (maggiore è l'influenza delle forze di resistenza, maggiore è l'influenza delle forze di resistenza.

Consideriamo le oscillazioni smorzate usando l'esempio di un pendolo a molla. Limitiamoci a considerare le piccole oscillazioni. A basse velocità di oscillazione, la forza di resistenza può essere considerata proporzionale alla velocità degli spostamenti oscillatori

Dove v = 4 - velocità di oscillazione; G - un fattore di proporzionalità chiamato coefficiente di resistenza. Il segno meno nell'espressione (2.79) della forza resistente è dovuto al fatto che essa è diretta nella direzione opposta alla velocità di movimento del corpo oscillante.

Conoscere le espressioni della forza quasi elastica i^p = - e della forza resistente FC= tenendo conto dell'azione combinata di queste forze possiamo scrivere l'equazione dinamica del moto di un corpo che compie oscillazioni smorzate

In questa equazione sostituiamo il coefficiente (3 secondo la formula (2.49) con Voi], dopodiché dividiamo l'ultima equazione e otteniamo

Cercheremo una soluzione all'equazione (2.81) in funzione del tempo della forma

Qui il valore costante y è ancora indefinito. Per semplicità, nella nostra considerazione supporremo che la fase iniziale sia uguale a zero, cioè possiamo “accendere” il cronometro quando lo spostamento oscillatorio passa per la posizione di equilibrio (coordinata zero).

Possiamo determinare il valore y sostituendo nell'equazione differenziale delle oscillazioni smorzate (2.81) la soluzione ipotizzata (2.82), nonché le velocità da essa ottenute

e accelerazione

Sostituendo (2.83) e (2.84) insieme a (2.82) in (2.81) si ottiene Dopo aver ridotto di /1 () e": " e moltiplicato per “-1” otteniamo Risolvendo questa equazione quadratica per y, abbiamo

Sostituendo y nella (2.82), troviamo come lo spostamento dipende dal tempo durante le oscillazioni smorzate. Introduciamo la notazione

dove il simbolo co indica la frequenza angolare delle oscillazioni smorzate e coo la frequenza angolare delle oscillazioni libere senza smorzamento. Si vede che per S > 0 la frequenza delle oscillazioni smorzate è sempre inferiore alla frequenza

Così, e, quindi, lo spostamento durante le oscillazioni smorzate può essere espresso come

La scelta del segno “+” o “-” al secondo esponente è arbitraria e corrisponde ad uno sfasamento delle oscillazioni di l. Scriveremo le oscillazioni smorzate tenendo conto della scelta del segno “+”, quindi l'espressione (2.90) sarà

Questa è la dipendenza desiderata dello spostamento dal tempo. Può essere riscritto anche in forma trigonometrica (limitata alla parte reale)

La dipendenza dall'ampiezza desiderata A) di volta in volta può essere rappresentato come

Dove UN(,- ampiezza al momento t = 0.

Costante 8, pari secondo la (2.88) al rapporto del coefficiente di resistenza G raddoppiare la massa T si chiama corpo oscillante coefficiente di smorzamento delle vibrazioni. Scopriamo il significato fisico di questo coefficiente. Troviamo il tempo t durante il quale l'ampiezza delle oscillazioni smorzate diminuirà di e (la base dei logaritmi naturali e = 2,72) volte. Per fare questo, mettiamo

Utilizzando la relazione (2.93), otteniamo: o

donde segue

Quindi, coefficiente di attenuazione 8 è il reciproco del tempo t, trascorso il quale l'ampiezza delle oscillazioni smorzate diminuirà di e volte. La quantità m, che ha la dimensione del tempo, si chiama costante di tempo di un processo oscillatorio smorzato.

Oltre al coefficiente 8, il cosiddetto decremento logaritmico dello smorzamento X, pari al logaritmo naturale del rapporto tra due ampiezze di oscillazione separate tra loro da un intervallo di tempo pari al periodo T

L'espressione sotto il logaritmo, indicata dal simbolo D, chiamato semplicemente decremento delle fluttuazioni (diminuzione dell'attenuazione).

Utilizzando l'espressione dell'ampiezza (2.93), otteniamo:

Scopriamo il significato fisico del decremento logaritmico dello smorzamento. Lascia che l'ampiezza delle oscillazioni diminuisca di e volte dopo N oscillazioni. Il tempo t durante il quale il corpo si completerà N le oscillazioni possono essere espresse attraverso il periodo t = N.T. Sostituendo questo valore m nella (2.97), otteniamo 8SA= 1. Dal 67"= A., quindi NX = 1, o

Quindi, decremento logaritmico dello smorzamentoè il reciproco del numero di oscillazioni durante le quali l'ampiezza delle oscillazioni smorzate diminuirà di e volte.

In alcuni casi, la dipendenza dell'ampiezza dell'oscillazione dal tempo A)È conveniente esprimerlo in termini di decremento logaritmico di smorzamento A. Esponente 6 1 Le espressioni (2.93) possono essere scritte secondo la (2.99) come segue:

Allora l'espressione (2.93) assume la forma

dove il valore è uguale al numero N oscillazioni compiute dal sistema nel tempo t.

La tabella 2.1 mostra valori approssimativi (in ordine di grandezza) dei decrementi di smorzamento logaritmico di alcuni sistemi oscillatori.

Tabella 2.1

Valori di attenuazione decrementi di alcuni sistemi oscillatori

Analizziamo ora l'influenza delle forze di resistenza sulla frequenza di oscillazione. Quando un corpo si muove da una posizione di equilibrio e ritorna ad una posizione di equilibrio, su di esso agisce continuamente una forza di resistenza, facendolo decelerare.

Ciò significa che gli stessi tratti di percorso durante le oscillazioni smorzate verranno percorsi dal corpo in un intervallo di tempo maggiore rispetto alle oscillazioni libere. Periodo delle oscillazioni smorzate T, quindi ci sarà un periodo maggiore di oscillazioni libere naturali. Dall'espressione (2.89) è chiaro che la differenza di frequenze diventa tanto maggiore quanto maggiore è il coefficiente di attenuazione b. Per b grandi (b > coo), le oscillazioni smorzate degenerano in processo aperiodico (non periodico), in cui, a seconda delle condizioni iniziali, il sistema ritorna immediatamente nella posizione di equilibrio senza attraversarla, oppure prima di fermarsi attraversa la posizione di equilibrio una volta (esegue una sola oscillazione) - vedi Fig. 2.16.

Riso. 2.16. Oscillazioni smorzate:

Nella Figura 2.16, UN mostra un grafico di dipendenza %(T) E A)(a 5 > co 0 e la fase iniziale со, le oscillazioni sono completamente impossibili (questo caso corrisponde al valore immaginario della frequenza determinato dall'uguaglianza (2.89). Il sistema diventa smorzante e il processo oscillatorio diventa aperiodico (Fig. 2.16, B).

• La notazione exp(x) è equivalente a e*. Utilizzeremo entrambe le forme.
• In una considerazione generale delle oscillazioni, il valore completo della fase di oscillazione è dato dalle condizioni iniziali, cioè l'entità dello spostamento 4(0 e della velocità 4(0) nell'istante iniziale (t = 0) e include il termine