ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಒಮ್ಮುಖದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಒಮ್ಮುಖದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸರಣಿ

ಜೀನ್ ಲೆರಾನ್ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು, ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಬ್ಯಾಲಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು ಇದರಿಂದ ಹಿಸ್ ಮೆಜೆಸ್ಟಿಯ ಫಿರಂಗಿ ಚೆಂಡುಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹಾರುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆತಿಲ್ಲ; ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಸೈನ್ಯದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬೇರೆಡೆಗೆ ಹೋಗುವುದು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ.

ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು?

ಮೊದಲು ವಿಮರ್ಶೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಿತಿ. ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1) ಛೇದವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
2) ಬಹುಪದಗಳು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇವೆ.
3) ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಬಹುಪದಗಳು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

1) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು (ಸರಣಿಯ "ಸ್ಟಫಿಂಗ್") ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಷಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

2) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎಂದರೇನು? ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಕೇವಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಂದ್ರೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ:

…

…

! ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಅಥವಾ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

3) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ "ಅಂಶಗಳ ಸರಪಳಿ" ಇದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ! ಅಂತಹ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ತಪ್ಪನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಉದಾಹರಣೆ 6 ನೋಡಿ.

ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸರಣಿಯ ಭರ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ; ಇದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ನೀವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎರಡೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು; ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳು, ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಇರಬಹುದು, ಅದು ಇರುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಏನಾದರೂಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ - ಮತ್ತು ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ: ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ನಂತರದ ಪದದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ: , ನಂತರ:
ಎ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಬಿ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ
ಸಿ) ಯಾವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅವರು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಳ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರು, ವಿಷಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಮಿತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುನ್ನಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಈಗ ಬಹುನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಖಚಿತವಾದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ, ಕೆಳಗಿನ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು.

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

(1) ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಬದಲಿ ಬದಲಿಗೆ: .
(2) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅನುಭವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.
(3) ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನಾಲ್ಕು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
(4) ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
(5) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ.
(6) ನಾವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಛೇದಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(7) ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. 3 ನೇ, 4 ನೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಉನ್ನತ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು "ಟರ್ಬೊ" ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ
ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು:

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

(1) ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(2) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
(3) ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: , ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದದ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದವರಿಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ: ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದರೆ, ನಾವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅದೇ ಹಿರಿಯ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: . ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಳುವಂತೆ, ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು - ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅದೇ ಕ್ರಮ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸುತ್ತಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಜೋಡಿ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು , ಅವುಗಳು ಕೂಡ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅದೇ ಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಅವರ ಅನುಪಾತವು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ "ಹ್ಯಾಕ್" ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗೌರವರಹಿತವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ: ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು) ಇದ್ದರೆ, ನಾನು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು "ದೀರ್ಘ" ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ. ನಾನು 3ನೇ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡರೆ ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳು, ನಾನು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಂತೆಯೇ "ಟರ್ಬೊ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 .

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

(1) ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ: . ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಬದಲಿಗೆ ನೀವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಹೀಗೆ: .
(2) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
(3) ಪದವಿಯಿಂದ ಏಳನ್ನು ಪಿಂಚ್ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು - ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ನೋಡಿ.
(4) ನಾವು ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.
(5) ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
(6) ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 5ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವುಗಳ ಭರ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ "ಸರಪಳಿ" ಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಣಿಗಳಿವೆ; ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿಲ್ಲ. ಅಂಶಗಳ "ಸರಪಳಿ" ಯೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು? ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಛೇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ , ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯ:
. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ

ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು: ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆ

ಆಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕೌಚಿಯ ಜೀವನ ಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶೇಷತೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರವಾದ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ. ಐಫೆಲ್ ಟವರ್‌ನ ಮೊದಲ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ ಕೌಚಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ:ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ: , ನಂತರ:
ಎ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಿ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ಯಾವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಮಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು "ಕೆಲಸ" ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀವು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು?ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿಪದವಿಯಲ್ಲಿದೆ "en" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ. ಅಥವಾ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರಿಂದ "ಒಳ್ಳೆಯದು" ಎಂಬ ಮೂಲವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ. ವಿಲಕ್ಷಣ ಪ್ರಕರಣಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚಿಂತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 7ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಾದ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

(1) ನಾವು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.
(2) ನಾವು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲವಿಲ್ಲದೆ, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ.
(3) ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ
(4) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಬಹುದು ದೂರದ ದಾರಿ: ಘನ, ಘನ, ನಂತರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿ. ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ: ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಪದವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಶಕ್ತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು (ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿ) ಭಾಗಿಸಿ.
(5) ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(6) ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅದಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಮತ್ತು ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
ನಾವು ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

(1) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ.
(2) ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ರೂಟ್ ಇಲ್ಲದೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ: .
(3) ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(4) ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ನೇರವಾಗಿ "en" ನಿಂದ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಛೇದದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: , ನಂತರ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಿಕ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವಿಭಿನ್ನ(5 ಮತ್ತು 6), ಆದ್ದರಿಂದ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ) (ಮೂಲಕ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ - ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ ವಿಭಿನ್ನಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ).
(5) ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವಧಿಯಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(6) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ಸರಳವಾದ ಮಿತಿ ಉಳಿದಿದೆ: ಏಕೆ ಒಳಗೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದುಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆಯೇ? ಏಕೆಂದರೆ ಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ನ್ಯಾಯೋಚಿತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅನುಮಾನವಿದ್ದರೆ, ನಾನು ಸೋಮಾರಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ:
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
… ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನಂತಕ್ಕೆ - ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ:
(7) ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಚೋದನಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ :. ಇಲ್ಲಿ ಘಾತದಲ್ಲಿ "ಎನ್" ಇಲ್ಲ, ಸ್ಥಿರ ಮಾತ್ರ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು (ನೀವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ), ತದನಂತರ ಲೇಖನದಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಲುಗಳು. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು.
ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆ

ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದವರನ್ನು ನಾನು ನಿರಾಶೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮೊದಲ ರೀತಿಯ. ರಂದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ, ಆದರೆ ಅರ್ಥವಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ತಕ್ಷಣವೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಮಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ:ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಈ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 11 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಬಹುತೇಕ ಕ್ಲಾಸಿಕ್. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬುಲ್ಶಿಟ್.

ಕೌಚಿ ಸಮಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯ. ವಿಷಯದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನನೀವು ಬಹುಶಃ ಸರಳವಾದ ಟೇಬಲ್ ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ: , ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಹ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು? ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ "ಕೌಂಟರ್" ನಿಂದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: . ನಂತರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು "ಅವನು" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ "ಭರ್ತಿ" ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: . ಏನೋ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ..., ಓಹ್, ಹೌದು, ನೀವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅಂಟಿಸಬೇಕು: .

ಈಗ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಓದುವುದು ಕಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಬಳಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮೊದಲ ರೀತಿಯ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ವರೂಪವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು; ಇದು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 13 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ "ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳ" ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಬೇಕು ಈ ಸರಣಿಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮೋಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೆ, ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೂ ಆಡಂಬರದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ.

! ಸೂಚನೆ:ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಅಲ್ಲ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ!!!

ಉದಾಹರಣೆ 14 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸವು ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುವ ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದಂತೆ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 3:ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ: "ಟರ್ಬೊ" ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು: ತಕ್ಷಣವೇ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡಿ: "ಅದೇ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ."

ಉದಾಹರಣೆ 5: ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10:
ನಾವು ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಪದವಿ, ಆದ್ದರಿಂದ

ಉದಾಹರಣೆ 12: ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 14: ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ.
ಗಮನಿಸಿ: ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಹೋಲಿಕೆಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡ . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು.

ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳು. ಲೀಬ್ನಿಜ್ನ ಚಿಹ್ನೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈ ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು: ಸರಣಿ ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ, ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ , ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಲುಗಳುಮತ್ತು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ. ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಈ ಪಾಠವು ಸತತವಾಗಿ ಮೂರನೆಯದು, ಮತ್ತು ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಈಗಾಗಲೇ ಆವರಿಸಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಸಹ ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ! ಸ್ವಲ್ಪ ನವೀನತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿ ಎಂದರೇನು?ಇದು ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ಈಗ ಕೊಲೆಗಾರ ಕಾಮೆಂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ: ಪ್ಲಸ್, ಮೈನಸ್, ಪ್ಲಸ್, ಮೈನಸ್, ಪ್ಲಸ್, ಮೈನಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನಂತತೆಗೆ.
ಜೋಡಣೆಯು ಗುಣಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು "ಫ್ಲಾಶರ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೈನಸ್ ಒಂದರಿಂದ "en" ಪದವಿಗೆ "ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದು".

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಗುಣಕದಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಒಡಹುಟ್ಟಿದವರಿಂದಲೂ ಒದಗಿಸಬಹುದು: , , , .... ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮೋಸವು "ವಂಚನೆಗಳು": , , ಇತ್ಯಾದಿ. - ಅಂತಹ ಗುಣಕಗಳು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಡಿ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ: , , . ವಂಚನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಾಲುಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ "ತಮ್ಮಿಂದಲೇ" ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿ.

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು?ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಜರ್ಮನ್ ದೈತ್ಯ ಚಿಂತನೆಯ ಗಾಟ್‌ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಗಣಿತದ ಕೃತಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಮೆದುಳಿಗೆ ಅಪಾಯಕಾರಿ.

ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ:

2) ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ: . ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ.

ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಎರಡೂಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಗಣಿತಜ್ಞರು , ಆದರೆ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ:

"ಮಾಡ್ಯುಲೋ" ಎಂದರೆ ಏನು? ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ನಾವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ". ಸಾಲಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಎರೇಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನಸರಣಿ ಸದಸ್ಯ ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನುಡಿಗಟ್ಟುಗಳು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತವೆ:

- ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆ.
- ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ.
- ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ.
– ಘಟಕಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: ಸಹಾಯದ ಅಂತ್ಯ

ಈಗ ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಏಕತಾನತೆಯು ನೀರಸ ಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ.

ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ: . ಸರಣಿಯು ಇಳಿಕೆಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಅಥವಾ ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು: ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ: .

ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲಸರಣಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೆಳಗಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ: . ಅಪವರ್ತನೀಯದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಡಿಲವಾದ ಏಕತಾನತೆಯಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ: .

ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು (ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಮಾಡಬಹುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಣಿಯ "ಬಾಲ" ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕು. ನಾನು ರಾಶಿ ಹಾಕಿದ್ದಕ್ಕೆ ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೀವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

1) ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಲನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧಾರದ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ತೀರ್ಪು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆಯೇ? ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

- ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಇಳಿಕೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಸಮಾನವಾದದ್ದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ತುಂಬಾ ಸರಳ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕಾನ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದನ್ನು ರಚಿಸಲು, ನೀವು ಛಾವಣಿಯಿಂದ ಮಿನುಗುವ ಬೆಳಕನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು . ನಾವು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ "ಮಿನುಗುವ ಬೆಳಕನ್ನು" ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ.

2) - ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ: ಹೀಗಾಗಿ, ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಆದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯವಲ್ಲ!

ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಣಿ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿ ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಅವರು ಸರಣಿ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಕಾರ್ಯಸೂಚಿಯಲ್ಲಿದೆ - ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.

ಇದು ನನ್ನ ತಪ್ಪು ಅಲ್ಲ - ಇದು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ =)

ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ - ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ: - ಡೈವರ್ಜ್ಗಳು (ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ).

ಹೀಗೆ ನಮ್ಮ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಬಕೆಟ್‌ಗಳು, ಸಲಿಕೆಗಳು, ಕಾರುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಅಗೆಯುವ ಕ್ಯಾಬಿನ್‌ನಿಂದ ವಿಶಾಲವಾದ ತೆರೆದ ಕಣ್ಣುಗಳಿಂದ ಜಗತ್ತನ್ನು ನೋಡಲು ಸ್ಯಾಂಡ್‌ಬಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

1)
ಈ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ.

2) - ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ: ಇದರರ್ಥ ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿಯ ಭರ್ತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದರಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಇಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸರಣಿಯು ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳು ಸರಳ ಮತ್ತು ನೀರಸವಾಗಿವೆ! ಆದರೆ ಪುಟವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ, ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಪರದೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನೇಕರನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಧ್ಯೆ, ಅಭ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
1) ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ.
2)
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ, ಅಂದರೆ ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಕಷ್ಟ" ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಲಾಗದ ಸೋಮಾರಿತನದಿಂದಾಗಿ, "ಸರಣಿಯು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಕ, ಈ ಹಂತವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ(ಕನಿಷ್ಠ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ) ಸರಣಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ತ್ವರಿತ ನೋಟವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. "ವಂಚನೆಗಳು" ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಡಿ, , , ಅವುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು, ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ "ನಿಯಮಿತ" ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಎರಡನೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯು ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನುಡಿಗಟ್ಟುಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ್ದೇನೆ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೆಟ್ಟದ್ದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ - ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೌನವಾಗಿರುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವಿವರವಾದ ಸರಪಳಿಗಳವರೆಗೆ (ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡಿ). ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕತಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು "ಕಡಿಮೆ" ಪದವನ್ನು "ಇನ್ನಷ್ಟು" ಎಂಬ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಲು ಇದನ್ನು ಸಹ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
1) ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ, ದೈನಂದಿನ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್. ಈ ಮಿತಿ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ? ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಅನಂತಕ್ಕೆ? ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು- ಅಂಶ ಅಥವಾ ಛೇದ.

ಸೂಚನೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳು, ಆದರೆ ಇದು ಸಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶವು ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ, ಆಗ . ಅನಂತದಲ್ಲಿ, ಅಪವರ್ತನವು ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ "ಎಳೆಯುತ್ತದೆ": . ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಈ ಮಿತಿಯು ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ?

ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
ನೀವು ಸಾವಿರದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಅಂತಹ ಭಯಾನಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು "ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ". ಅಪವರ್ತನೀಯ ಹೆಚ್ಚು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕಬೆಳವಣಿಗೆಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ.

- ಅಪವರ್ತನೀಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಉತ್ಪನ್ನಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು (ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣ).

– ಯಾವುದಾದರುಘಾತೀಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಪವರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್‌ಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: , . ಘಾತೀಯ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ. ಅಪವರ್ತನೀಯದಂತೆಯೇ, ಘಾತೀಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಥವಾ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಡ್ರ್ಯಾಗ್" ಮಾಡುತ್ತದೆ: .

- ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ "ತಂಪಾದ" ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ? ತಿನ್ನು! ಪವರ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ (“en” ಗೆ ಪವರ್ “en”) ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದು ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ಮಾಹಿತಿಯು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಹಾಯದ ಅಂತ್ಯ

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು (ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿದೆಯೇ? =)) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
2), ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮವು ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ.
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪ್ರಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪಾದ ಆರಂಭಿಕ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ, "en" ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಪವರ್ತನವು ಅಂಶದಿಂದ ಹಿಂದಿಕ್ಕಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ "ಬಾಲ" ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ "ಎನ್" ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನ: ಅಧ್ಯಯನ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗಾಗಿ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಅದೇ ಒಪೆರಾದಿಂದ ಒಂದು (ಸಹಾಯವನ್ನು ಪುನಃ ಓದಿ), ಆದರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಗೌರ್ಮೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಒಮ್ಮುಖದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 9ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 10ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಉನ್ನತ-ಗುಣಮಟ್ಟದ ಅಧ್ಯಯನದ ನಂತರ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿ, ಕಡಿಮೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 4: ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಈ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ.
2)
ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.. , ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಿಂದ ಹಿಡಿದು ಅದನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವವರೆಗೆ.

ಲೇಖನದ ವಿಮರ್ಶೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ .

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಛೇದ q = -0.5 ನೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: .

ಕರೆ ಮಾಡಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯಅಥವಾ ಸರಣಿಯ kth ಸದಸ್ಯ.

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ ಇದೆ .

ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳುಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ.

ನಮ್ಮ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ.

ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, .

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಹದಿನಾರು ಮೂರನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ: . n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ: .

ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆ .

ರೂಪದ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆದರು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ.

ರೂಪದ ಮೊತ್ತ , ಅಲ್ಲಿ s ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ; ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು , ಇದು ನಮಗೆ ಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ .

ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ,

ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಮಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಊಹೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಛೇದನ q ನೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ .

ಯಾವಾಗ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ

ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

q = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಇದರ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳು ನಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

q = -1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ . ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಬೆಸ n ಮತ್ತು ಸಮ n ಗಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಯಾವಾಗ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ

ಇದು ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು s > 1 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ.

s = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ನಾವು ಅದರ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು (ಯಾವುದೇ ಪರಿಮಿತ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ). ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಸದಸ್ಯರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ); ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು s ನಂತೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

s > 1 ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಂತರ

n = 2, 4, 8, 16, … ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಛೇದವು . ನಾವು s > 1 ಗಾಗಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ. ಅದಕ್ಕೇ
. ಹೀಗಾಗಿ, s > 1 ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಗ್ನಲ್ಟರ್ನೇಟಿಂಗ್, ಅದರ ನೆರೆಯ ಸದಸ್ಯರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ , ಎಲ್ಲಿ .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಸಾಲುಗಳು

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ, ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ, ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ , ಇದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ . ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ , ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ.

ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಣಿಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ . ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು s > 1 ಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗಿನ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: . ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಮೂರನೇ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಣಿಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಮೂರನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ.

ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದವು ಒಂದು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದವು 3 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು 1/3 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ .

ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ kth ಪದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಗತ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ , ಆಗ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯು ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಮಿತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ n ನೇ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನೀವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೀರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ತಿರುಗಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು.

ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅವುಗಳ ಸಾರವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಸರಣಿಯ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆ.

ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ k = 1, 2, 3, ... ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ kth ಪದದ ಘಾತವು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ kth ಪದದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಘಾತಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಘಾತಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 2 - 3 = -1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ನಾವು kth ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕೆಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದಿಂದ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ರಿಂದ . ಅಸಮಾನತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಕೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು s > 1 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ನಾನು ಯಾವ ಸಾಲನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು s ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆರಂಭಗೊಂಡು N (ಅಂದರೆ, N = 1619 ರಿಂದ), ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆರಂಭಗೊಂಡು N, ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ. ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೊದಲ N – 1 ಪದಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೋಲಿಕೆಯ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು , ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಇನ್ನೊಂದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನತೆಯು ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಣಿಯಾಗಿ ನಾವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ kth ನಿಯಮಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ . ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. kth ನಿಯಮಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಾವು ಮೂರನೇ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿರಲಿ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ N ನಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ; ಬಳಸಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿರಲಿ. ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೌಚಿಯ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿರಲಿ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೋಲುವ ನಿರಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ y = f(x) ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲಿ, ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ , ಅಲ್ಲಿ ). ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯು ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.
ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ. ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಕೆಲಸ, ಕೆಲಸ - ಮತ್ತು ತಿಳುವಳಿಕೆ ನಂತರ ಬರುತ್ತದೆ
ಜೆ.ಎಲ್. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್

ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಭಿನಂದನೆಗಳು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷ! ಇಂದು ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1, ಮತ್ತು ರಜಾದಿನದ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ, ನೀವು ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ಎದುರುನೋಡುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ತಿಳಿಯಲು ಉತ್ಸುಕರಾಗಿರುವುದನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲು ನಾನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮೊದಲ ರಜಾದಿನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಅಭಿನಂದನೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೇಸಿಗೆಯ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ನೀವು ಈಗ ಮೂರನೇ ಬಾರಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದೀರಿ, ನೀವು ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿದ್ದರೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ!

ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಿರುವವರಿಗೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಟ್ ಔತಣಕೂಟದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಂದು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಷಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೋಲಿಕೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ. ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ನಾನು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ, ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ವಿಷಯವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿವೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಜೀನ್ ಲೆರಾನ್ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬ್ಯಾಲಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಇದರಿಂದ ಹಿಸ್ ಮೆಜೆಸ್ಟಿಯ ಫಿರಂಗಿ ಚೆಂಡುಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹಾರುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆತಿಲ್ಲ; ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಸೈನ್ಯದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬೇರೆಡೆಗೆ ಹೋಗುವುದು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ.

1) ಛೇದವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
2) ಬಹುಪದಗಳು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇವೆ.
3) ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಬಹುಪದಗಳು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು.
4) ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಇರಬಹುದು.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

1) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು (ಸರಣಿಯ "ಭರ್ತಿ") ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , , ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಷಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

2) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪಾಠದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಪವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕತ್ತಿಗಳನ್ನು ದಾಟಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಯಂ-ಜೋಡಿಸಲಾದ ಮೇಜುಬಟ್ಟೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಹರಡಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

…

…

ಮಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಳ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರಿಗೆ, ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಮಿತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುನ್ನಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಬಹುನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಖಚಿತವಾದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ, ಕೆಳಗಿನ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು.

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
(1) ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬದಲಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ: .
(2) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅನುಭವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.
(3) ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನಾಲ್ಕು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
(4) ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
(5) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ.
(6) ನಾವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಛೇದಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(7) ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ

ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು:

(1) ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

(3) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: , ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದದ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದವರಿಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ: ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದರೆ , ನಂತರ ನಾವು ಹಿರಿಯ ಪದವಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅದೇ ಹಿರಿಯ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: . ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಳುವಂತೆ, ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು - ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅದೇ ಕ್ರಮ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸಿ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಜೋಡಿ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು , ಅವುಗಳು ಕೂಡ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅದೇ ಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಅವರ ಅನುಪಾತವು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ "ಹ್ಯಾಕ್" ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗೌರವರಹಿತವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ: ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು) ಇದ್ದರೆ, ನಾನು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು "ದೀರ್ಘ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ. ನಾನು 3 ನೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡರೆ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಂತೆಯೇ "ಟರ್ಬೊ" ವಿಧಾನ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
(1) ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು: . ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಬದಲಿಗೆ ನೀವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಹೀಗೆ: .
(2) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
(3) ಪದವಿಯಿಂದ ಏಳನ್ನು ಪಿಂಚ್ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು - ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ.
(4) ನಾವು ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.
(5) ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
(6) ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಛೇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಿರುವುದನ್ನು ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯ:
. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ

ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ

ಆಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಯಾವುದೇ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕೌಚಿಯವರ ಜೀವನ ಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರವಾದ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ. ಐಫೆಲ್ ಟವರ್‌ನ ಮೊದಲ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ:ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ: , ನಂತರ:
ಎ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಿ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ಯಾವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು "ಕೆಲಸ" ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀವು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು?ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಒಳ್ಳೆಯದು" ಎಂಬ ಮೂಲವನ್ನು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಮೆಣಸು ಒಂದು ಪದವಿಯಲ್ಲಿದೆ ಇದು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಿಲಕ್ಷಣ ಪ್ರಕರಣಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚಿಂತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

"en" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

(1) ನಾವು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲವಿಲ್ಲದೆ, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ.
(3) ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ
(4) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಬಹಳ ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು: ಘನ, ಘನ, ನಂತರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ಘನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ: ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಪದವಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು (ಬಹುಪದಗಳ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿ) ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ.

(5) ನಾವು ಟರ್ಮ್-ಬೈ-ಟರ್ಮ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(6) ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಮತ್ತು ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
ನಾವು ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

(1) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ.

(2) ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮೂಲವಿಲ್ಲದೆ: .
(3) ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(4) ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪದವಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಒಂದು ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ:ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ನಮ್ಮದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (5 ಮತ್ತು 6), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಮಹಡಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ). ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ (1 ಮತ್ತು 1): , ನಂತರ ಅಂತಹ ಟ್ರಿಕ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೀವು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದ್ದರೆ, ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.

(5) ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವಧಿಯಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
(6) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ನಮಗೆ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಿಡಲಾಗಿದೆ: . ಏಕೆ ಒಳಗೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದುಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆಯೇ? ಏಕೆಂದರೆ ಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ನ್ಯಾಯೋಚಿತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅನುಮಾನವಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನಾನು ಸೋಮಾರಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ:
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
ವೇಳೆ, ನಂತರ
… ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನಂತಕ್ಕೆ - ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ:

ಹಾಗೆ ಸುಮ್ಮನೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದುನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ =)
! ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬೇಡಿ! ಏಕೆಂದರೆ ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಸರಿ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

(7) ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ. ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದವರನ್ನು ನಾನು ನಿರಾಶೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮೊದಲ ರೀತಿಯ.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತುಂಬಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಬಹುತೇಕ ಕ್ಲಾಸಿಕ್. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬುಲ್ಶಿಟ್.

ಕೌಚಿ ಸಮಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೋಲುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಿಷಯದಿಂದ

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆ ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

2) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕತ್ತಿಗಳನ್ನು ದಾಟಿದೆವು ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಯಂ-ಜೋಡಿಸಲಾದ ಮೇಜುಬಟ್ಟೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಹರಡಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

…

…

ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎರಡೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು; ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳು, ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಇರಬಹುದು, ಅದು ಇರುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಏನಾದರೂಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಳು - ಮತ್ತು ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ: ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ನಂತರದ ಪದದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ: , ನಂತರ:
ಎ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಿ) ಯಾವಾಗ ಸಾಲು ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ಯಾವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅವರು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಬಹುನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ

ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ "ಹ್ಯಾಕ್" ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗೌರವರಹಿತವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ: ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು) ಇದ್ದರೆ, ನಾನು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು "ದೀರ್ಘ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ. ನಾನು 3 ನೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡರೆ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಂತೆಯೇ "ಟರ್ಬೊ" ವಿಧಾನ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ.
(4) ನಾವು ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.
(5) ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
(6) ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

1) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು (ಸರಣಿಯ "ಸ್ಟಫಿಂಗ್") ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವು ಅಲ್ಲಿವೆ.

2) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎಂದರೇನು?

…

…

3) ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ "ಅಂಶಗಳ ಸರಪಳಿ" ಇದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಈ ಪ್ರಕರಣ ಅಪರೂಪ.

ಮಿತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುನ್ನಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ:
ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಖಚಿತವಾದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆ.

! ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಮಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು "ಕೆಲಸ" ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

!!! ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀವು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು?ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿಪದವಿಯಲ್ಲಿದೆ "en" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ. ಅಥವಾ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರಿಂದ "ಒಳ್ಳೆಯದು" ಎಂಬ ಮೂಲವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ. ವಿಲಕ್ಷಣ ಪ್ರಕರಣಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚಿಂತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ:ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಾದ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮೊದಲ ರೀತಿಯ.

ನಾನು ಅದನ್ನು ನನ್ನ ಸ್ವಂತ ಮಾತುಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ (ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಸುಲಭಕ್ಕಾಗಿ).

ಸಮಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ:ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ. ಈ ಸರಣಿಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

! !! ಕೌಚಿ ಸಮಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ:ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ವಿಷಯದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನನೀವು ಬಹುಶಃ ಸರಳವಾದ ಟೇಬಲ್ ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ: , ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಹ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು? ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ "ಕೌಂಟರ್" ನಿಂದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: . ನಂತರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು "X" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ "ಭರ್ತಿ" ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಈಗ ನಾವು ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ:ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಅಗತ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ. ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಸ್ವಲ್ಪ ರಕ್ತಪಾತ" ದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅವಕಾಶ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮ, ಗಿಂತ , ಆದ್ದರಿಂದ , ಅಂದರೆ, ಒಮ್ಮುಖದ ಅಗತ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯಾವುದು? ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಿತಿಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹಿಂಡಲಾಗಿದೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳುಸಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ನಾವು ಮೂಲಕ ಹೊರಬರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ.

"ದೃಶ್ಯದ ತಪಾಸಣೆ" ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಕರಣ), ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು?

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉಳಿದಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೂರದ ಶೆಲ್ಫ್ನಲ್ಲಿ ಧೂಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ - ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ:

ಮತ್ತು, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಆಗಿರುತ್ತಾರೆ ಇನ್ನಷ್ಟುಸಂಬಂಧಿತ ಸದಸ್ಯರು ಭಿನ್ನವಾದ ಸಾಲು.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಚದುರಿಹೋಗುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ದಾರಿಯಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ "ಅನಂತ ಬಾಲ" (ಉಳಿದಿರುವುದು) ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು - ಇದು ತೀರ್ಮಾನದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮುಗಿದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:

ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ.
ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಲುಗಳು. ಲೀಬ್ನಿಜ್ನ ಚಿಹ್ನೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿ ಎಂದರೇನು?ಇದು ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ.

ಸರಣಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ಜೋಡಣೆಯು ಗುಣಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಮೋಸವು "ವಂಚನೆಗಳು": , , ಇತ್ಯಾದಿ. - ಅಂತಹ ಗುಣಕಗಳು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಡಿ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ: , , .

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು?ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ: 1) ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. 2) ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮೊದಲ ಪದದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿ:

"ಮಾಡ್ಯುಲೋ" ಎಂದರೆ ಏನು? ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ನಾವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ". ಸಾಲಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ . ಎರೇಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನಸರಣಿ ಸದಸ್ಯ ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ.

ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ.

ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ: . ಒಂದು ಸಾಲಿಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಅಥವಾ ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು: ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ: .

ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲಸರಣಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೆಳಗಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ: . ಅಪವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಡಿಲವಾದ ಏಕತಾನತೆ ಇದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಮಾಡ್ಯೂಲೋಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ: .

ಉದಾಹರಣೆ:ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೀವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

1) ಏಕತಾನತೆಯ ಇಳಿಕೆಗಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

1<2<3<…, т.е. n+1>n -ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಿಲ್ಲ

2) - ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಕೂಡ ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ: - ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ.

2) - ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ - ಮತ್ತೆ ನಾವು ಗುಣಕವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಚಿಹ್ನೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ:
- ಡೈವರ್ಜ್ (ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ).

ಹೀಗೆ ನಮ್ಮ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
1) ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

…?!

ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶವು ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ, ಆಗ . ಅನಂತದಲ್ಲಿ, ಅಪವರ್ತನವು ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ, ಅದು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ "ಎಳೆಯುತ್ತದೆ": . ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಈ ಮಿತಿಯು ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ . ಬದಲಾಗಿ, ನೀವು ಸಾವಿರದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಅಂತಹ ಭಯಾನಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೂ "ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ". ಅಪವರ್ತನೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮ.

– ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಉತ್ಪನ್ನಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು(ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣ).

- ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ "ಬಲವಾದ" ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ? ತಿನ್ನು! ಪವರ್ ಘಾತೀಯ ಅನುಕ್ರಮವು (“en” ಗೆ “en” ನ ಶಕ್ತಿ) ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದು ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ಮಾಹಿತಿಯು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಹಾಯದ ಅಂತ್ಯ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಧ್ಯಯನದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
2) , ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮವು ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ.
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇಳಿಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪ್ರಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪಾದ ಆರಂಭಿಕ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ, "en" ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಪವರ್ತನವು ಅಂಶವನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ "ಬಾಲ" ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ "ಎನ್" ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ..

ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು (ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ).

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆ:ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದಾರಿ:

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ : ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸರಣಿಯು ಸ್ವತಃ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಅಧ್ಯಯನ ಸರಣಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲುನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯು ಸಹಿ ಮಾಡಲಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ - ಅವರ ಎನ್ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ. ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತದ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಎಸ್ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ: