ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯ. ಮೂಲ ನಿಬಂಧನೆಗಳು

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್

ಶಿಸ್ತಿನ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ: "ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ"

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ರೂಪತರಬೇತಿ

ಫೆಡರಲ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

(ಮೂರನೇ ತಲೆಮಾರಿನ)

ಸಿಡೊರೊವ್ ವಿ.ಎನ್., ಡಾಕ್ಟರ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್, ಪ್ರೊಫೆಸರ್

ಯಾರೋಸ್ಲಾವ್ಲ್ ರಾಜ್ಯ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ

ಯಾರೋಸ್ಲಾವ್ಲ್, 2016

ಪರಿಚಯ …………………………………………………………………………

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್……………………………………………………………………

1. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯ. ಮೂಲ ನಿಬಂಧನೆಗಳು ………………………………….

1.1.ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು…………………………………

1.2. ನ್ಯೂಟನ್ರ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ………………………………

1.3.ಬಲಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು........................................................... ............

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ …………………………………………………………

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ ………………………………………………………..

ಘರ್ಷಣೆ ಶಕ್ತಿ …………………………………………………………

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಶಕ್ತಿ …………………………………………………………

1.4.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಚಲನೆಗಳು………………………………

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು …………………………………………………

2. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ………………………. ………………………………

2.1. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ………………………………………………

2.2. ಆವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ……………………

2.3. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.......

ಕ್ಷಣ ಪ್ರಮೇಯ …………………………………………………………

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ಚಲನ ಕ್ಷಣ ……………………………………

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಜಡತ್ವದ ಅಕ್ಷೀಯ ಕ್ಷಣ ………………………………..

ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ - ಸ್ಟೈನರ್ - ಯೂಲರ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ...

2.4. ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಅಂಕಗಳು …………………………………………………….

ಯಾಂತ್ರಿಕತೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ………………………………………………………………

ಘನ ದೇಹದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು

ಚಲನೆಯ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ …………………………………………………………

ಪಡೆಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ……………………………….

2.5. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಕಾನೂನು …………………………

ಪರಿಚಯ

"ಯಾರಿಗೆ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲ

ಅವನು ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ಅರಿಯಲಾರನು"

ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗೆಲಿಲಿ

ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ, ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದರ ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರ, ಅದರ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು, ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಎಲ್ಲಾ ಸಚಿವಾಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಇಲಾಖೆಗಳ ಮುಖ್ಯಸ್ಥರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. , ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನಮ್ಮ ದಿನಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ / 1/. ನಿಯಮದಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯದಿಂದ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮೂಲಭೂತ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ, ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಎಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಆಧುನಿಕ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ, ಭವಿಷ್ಯದ ವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸೇತುವೆ. ರಂದು ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಿಂತನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡುವ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ.

ಈ ಮೂಲಭೂತ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೃಹತ್ ಕಟ್ಟಡದ ಭಾಗವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಕೇವಲ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದು: ವಸ್ತುಗಳ ಶಕ್ತಿ, ಫಲಕಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಪ್ಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕಂಪನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆ, ಯಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ದ್ರವ ಮತ್ತು ಅನಿಲದ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ.

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಉಪಕರಣ ತಯಾರಿಕೆ, ನಿರ್ಮಾಣ ಉದ್ಯಮ ಮತ್ತು ಹೈಡ್ರಾಲಿಕ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಅದಿರು, ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು, ತೈಲ ಮತ್ತು ಅನಿಲದ ಗಣಿಗಾರಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಕರಣೆ, ರೈಲ್ವೆ ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ ಸಾರಿಗೆ, ಹಡಗು ನಿರ್ಮಾಣ, ವಾಯುಯಾನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಧನೆಗಳು ಕಾನೂನುಗಳ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಕೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಯಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಸಮತೋಲನ ಮತ್ತು ವಸ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ.

ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನೆಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ.

ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ದೇಹಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಅವು ಸ್ವತಃ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಅವುಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ).

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯ. ಮೂಲ ನಿಬಂಧನೆಗಳು

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಭಾಗವಾಗಿ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ರೂಪಿಸೋಣ.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ – ವಸ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ, ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅಧ್ಯಯನವು ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ತದನಂತರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅನಗತ್ಯ ನಕಲು ತಪ್ಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪಠ್ಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಈ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ಜಡತ್ವ (ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ) – ಇತರ ದೇಹಗಳಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ) ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಅನುವಾದ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ದೇಹಗಳ ಆಸ್ತಿ.

ಜಡತ್ವ - ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಅವುಗಳ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ದೇಹಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆ .

ಜಡತ್ವದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ತೂಕ(ಮೀ) ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮಾನದಂಡವು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ (ಕೆಜಿ) ಆಗಿದೆ.

ದೇಹವು ಹೆಚ್ಚು ಜಡವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ದೇಹದ ವೇಗವು ಕಡಿಮೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ದೇಹವು ಬಲವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ದೇಹದ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ದೇಹವು ಬಲಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ನಿರೋಧಕವಾಗಿದೆ.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ (ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ) ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಮಾತ್ರ ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಶಕ್ತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಕ್ರಿಯ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು) ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ಸಕ್ರಿಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ವಿಶ್ರಾಂತಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಯ ಪರಿಣಾಮ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ, ನಂತರದ ಪರಿಣಾಮ.

ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ

ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ನಡುವಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಈ ಬಲವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ:

ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜಿ≈ 9.8 ಮೀ/ಸೆ 2, ಮೀ- ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಅಥವಾ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಕೆ-ಓಹ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಿಂದು. ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (3.6) ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

(7)

ಘರ್ಷಣೆ ಶಕ್ತಿ

ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಒಣ ಘರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು (ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಕೂಲಂಬ್ ಕಾನೂನುಗಳು:

· ಒಂದು ದೇಹವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ( ಸ್ಥಿರ ಘರ್ಷಣೆ ಶಕ್ತಿ ), ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

· ಅಂತಿಮ ಘರ್ಷಣೆ ಬಲದ ಪ್ರಮಾಣವು ಕೆಲವು ಆಯಾಮಗಳಿಲ್ಲದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಘರ್ಷಣೆ ಗುಣಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ fಸಾಮಾನ್ಯ ಒತ್ತಡದ ಬಲದ ಮೇಲೆ ಎನ್, ಅಂದರೆ

.

(8)

· ಸ್ಥಿರ ಘರ್ಷಣೆ ಬಲದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ, ಸಂಯೋಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಖಾಲಿಯಾದ ನಂತರ, ದೇಹವು ಪೋಷಕ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಗೆ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಬಲವು ಬಹುತೇಕ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. (ಸಮಂಜಸವಾದ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ). ಈ ಬಲವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಘರ್ಷಣೆ ಬಲ ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಥಿರ ಘರ್ಷಣೆ ಬಲದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

· ಮೇಲ್ಮೈಗಳು.

ಕೆಲವು ದೇಹಗಳಿಗೆ ಘರ್ಷಣೆ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:

ಟೇಬಲ್ 1

ರೋಲಿಂಗ್ ಘರ್ಷಣೆ

ಚಿತ್ರ.1

ಚಕ್ರವು ಜಾರಿಬೀಳದೆ ಉರುಳಿದಾಗ (ಚಿತ್ರ 1), ಬೆಂಬಲದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಚಕ್ರದ ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಚಕ್ರದ ವಸ್ತುವಿನ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ವಿರೂಪ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಪೋಷಕ ಮೇಲ್ಮೈ. ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಪರ್ಕ ವಲಯದ ಬಿ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಚಕ್ರದ ಚಲನೆಯ ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ಮೊತ್ತದಿಂದ ವರ್ಗಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಕೆ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೋಲಿಂಗ್ ಘರ್ಷಣೆ ಗುಣಾಂಕ . ಒಂದು ಜೋಡಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಕ್ರದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿರುದ್ಧ ರೋಲಿಂಗ್ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ:

ಏಕರೂಪದ ರೋಲಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲದ ಜೋಡಿಗಳ ಕ್ಷಣಗಳು , ಮತ್ತು , ಪರಸ್ಪರ ಸಮತೋಲನ: , ಇದರಿಂದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಬಲದ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: . (10)

ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಪಾತವು ಘರ್ಷಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ f.ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅವರು ರೋಲಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಶಕ್ತಿ

ವಿರೂಪಗೊಂಡ ದೇಹವು ತನ್ನ ಮೂಲ, ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳದ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳಲು ಶ್ರಮಿಸುವ ಶಕ್ತಿ ಇದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಮೊತ್ತದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ λ , ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಬಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

(11)

ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿನ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬಲವು ಸ್ಥಳಾಂತರದಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣ ಜೊತೆಗೆಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ " ಬಿಗಿತ "ಮತ್ತು N/m ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪಾಯಿಂಟ್ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ (3.2) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ನಿಯಮದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ, ಅದನ್ನು 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಆದೇಶಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ (ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಬಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ):

(17)

(18)

ನಾವು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (15) ಮತ್ತು (17). ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆಯು 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ 3 ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ (ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ) 1 ನೇ ಕ್ರಮದ 6 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಿಶ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಮತ್ತು ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವನ್ನು (ಅಥವಾ ಬಲಗಳು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲ (ಅಥವಾ ಬಲಗಳು) ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ 1 ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಅದರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ 2 ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ "ಅಂಚಿನ" ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳು ಆರಂಭಿಕ (ಅಂತಿಮ) ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಅಥವಾ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ. "

ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ), ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಜೋಡಿಯಾಗಿವೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದು ಅರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

,

(22)

.

(23)

ಇಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷಣ, ಪಾಯಿಂಟ್ O ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನತೆಗಳು (22) ಮತ್ತು (23) ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು .

ಕೆಲವರಿಗೆ ಬಿಡಿ ಕೆ- ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಸ್ತು ಬಿಂದು, ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳೆರಡೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ () ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ () ಬಲಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ನಿಯಮ ಕೆವ್ಯವಸ್ಥೆಯ -ನೇ ಬಿಂದು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

(24)

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, (24) ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎನ್ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಶಗಳು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (24) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು , ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ: ಒಂದು ಬಿಂದು (15) ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 3 ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಎನ್ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದರೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಸ್ತು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ.

ವಿಭಾಗ 3. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ವಸ್ತು ದೇಹ- ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೇಹ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದು

ವಸ್ತು

ಎ - ಬಿವಿ -

ಜಡತ್ವ

ದೇಹದ ತೂಕ

ಫೋರ್ಸ್ -

,

. ಎ - ಬಿ- - ವಿದ್ಯುತ್ ಲೋಕೋಮೋಟಿವ್ನ ಎಳೆತ ಬಲ; ವಿ- -

ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಜಡತ್ವ

ಚಳುವಳಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯ

ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ವಿಷಯ 1

ಮೊದಲ ಕಾನೂನು(ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ).

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: - ದೇಹದ ತೂಕ, -

- ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ).

ಎರಡನೇ ಕಾನೂನು(ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ನಿಯಮ).

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5: ಎ -ಚಲನೆ - ನಿಧಾನ; b -ಚಲನೆ - ವೇಗವರ್ಧಿತ, . - ಪಾಯಿಂಟ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, - ವೇಗವರ್ಧಕ ವೆಕ್ಟರ್, - ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್, - ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್).

ಯಾವಾಗ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮತ್ತು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ - ಅದು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿದೆ (ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ). ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಎರಡನೇ ಕಾನೂನು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ದೇಹದ ತೂಕ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಳಿ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ತೂಕ , , ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮೂರನೇ ಕಾನೂನು(ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾನೂನು).

ಎರಡು ವಸ್ತುಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾದ ಬಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಬಲಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಬಲಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 6). ಅದರ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ - ಪರಸ್ಪರ ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಅನುಪಾತವು ಅವುಗಳ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾನೂನು(ಪಡೆಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕಾನೂನು).

ವೇಗವರ್ಧನೆ,ಹಲವಾರು ಶಕ್ತಿಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಬಿಂದುವು ಪಡೆಯುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣೆ (ಚಿತ್ರ 7).ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಲವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ , ಆ.

ಎರಡನೇ (ವಿಲೋಮ) ಸಮಸ್ಯೆ.

ಕರೆಂಟ್ ತಿಳಿಯುವುದುಬಲದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆರಂಭಿಕಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ, ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ) ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ನೇರ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ನಂತರದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯ 2. ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪರಿಚಯ

2.1. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಯಾಂತ್ರಿಕವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.

ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಒಂದು ವಸ್ತು ದೇಹ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಘನ ಸೇರಿದಂತೆ, ಪರಸ್ಪರ ವಸ್ತು ಕಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ; ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್; ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

2. ಹಾರುವ ಹಕ್ಕಿಗಳ ಹಿಂಡು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಕ್ಷಿಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಬಲದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಉಚಿತಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬಿಂದುಗಳ ಚಲನೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸದ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆ.

ಮುಕ್ತವಲ್ಲದಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಬಿಂದುಗಳ ಚಲನೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:ಯಾವುದೇ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಯಂತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಚಲನೆ.

ಶಕ್ತಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳು - ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳು.

ಗೃಹಬಳಕೆಯ- ಒಂದು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು (ಚಿತ್ರ 1) ಇದರ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ: - ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ (ಸೂಚ್ಯಂಕ - ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದಬಾಹ್ಯ - (ಬಾಹ್ಯ)); - ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ (ಸೂಚ್ಯಂಕ - ಇಂಟೀರಿಯರ್ ಪದದಿಂದ - (ಆಂತರಿಕ)). ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅದೇ ಶಕ್ತಿ, ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು.

ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ

ಮತ್ತು - ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಬಿಂದುಗಳು (ಚಿತ್ರ 2). ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ 3 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ

ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ: . ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವಿಭಾಗ 3. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್.

ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್- ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ವಸ್ತು ದೇಹಗಳು(ಅಂಕಗಳು) ಅನ್ವಯಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. ವಸ್ತು ದೇಹ- ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೇಹ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದು- ವಸ್ತು ದೇಹ, ಬಿಂದುಗಳ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ದೇಹವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನುವಾದವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮಗಳ ದೇಹವಾಗಿರಬಹುದು.

ವಸ್ತುಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘನಅದರ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 1): ಎ -ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಭೂಮಿಯ ಚಲನೆ. ಭೂಮಿಯು ವಸ್ತು ಬಿಂದು; ಬಿ- ಕಠಿಣ ದೇಹದ ಅನುವಾದ ಚಲನೆ. ಘನ ದೇಹವು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ; ವಿ -ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆ. ದೇಹದ ಒಂದು ಕಣವು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಜಡತ್ವ- ಅನ್ವಯಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಅಥವಾ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ವಸ್ತು ಕಾಯಗಳ ಆಸ್ತಿ.

ದೇಹದ ತೂಕಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೇಹದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಜಡತ್ವದ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಫೋರ್ಸ್- ದೇಹಗಳ ನಡುವೆ ಅಥವಾ ದೇಹ (ಪಾಯಿಂಟ್) ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರ (ವಿದ್ಯುತ್, ಕಾಂತೀಯ, ಇತ್ಯಾದಿ) ನಡುವೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅಳತೆ. ಬಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಮಾಣ, ಅನ್ವಯದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು (ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖೆ) (ಚಿತ್ರ 2: - ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಲದ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ).

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಫೋರ್ಸ್ಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಅದು ಸಮಯ, ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ , ದೂರ ಅಥವಾ ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಿಂದ, ಅಂದರೆ.

ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 3 . ಎ -- ದೇಹದ ತೂಕ, - ವಾಯು ಪ್ರತಿರೋಧ ಶಕ್ತಿ; ಬಿ- - ವಿದ್ಯುತ್ ಲೋಕೋಮೋಟಿವ್ನ ಎಳೆತ ಬಲ; ವಿ- - ವಿಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಅಥವಾ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಆಕರ್ಷಣೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಉಲ್ಲೇಖ - ಮತ್ತೊಂದು ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ದೇಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಜಡತ್ವವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಇದು ಸ್ಥಿರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ.

ಚಳುವಳಿಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೂರು-ಆಯಾಮದ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಯ- ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಘಟಕಗಳು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು: ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಘಟಕಗಳು ಸಾಕು: ಉದ್ದ, ಸಮಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಥವಾ ಬಲದ ಘಟಕಗಳು. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮಾಪನದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಘಟಕಗಳ ಎರಡು ವಿಧದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: SI (ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾದ - GHS) ಘಟಕಗಳ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ICG.

ವಿಷಯ 1. ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪರಿಚಯ.

1.1. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ನಿಯಮಗಳು (ಗೆಲಿಲಿಯೋ-ನ್ಯೂಟನ್ ಕಾನೂನುಗಳು)

ಮೊದಲ ಕಾನೂನು(ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ).

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆಬಾಹ್ಯ ಪ್ರಭಾವಗಳಿಂದ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಅದರ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅನ್ವಯಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುವವರೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮತ್ತು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಲಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಲಗಳ ಸಮತೋಲಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ನಡೆಸಲಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಜಡತ್ವದಿಂದ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:ನಯವಾದ (ಘರ್ಷಣೆ ಶಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯ) ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಚಲನೆ (ಚಿತ್ರ 4: - ದೇಹದ ತೂಕ, - ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಮಾನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ). ಅಂದಿನಿಂದ.

ದೇಹವು ಅದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ; ದೇಹವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ ( - ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ).

ರೈಕೋವ್ ವಿ.ಟಿ.

ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್. - ಕ್ರಾಸ್ನೋಡರ್: ಕುಬನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, 2006. - 100 ಪುಟಗಳು: 25 ಅನಾರೋಗ್ಯ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಶಿಕ್ಷಣದ ಭೌತಿಕ ವಿಶೇಷತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಭಾಗ.
ಕೈಪಿಡಿಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: “ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ”, “ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ” ಮತ್ತು “ಕಠಿಣ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ”. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಭಾಗವಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯು ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಪರೀಕ್ಷಾ ಆಯ್ಕೆಗಳು) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಗಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕೋರ್ಸ್ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ತುಣುಕುಗಳೊಂದಿಗೆ (ಲೇಸರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ) ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ.
ಕೈಪಿಡಿಯು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ-ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ; ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.
ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲಭೂತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ)
ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ
ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ
ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ
ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ
ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ
ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು

ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ
ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ
ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ
ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ
ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆ
ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ
ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ
ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕೂಲಂಬ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ
ಎರಡು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು. ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ
ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಸೂತ್ರ
ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ
ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ
ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ
ಘನ ದೇಹದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಚಲನೆ
ಘನವಸ್ತುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ
ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್
ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು
ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ಘಟಕಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ
ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಾಗಿ ಸ್ಟೈನರ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಗಟ್ಟಿಯಾದ ದೇಹದ ಆವೇಗ
ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳು
ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ
ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ
ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾದ ಓದುವಿಕೆ
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು
ವಿಷಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ

ನೀವು ಪುಸ್ತಕ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನೀವು ಓದಿದ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ ಇತರ ಓದುಗರು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಜನರು ಅವರಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಹೊಸ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k = 1 k n k = 1 k k = 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r, r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. ರೈಕೋವ್ ರೈಕೋವ್ ವಿ.ಟಿ. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (ಸಂಯೋಜಿತ ಪರೀಕ್ಷೆ) ಕ್ರಾಸ್ನೋಡರ್ 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 ವಿಮರ್ಶಕ: ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವೈದ್ಯರು. ವಿಜ್ಞಾನ, ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ, ಮುಖ್ಯಸ್ಥ. ಕುಬನ್ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ I. M. ಡುನೇವ್ ರೈಕೋವ್ V. T. R 944 ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲಭೂತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಭತ್ಯೆ. ಕ್ರಾಸ್ನೋಡರ್: ಕುಬನ್. ರಾಜ್ಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ., 2006. - 100 ಪು. Il. 25. ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 6 ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು ISBN ಕೈಪಿಡಿಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: “ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ”, “ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ” ಮತ್ತು “ಕಠಿಣ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ”. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಭಾಗವಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯು ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಪರೀಕ್ಷಾ ಆಯ್ಕೆಗಳು) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಗಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕೋರ್ಸ್ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ತುಣುಕುಗಳೊಂದಿಗೆ (ಲೇಸರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ) ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಕೈಪಿಡಿಯು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ-ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ; ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಕುಬನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯ ಕೌನ್ಸಿಲ್ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © ಕುಬನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, 2006 ವಿಷಯಗಳ ಮುನ್ನುಡಿ................ ...... ............................................. ....... 6 ಗ್ಲಾಸರಿ........................................... ........ ................................ 8 1. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ) .. ......... ................. 11 1.1. ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ........................................... ... 11 1.2. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ......... 11 1.2.1. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ........................ 12 1.2.2. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನ. ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾನ್ ................................................ ... ............... 13 1.3. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು..................................... 16 1.4. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ................................... ................. ................................ 21 1.5. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ................................... ................. ................................ 24 1.6. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ................................. .................. ......... 26 1.7. ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು .............................................. .... 27 1.8. ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ............................................ .......... ................................ 28 1.9. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ................................................ ... 28 1.9.1 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ.................................. 28 1.9.2. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಗಳು............................. 31 1.10. ಅಂತಿಮ ನಿಯಂತ್ರಣ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು .................. 35 1.10.1. ಕ್ಷೇತ್ರ ಎ ................................................ ..... ............ 35 1.10.2. ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿ ................................................ ..... ............ 36 1.10.3. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿ .................................................. ..... ............ 36 2. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ........... 38 2.1. ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ........................................... ... 38 2.2. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ........ 39 3 2.3. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ........... 39 2.4. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆ........ 40 2.5. ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ........................................... ................ ................... 41 2.6. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು........................................... .......... ..... 45 2.7. ವಲಯದ ವೇಗ ಮತ್ತು ವಲಯದ ವೇಗವರ್ಧನೆ...... 46 2.8. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕೂಲಂಬ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ................................... 48 2.8.1. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಶಕ್ತಿ .............................................. ... 48 2.8.2. ಪಥ ಸಮೀಕರಣ ................................................ .... 49 2.8.3. ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಪಥದ ಆಕಾರದ ಅವಲಂಬನೆ........................................... ........... .......... 51 2.9. ಎರಡು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು. ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ........................................... ......... 52 2.10. ರುದರ್‌ಫೋರ್ಡ್‌ನ ಸೂತ್ರ........................................... ... 54 2.11. ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ................................. 58 2.11.1. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ. ................................ 58 2.11.2. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳು.......................... 59 2.12. ಅಂತಿಮ ನಿಯಂತ್ರಣ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು .................. 61 2.12.1. ಕ್ಷೇತ್ರ ಎ ................................................ ..... ............ 61 2.12.2. ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿ ................................................ ..... ............ 62 2.12.3. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿ .................................................. ..... ............ 63 3. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ .................. ............ 65 3.1. ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ........................................... ... 65 3.2. ಘನ ದೇಹದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಚಲನೆ........................................... ...... 66 3.3. ಘನ ದೇಹದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ................... 69 3.4. ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್........................................... ........ ..... 71 3.5. ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು........................................... ......... ..... 72 4 3.6. ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ಘಟಕಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ........................................... ............ 74 3.7. ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ಗಾಗಿ ಸ್ಟೈನರ್ ಪ್ರಮೇಯ.......... 76 3.8. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಆವೇಗ ................................... 78 3.9. ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ..................................... ............... ................................ 79 3.10. ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳು........................................... ... .......... 82 3.11. ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ............................................ .......... ................................ 86 3.12. ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ ............................................ ............. .. 88 3.12.1. ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು............................................. ..................... ................................ 88 3.12.2. ಮುಖಪುಟ ಪರೀಕ್ಷೆ................................... 92 3.13. ಅಂತಿಮ ನಿಯಂತ್ರಣ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು .................. 92 3.13.1. ಕ್ಷೇತ್ರ ಎ ................................................ ..... ............ 92 3.13.2. ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿ ................................................ ..... ............ 94 3.13.3. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿ .................................................. ..... ............ 95 ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾದ ಓದುವಿಕೆ .............................. ...... .......... 97 ಅನುಬಂಧ 1 ............................... ..... ................................ 98 ಅನುಬಂಧ 2. ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು......... .................................................. ...... ... 100 ವಿಷಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ........................................... ............. ....... 102 5 ಮುನ್ನುಡಿ ಈ ಪುಸ್ತಕವು "ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ" ಕೋರ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ "ಘನ ಘಟಕ" ಆಗಿದೆ, ಇದು ವಿಶೇಷತೆಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮಾನದಂಡದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ: "ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ" - 010701, "ರೇಡಿಯೋಫಿಸಿಕ್ಸ್" ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್" - 010801. ಇದರ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು (ಪಿಡಿಎಫ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್) ಕುಬನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕುಬನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿಯ ಸ್ಥಳೀಯ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ನಾಲ್ಕು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ - ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮೊದಲ ಭಾಗ - ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಿಗೆ ರೂಪಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ. ಎರಡನೆಯ ಭಾಗವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ (ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮೂರನೇ ಭಾಗ). ಸಂಕೀರ್ಣದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ತರಬೇತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ - ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಘಟಕಗಳು, ಇವು HTML ಪುಟಗಳು, ಸಕ್ರಿಯ ಕಲಿಕೆಯ ಸಾಧನಗಳಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ - ತರಬೇತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳು. ಈ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು KubSU ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಕೈವ್ ಮಾಡಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೇಸರ್ ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾರ್ಡ್ ಕಾಪಿಗೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಘನ ಘಟಕಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ತಮ್ಮ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತವೆ. 6 ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣದ "ಘನ ಘಟಕ" ದ ಆಧಾರವು ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು, ಈ ವಿಭಾಗದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸೂಚಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ "ಗ್ಲಾಸರಿ" ಯಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೈಪಿಡಿಯ ಪ್ರತಿ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳ ನಂತರ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಘಟಕದ ಎರಡು ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿವೆ - ಇವು ವಿಭಾಗಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯ 3 ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ 2 ರಲ್ಲಿ, ಶಿಕ್ಷಕರ ನಿರ್ದೇಶನದಂತೆ ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು 21 ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಕಾರ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರಗತಿಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ (ಜೋಡಿ) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯೋಜನೆಯು ವಿಫಲವಾದಲ್ಲಿ, ಕೆಲಸವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ (ಹೋಮ್‌ವರ್ಕ್) ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ (ತರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು) ಮರು-ಮಾಡಬೇಕು. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಸೂಚಿಸಿದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಯ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯ ಹೊರಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಭಾಗ ಬೋಧನಾ ನೆರವು ಸಹಾಯಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಅನುಬಂಧ 1 ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ - ಪರೀಕ್ಷೆ 3 ರ ಮಧ್ಯಂತರ ಗುರಿಗಳು, ಮತ್ತು ಅನುಬಂಧ 2 - ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಕರ ಗ್ರೇಡ್ ಪಡೆಯಲು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಕೈಪಿಡಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಸಂಯೋಜಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗ, ಇದರ ಆಧಾರವು ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ನಂತರದ ಸಂದರ್ಶನ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫೀಲ್ಡ್ "ಬಿ" ಗೆ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಮೂದು ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಉತ್ತರ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. "C" ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೀಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಬೇಕು. 7 ಗ್ಲೋಸರಿ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಇಡೀ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯು ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವೇಗವು ತಿರುಗದ ಗ್ರಹದಿಂದ ಉಡಾವಣಾ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಪಥದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಆವೇಗವು ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವೇಗದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕ ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇಗವನ್ನು ನೀಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಚಲನೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆಧಾರದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಕ್ರತೆಯು ಸ್ಪರ್ಶದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವೇಗದ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 8 ಸ್ಥಿರ ಬಲದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕೆಲಸವು ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಇತರ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನೀಡಿದ ಬಲಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಮಯ ಮತ್ತು ವೇಗ). ಅನುವಾದ ಚಲನೆಯು ಒಂದು ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಘನ ದೇಹದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ದೇಹಗಳು ಅಥವಾ ದೇಹದ ಭಾಗಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಕ್ಷೇತ್ರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ, ಕೇಂದ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯು ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ನೇರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ (ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರ) ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ವೇಗವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಸ್ಕುಲೇಟಿಂಗ್ ವೃತ್ತವು ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳವರೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನ ವೃತ್ತವು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 9 ಜೊತೆಗೂಡಿದ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾನ್ - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಜೊತೆಗಿನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಬಳಸುವ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ (ಸ್ಪರ್ಶ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು). ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಬದಲಾಗದ ದೇಹವಾಗಿದೆ. ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಘಟಕಗಳು ತಿರುಗುವ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಠಿಣ ದೇಹದ ಜಡತ್ವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಥವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಕುರುಹು. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೇಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪಥದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕೆಲವು ಕೇಂದ್ರ "O" ಗೆ r ದೂರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿಯು ದೇಹ ಅಥವಾ ದೇಹದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ. 10 1. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಬೇಸಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ (ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ) 1.1. ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ “ಕುರುಹುಗಳು” “ಮುಂಭಾಗ” ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು “ಮುಂಭಾಗ” ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ “ಕುರುಹುಗಳು” “ಕುರುಹುಗಳು” “ಕುರುಹುಗಳು” “ಮುಂಭಾಗ” ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಕಾನೂನು “ಮುಂಭಾಗ” ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮೀಕರಣ ಕರ್ವ್ "ಕುರುಹುಗಳು" "ಮುಂಭಾಗ" ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೆಲಸ " ಕುರುಹುಗಳು" "ಮುಂಭಾಗ" ಅಂತಿಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು "ಮುಂಭಾಗ" ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಕಾನೂನು "ಕುರುಹುಗಳು" "ಕುರುಹುಗಳು" "ಮುಂಭಾಗ" ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ "ಕುರುಹುಗಳು" "ಕುರುಹುಗಳು" "ಮುಂಭಾಗ" ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಕಾನೂನು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಚಿತ್ರ 1 - ವಿಭಾಗ 1 ರ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು. 2. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಇತರ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತದೆ: 1) ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸುವುದರಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು; 2) ಇತರ ದೇಹಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ದೇಹದ ಆಯ್ಕೆ. 11 1.2.1. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದವುಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ). 1 ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ i, j, k ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣದ ಘಟಕಗಳು, ಅಂದರೆ. ಅವುಗಳ ಉದ್ದ (ಮಾಡ್ಯುಲಸ್) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅಳತೆಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಈ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು "ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿಂಗ್" ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮದ ಜೊತೆಗೆ ix, jy ಮತ್ತು kz ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, "ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೆಕ್ಟರ್ r = ix + jy + kz ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇತರ ವಾಹಕಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮಯದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ 1 ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಹೆಸರು ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯಸ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು "ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. 12 ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ r (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) . ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ z kz k r jy i y j ix x ಚಿತ್ರ 2 - ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ, ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಪದನಾಮದ ಮೇಲಿರುವ ಡಬಲ್ ಡಾಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1.2.2. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನ. ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು r = r (t) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕವು ಸಮಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಚಲನೆ 13 ಪಥ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಪಥದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ (ಮಾರ್ಗ) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 ಇದು ಏಕತಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ದೇಹದಿಂದ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಸ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಅಥವಾ "ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್" ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು r = r(s) ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. τ m n ಚಿತ್ರ 3 – ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾನ್ ವೆಕ್ಟರ್ dr ds ಪಥಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 3), ಅದರ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ dr = ds τ= 14 dτ ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ τ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಪಥಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಭೌತಿಕ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ನಂತರ ನೋಡುವಂತೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಮಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ t ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ -. ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt ಈ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು 1 τ′ = 2 (a τ n) − 2 = 1 ವೆಕ್ಟರ್ τ′ = ಅಲ್ಲಿ v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r - ಒಟ್ಟು dt 2 ನೇ ವೇಗವರ್ಧಕದ ವೆಕ್ಟರ್. ಒಟ್ಟು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ (ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ) ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ವೇಗದ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗವರ್ಧಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸ್ಪರ್ಶದ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ a = an = n v2, R ಅಲ್ಲಿ n ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು R ಎಂಬುದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ τ′ ಅನ್ನು τ′ = Kn, 1 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ K = ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಕ್ರತೆ - ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪರಸ್ಪರ. ಆಸ್ಕ್ಯುಲೇಟಿಂಗ್ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಕರ್ವ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ನೀಡಿದ ಕರ್ವ್ 15 ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅನಂತತೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವೆಕ್ಟರ್ n ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಧಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ τ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ, ನಾವು ಬೈನಾರ್ಮಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ m = [τ, n] ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು τ, n ಮತ್ತು m ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ - ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾನ್, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಬಿಂದುವಿನ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಚಿತ್ರ 3. 1.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1632 ರಲ್ಲಿ, ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗೆಲಿಲಿ ಕಾನೂನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಮತ್ತು ನಂತರ 1687 ರಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಅವರು ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕಾನೂನನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು: “ಪ್ರತಿ ದೇಹವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಾರ್ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತವೆ." ಇದು ಒಂದು ರಾಜ್ಯ." 1 ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಮೊದಲು, ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಚಲನೆಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ವೇಗ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದರು ಮತ್ತು ದೇಹವು ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು, ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನುಭವವು ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ದೇಹವು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ; ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿದರೆ, ದೇಹವು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಮಾತ್ರ ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಮ್ಮ ಬಯಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ (ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವೀಕ್ಷಣೆ) ಜೊತೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ನೈಜ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೇಗದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಲದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ವರದಿ ವೇಗವರ್ಧನೆ. 1 I. ನ್ಯೂಟನ್. ನೈಸರ್ಗಿಕ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳು. 16 ನಿಜ, ಭೂಮಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಇತರ ದೇಹಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗದ ದೇಹದ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ವಿಶೇಷ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ (ಜಡತ್ವ) ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ಬಲವಂತವಾಗಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ (ಗೆಲಿಲಿಯೋನ ) ಮೊದಲ ಕಾನೂನನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. 1 ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಬಲದ ಅನುಪಾತದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ?ಯಾವ F ∼W ⎫ F ಸ್ಕೇಲಾರ್ ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ ಅಲ್ಲಿ Δdv =d = ≡r. Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim ಅನುಭವವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಹೊಸ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, F = mW ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, 1 ಆದರೆ ಅಂತಹ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಯಾವ ನೈಜ ದೇಹಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಈಥರ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ("ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿ" ನೋಡಿ) ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೈಕೆಲ್ಸನ್ ಪ್ರಯೋಗದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿತು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. 17 ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೇಹಕ್ಕೆ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಲವಾರು ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. . a =1 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ವೇಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯ ಸಮಯದ ಅವಲಂಬನೆ ಎಂದರೆ ಚಲಿಸುವ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ (ಬಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ವೇಗ (ಬಲವು ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ) ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅವಲಂಬನೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೇಹವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಲವು ಇನ್ನೂ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ: ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ. 1. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆ: ಚಲನೆಯ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ r = r (t), ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ದೇಹಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹೊಸ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ I. ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಗ್ರಹಗಳ ಗಮನಿಸಿದ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕೆಪ್ಲರ್‌ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ I. ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ (ವಿಭಾಗ 2 ನೋಡಿ). 2. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ: ನೀಡಿದ ಬಲಗಳು (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಮಯ ಮತ್ತು ವೇಗ) ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಅನ್ವಯಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ 18 ನಿಯಮವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) ಡಿಟಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ) ಪೂರಕಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ (t = 0) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗಗಳು: ⎧ x0 = x (t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). ಗಮನಿಸಿ 1. I. ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲವನ್ನು ದೇಹಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದೇಹಗಳು ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ತನ್ನ ಡಿಸ್ಕೋರ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಜನರಲ್ ಕಾಸ್ ಆಫ್ ದಿ ವಿಂಡ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ (1744) ಮಾಡಿದಂತೆ ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿ ದೇಹ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ದೇಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು I. New19 ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಭಾಗಕ್ಕೆ "ಜಡತ್ವದ ಬಲ" F + (-mW) = 0, ಅಥವಾ F + Fin = 0 ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಜಡತ್ವ ಬಲವು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಬಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಜಡತ್ವದ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ವೇಗವರ್ಧಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಹಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ, ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಲ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಯಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಬೇಕು. ಈ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಗ್ರಹದ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬೀಳುವ ಉಪಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ದೇಹಗಳ ಸಮತೋಲನ (ತೂಕರಹಿತತೆ) ಮತ್ತು (ಭಾಗಶಃ) ಪ್ರದೇಶದ ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು "ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ". ಟೀಕೆ 2. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿವೆ: 1) ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸಂಯೋಜಕ (ಸೇರ್ಪಡೆ), ಅಂದರೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ; 2) ಕೆಲವು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆ ಮೂಲಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 20 1.4. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ N ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. "a" ಬಿಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. "a" ನ್ಯೂಟನ್ರ II ನಿಯಮ dv (1.2) ma a = Fa , dt ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬರೆಯೋಣ, ಇಲ್ಲಿ Fa ಎಂಬುದು "a" ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ma = const ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, dt ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ N ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (1.2) ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು t ನಿಂದ t + Δt ಗೆ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = ಅಲ್ಲಿ v a t +Δt N ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) ಎಂಬುದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ "a" ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ua = ra (t + Δt) ಎಂಬುದು t + Δt ಸಮಯದಲ್ಲಿ "a" ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಫೇಕ್ಸ್ (ಬಾಹ್ಯ - ಬಾಹ್ಯ) ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಫೇನ್ (ಆಂತರಿಕ - ಆಂತರಿಕ) ಫೋರ್ಸ್ ಫಾ = ಫೈನ್ + ಫೇಕ್ಸ್ ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ "ಎ" ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಊಹಿಸೋಣ. ಸಿಸ್ಟಂನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ "ಎ" ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ - ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮದಿಂದಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಬಲಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ: ಎರಡು ದೇಹಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ Fab = - Fab ಬಿಂದುಗಳು "a" ಮತ್ತು "b" ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಂನ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ "a" ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವು 21 N Fain = ∑ Fab ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. b =1 ನಂತರ N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = -∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 ಹೀಗೆ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕೇವಲ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು N N a =1 a =1 ∑ maua - ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (1.3) - ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದಿದ್ದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ -F a =1 = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೇಗಾದರೂ, ದೈನಂದಿನ ಭಾಷಣದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಯಾವುದೋ ವಿಷಯದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಮೂಲವು ಏನಾಯಿತು ಎಂಬುದರ ತಿಳುವಳಿಕೆ. ಉಪಯುಕ್ತ ವಸ್ತುವನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಹಣವನ್ನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಣದುಬ್ಬರದಿಂದಾಗಿ ಅವರ ಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣದಂತೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಭೌತಿಕ ಉಪಕರಣಗಳು ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ). 22 ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ) ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿವಿಧ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮಾಪನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ಘಟನೆಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ ಮೌನವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ವೇಗಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಮತ್ತು ಚಲಿಸುವ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳು (ಚಿತ್ರ 4) dr du Velocity u = = r ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ W = = u , ವೀಕ್ಷಕ K ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ dr ′ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಗ u′ = = r′ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ dt du′ W ′ = = u ′, ವೀಕ್ಷಕ K′ ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ. ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವೇಗ V ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ A ಪೋರ್ಟಬಲ್. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R ಚಿತ್ರ 4 – ಅಳತೆಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ವೇಗ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋನ ವೇಗ ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಆವೇಗಕ್ಕಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ K ಮತ್ತು K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಶೂನ್ಯ 23 N ∑m u′ = 0 ಆಗಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, a =1 a a ಅನ್ನು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಅಥವಾ ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ವೇಗವು N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (1.5) a a =1 ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಸಮೂಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ವೇಗವೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ (1.5) ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ನಾವು ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ), ನಾವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ (ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರ) ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ N ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು “a” ಕ್ಕೆ ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ II ನಿಯಮವನ್ನು (1.2) ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗದಿಂದ dr ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dt ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, t1 ರಿಂದ t2 ವರೆಗಿನ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va ) , ua = va (t2) , ನಾವು 24 ma ua2 ma va2 - = 2 2 Ra ∫ (F , dr) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. a a (1.7) ra ಮುಂದೆ, Fa = Fapot + Faad ಅನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಘಟಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ Fa ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ವಿಘಟನೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ವಿಸರ್ಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A = ∫ (ಫ್ಯಾಪೊಟ್, ಡ್ರಾ) = 0 . (1.8) L ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಬೆವರು ಬೆವರು ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (ರಾಟ್ Fa , ds) , Lann ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ S ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಹರಡಿದೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ L ಚಿತ್ರ 5. S L ಚಿತ್ರ 5 – ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು (1.9) ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಬಂಧ ಕೊಳೆತ ಫ್ಯಾಪೊಟ್ = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a] ನ ಮಾನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ = 0 , ∇ ∇Π 25 t ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅದರ ಕೆಲಸವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಾದದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಚಲನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ, ಅದರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (1.9), ಸಂಬಂಧವನ್ನು (1.7) R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ರಾ () ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನಾವು N ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯು ವಿಸರ್ಜನೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) − ∑ ⎨ a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ ಇದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಘಟನೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಲ್ಲ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು (ಚಲನ ಪ್ಲಸ್ ಸಂಭಾವ್ಯ) ಶಕ್ತಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ("ಡಬ್ಬಿಯಲ್ಲಿ") ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1.6. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ N ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು “a” ಕ್ಕೆ ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ II ನಿಯಮವನ್ನು (1.2) ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಆಗಿ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಇಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. 26 K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) ಪ್ರಮಾಣವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Fa ಬಲದ ಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ d ⎣⎡ ರಾ , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ d d ⎢ , + ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ಡಿ ⎡ ⎣ ರ , ಮಾ ವ ⎤⎦ = ಕ . dt ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ N ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು dM =K, (1.12) dt ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಪ್ರಮಾಣ N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1.4-1.6 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು: ಆವೇಗ, ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕ ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಅಂದರೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸಂರಚನಾ ಜಾಗದ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು27), ನಾವು ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. . ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಸಮಯದ ಪ್ರಮಾಣದ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಏಕರೂಪತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಐಸೊಟ್ರೋಪಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 1.8 ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ 1.9. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ 1.9.1. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೇಂದ್ರ C1 ಗೆ ಆಕರ್ಷಕ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ C2 ಬಗ್ಗೆ ವಿಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಕೇಂದ್ರಗಳಿಗೆ ದೂರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ k1m ಮತ್ತು k2m ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಬಿಂದು M ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: X1(t) = acosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. ಸಮಯದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವು x = a ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು; y = 0; z=0 ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೇಗವು vx = vy = vz =0. k1 > k2 ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಎಫ್ 1 ಮತ್ತು ಎಫ್ 2 (ಚಿತ್ರ 5) ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ: mr = F1 + F2, ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತವೆ. . ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, F1 ಮತ್ತು F2 ಪಡೆಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: 28 F1 = - k1mr1 ; F2 = k2 mr2. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು r1 ಮತ್ತು r2 ಅನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = IA cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt ಮತ್ತು R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, ಇಲ್ಲಿ i, j, k ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 "О" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, R1 ಮತ್ತು R2 ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಷಣ ಕೇಂದ್ರಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ, r ಬಿಂದು M ನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್, r1 ಮತ್ತು r2 ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕೇಂದ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ. ಚಿತ್ರ 6 - ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಚಿತ್ರ 6 ರಿಂದ ನಾವು r1 = r - R1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; r2 = r - R2 . ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: r + (k1 - k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 - k2) ch λt. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, k1 > k2, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ - ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ k2 = k1 - k2. ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ro + k 2 ro = 0 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು ಮತ್ತು r = ro + rch ಎಂಬ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ rch. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು λ2 + k2 = 0 ಎಂಬ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿವೆ: λ1,2 = ± ik, ಅಲ್ಲಿ i = -1. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು r = A cos kt + B sin kt ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −2− ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: α1 (k 2 - ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 - ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (cos ω + sin ω) + k 2 - ω2 k 2 + λ2 ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: r (t = 0) = IA; r (t = 0) = 0 . ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ωk r = -kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (-i sin ωt k -ω 2 λk + j cos ωt) + 2 ಕೆ ಸಿನ್ಹ್ λt. k + λ2 ಕಂಡುಬಂದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k -ω k +λ k -ω ನಾವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು k r = IA cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt - cos kt) ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಇಡೋಣ. ω k + λ2 ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. + 1.9.2. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಕೇಂದ್ರ O1 ಗೆ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು O2 ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವಿಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಬಲಗಳು ಕೇಂದ್ರಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ k1m ಮತ್ತು k2m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. 31 ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬೆಸ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ, k1 > k2, ಬೆಸ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ, k2 > k1 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ 1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಷಣ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಯ ಆರು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಕೋಷ್ಟಕ 1. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಗಳು 1. a, b, c, R, λ ಮತ್ತು ω ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿವೆ ಆಯ್ಕೆ 1 1 ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = ಇ ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ωt; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R ಪಾಪ ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು O2 Y2 = Y1 + ಬೂದಿ λt; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 ಕೋಷ್ಟಕದ ಮುಂದುವರಿಕೆ 1 1 6 7 2 X 1 = ash λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt; Y1 = ಅಚ್ λt; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R ಪಾಪ ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R ಪಾಪ ωt. Z1 = ae λt. 8 4 X 1 = ಬೂದಿ λt; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ಅಚ್ λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e -λt . λt Z1 = ae. 10 X 1 = a + ct 3; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ಅಚ್ λt; Z1 = ಬೂದಿ λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R ಪಾಪ ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R ಪಾಪ ωt. X 2 = R sin ωt; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = ಬೂದಿ λt; Y1 = 0; Z1 = ಅಚ್ λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R ಪಾಪ ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 ಟೇಬಲ್ 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae -2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = ಬೂದಿ λt; Y2 = 0; Z1 = ಅಚ್ λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt; X 2 = X 1 + ಬೂದಿ λt; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt; Y1 = 0; Y2 = aCosωt; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt; X 2 = 0; Y1 = achλt; Y2 = a + bt + ct; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಹಿತ್ಯ 1. Meshchersky I.V. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. M., 1986. P. 202. (ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 27.53 - 27.56, 27.62, 27.63). 2. ಓಲ್ಖೋವ್ಸ್ಕಿ I.I. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋರ್ಸ್. M., 1974. S. 43 - 63. 34 1.10. ಅಂತಿಮ ನಿಯಂತ್ರಣ (ಪರೀಕ್ಷೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು 1.10.1. ಕ್ಷೇತ್ರ A.1.1. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ... A.1.2. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ... A1.3. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ... A.1.5. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ... A.1.6. ಬಲದ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ... A.1.7. ಜಡತ್ವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ A.1.8. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು... ಅ.1.9. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು A.1.10 ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಡತ್ವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ವೇಗವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ... A.1.11. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ... A.1.12. ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಲ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ) A.1.13. ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಲ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮ) A.1.14. ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ... ಅ.1.15. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ... A.1.16. ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ... A.1.17. ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ... A.1.18 ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ... A.1.19 ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಘಟನೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ... A.1.20 ಉಳಿದಿದೆ. 35 1.10.2 ವೇಳೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ B ua B.1.1. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∑ ∫ d (m d v) a a a va ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ... B.1.2. ಉಲ್ಲೇಖ ಫ್ರೇಮ್ K ಯಲ್ಲಿನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ V ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲಿಸುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಫ್ರೇಮ್ K′ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ... B.1.3. F = -∇Π ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ... B.1.4. F = −∇Π ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸವು ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ … d va2 B1 ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. 5. ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನವು ... dt B.1.6 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಪಲ್ಸ್ ಡಿ ಕ್ಷಣದ ಸಮಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ... dt 1.10.3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ C C.1.1. m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸಿದರೆ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x = x(t), y = y(t), z = z (t), ಆಗ ಅದು F, ಘಟಕ Fx (Fy) ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ , Fz) ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ... C.1.2. ಒಂದು ಬಿಂದುವು kmr ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು t = 0 ನಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (m) (x0, y0, z0) ಮತ್ತು ವೇಗ (m/s) (Vx, Vy, Vz) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ t = t1 s ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ x ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ...(m) C.1.3. a, b ಮತ್ತು c ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ m1, m2, m3 ಮತ್ತು m4 ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳಿವೆ. ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು (xc, yc, zc) ಹುಡುಕಿ. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x ಚಿತ್ರ 7 - ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ C.1.3 C.1.4. ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಾಡ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ρ = ρ(x). ಅಂತಹ ರಾಡ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ... C.1.5. ಫೋರ್ಸ್ F = (Fx, Fy, Fz) ಅನ್ನು x = a, y = b, z = c ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಬಲದ ಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ... 37 2. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ 2.1. "ಬಳಸುತ್ತದೆ" ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ "ಕುರುಹುಗಳು" "ಬಳಸುತ್ತದೆ" ನಿಯಂತ್ರಣ ಘಟಕದ ಚಲನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು "ಕುರುಹುಗಳು" "ಬಳಸುತ್ತದೆ" ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ "ಕುರುಹುಗಳು" "ಬಳಸುತ್ತದೆ" ಪಥ ಸಮೀಕರಣ "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆ" " "ಬಳಸುತ್ತದೆ" "ಬಳಸುತ್ತದೆ" "ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಸೂತ್ರ ಸ್ಟೆರಾಡಿಯನ್ ಚಿತ್ರ 8 - "ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ 38 2.2 ವಿಭಾಗದ ರಚನೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕೆಲವು ಕೇಂದ್ರ "O" ಗೆ r ದೂರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವನ್ನು "O" ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಈ ದೂರವು ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಬಲವು ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, equipotential ಮೇಲ್ಮೈಗಳು П(r) = const ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು r = const ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಲ (2.1), ಗೋಲಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್ ಎರ್‌ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ತಿರುಗಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. 2.3 ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗವು xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ξ = ξi(xk) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ - ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi, (2.2) ∂ξ ∂t dt ಅಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (ಹೋಲೋನೊಮಿಕ್ ಅಥವಾ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್) ಆಧಾರ. ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವರ್ಗವು v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಆಧಾರದ ವಾಹಕಗಳು, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮಾಪನ ಘಟಕಗಳಾಗಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಇದರಿಂದಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಸಹ ವೆಕ್ಟರ್∂ei ಟೋರಸ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂಬತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ∂ξ j ಅನ್ನು ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು Γijk ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಜಾಗಗಳನ್ನು ಅಫೈನ್ ಜಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಾಪಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಓರೆಯಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಆಧಾರವನ್ನು (2.3) ಆರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ gij ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ - gij ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳು. ಮುಖ್ಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt ವೇಗವರ್ಧಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. 2.5 ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ x, y ಮತ್ತು z ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ (ಚಿತ್ರ 9): x = rsinθcosϕ, θs = rs = . 41 z θ y r ϕ x x ಚಿತ್ರ 9 - ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ x, y, z ಗೋಲಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ r, θ, ϕ. ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎞ 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂r ∂ = ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ΈΈ 3 + 3 3 = ∂Έ ∂ξ 2 2 2 ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ಆರ್ 2 ಪಾಪ 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಕರ್ಣೀಯವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 10). er eϕ θ eθ ಚಿತ್ರ 10 - ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ನೆಲೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಭೌತಿಕ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳ ಭೌತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೌತಿಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಧಾರದ ಹೆಸರನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು (2.5) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 ರಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 2 2 ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದರಿಂದ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (2.10) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. () 43 ಸೂತ್ರವನ್ನು (2.9) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ gij, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (2.8). ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ gij ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳು (ಕರ್ಣೀಯವೂ ಸಹ) ಸರಳವಾಗಿ gij ಅಂಶಗಳ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ: g11 = 1; g22 = r-2; g33 = r–2sin–2θ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುವ ಸಂಬಂಧ (2.8) ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಕರ್ಣೀಯವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಘಟಕ g11 = 1 (ಸ್ಥಿರ), ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದವು ಅಲ್ಲದಾಗಿರುತ್ತದೆ i = j = 2 ಗಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು i = j = 3. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ರೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ Γ122 ಮತ್ತು Γ133 ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಒಟ್ಟು 6 ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇವೆ: Γ122 = -r ; Γ133 = - ಆರ್ ಪಾಪ 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = - sin θ cos θ; ಆರ್ 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ (1.3) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವೇಗವರ್ಧಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθr2 sin2; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ - sin θ cos θϕ2; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. ಆರ್ 2.6. ಕೇಂದ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ d Π (r) (2.13) Fr = - dr ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು d Π (r) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ) (2.14) mW 1 = m r - r θ2 - r sin 2 θϕ2 = - dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ - sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.ϕct) W + 2.16 = 0 r ಸಮೀಕರಣವು (2.15 ) ಎರಡು ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 ಈ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ; θ = 0 ನಲ್ಲಿ, J = ರೂಪಾಂತರಗಳ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ = 0 ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ (2.17), ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.14) ಮತ್ತು (2.16) d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = - dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r ಸಮೀಕರಣ (2.19) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ d ϕ dr = r ϕ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ r 2ϕ = C , (2.20) ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ಥಿರವು ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸ್ವತಃ (2.20) ಕೆಪ್ಲರ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (2.18), ನಾವು (2. 18) ಸಂಬಂಧ (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 - r= 2 dr dr r m dr ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 ಟಿ. ಇ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮ, ಇದು (2.17) ಮತ್ತು (2.20) ಅನ್ನು (2.10) ಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. 2.7. ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗ - ಮೌಲ್ಯ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯ dS σ= ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಮುನ್ನಡೆದಿದೆ. dt ಚಿತ್ರ 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 ರಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗವನ್ನು ಸಂಬಂಧ 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS ಚಿತ್ರ 11 – ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವ ಪ್ರದೇಶ ಹೀಗೆ, ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಸಿ ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ (2.22), ನಾವು ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ 47 1 ⎡r , r ⎤ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (2.24) 2⎣ ⎦ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (2.24) ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಬಲದ ಅರ್ಧದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಭಾಗ 1.2 ನೋಡಿ). ಸೆಕ್ಟರ್ ವೇಗವು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸದೆ ಬರೆಯಬಹುದು, 1) ಚಲನೆಯು ವಿಘಟನೀಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ; 2) ಬಲಗಳ ಕ್ಷಣ 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) ಮೀ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. σ= 2.8. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕೂಲಂಬ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ 2.8.1. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಶಕ್ತಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (2.21) ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞−⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (2.26) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು ಕೂಲಂಬ್ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕೇಂದ್ರ α ⎧α > 0 ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ - ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿದ್ರವ್ಯರಾಶಿ M ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಹದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು mv 2 GMm α2 - = - ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. ಬಿಂದುವಿನ ಪಥವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2.9 ಎರಡು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು. ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ; m1 ಮತ್ತು m2 – ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ದೇಹಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಚಿತ್ರ 14 – ಎರಡು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆ ಪ್ರತಿ ದೇಹಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ 52 m1r1 = F12 = -F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) ವೆಕ್ಟರ್ r ಗೆ ನಾವು r = r2 - r1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. (2.36) ವೆಕ್ಟರ್ r ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ r1 ಮತ್ತು r2 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಒಡ್ಡೋಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣ (2.36) ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೊಳಿಸದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ r ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ r1 ಮತ್ತು r2 ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈ ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ (ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರ) ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. m1r1 + m2 r2 = 0 ಅನ್ನು ಹಾಕಿ. (2.37) ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು (2.37) ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು (2.36) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು m2 m1 r1 = - r ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬದಲಿಗೆ (2.35) ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು mr = F (r) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ mm (2.38) m= 1 2 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. m1 + m2 ಹೀಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಜಡತ್ವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. 53 2.10. ರುದರ್‌ಫೋರ್ಡ್‌ನ ಸೂತ್ರ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಎರಡು ಕಣಗಳ ಘರ್ಷಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಂತರದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಕೇಂದ್ರದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಣದ ಚಲನೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವಸ್ತುವಿನ ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ α-ಕಣಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು E. ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಚಿತ್ರ 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ ಚಿತ್ರ 15 – rm ϕ ϕ χ ಸ್ಥಾಯಿ ಪರಮಾಣುವಿನಿಂದ α-ಕಣವನ್ನು ಚದುರಿಸುವುದು ಪರಮಾಣುವಿನಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಂಡ ಕಣದ ಪಥವು ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಬೇಕು (ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಪಥಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ). ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕಣವು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ rm ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. α-ಕಣಗಳ ಮೂಲವು ಇರುವ ಅಂತರವು rm ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಣವು ಅನಂತತೆಯಿಂದ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಣದ ವೇಗವನ್ನು ಚಿತ್ರ 15 ರಲ್ಲಿ V∞ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೇಗದ ವೆಕ್ಟರ್ V∞ ನ ರೇಖೆಯ ρ ಅಂತರವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದನ್ನು ಪ್ರಭಾವದ ಅಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ (ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಧ್ರುವ 54 ಅಕ್ಷ) ಚದುರಿದ ಕಣದ ಪಥದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ χ ಅನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮದ ಅಂತರವನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾಪನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ dN ಆಗಿರಬಹುದು, ಅದರ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೋನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ [χ,χ + dχ]. ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಕಣಗಳ N ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆ n = (S ಎಂಬುದು ಘಟನೆಯ ಕಿರಣದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕ್ರಾಸ್ ಸೆಕ್ಷನ್ dσ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2.39) dN ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (2.39) dσ = n ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ ಒಂದು ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಘಟನೆಯ ಕಣಗಳ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಪರಿಣಾಮದ ಅಂತರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೋನವು ಪ್ರಭಾವದ ಅಂತರದ ಏಕತಾನತೆಯ (ಏಕತಾನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ω = ω1 + iω2. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು i = -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ω ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು dω = iΩω ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ dt ಪರಿಹಾರವು ω = AeiΩt ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ A ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ω⊥ = ω12 + ω22 = ಕಾನ್ಸ್ಟ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್, ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಕೋನೀಯ ವೇಗ (3.26) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ x3 ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವಭಾವಿ ವೇಗ. 3.10. ಯೂಲರ್‌ನ ಕೋನಗಳು ಯೂಲರ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ: ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು 82 ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂರು ಅಕ್ಷಗಳ ಸುತ್ತ ಮೂರು ಸತತ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆ. ದೇಹದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ Oξηζ (ಚಿತ್ರ 25) ಸ್ಥಾನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. Oxy ಮತ್ತು Oξηζ ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೋಡ್ಗಳ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ Oz ಅಕ್ಷದಿಂದ Oζ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ನೋಡ್‌ಗಳ ರೇಖೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N ಚಿತ್ರ 25 – ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳು ಕೋನ ϕ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ತಿರುಗುವಿಕೆ (ಆಕ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಾಲು ON) Oz ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ, ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ Oξ ಅಕ್ಷವು ನೋಡ್‌ಗಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, Oη ಅಕ್ಷವು ನೇರ ರೇಖೆ Oy". ಕೋನದಿಂದ ಎರಡನೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ θ ನೋಡ್‌ಗಳ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ. ಎರಡನೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ, Oξη ಸಮತಲವು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. Oξ ಅಕ್ಷವು ಇನ್ನೂ ನೋಡ್‌ಗಳ ಲೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, Oη ಅಕ್ಷವು 83 ನೇರ ರೇಖೆಯ Oy ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ". Oζ ಅಕ್ಷ ಅದರ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮೂರನೇ (ಕೊನೆಯ) ತಿರುಗುವಿಕೆಯು Oζ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ψ ಕೋನದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಚಲಿಸುವ ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಕ್ಷದ ಮೂರನೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ, ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ϕ, θ ಮತ್ತು ψ ಕೋನಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಚಲಿಸುವ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ϕ - ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕೋನ, θ - ನ್ಯೂಟೇಶನ್ ಕೋನ ಮತ್ತು ψ - ಕೋನ ಸ್ವಂತ ತಿರುಗುವಿಕೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣ ಸಮಯವು ದೇಹದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), ಮತ್ತು ψ = ψ(t) . ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅದರ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ i, j, k ಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹಕ್ಕೆ ಘನೀಕರಿಸಿದ ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ e1, e2, e3 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಮೂರು ಸಹಾಯಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಾಲಿನ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಎರಡು ಸಹಾಯಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ: n, n1, k ಮತ್ತು n, n2, k, ಬಲಗೈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 22), ವೆಕ್ಟರ್ n1 ಆಕ್ಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ n2 Oξη ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ. ಈ ಸಹಾಯಕ ವೆಕ್ಟರ್ 84 i = n cos ϕ - n1 sin ϕ ಮೂಲಕ ನಿಶ್ಚಲವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ; j = n ಪಾಪ ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 ಪಾಪ θ. ಸಹಾಯಕ ವಾಹಕಗಳು, ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು n = e1 cos ψ - e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ - e3 ಪಾಪ θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. (3.27) ಅನ್ನು (3.28) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತಿಮ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ i = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) cos ϕ - --[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ - e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ - sin ψ sin ϕ cos θ) - − e2 (sin ψ cos ϕ + s e2 ಪಾಪ e3 ಪಾಪ ϕ ಪಾಪ θ; j = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ - e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ϸ) cos + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) - e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹಕ್ಕೆ ಘನೀಕರಿಸಿದ ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = 21Ω1 L22 L31 L32 L23 . L33 ಕಾರ್ಯ. ಸ್ಥಾಯಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. 3.11. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1 ರಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ. 4. ನಾವು ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ (K) ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ (K´) ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅನುವಾದವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ (ಈ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ) ಅಳೆಯಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು "M" ನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಂಬಂಧದಿಂದ (ಚಿತ್ರ 4, ಪುಟ 23) r = r′ + R. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1.4 ರಂತೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ dr dr ′ dR , = + dt dt dt ಈಗ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆ K´ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ω (t) ನೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. . ಭಾಷಾಂತರ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಪದವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೀಕ್ಷಕ K´ ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ ′ ಅನ್ನು ವೀಕ್ಷಕ K´ ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೀಕ್ಷಕ K ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3.22) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ತಿರುಗುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt ಅಲ್ಲಿ d′r′u′ = dt ಸಮಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೀಕ್ಷಕ K´ ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ R ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ K´ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಧ್ರುವವಾಗಿ ಆರಿಸುವುದರಿಂದ, ತಿರುಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವೇಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ u = V + u′ + [ω, r′] , (3.29) ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1.4 ರ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು (3.29) ಡು ಡಿವಿ ಡು ′ ⎡ ಡಿ ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = +, ಆರ್ ′ ⎥ + ⎢, ⎥ ಡಿಟಿ ಡಿಟಿ ಡಿಟಿ ⎢⎣ ಡಿಟಿ ⎦ ⎣ ಡಿಟಿ and ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಡು ′ ಡಿ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt ನಾವು ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt ಈ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದನಾಮಗಳು ಅವುಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ: du Wabs = – ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ dt ನಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಂಪೂರ್ಣ ವೇಗವರ್ಧನೆ; 87 dV ′ - ವೀಕ್ಷಕ dt K ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೀಕ್ಷಕ K´ ವೇಗವರ್ಧನೆ - ಪೋರ್ಟಬಲ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ; d′u′ Wrel = – ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ವೀಕ್ಷಕ K´ ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಂಬಂಧಿತ ವೇಗವರ್ಧನೆ; WCor = 2 [ ω, u′] – Wper ನ ಚಲನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇಗವರ್ಧನೆ = ಕೋನೀಯ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಚಲನೆ, – ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ; [ε, r ′] - ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ K´ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಇದರ ಅರ್ಥವು ತಿರುಗುವ ಡಿಸ್ಕ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ω ವೆಕ್ಟರ್ r ′ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವಾಗ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) - r ′ω2 = −r ′ω2 – ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ತ್ರಿಜ್ಯ. 3.12. ಪರೀಕ್ಷೆ

ಗೆಲಿಲಿಯೋ-ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ತತ್ವಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಈ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೂಪಿಸಿದರು.

ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮೊದಲ ನಿಯಮ(ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ). ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದ ಅಥವಾ ಬಲಗಳ ಸಮತೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಅದರ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಈ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಡತ್ವ.

ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮವು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಡತ್ವ.

ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ(ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ನಿಯಮ). ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1).

ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

(1)

ಎಲ್ಲಿ ಮೀವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಜಡತ್ವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ SI ಘಟಕವು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ (ಕೆಜಿ); - ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ; - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 1

ಅಕ್ಕಿ. 2

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದಿಂದ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (1) ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ(ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾನೂನು). ಎರಡು ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2), ಅಂದರೆ.

ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾನೂನು(ಪಡೆಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕಾನೂನು). ಹಲವಾರು ಶಕ್ತಿಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಆ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಲಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಿ ನಂತರ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಬಲದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (1):

ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇಗವರ್ಧನೆ

(3)

(2) ಮತ್ತು (3) ಅನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಪಡೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಬಲವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅದೇ ವೇಗವರ್ಧಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಶಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಬಲವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

3.1.2.1. ಮುಕ್ತ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಕ್ಕಿ. 3

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಡೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಿ, ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 3. ನಂತರ, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ,

(4)

ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ (4) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

. (5)

ಸಮೀಕರಣ (5) ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಆಕ್ಸಿಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (6) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಎತ್ತುನಾವು ಚಲನೆಯ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆ (5) ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1.2.2. ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಂದ ವಿಮೋಚನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಬಂಧದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

(7)

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ (7) ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

1.2.3. ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪಾಯಿಂಟ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಜಡತ್ವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವೇಗವರ್ಧನೆ

ಪೋರ್ಟಬಲ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ; - ಚಲಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗವರ್ಧನೆ; - ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: - ಪೋರ್ಟಬಲ್ ಜಡತ್ವ ಬಲ; - ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಜಡ ಶಕ್ತಿ.

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (9) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

(10)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಜಡತ್ವ ಬಲಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಮತೋಲನದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ನಂತರ ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆಗೆ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ನಿಯಮವು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಲನೆಯ ಮೂಲ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

ಚಲಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಮತ್ತು ಸಮ ಈ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಥಿರವಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಯಾವಾಗ ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ, ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿದವುಗಳು ಜಡತ್ವ.

ಎಲ್ಲಾ ಜಡತ್ವ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ಘಟನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ. ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ತತ್ವ.ಯಾವುದೇ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜಡತ್ವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಈ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಉಚಿತ ಕಂಪನಗಳು. ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಬಲದ ಪರಿಣಾಮ

ಉಚಿತ ಕಂಪನಗಳು(ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಏರಿಳಿತಗಳು) - ಇವು ಏರಿಳಿತಗಳುಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರಭಾವಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ (ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಥವಾ ಚಲನ) ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉಚಿತ ಕಂಪನಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಪ್ರತಿರೋಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಾನಿಕ ಬಲವು ಅದನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿರುಗಿಸಲು ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನಶ್ಚೈತನ್ಯಕಾರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸೈನುಸೈಡಲ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆ.

ಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿ P ಒಂದು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮಾಡಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಆಂದೋಲನಗಳ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ವಿಚಲನದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ P ಬಲದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಡೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನುರಣನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆ

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಗೊಂದಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಆವರ್ತನವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅನುರಣನ ವಿದ್ಯಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನುರಣನವು ಬಲವಂತದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನವು ಚಾಲನಾ ಶಕ್ತಿಯ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ

ಅನುರಣನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಲವಂತದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

ವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಬಲವಂತದ ಆಂದೋಲನಗಳು.

ತಿರುಗುವ ಚಲನೆ

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ . ನಂತರ

- ತಿರುಗುವ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದೇಹದ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋನಿಗ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಲನೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:

T=T0+Tr(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

ಇಲ್ಲಿ T - (\ displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ T_(0))T0 ಎಂಬುದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, (\displaystyle T_(r))Tr ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ದೇಹದ ಅಥವಾ ದೇಹಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಭಾಷಾಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ: ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿ

ಚಿತ್ರ 1 - ದೇಹದ ಉಚಿತ ಪತನ.

ಲೋಡ್ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧವು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಶಕ್ತಿಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ದೇಹದ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅದು ಗಾಳಿಯೊಂದಿಗೆ ಘರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಸಮತೋಲನಗೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ನಿಲ್ಲುವ ಕ್ಷಣವನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ.

ನೆಲದೊಂದಿಗೆ ಘರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೇಹವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ. ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೇಹವು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತಲುಪಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ, ಅದು ಚಲಿಸುವಾಗ, ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೆಳಗಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ, ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದರ್ಶ ಸಂಪರ್ಕಗಳು

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಂಶವು ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಂಶವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೃದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆದರ್ಶ ಸಂಪರ್ಕಗಳುಘರ್ಷಣೆಯಿಲ್ಲದ ಬಂಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ

ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ವಿಮೋಚನೆಯ ತತ್ವ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಂಧಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ದೇಹವನ್ನು ಉಚಿತ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು - ಬಂಧಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ಸಂವಹನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಪರ್ಕವು ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿ, ಅದರ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಚಲನೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಸಂಪರ್ಕವು ದೇಹವನ್ನು ಚಲಿಸದಂತೆ ತಡೆಯುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹಾರ್ಡ್ ಸೀಲ್

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಘಟಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ ಎಕ್ಸ್ ಎಮತ್ತು ವೈ ಎಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಿರಣದ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ಷಣದ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮೀ ಎ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಿರಣವನ್ನು ತಿರುಗದಂತೆ ತಡೆಯುವುದು.

Fig.4

ಪರಿಹಾರ.ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೊದಲು ರಾಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳ ತತ್ವವು ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಫ್ಸರಳವಾದ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ನಾವು ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು. ರಾಡ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ JSCಕೋನದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 66). ಗಾಳಿಕೊಡೆಯು ಅನುವಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಚಲನೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ=AO=BD.

ನಾವು ಕೆಲಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ನರ್.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ.

ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅವುಗಳ ಜಡತ್ವವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೃತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕೆಲಸದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (1):

ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯ ವೇಗಗಳ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ (2):

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ . ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಸ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವರ್ಚುವಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, - ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ (ಆದರ್ಶ) ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಇದ್ದಾಗ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಘರ್ಷಣೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಚಿತ್ರ.11

ಈ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ದೇಹವು ಕಡಿಮೆ ವೇಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರವನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದರೆ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಚಲನಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಲಾಗ್ರೇಂಜ್-ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯ).

ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ,

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ (ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಮತೋಲಿತ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ) ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜಡತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಂತಹ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿವೆ.

ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಲಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ವಭಾವದ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

ಇಲ್ಲಿ ΣX ಮತ್ತು ΣY ಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು; x ಮತ್ತು y ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಡೆದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೀಡಿದ ಚಲನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅವರು ಅದರ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ.