Изучить сложную функцию на монотонность. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы — Гипермаркет знаний

План показа: Введение. Введение. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. Выводы. Выводы.

Введение. Введение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

1.Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1

3. Алгоритм исследования функции на монотонность. 1. Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2. Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1

4. Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 1. y = 2 - 5x; 2. y = x 3 +4; 2. y = x 3 +4; 3. y = x 3 +2x 2 ; 3. y = x 3 +2x 2 ; 4. y = - 3x 3 - x; 4. y = - 3x 3 - x; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 6. y = - x 3 - x 0,5. 6. y = - x 3 - x 0,5.

1. y = 2 – 5x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x 2 3. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

2. y = x y = x Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

3. y = x 3 +2x 2. Решение. Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

4. y = – 3x 3 – x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – 3x 3 – x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 (3x) > – x 2 (3x); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 (3x 1 2 + 1) > – x 2 (3x 2 2 +1); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x 2. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

5. y = x 0,5 +x 5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x 0,5 +x 5: D(y)= [ 0 ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

6. y = - x 3 - x 0,5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – x 3 – x 0,5: D(y)= [ 0; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

Выводы. Выводы. Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа Д.Пойа

…Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …

Н.И. Лобачевский

Цели занятия:

• Обучающие:
  • Знание – студент знает определение критической (стационарной) точки, признаки возрастания и убывания функции и признаки максимума и минимума функции, алгоритмы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции.
  • Понимание – студент имеет представление о применение данной темы в экономических процессах.
  • Применение – студент применяет изученный материал при непосредственном нахождении промежутков монотонности и точек экстремума функций.
• Развивающие
  • Анализ – студент сравнивает ранее известную информацию с новой, понимает необходимость изучения данной темы для дальнейшего роста как специалиста в области экономики и бизнеса.
  • Синтез – студент умеет применять знания в конкретной ситуации, правильно формулировать задачи и излагать мысли.
• Воспиттельные:
  • Оценка – студент выделяет ошибки в рассуждениях, научился отвергать ненужную или неверную информацию, учится критически мыслить.

Вид занятия: ознакомление с новым материалом.

Метод: РКМЧП: лекция с остановками, прием «Корзина», прием «Кластер»

Время: 80 мин.

Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор).

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационная часть (1 мин)

Приветствие. Отметить отсутствующих.

II. Стадия вызова (8 мин)

Прием «Корзина».
На доске в центре изображена корзина.
Цель: Актуализация опыта и предыдущих знаний обучаемых.

Преподаватель: О каких свойствах функции вам уже известно? В течение 1 мин вспомните и запишите в тетради все, что помните и знаете.
Преподаватель: Теперь в течение 2 мин обменяйтесь информацией с товарищем.
Преподаватель: Назовите какое-то одно сведение от каждой пары, не повторяясь.

Преподаватель записывает эти сведения в корзину. (Приложение 1 )

III. Стадия осмысления (63 мин) – прием лекция с остановками

Преподаватель: Какие из этих свойств вы не можете определять алгебраическим способом?
Преподаватель: Правильно, сегодня мы научимся находить возрастание и убывание, максимум и минимум функции. Запишите тему нашего занятия. Сейчас вы прочитаете первую часть лекции и запишите в тетради

1-я часть. Исследование функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а ; в ), т.е.f"(x ) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а ; в ), т.е.f" (x ) < 0, то функция в этом интервале убывает.

– А теперь ответьте на вопросы.

Вопросы к первой части:

1. Как найти область определения следующих функций? (Приложение 2 )
2. Что можно сказать о функции, если отсутствуют критические точки?
3. Как найти стационарные точки, в которых производная не существует?
4. Как определять знаки производной на интервалах?

– Сейчас вы прочитаете вторую часть лекции и запишите в тетради.

2-я часть. Исследование функции на экстремум с помощью производной

Признаки максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х0 производная f "(x ) данной функции меняет знак с « – » на « + », то функция в этой точке х 0 имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х 0 производная f "(x ) данной функции меняет знак с « + » на « – », то функция в этой точке х 0 имеет максимум.

Вопросы ко второй части:

1. Что вы можете сказать о точках экстремума, если отсутствуют критические точки?
2. Что вы можете сказать о функции, если все знаки на промежутках одного вида?
3. Как находить вторую координату точки экстремума?

IV. Практическая часть

Задание 1. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:

Решение. D(f ): х =/= 0.

> 0 при х =/= 0.

Ответ: функция возрастает на (– ; 0) и (0; + ).

2) f (x ) = x 3 – 27x

Решение. D(f ): R.

критические точки

Ответ: функция возрастает на (– ; – 3] и .

Задание 2. Исследовать на максимум и минимум следующие функцию.

Решение. D(f ): х =/= ± 2.

Ответ: экстремумов нет.

Преподаватель: У вас, наверное, возникает вопрос, какое отношение имеет данная тема для будущей нашей профессии? Сегодня у вас в гостях студенты старшего курса. Они расскажут, где применяется данная тема в экономике.

Старшекурсник: Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике – методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции – это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.

Большое значение имеет такое понятие, как эластичность функции . (Приложение 4 )

Эластичностью функции f (x ) в точке x 0 называют преде

Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E D – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E D | > 1, то спрос называется эластичным, если |E D | < 1, то неэластичным. В случае E D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

Пример 1. Пусть цена единицы товара равна С усл.ед., количество единиц реализованного товара равно V. Доход от реализации товара L = CV. Предельный доход равен L "(V).

Функция спроса С = 8 – V. Тогда L = (8 – V)V = 8V – V ‘. При этом С > 0,V > 0, 0 < V < 8.

Решение.

Спрос эластичен при | Еc(V) | >1, т.е. | 1 – 8/V | >1
Решение данного неравенства V Є (0; 4), т.е.
спрос эластичен при V Є (0; 4). На этом интервале L"(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V >0, т.е. доход предприятия растет при снижении цены и продаже дополнительного товара.
Спрос неэластичен при | 1 – 8/V | <1 при V Є (4; 8).
На этом интервале L"(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V < 0.
Следовательно, в случае, когда спрос неэластичен, увеличение объема продажи товара за счет снижения цены приводит к уменьшению дохода.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя : наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

2. Максимизация прибыли. (Приложение 5 )

Пусть L = L(V) – функция дохода, получаемое от реализации V единиц товара;
С = С(V) – функция затрат на производство V единиц товара;
П = П(V) – функция прибыли.
Тогда очевидно П(V) = L(V) – С(V).

Для нахождения максимальной прибыли:

П"(V) = L"(V) – С"(V).
П"(V) = 0 при L"(V) = С"(V), т.е. предельный доход равен предельным издержкам. Именно это утверждается в микроэкономике: «Чтобы максимизировать прибыль, нужно, чтобы предельный доход равнялся предельным издержкам».

Пример 2.

Пусть L(V) = 594V – V 2
С(V) = 2V3 – 7V 2

Решение.

П(V) = 594V – V 2 – (2V 3 – 7V 2) = – 2V 3 + 6V 2 + 594V
П"(V) = – 6V 2 + 12V + 594 = – 6(V 2 – 2V – 99) = – 6(V – 11)(V + 9)
П"(V) = 0.V = – 9, V = 11 – критические точки.

Ответ: П max (11) = 5929

Максимизация дохода при дополнительном налогообложении предприятия. (Приложение 6 )Пусть: V – количество единиц выпускаемой продукции;

L(V) – доход предприятия; C(V) – затраты предприятия; П(V) = L(V) – C(V) – прибыль предприятия. Принято решение: ввести дополнительный налог r на каждую единицу продукции. Каким должен быть налог, чтобы доход R = rV 1 , полученный от дополнительного налога, был максимальным? Здесь V 1 количество единиц продукции, выпускаемой после введения налога. Затраты предприятия после введения налога С 1 = C(V) + rV.
Прибыль предприятия после введения налога П(V) = L(V) – С1(V) = L(V) – C(V) – rV.Приложение 3 )

VI. Задание на дом (1 мин.)

1. Исследовать на монотонность функцию f (x ) = 2x 2 – x.
2. Исследовать на экстремум функцию f (x ) = – x 3 + 3x + 2.
3. Издержки производства некоторой продукции определяется функцией 5х 2 + 80х , где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной.

VII. Итоги занятия (1 мин.)

Объявить оценки с комментариями

Мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, - чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике . Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.

Определение 1. Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.

1. Линейная функция у = kx +m

Если k > 0, то функция возрастает на всей (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.

Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 - возрастающая
функция.

2. Функция у = х2

1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).

Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).

1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).

2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравенства - положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Решение.

1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим и выделим его часть на отрезке (рис. 131).

3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).

Прочитаем график функции у = f(x).

1. Область определения функции - вся числовая прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче применяется теорема Лагранжа: существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Но, по условию, f" (x 0) = 0, следовательно, f (x 2) = f (x 1), т.е. функция f (x ) постоянна на (a ; b ). Это означает, что достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции) . Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f (x ) возрастает, то ее производная в (a ; b ) не отрицательна , т.е. f ¢(x ) ³ 0;

б ) если f (x ) убывает, то ее производная в (a ; b ) не положительна , т.е. f ¢(x ) £ 0.

Доказательство. а). Пусть функция f (x ) возрастает в (a ; b ), т.е. для любых x 1 , x 2 из (a ; b ) выполняется соотношение: x 1 < x 2 ® f (x 1) < f (x 2). Тогда, для указанных точек x 1 , x 2 следующее отношение положительное:

Отсюда следует, что производная f ¢(x 1) ³ 0. Утверждение а б ).

Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f ¢(x ) > 0 на (a ; b ), то f (x ) возрастает на (a ; b );

б) если f ¢(x ) < 0 на (a ; b ), то f (x ) убывает на (a ; b ).

Доказательство. а). Пусть f ¢(x ) > 0 на (a ; b ) и точки x 1 , x 2 из (a ; b ) такие, что x 1 < x 2 . По теореме Лагранжа, существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f (x 2) - f (x 1) > 0, т.е. f (x 2) > f (x 1) . Это означает, что f (x ) возрастает на (a ; b ). Утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 9. Функция у = х 3 всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у ¢= 3х 2 всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.

Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х 4 - 0,5х 2 .

Решение. Находится производная данной функции у ¢ = х 3 - х , и строятся промежутки, в которых х 3 - х положительная или отрицательная. Для этого сначала находятся критические точки, в которых у ¢ = 0: х 3 - х = 0 ® х (х + 1)(х -1) = 0 ® х 1 = 0, х 2 = -1 х 3 = 1. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Черт.36.

В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у ¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у ¢ > 0 на промежутках (-1; 0) и (1; +¥), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у ¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Определение 3 . 1). Точка х о называется точкой максимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наибольшее, т.е. f (x о) > f (x ) для всех х из (a ; b ).

2). Точка х о называется точкой минимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наименьшее, т.е. f (x о) < f (x ) для всех х из (a ; b ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции ). Если х о является точкой экстремума функции f (x ) и существует производная

f ¢(x 0), то f "(x 0) = 0.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.

Точка x 0 , в которой f ¢(x 0) = 0 или f ¢(x 0) не существует, называется критической точкой функции f (x ). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум , т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.

Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции) . Пусть f (x ) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку х о ( кроме, быть может, самой точки х о). Тогда :

а ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с + на - , то х о является точкой максимума функции f (x );

б ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с - на +, то х о является точкой минимума функции f (x ).

Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а ). Возьмем точку х (из указанного интервала) такую, что х < х о, и применим теорему Лагранжа к интервалу (х ; х о). Получим: f (x 0) - f (x ) = (x 0 - x )×f ¢(x 1), где x 1 – некоторая точка из (х ; х о). По условию, f ¢(x 1) > 0 и (x 0 - x ) > 0, поэтому f (x 0) > f (x ) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > х о тоже f (x 0) > f (x ). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 11. В примере 9 показано, что функция у = х 3 всюду возрастает, следовательно, она не имеет экстремумов. Действительно, ее производная у" = 3х 2 равна нулю только при х о = 0, т.е. в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции. Но при переходе через 0 ее производная у" = 3х 2 не меняет знак, поэтому х о = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Пример 12. В примере 10 показано, что функция у = 0,25х 4 - 0,5х 2 имеет критические точки х 1 = 0, х 2 = -1, х 3 = 1. На чертеже 34 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х 1 , х 2 , х 3 - точки экстремума, при этом х 1 = 0 - точка максимума, а х 2 = -1, х 3 = 1 - точки минимума.

Далее, делается чертеж к этому примеру. Функция f (x ) = 0,25х 4 - 0,5х 2 исследуется на четность : f (-x ) = 0,25(-х ) 4 - 0,5(-х ) 2 = f (x ), следовательно, эта функция четная, и ее график симметричен относительно оси ОY . Строятся найденные выше точки графика и некоторые вспомогательные точки, лежащие на графике, и они соединяются плавной линией.

y = 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 max 1 х Ö `1/3 –0,14 A B

Черт.37.

Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума ). Пусть х 0 – критическая точка функции f (x ), и существует производная второго порядка f ¢¢(х 0). Тогда :

a ) если f ¢¢( х 0) < 0, то х 0 – точка максимума функции f (x );

б) если f ¢¢(х 0) > 0, то х 0 - точка минимума функции f (x ).

Доказательство этой теоремы не рассматривается (см.).

Пример 13. Исследовать на экстремум функцию y = 2x 2 - x 4 .

Решение. Находится производная y ¢ и критические точки, в которых

y ¢= 9: y ¢= 4x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 - критические точки. Находится производная второго порядка y ¢¢ и вычисляются ее значения в критических точках: y ¢¢= 4 –12х 2 ; y ¢¢(0) = 4, y ¢¢(1) = –8, y ¢¢(-1) = –8. Так как y ¢¢(0) > 0, то x 1 = 0 - точка минимума; и так как y ¢¢(1) < 0, y ¢¢(-1) < 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 - точки максимума данной функции.

Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a ; b ] называются наибольшее и наименьшее значения f (x ) на [a ; b ]. Эти экстремумы достигаются или в критических точках функции f (x ), или на концах сегмента [a ; b ].

Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х 2 ×lnx на промежутке .

Решение. Находится производная данной функции и ее критические точки: у ¢ = 2x ×lnx + x 2 ×(1/x ) = x ×(2lnx +1); x ×(2×lnx +1) = 0 ® а) х 1 = 0; б) 2×lnx + 1 = 0 ® ln x = -0,5 ® х 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e » 0,607. Критическая точка х 1 = 0 не входит в рассматриваемый промежуток , поэтому находятся значения функции в точке х 2 = e - 0,5 и на концах а = 0,5, b = e . у (e -0,5) = (e - 0,5) 2 ×ln (e - 0,5) = e - 1 (-0,5) = -0,5/e » -0,184; у (0,5) = 0,25×ln 0,5 » 0,25(-0,693) = -0,17325; у (e ) = e 2 ×lne = e 2 ×1» 7,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение »7,389 в при х = е , наименьшее значение » -0,184 в при х = e - 0,5 .

Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у , и требуется найти такое значение х , при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1) выбирается экстремальная величина y , максимум или минимум которой необходимо найти;

2) выбирается переменная х , и y выражается через х ;

3) вычисляется производная у " и находятся критические точки, в которых у " равна 0 или не существует;

4) исследуются критические точки на экстремум;

5) рассматриваются значения y на концах, и вычисляется требуемая в задаче величина.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 - 0,3х + 0,003х 2 . Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляется производная: у" = -0,3 +0,006х , и находится критическая точка: -0,3 + 0,006х = 0 ® х о = 50 . Теперь, прменяется второе достаточное условие экстремума: у"" = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х о = 50 - точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18 - 0,3×50 + 0,003×50 2 = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим .

Решение. Осуществляются указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y - объем коробки.

2). За х (см) берется сторона вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х ), его площадь равна (60 – 2х ) 2 . Следовательно, объем коробки равен y = х (60 – 2х ) 2 = 3600х - 240х 2 + 4х 3 .

3). Вычисляется производная и находятся критические точки: у" = 3600 - 480х + 12х 2 ; х 2 - 40х +300 = 0 ® х 1 =10, х 2 =30 - критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у"" = - 480 + 24х и у"" (10) = -240, у"" (30) = 240. По теореме 8, х 1 =10 - точка максимума и y max = 400 (см 3).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х 3 = 0. Но у (0) = 0 - это меньше чем y max .

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, — чертеж должен лишь иллюстрировать то или ин е свойство функции на ее графике. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.

Определение 1. Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 — любые две точки прс лежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.

1. Линейная функция у = kx +m

Если k > О, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2
следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.
Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая
функция.

2. Функция у = х2

1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых
неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).
Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).

3. Функция у

1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 — положительные числа, то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).

2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 — отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравен-
ства — положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Решение.

1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим график функции и выделим его часть на отрезке (рис. 131).

3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).
Прочитаем график функции у = f(x).
1. Область определения функции — вся числовая прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче }