ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ
§ 1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ವಿಧದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ: ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ (ನಿರಂತರ) ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ.
ಅಲ್ಲಿ р1+ r2+…+ рn=1
ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, p1+ p2+...+ pn+... ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ (xi; pi), i=1,2,…n. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಚಿತ್ರ 1).
ಸಾವಯವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ಸಾವಯವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.7 ಮತ್ತು 0.8. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಪರಿಹಾರ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: x1=0, x2=1, x3=2.
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
ನಿಯಂತ್ರಣ: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:
F(x)=P(X<х)
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) ಎಂಬುದು (-∞;+∞) ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯ;
3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ:
ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1 ಗೆ 0,
x1 ನಲ್ಲಿ р1< х≤ x2,
x2 ನಲ್ಲಿ F(x)= r1 + r2< х≤ х3
x> xn ಗೆ 1.
ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ:
§ 3. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೇರಿವೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X) ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:
M(X) = ∑ xiri= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1)M(C)=C, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), ಇಲ್ಲಿ X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;
5)M(X±C)=M(X)±C, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ ( X ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:
ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1)D(C)=0, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
2)D(X)>0, ಇಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ;
3)D(C X)=C2 D(X), ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ಇಲ್ಲಿ X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
ಅಲ್ಲಿ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
ವ್ಯತ್ಯಯ D(X) ಒಂದು ವರ್ಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, √D(X) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಸೂಚಕವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
P2, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್, ಹಾಗೆಯೇ M(X), D(X), σ(X).
ಪರಿಹಾರ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ F(x)=P(X ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು: F(x) ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. x≤-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)=0, ಏಕೆಂದರೆ (-∞;x) ನಲ್ಲಿ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ; ಒಂದು ವೇಳೆ -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; 0 ಆಗಿದ್ದರೆ<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) x1=-1 ಮತ್ತು x2=0 ಎಂಬ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; ಒಂದು ವೇಳೆ 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; x>3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳು x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ಮಧ್ಯಂತರ (-∞;x) ಮತ್ತು x5=3 ಗೆ ಬರುತ್ತವೆ. x≤-1 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0, -1 ನಲ್ಲಿ 0.1<х≤0, 0 ನಲ್ಲಿ 0.2<х≤1, 1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.5<х≤2, 2ಕ್ಕೆ 0.7<х≤3, x>3 ನಲ್ಲಿ 1 F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ದ್ವಿಪದ
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ A ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ q = 1-p ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ P(X=m) - n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ m ಬಾರಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m ಬೈನರಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> ಈವೆಂಟ್ A ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ "ಐದು ರೋಲಿಂಗ್" ಒಂದೇ ಮತ್ತು 1/6 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ . P(A)=p=1/6, ನಂತರ P(A)=1-p=q=5/6, ಅಲ್ಲಿ - "ಎ ಪಡೆಯಲು ವಿಫಲತೆ." ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0;1;2;3. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು X ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. ಅದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನಿಯಂತ್ರಣ: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4.ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮುದ್ರೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಯಾರಿಸಿದ ಭಾಗವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.002 ಆಗಿದೆ. 1000 ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) 5 ದೋಷಯುಕ್ತ; ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರ:
ಸಂಖ್ಯೆ n=1000 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p=0.002 ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಘಟನೆಗಳು (ಭಾಗವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವು ಹೊಂದಿದೆ: Рn(m)= ಇ-
λ
ಎಮ್ λ=np=1000 0.002=2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. a) 5 ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (m=5): 1000(5)= ಇ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈವೆಂಟ್ A - "ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ" ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ - "ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ." ಆದ್ದರಿಂದ, P(A) = 1-P(). ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: P(A)=1-P1000(0)=1- ಇ-2
20
= 1- ಇ-2=1-0.13534≈0.865. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು.
1.1
1.2.
ಚದುರಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: p4 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(X) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್, ಹಾಗೆಯೇ M(X), D(X), σ(X). 1.3.
ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 9 ಮಾರ್ಕರ್‌ಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 2 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 3 ಮಾರ್ಕರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎನ್ನುವುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಬರವಣಿಗೆಯ ಗುರುತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ. 1.4.
ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 6 ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 4 ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಗ್ರಂಥಪಾಲಕರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 4 ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎನ್ನುವುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ. 1.5.
ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9, ಎರಡನೆಯದು 0.7. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಎಂಬುದು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. 1.6.
ಮೂವರು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮೊದಲ ಶೂಟರ್‌ಗೆ 0.5, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ 0.8 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ 0.7. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂಬುದು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆದರೆ ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು, M(X),D(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.7.
ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಬಾಲ್ ಆಟಗಾರನು ಚೆಂಡನ್ನು ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಗೆ ಎಸೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು 0.8 ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹಿಟ್‌ಗೆ, ಅವನು 10 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅವನಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - 3 ಹೊಡೆತಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಬಾಲ್ ಆಟಗಾರನು ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. M(X),D(X), ಹಾಗೆಯೇ ಅವನು 10 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.8.
ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಒಟ್ಟು 5 ಸ್ವರಗಳು ಮತ್ತು 3 ವ್ಯಂಜನಗಳು. 3 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂಬುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸ್ವರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು M(X),D(X),σ(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.9.
ಸರಾಸರಿ, 60% ಒಪ್ಪಂದಗಳು ವಿಮಾ ಕಂಪನಿವಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಒಪ್ಪಂದಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 1.10.
ದ್ವಿಮುಖ ಸಂವಹನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವವರೆಗೆ ರೇಡಿಯೊ ಸ್ಟೇಷನ್ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ) ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕಳುಹಿಸಲಾದ ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.11.
3 ಕೀಲಿಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಲಾಕ್ಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ಕೀ ನಂತರದ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸದಿದ್ದರೆ, ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X-ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ. M(X),D(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.12.
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಾಗಿ ಮೂರು ಸಾಧನಗಳ ಸತತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಾಧನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಧನಕ್ಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9 ಆಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಾಧನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X-ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ. 1.13
.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x1=1, x2, x3, ಮತ್ತು x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಾಧನ ಬ್ಲಾಕ್ 100 ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. T ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.002 ಆಗಿದೆ. ಅಂಶಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. T ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 1.15.
ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು 50,000 ಪ್ರತಿಗಳ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.0002 ಆಗಿದೆ. ಪರಿಚಲನೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಎ) ನಾಲ್ಕು ದೋಷಯುಕ್ತ ಪುಸ್ತಕಗಳು, ಬಿ) ಎರಡು ದೋಷಯುಕ್ತ ಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ. 1
.16.
PBX ಗೆ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಬರುವ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್‌ನ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ λ=1.5 ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಎ) ಎರಡು ಕರೆಗಳು; ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕರೆ. 1.17.
Z=3X+Y ವೇಳೆ M(Z),D(Z) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 1.18.
ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: Z=X+2Y ವೇಳೆ M(Z),D(Z) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರಗಳು:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2 ನಲ್ಲಿ 0, -2 ನಲ್ಲಿ 0.3<х≤0, 0 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.5<х≤2, 2ಕ್ಕೆ 0.9<х≤5, 1 x>5 ನಲ್ಲಿ -1 ನಲ್ಲಿ 0.3<х≤0, 0 ನಲ್ಲಿ 0.4<х≤1, 1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.6<х≤2, 2ಕ್ಕೆ 0.7<х≤3, x>3 ನಲ್ಲಿ 1 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 ನಲ್ಲಿ x≤0, 0 ನಲ್ಲಿ 0.03<х≤1, 1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.37<х≤2, x>2 ಕ್ಕೆ 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 ಇ-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; ಬಿ) 0.00049 1.16.
a)0.0702; ಬಿ)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. ಅಧ್ಯಾಯ 2. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ನಿರಂತರ
ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಎಫ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು F(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> ಆರ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1)1≤ F(x) ≤1 2) ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 3) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ (a;b), [a;b], [a;b], F(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಆರ್(ಎ)<Х 4) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಆಗಿದೆ. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ (ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
:
ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ
f
(
X
)
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು f(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆ
.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8ಸೆ; b) F(x)= ∫ f(x)dx ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, x x≤2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 x>6 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. ಹೀಗಾಗಿ, x≤2 ನಲ್ಲಿ 0, F(x)= (x-2)2/16 ನಲ್ಲಿ 2<х≤6, x>6 ಕ್ಕೆ 1. F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ x≤0 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0, 0 ನಲ್ಲಿ F(x)= (3 ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x)/π<х≤√3, x>√3 ಗೆ 1. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x) ಪರಿಹಾರ:
ಏಕೆಂದರೆ f(x)= F’(x), ನಂತರ DIV_ADBLOCK93"> · ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M (X)
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: M(X)= ∫ x f(x)dx, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. · ಪ್ರಸರಣ
ಡಿ
(
X
)
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, ಅಥವಾ D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X)
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಚದುರಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಿರಂತರವಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.
2.1.
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: 0 ನಲ್ಲಿ x≤0, x≤ π/6 ಗಾಗಿ F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, F(x)= - π/6 ನಲ್ಲಿ 3x<х≤ π/3, x> π/3 ಗೆ 1. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x), ಮತ್ತು ಆರ್(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2 ನಲ್ಲಿ 0, 2 ನಲ್ಲಿ f(x)= c x<х≤4, x>4 ಕ್ಕೆ 0. 2.4.
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: 0 ನಲ್ಲಿ x≤0, 0 ನಲ್ಲಿ f(x)= c √x<х≤1, x>1 ಕ್ಕೆ 0. ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ; ಬಿ) M(X), D(X). 2.5.
x ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">, x ನಲ್ಲಿ 0. ಹುಡುಕಿ: a) F(x) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; ಬಿ) M(X),D(X), σ(X); ಸಿ) ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (1;4) ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯದ 2 ಪಟ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. 2.6.
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: f(x)= 2(x-2) ನಲ್ಲಿ x, x ನಲ್ಲಿ 0. ಹುಡುಕಿ: a) F(x) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; ಬಿ) M(X),D(X), σ (X); ಸಿ) ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ X ನ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಪಟ್ಟು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ . 2.7.
f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. ಹುಡುಕಿ: a) ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ c ಯ ಮೌಲ್ಯ; ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x). 2.9.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (3;7), ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x)= ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: a) 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, b) 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ. 2.10.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (-1;4), F(x)= ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: a) 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, b) 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ; ಬಿ) ಎಂ (ಎಕ್ಸ್); ಸಿ) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(X> M(X)). 2.12.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . ಹುಡುಕಿ: a) M(X); ಬಿ) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(X≤M(X)) 2.13.
ರೆಮ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: x ≥0 ಗಾಗಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">. ಎಫ್(x) ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. 2.14.
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(ಚಿತ್ರ 5) 2.16.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ " ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;4) (ಚಿತ್ರ 5). ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x) ಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರಗಳು
0 ನಲ್ಲಿ x≤0, x≤ π/6 ಗಾಗಿ f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, F(x)= 3sin 3x ನಲ್ಲಿ π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a ಗೆ 0, f(x)= a ಕ್ಕೆ<х x≥b ಗೆ 0. f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ: a) ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಫ್(x) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ; ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ; ಸಿ) M(X),D(X), σ(X). ಪರಿಹಾರ:
ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, a=3, b=7, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ನಲ್ಲಿ 3≤х≤7, x>7 ಕ್ಕೆ 0 ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3): x≤3 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">ಚಿತ್ರ 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ನಲ್ಲಿ x<0, x≥0 ಗಾಗಿ f(x)= λе-λх. ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> ಚಿತ್ರ 6 ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು (a;b) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: ಪಿ(ಎ<Х ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2.ಸಾಧನದ ಸರಾಸರಿ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು 100 ಗಂಟೆಗಳು. ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ; ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ; ಸಿ) ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು 120 ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ಮೀರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಪರಿಹಾರ:
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಗಣಿತದ ವಿತರಣೆ M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 ನಲ್ಲಿ x<0, a) f(x)= x≥0 ಗಾಗಿ 0.01e -0.01x. b) x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0, x≥0 ನಲ್ಲಿ 1-e -0.01x. ಸಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಹೊಂದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ಗಾಸ್ ಕಾನೂನು),
ಅದರ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ: ಇಲ್ಲಿ m=M(X), σ2=D(X), σ>0. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಗಾಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್
(Fig.7) ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ Ф (x) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕಾಮೆಂಟ್:
Ф(x) ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ (Ф(-х)=-Ф(х)), ಜೊತೆಗೆ, x>5 ಗಾಗಿ ನಾವು Ф(х) ≈1/2 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ F(x) ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> ವಿಚಲನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು δ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, m=0 ಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: "ತ್ರೀ ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ"
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X m ಮತ್ತು σ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ (a-3σ; a+3σ), ಏಕೆಂದರೆ https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) ಬಿ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ Ф(х) ನಾವು Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಯಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಪಿ(28 ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು
3.1.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-3;5) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ: ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x); ಸಿ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು; d) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(4<х<6). 3.2.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ: a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x); ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x); ಸಿ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು; d) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(3≤х≤6). 3.3.
ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಇದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹಸಿರು ದೀಪವು 2 ನಿಮಿಷಗಳು, ಹಳದಿ 3 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು, ಕೆಂಪು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಕಾರು ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರು ನಿಲ್ಲಿಸದೆ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3.4.
ಸುರಂಗಮಾರ್ಗ ರೈಲುಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ 2 ನಿಮಿಷಗಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಒಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಟ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ರೈಲಿಗಾಗಿ 50 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಯಬೇಕಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ರೈಲಿಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯ. 3.5.
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0, x≥0 ಗೆ 1ನೇ-8x. 3.6.
ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: x ನಲ್ಲಿ f(x)= 0<0, x≥0 ನಲ್ಲಿ 0.7 e-0.7x. a) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ. ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(X) ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 3.7.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x ನಲ್ಲಿ f(x)= 0<0, x≥0 ನಲ್ಲಿ 0.4 e-0.4 x. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (2.5;5). 3.8.
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0, x≥0 ನಲ್ಲಿ 1ನೇ-0.6x ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3.9.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 8 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ: a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x); ಬಿ) ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (10;14). 3.10.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 3.5 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 0.04 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ: a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x); b) ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ . 3.11.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು D(X)=1 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಘಟನೆಗಳು: |X|≤0.6 ಅಥವಾ |X|≥0.6 ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು? 3.12.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು D(X)=1 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ (-0.5;-0.1) ಅಥವಾ (1;2) ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ? 3.13.
ಪ್ರತಿ ಷೇರಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೆಲೆಯನ್ನು M(X)=10 den ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು σ (X)=0.3 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಪ್ರಸ್ತುತ ಷೇರಿನ ಬೆಲೆಯು 9.8 ಡೆನ್‌ನಿಂದ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಘಟಕಗಳು 10.4 ದಿನಗಳವರೆಗೆ ಘಟಕಗಳು; ಬಿ) "ತ್ರೀ ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ" ಬಳಸಿ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆ ಇರುವ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3.14.
ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೂಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ತೂಕದ ದೋಷಗಳು ಸರಾಸರಿ ಚದರ ಅನುಪಾತ σ=5g ಜೊತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ತೂಕದಲ್ಲಿ ದೋಷವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ 3r ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3.15.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=12.6 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (11.4;13.8) 0.6826 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ σ. 3.16.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=12 ಮತ್ತು D(X)=36 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 0.9973 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಬೀಳುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3.17.
ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅದರ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ವಿಚಲನ X ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಯೂನಿಟ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಮೀರಿದರೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರದಿಂದ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಭಾಗವನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು σ(X)=0.7 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಂತ್ರವು ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾ ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ? 3.18.
ಭಾಗದ X ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ 2 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 0.014 ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ X ನ ವಿಚಲನವು ನಾಮಮಾತ್ರದ ಮೌಲ್ಯದ 1% ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉತ್ತರಗಳು
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 ಗೆ 0, F(x)= left"> 3.10.
a)f(x)= , ಬಿ) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; ಅರ್ಥ ಎಫ್(5); ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ Xಮೇಜಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ X. ಮಾದರಿ ಎ: 6 9 7 6 4 4 ಮಾದರಿ ಬಿ: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 ಆಯ್ಕೆ 17. ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. · ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ; · ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ; ಮಾದರಿ ಎ: 0 0 2 2 1 4 · ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ; · ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ ವಿಚಲನ; · ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ; ಮಾದರಿ ಬಿ: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 ಆಯ್ಕೆ 18. ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ X. · ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ; · ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ ವಿಚಲನ; · ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ; ಮಾದರಿ ಎ: 4 7 6 3 3 4 · ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ; · ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ ವಿಚಲನ; · ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ; ಮಾದರಿ ಬಿ: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 ಆಯ್ಕೆ 19. 1. ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ 16 ಮಹಿಳೆಯರು ಮತ್ತು 5 ಪುರುಷರು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. 3 ಜನರನ್ನು ಅವರ ಸಿಬ್ಬಂದಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಜನರು ಪುರುಷರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 2. ನಾಲ್ಕು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳು "ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 3. "ಸೈಕಾಲಜಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಷಫಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದ ಅಕ್ಷರಗಳು ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) ಸೈಕಾಲಜಿ; ಬಿ) ಸಿಬ್ಬಂದಿ 4. ಕಲಶವು 6 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 7 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 5 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಎ. 3 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳು; ಬಿ. 3 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ; ಸಿ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡು. 5. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಎ. ಘಟನೆ ಎ 5 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 3 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಬಿ. ಘಟನೆ ಎ 50 ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 30 ಮತ್ತು 40 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. 6. ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಯ 100 ಯಂತ್ರಗಳು ಇವೆ, ಒಂದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರ ಡ್ರೈವ್ 0.8 ಕೆಲಸದ ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ ಆನ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 70 ರಿಂದ 86 ಯಂತ್ರಗಳು ಆನ್ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? 7. ಮೊದಲ ಕಲಶವು 4 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 7 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಲಶವು 8 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ 4 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ 1 ಚೆಂಡು. ಡ್ರಾ ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 4 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 8. ಕಾರ್ ಮಾರಾಟದ ಶೋರೂಮ್ ಮೂರು ಬ್ರಾಂಡ್ಗಳ ಕಾರುಗಳನ್ನು ದೈನಂದಿನ ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ: "ಮಾಸ್ಕ್ವಿಚ್" - 40%; "ಓಕಾ" - 20%; "ವೋಲ್ಗಾ" - ಎಲ್ಲಾ ಆಮದು ಮಾಡಿದ ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ 40%. ಮಾಸ್ಕ್ವಿಚ್ ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ, 0.5% ವಿರೋಧಿ ಕಳ್ಳತನ ಸಾಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಓಕಾ - 0.01%, ವೋಲ್ಗಾ - 0.1%. ತಪಾಸಣೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕಾರು ಕಳ್ಳತನ ವಿರೋಧಿ ಸಾಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 9. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 10. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X; ಅರ್ಥ ಎಫ್(2); ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ (X, Y, Z) ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ (x, y, z) ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ (ಎಣಿಕೆಯ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. 1
. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:
ಅಲ್ಲಿ λ>0, k = 0, 1, 2, … . ವಿ)ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x)
, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ x ಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. F(x) = P(X< x). F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 3
. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು
- ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) (ಸಮಸ್ಯೆ 3 ನೋಡಿ). ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
: 1000 ಲಾಟರಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 5 500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 10 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 20 50 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 50 10 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X - ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ.
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ: 0, 10, 50, 100 ಮತ್ತು 500. ಗೆಲ್ಲದಿರುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1000 – (5+10+20+50) = 915, ನಂತರ P(X=0) = 915/1000 = 0.915. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: X ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5 ಸಾಧನವು ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ, ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಹಾರ.
1.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X = (ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x 1 = 0 (ಯಾವುದೇ ಸಾಧನದ ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲವಾಗಿಲ್ಲ), x 2 = 1 (ಒಂದು ಅಂಶ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ), x 3 = 2 ( ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲವಾಗಿವೆ ) ಮತ್ತು x 4 =3 (ಮೂರು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲವಾಗಿವೆ). ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ
. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಹೀಗಾಗಿ, X ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನಾವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ x i ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು p i ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 3.
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ F(x) = Р(Х F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ 4.
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ X: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 1. ಒಂದು ಡೈನ ಹತ್ತು ಎಸೆತಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. 2. ಸರಣಿ ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸುವ ಶೂಟರ್‌ನಿಂದ ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. 3. ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಶೆಲ್ನ ತುಣುಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು (ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ). ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ (ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ), ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ (ಸಂಭವ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ, "ಸರಾಸರಿ" ಅಧ್ಯಯನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ,ಇದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಿ X 1 , X 2
,.. , X ಎನ್- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು X, ಎ ಪ 1 ,ಪ 2 ,
... , ಪ ಎನ್- ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು (ಗಮನಿಸಿ ಪ 1
+
ಪ 2
+…+
ಪ ಎನ್ =
1). ಉದಾಹರಣೆ. ಗುರಿಯಲ್ಲಿ ಶೂಟಿಂಗ್ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 11). I ನಲ್ಲಿನ ಹಿಟ್ ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, II ರಲ್ಲಿ - ಎರಡು ಅಂಕಗಳು, III ರಲ್ಲಿ - ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್. ಒಬ್ಬ ಶೂಟರ್ ಒಂದು ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೂಪದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಶೂಟರ್‌ಗಳ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಎಂ(X) ಮತ್ತು ಎಂ(ವೈ):
ಎಂ(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, ಎಂ(ವೈ)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್ ಸರಾಸರಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪದೇ ಪದೇ ಹಾರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ: 1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಎಂ(ಸಿ)
= ಸಿ. 2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಎಂ =(X 1 +
X 2 +…+
X ಎನ್)=
ಎಂ(X 1)+
ಎಂ(X 2)+…+
ಎಂ(X ಎನ್). 3. ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಂಶಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂ(X 1 X 2 …
X ಎನ್)
=
ಎಂ(X 1)ಎಂ(X 2)…
ಎಂ(X ಎನ್). 4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರಾಕರಣೆಯು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯ 4.6). ಎಂ(X)
= pr. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ "ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ" ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಹೇಗೆ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಪ್ರಸರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಡಿ(X)
=
ಎಂ[(X
-
ಎಂ(X)) 2 ]. ಪ್ರಸರಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. . ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: ಡಿ(X)
=
ಎಂ(X 2)
- (ಎಂ(X)) 2 .
ಪ್ರಸರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 1. ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಡಿ(ಸಿ)
=
0.
2. ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸರಣ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು: ಡಿ(CX)
=
ಸಿ 2 ಡಿ(X). 3. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಡಿ(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X ಎನ್)=
ಡಿ(X 1)+
ಡಿ(X 2)+…+
ಡಿ(X ಎನ್) 4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಡಿ(X)
= npq. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜು ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 4.1.
ಗುರಿಕಾರನು ಗುರಿಯತ್ತ ಮೂರು ಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ. ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X. ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ X ಎನ್
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಪ ಎನ್ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ವಿತರಣೆಯ ಹತ್ತಿರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ X 0, 1, 2, 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಆರ್ 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, ಆರ್ 3 (1)
= ಆರ್ 3 (2)
= ಆರ್ 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ Xಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: X ಎನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದರ್ಥ Xಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಘಟನೆಯು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 4.2
.1 ರಿಂದ 4 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಚೆಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ X. ಪರಿಹಾರ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 3, 4, 5, 6, 7. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ 3 Xಆಯ್ದ ಬಾಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ 1 ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಇತರ 2 ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಾಲ್ಕು (ಬಾಲ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಎರಡರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಂತೆಯೇ, ಆರ್(X= 4) =ಆರ್(X= 6) =ಆರ್(X= 7) = 1/6. ಮೊತ್ತ 5 ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 1 + 4 ಮತ್ತು 2 + 3, ಆದ್ದರಿಂದ Xರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಫ್(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಎಫ್(X)
= ಪಿ(X
X).
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ, ಎಡ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಫ್
(-
)=
0,ಎಫ್
(+
)=
1. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಫ್(X) ಒಂದು ಹಂತದ ಸಾಲು (ಚಿತ್ರ 12) ಎಫ್(X) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಎಂ(X) ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ X 1 , X 2 ,……X ಎನ್ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮಾಪಕಗಳೊಂದಿಗೆ ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
ಎನ್
ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಂ(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x ಎನ್
ρ
ಎನ್ ಎಂ(X) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72. ಪ್ರಸರಣಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ(X): ಡಿ(X)=ಎಂ[(ಹೆಚ್.ಎಂ(X)) 2 ]= ಎಂ(X 2)
–[ಎಂ(X)] 2 . ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎಂ(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 ಡಿ(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ದ್ವಿಪದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ X- ಎರಡು ಡೈಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಎ= (ಒಂದು ಎಸೆತದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ದಾಳಗಳು ಒಟ್ಟು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು). ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆರ್(ಎ)=
ಎಲ್ಲಿ ಎನ್
- ಸಂಭವನೀಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರ: ಎನ್
= 6∙6 =36, ಮೀ
-
ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಫಲಿತಾಂಶಗಳು - ಸಮಾನ ಮೀ= 3∙6=18. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ρ
= ಪಿ(ಎ)=
1/2.
ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸವಾಲು ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಉರುಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್
= 2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ 0, 1, 2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆರ್ 2 (0)
= ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ Xವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: X ಎನ್ ρ
ಎನ್ 4.5
. ಆರು ಭಾಗಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ X- ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದವರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಪರಿಹಾರ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 0,1,2,3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಆರ್(X=0)=0, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳಿವೆ. ಆರ್(X=1) = ಆರ್(X= 2) = ಆರ್(X=3) = ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು Xಅದನ್ನು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: X ಎನ್ ρ
ಎನ್ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಂ(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ X- ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎವಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ρ
- ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಎಂ(X)
=ಎನ್ .
ρ
, ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಡಿ(X)
=ಎನ್.ಪಿ.
. ಪರಿಹಾರ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X 0, 1, 2..., ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎನ್. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್(X= ಕೆ) ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: ಆರ್(X=k)= ಆರ್ ಎನ್(ಕೆ)= ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ Xರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X ಎನ್ ρ
ಎನ್ q ಎನ್ ಎಲ್ಲಿ q=
1-
ρ
. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಎಂ(X)= ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಜೊತೆಗೆ n= 1 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ X 1 - ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ- ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X ಎನ್ ρ
ಎನ್ ಎಂ(X 1)=
0∙ q +
1
∙ ಪ
=
ಪ ಡಿ(X 1)
=
ಪ
–
ಪ 2
=
ಪ(1-
ಪ)
=
pq. ಒಂದು ವೇಳೆ X k - ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಯಾವ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಆರ್(X ಗೆ)=
ρ
ಮತ್ತು X=X 1 +X 2 +….+X ಎನ್ . ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂ(X)=ಎಂ(X 1
)+ಎಂ(X 2)+
… +ಎಂ(X ಎನ್)=
nρ,
ಡಿ(X)=ಡಿ(X 1)+ಡಿ(X 2)+
...
+ಡಿ(X ಎನ್)=npq. 4.7.
ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಿಭಾಗವು ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬ್ಯಾಚ್ 5 ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ X- ಬ್ಯಾಚ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ - 50 ಬ್ಯಾಚ್‌ಗಳು ತಪಾಸಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ. ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪ್ರತಿ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ρ
.ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂ(X)=
50∙ρ.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ρ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: ρ=ಪಿ 5 (4)= ಎಂ(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. ಮೂರು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೈಬಿಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು X- ಕೈಬಿಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾರ್ಗವು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ X, ಹಲವಾರು ಸರಳವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ X iಸುತ್ತಿಕೊಂಡ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ i- ನೇ ಮೂಳೆಗಳು ( i= 1, 2, 3), ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತ Xರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದು X = X 1 + ಎಕ್ಸ್ 2 + ಎಕ್ಸ್ 3 . ಮೂಲ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂ(X 1
+ ಎಕ್ಸ್ 2 + ಎಕ್ಸ್ 3
)= ಎಂ(X 1
)+ ಎಂ(X 2)+ ಎಂ(X 3
). ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಆರ್(X i = ಕೆ)=
1/6, TO=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X iತೋರುತ್ತಿದೆ ಎಂ(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, ಎಂ(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಎ) ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧನಗಳಿಗೆ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್; ಬಿ) ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ i
–
ಸಾಧನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ i
,
i=
1,
2, … , ಎನ್. ಪರಿಹಾರ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xನಂತರ ವಿಫಲವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ X = X 1 + ಎಕ್ಸ್ 2 +… + X ಎನ್ ,
X i
=
ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಆರ್(X i =
1)=
ಆರ್ i ,
ಆರ್(X i =
0)=
1–
ಆರ್ i ,i= 1,
2,
…
,ಎನ್. ಎಂ(X i)=
1∙ಆರ್ i +
0∙(1-ಆರ್ i)=ಪಿ i , ಎಂ(X)=ಎಂ(X 1)+ಎಂ(X 2)+… +ಎಂ(X ಎನ್)=ಪಿ 1 +ಪಿ 2 +… + ಪಿ ಎನ್ .
"a" ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆರ್ i =ಪು,i= 1,
2, …
,ಎನ್. ಎಂ(X)=
ಎನ್.ಪಿ.. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯಬಹುದು Xನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ( ಎನ್,
ಪ).
4.10.
ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ದ್ವಿಪದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ X -ಎರಡು ಡೈಸ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ರೋಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರಿಹಾರ. ಅವಕಾಶ ಎ=(ಮೊದಲ ಡೈನಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು) ಬಿ =(ಎರಡನೇ ದಾಳದಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವುದು). ಒಂದೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಡೈಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಬಿ.ನಂತರ ಆರ್
(ಎಬಿ)
= ಆರ್(ಎ)∙ಆರ್(IN)
=
ಎರಡು ದಾಳಗಳ ಎರಡನೇ ಎಸೆತದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವು ಯಾವಾಗ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್
=
2,p = 1/4,
q
=
1– ಪು = 3/4.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X 0, 1, 2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ,
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: ಆರ್(X= 0)= ಪಿ 2
(0)
=
q
2
= 9/16, ಆರ್(X= 1)= ಪಿ 2
(1)= ಸಿ ಆರ್(X= 2)= ಪಿ 2
(2)= ಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ X: 4.11.
ಸಾಧನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಅದೇ ಸಣ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಟಿ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಾಕರಣೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಟಿಅಂಶಗಳು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.98 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಪರಿಹಾರ.
ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಾಕರಿಸಿದ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿಅಂಶಗಳು - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಇದು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಶಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂ(X)
=
ಎನ್.ಪಿ..
ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ TOನಿಂದ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್ ಎನ್
(TO)
ಅಲ್ಲಿ
=
ಎನ್.ಪಿ., ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಟಿ
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಕೆ = 0: ಆರ್ ಎನ್
(0)= ಇ - . ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿದೆ ಟಿ
ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇ -
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.98 ಆಗಿದೆ. Eq ನಿಂದ. 1
- ಇ -
= 0,98, ಇ -
= 1 – 0,98 =
0,02, ಇಲ್ಲಿಂದ
=
-ಎಲ್ಎನ್
0,02
4. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿಸಾಧನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಸರಾಸರಿ 4 ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. 4.12
. "ಎರಡು" ಬರುವವರೆಗೆ ದಾಳಗಳನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥ್ರೋಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ X- ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವವರೆಗೆ ನಡೆಸಬೇಕಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ X= 1 ಡೈಸ್ನ ಒಂದು ಎಸೆತದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಎರಡು" ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್(X= 1)
= 1/6. ಈವೆಂಟ್ X= 2 ಎಂದರೆ ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ "ಎರಡು" ಬರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅದು ಬಂದಿತು. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ X= 2 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಆರ್(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) ಅಂತೆಯೇ, ಆರ್(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, ಆರ್(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 ಇತ್ಯಾದಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (5/6) ಗೆ
∙1/6 ಥ್ರೋಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ (ಪ್ರಯೋಗಗಳು) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂ(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + TO
(5/6) TO -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + TO
(5/6) TO -1
+ …) ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂ(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. ಹೀಗಾಗಿ, "ಎರಡು" ಬರುವವರೆಗೆ ನೀವು ಡೈಸ್ನ ಸರಾಸರಿ 6 ಎಸೆತಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 4.13.
ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎ, ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 0.63 ಆಗಿದ್ದರೆ .
ಪರಿಹಾರ.ಮೂರು ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X, ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಸಮಸ್ಯೆ 4.6) ಡಿ(X)
=
npq.
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಎನ್
=
3,
ಡಿ(X)
=
0.63, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಆರ್ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 0,63
= 3∙ಆರ್(1-ಆರ್), ಇದು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆರ್ 1
=
0.7 ಮತ್ತು ಆರ್ 2
=
0,3. ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾನೂನು ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X..Y..Z, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ವಿಧದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್; ನಿರಂತರ; ಮಿಶ್ರಿತ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೆಟಸ್ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ "ನಿರಂತರ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ". ಉದಾಹರಣೆ 1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದರೆ ಎನ್‌ಪ್ರೊಡಕ್ಟ್‌ಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿನ ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ X. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದರೆ ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಹೊಡೆಯುವ ಮೊದಲು ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಂತೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್‌ನ ಮಾಸಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಟಿಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಳೆಯುವಲ್ಲಿ ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಟಿಮೀಟರ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ತತ್ವದಿಂದ ದೋಷವು 0 ರಿಂದ 2 ಮೀ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮಧ್ಯಂತರವು 0 ರಿಂದ 2 ಮೀ ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ನೀಡಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಯೋಗದ ಮೊದಲು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪವೆಂದರೆ ಟೇಬಲ್ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್), ಇದು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1 ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು X 1, X 2,..., X n, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕ್ರಮವಾಗಿ x 1, x 2,... x n ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಸಮಂಜಸ ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಿರುವವುಗಳು (ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವುದರಿಂದ), ಅಂದರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ (ಈ ಘಟಕವನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ "ವಿತರಣೆ" ಎಂಬ ಪದ). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಿದರೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (Fig. 1) ಎಂಬ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಲಾಟರಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 5,000 ಡೆನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರು. ಘಟಕಗಳು, 250 ಡೆನ್ ಬೆಲೆಯ 4 ಟಿವಿಗಳು. ಘಟಕಗಳು, 200 ಡೆನ್ ಮೌಲ್ಯದ 5 ವಿಡಿಯೋ ರೆಕಾರ್ಡರ್‌ಗಳು. ಘಟಕಗಳು 7 ದಿನಗಳವರೆಗೆ ಒಟ್ಟು 1000 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸಿದ ಲಾಟರಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಪಡೆದ ನಿವ್ವಳ ಗೆಲುವುಗಳಿಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು - ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ ನಿವ್ವಳ ಗೆಲುವುಗಳು - 0-7 = -7 ಹಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಟಕಗಳು (ಟಿಕೆಟ್ ಗೆಲ್ಲದಿದ್ದರೆ), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು (ಟಿಕೆಟ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ VCR, TV ಅಥವಾ ಕಾರಿನ ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ). 1000 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವಿಜೇತರಲ್ಲದವರ ಸಂಖ್ಯೆ 990, ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿದ ಗೆಲುವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 5, 4 ಮತ್ತು 1 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
1.2.
p4=0.1; x≤-1 ನಲ್ಲಿ 0,
x≤a ಗೆ https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,
,
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು x=m ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, x=a ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
,
X
–28
–20
–12
–4
ಪ
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
ಪ
0,1
0,2
0,3
0,4
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=np, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=λ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=npq, Poisson ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=λ"ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಕಾರ್ಯ 1.
ಕಾರ್ಯ 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
0 ಗೆ< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 ಕ್ಕೆ< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 ಕ್ಕೆ< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 ಗಾಗಿ F(x) = 1 ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈವೆಂಟ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. 
- ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,ಆರ್ 2 (1)
=
∙
,ಆರ್ 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
ಗೆ
(1-ρ
) n-ಗೆ
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
ಎನ್
ρq ಎನ್ -
1
+2
ρ
2
q ಎನ್ -
2
+…+.ಎನ್
ρ
ಎನ್
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,ಆರ್∙q
=
6/16,
,
ಆರ್ 2
=
1/16.
,
TOಜಿ
TO -1
= (
ಜಿ TO)
ಜಿ
.
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...