ಇಬ್ಬರು ಸಮಾನ ಎದುರಾಳಿಗಳು ಚೆಸ್ ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಸೂತ್ರಗಳ ಸರಳೀಕರಣ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು f 1 (x) = g 1 (x) ಮತ್ತು f 2 (x) = g 2 (x) ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 - 9 = 0 ಮತ್ತು (2 X + 6)(X- 3) = 0 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 3 ಮತ್ತು -3 ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 ಮತ್ತು x 2+ 1 = 0, ಎರಡಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವ ರೂಪಾಂತರಗಳು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 1.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ f(x) ಮತ್ತು g(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಂ(X) ಒಂದೇ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು f(x) = g(x)(1)ಮತ್ತು f(x) + h(X) =g(x) + h(X) (2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ T 1 -ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ (1), ಮತ್ತು ಮೂಲಕ T 2 -ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ (2). ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ T 1 = T 2.ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ಮೂಲವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ T 1ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (2) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಮೂಲ T 2ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (1).
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ ಎ- ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (1). ನಂತರ ಎ? T 1,ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ (1) ಅದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ f(a) = g(a), ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ h(x)ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಗಂ(ಎ), ಇದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ X.ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ f(a) = g(a)ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಗಂ(ಎ) ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(a) + h(ಎ) =g(a) + h(ಎ), ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (2).
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (1) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವು ಸಮೀಕರಣದ (2) ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. T 1ಜೊತೆಗೆ T 2.
ಈಗ ಬಿಡಿ ಎ -ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (2). ನಂತರ ಎ? T 2ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ (2) ಅದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ f(a) + h(ಎ) =g(a) + h(ಎ) ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ - ಗಂ(ಎ), ನಾವು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(x) = g(x),ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎ -ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (1).
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಪ್ರತಿ ಮೂಲವು ಸಮೀಕರಣದ (1) ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. T 2ಜೊತೆಗೆ T 1.
ಏಕೆಂದರೆ T 1ಜೊತೆಗೆ T 2ಮತ್ತು T 2ಜೊತೆಗೆ T 1,ನಂತರ ಸಮಾನ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ T 1= T 2, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ Xಒಂದೇ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಂತರ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:
1. ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
2. ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ) ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೆ, ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ f(x) = g(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು h(x) -ಒಂದೇ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ Xಅನೇಕರಿಂದ X.ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು f(x) = g(x)ಮತ್ತು f(x) h(X) =g(x) h(X) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಡೊಮೇನ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ Xಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದೇ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ), ನಾವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಸಮೀಕರಣ 1- ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ X/3 = X/6, X ? ಆರ್ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತೇವೆ.
| ರೂಪಾಂತರಗಳು | ರೂಪಾಂತರದ ತಾರ್ಕಿಕತೆ |
| 1. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ: (6-2 X)/ 6 = X/6 | ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. |
| 2. ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸೋಣ: 6-2 X = X | ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಪ್ರಮೇಯ 2) ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. |
| 3. ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ -2x ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: 6 = X+2X. | ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಅನುಸಂಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. |
| 4. ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: 6 = 3 X. | ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದೆ. |
| 5. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: X = 2. | ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 2 ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ |
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಮಾಡಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 2 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮೇಯಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳ ನಷ್ಟ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ x(x - 1) = 2x, x? ಆರ್. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ X, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X - 1 = 2, ಎಲ್ಲಿಂದ X= 3, ಅಂದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವೇ? ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ Xಬದಲಿ 0, ಇದು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ 0·(0 - 1) = 2·0 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ 0 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ನಾವು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ. ನಾವು ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು X,ಆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1/ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ X, ಆದರೆ ನಲ್ಲಿ X= ಓಹ್ ಇದು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿಲ್ಲ, ಇದು ಮೂಲದ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 0 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಅನ್ನು ಸರಿಸೋಣ Xಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ: x(x- 1) - 2x = 0. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ Xಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ: x(x - 3) = 0. ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ X= 0 ಅಥವಾ X- 3 = 0. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು 0 ಮತ್ತು 3 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಗಣಿತದ ಆರಂಭಿಕ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ( X·9):24 = 3 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತವು ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಣ, ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಭಾಜಕವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: X·9 = 24·3, ಅಥವಾ X·9 = 72.
ಅಜ್ಞಾತ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: x = 72:9, ಅಥವಾ x = 8, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಆಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು
1 . ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ನಮೂದುಗಳು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
ಎ) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
ಬಿ) ( X-3)·5 = 12; d) ( X-3)· ವೈ =12X;
ವಿ) ( X-3) 17 + 12; ಇ) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. ಸಮೀಕರಣ 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 2 ಮತ್ತು -1 ಅದರ ಮೂಲವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
3. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅಳಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4. ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ:
ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ f(x) = g(x);
ಬೌ) ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ f(x) = g(x).
5. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
a) 3 + 7 X= -4 ಮತ್ತು 2(3 + 7ಲೀ X) = -8;
6)3 + 7X= -4 ಮತ್ತು 6 + 7 X = -1;
ಸಿ)3 + 7 X= -4 ಮತ್ತು ಎಲ್ X + 2 = 0.
6. ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
7. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (ಅವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ:
a)(7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
b) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
2-ಕ್ಕೆ X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣ 5 X + 15 = 3 Xಕೆಳಗಿನಂತೆ + 9: ನಾನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡೆ 5(x+ 3) = 3(X+ 3) ತದನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ X+ 3. ನಾನು 5 = 3 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯೇ?
9. 2/(2-) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ X) – ½ = 4/((2- X)X); X? ಆರ್. ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವೇ?
10. ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಎ) ( X+ 70) 4 = 328; ಸಿ) (85 X + 765): 170 = 98;
ಬಿ) 560: ( X+ 9) - 56; ಜಿ) ( X - 13581):709 = 306.
11. ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಎ) ಮೊದಲ ಶೆಲ್ಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ 16 ಹೆಚ್ಚು ಪುಸ್ತಕಗಳಿವೆ. ನೀವು ಪ್ರತಿ ಶೆಲ್ಫ್‌ನಿಂದ 3 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಮೊದಲ ಶೆಲ್ಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೂವರೆ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪುಸ್ತಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಶೆಲ್ಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪುಸ್ತಕಗಳಿವೆ?
ಬಿ) ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಸೈಟ್‌ನಿಂದ ನಿಲ್ದಾಣಕ್ಕೆ 26 ಕಿಮೀಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರವನ್ನು 1 ಗಂಟೆ 10 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ 40 ನಿಮಿಷಗಳ ಕಾಲ ಅವರು ಒಂದು ವೇಗದಲ್ಲಿ ಓಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 3 ಕಿಮೀ / ಗಂ ಕಡಿಮೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ. ಪ್ರಯಾಣದ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್‌ನ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ವಿಭಾಗ 2. ಸೂತ್ರಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಮಾನತೆ. ಪ್ರತಿಪಾದಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ
ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ನೀವು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು ಅಸ್ಥಿರ ಸೂತ್ರನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಅರ್ಥವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಅನುಗುಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೇಳಿಕೆ), ಯಾವ ಸೂತ್ರಗಳು ಟ್ಯಾಟೊಲಜಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ನೀಡಿದ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಸಮಾನ.
ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಕ್ಯಗಳು ಸರಿ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿ "ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, “ನಾಳೆ ಮಂಗಳವಾರ” ಮತ್ತು “ನಿನ್ನೆ ಭಾನುವಾರ” ಎಂಬ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಪದವು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಸೋಮವಾರ ಅವೆರಡೂ ನಿಜ, ಮತ್ತು ವಾರದ ಉಳಿದ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅವೆರಡೂ ಸುಳ್ಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ " x = 2" ಮತ್ತು " 2x = 4""ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ" ಎಂದರೆ "ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ." "ನಾಳೆ ಮಳೆಯಾಗುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು "ನಾಳೆ ಮಳೆ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನಿಜವಲ್ಲ" ಎಂಬ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ (ನಿಜವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ) ಅಥವಾ ದೃಢೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ತಿರುಗಿ). ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅದೇ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು Xಮತ್ತು . ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಜ ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳು. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಕು:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸತ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ.
F 1 ಮತ್ತು F 2 ಸೂತ್ರಗಳು ಅವುಗಳ ಸಮಾನವು ಟೌಟಾಲಜಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: (ಓದಿ: ಸೂತ್ರ ಎಫ್ 1ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಫ್ 2).
ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಮೂರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: 1) ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಇದು ಟೌಟಾಲಜಿಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ; 2) ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ; ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅದೇ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; 3) ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1:ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 1) , ; 2), .
1) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಟೌಟಾಲಜಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ( ಎಮತ್ತು IN) ಮತ್ತು 6 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ಇದರರ್ಥ ಅನುಗುಣವಾದ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವು 5 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 8 ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:
| ಎ | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
ಸತ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕದ ಅಂತಿಮ ಅಂಕಣದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯು ಟೌಟಾಲಜಿ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, .
2) ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ( ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲು, ಎಲ್ಲಾ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ .)
ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 2 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವು 5 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 4 ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
| ಎ | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವು 5 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 5 ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
| ಎ | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ (ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದರಿಂದ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ () ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಲ್ಲ (ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು " " ಚಿಹ್ನೆಯು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ). ಇದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ವರ್ತನೆಸೂತ್ರಗಳ ನಡುವೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆ, ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ).
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
ಪ್ರಮೇಯ 2.1.ಪ್ರತಿಪಾದಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ:
1) ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿ:;
2) ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ: ವೇಳೆ , ನಂತರ ;
3) ಸಂಕ್ರಮಣ: ವೇಳೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ .
ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳು
ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
1. - ಗುರುತಿನ ಕಾನೂನು.
2. - ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಮ ಕಾನೂನು
3. - ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಕಾನೂನು
4. - ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಘಟನೆ
5. - ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಗ
6. - ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಘಟನೆ
7. - ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಗ
8. - ಡಬಲ್ ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾನೂನು
9. - ಸಂಯೋಗದ ಸಂವಹನ
10. - ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ನ ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ
11. - ಸಂಯೋಗದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ
12. - ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ನ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ
13. - ಸಂಯೋಗದ ವಿತರಣೆ
14. - ವಿಭಜನೆಯ ವಿತರಣೆ
15. - ಅಸಮರ್ಥತೆಯ ಕಾನೂನುಗಳು
16. 
; 
- ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾನೂನುಗಳು
17. 
; 
- ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಕಾನೂನುಗಳು
18. 
- ಡಿಜಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಕಾನೂನು
19. 
- ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಕಾನೂನು
20. - ಇತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಕಾನೂನುಗಳು
ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಒಂದೇ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳುತನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು
ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ ಒಂದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಹೊಸದಾಗಿ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೀವು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹೊಸ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1:ಬದಲಿಗೆ ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ Xಬದಲಿ, ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ವೈಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.
ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವು ಸೂತ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಫ್, ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಫ್.
ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಿಂದ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
- ಡಬಲ್ ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾನೂನು;
- ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಕಾನೂನು;
- ಡಬಲ್ ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾನೂನು;
- ಸಹಯೋಗದ ಕಾನೂನು;
- ಅಸಮರ್ಥತೆಯ ಕಾನೂನು.
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು 
.
ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು.
ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕರಣ ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಲ್ಲದ ಸೂತ್ರಗಳ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆಗಳು) ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಥವಾ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಘಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಒಂದು.
ಉದಾಹರಣೆ 2.2:ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ 
.
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ ಅದು ಒಳಾರ್ಥವನ್ನು ವಿಘಟನೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿವರ್ತನಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಸಮರ್ಥತೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಕಾನೂನು. ಮತ್ತು ಐದನೆಯದು ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾನೂನು.
ಗಮನಿಸಿ 1. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರವು ಟೌಟಾಲಜಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವು ಸಹ ಟೌಟಾಲಜಿಯಾಗಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳ ಒಂದೇ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನಡೆಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅವುಗಳು ಟ್ಯಾಟೊಲಜಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಗಮನಿಸಿ 2. ಕೆಲವು ಟ್ಯಾಟೊಲಜಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ (ವಿರುದ್ಧತೆಯ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ, ಪರಿವರ್ತಕ, ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.). ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಗಳು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ತತ್ವ .
ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಂದ್ವ , ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದಾದರೆ.
ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ತತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
ಪ್ರಮೇಯ 2.2:ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಉಭಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು
ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.
ತಿಳಿದಿರುವ ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು 
, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರಾಕರಣೆ, ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರಾಕರಣೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಅಂಶಗಳ ವಿಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರಾಕರಣೆ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.3:ದೊಡ್ಡ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಹು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಗ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ (ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ): . ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ನಂತರ, ಸೂತ್ರವು ಮೂರು ಸಂಯೋಗಗಳ ವಿಘಟನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಘಟಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ (DNF). ಪ್ರತ್ಯೇಕ DNF ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ಘಟಕದ ಘಟಕ.
ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರಾಕರಣೆ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು 
, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರಾಕರಣೆ, ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಘಟನೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರಾಕರಣೆ. ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಯೋಜಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ
(ಕೆಎನ್ಎಫ್).
ಉದಾಹರಣೆ 2.4:
CNF ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಘಟನೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯದ ಒಂದು ಘಟಕ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ DNF ಗಳು ಮತ್ತು CNF ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.5:ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು DNF ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 
.
ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು
SDNF (ಪರಿಪೂರ್ಣ DNF) ಒಂದು DNF ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಗವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ಒಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
SKNF (ಪರಿಪೂರ್ಣ CNF) ಒಂದು CNF ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಘಟನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ಒಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
ಉದಾಹರಣೆ 2.6: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
ರೂಪಿಸೋಣ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು SDNF (SKNF).
1) ವಿಘಟನೆಯ (ಸಂಯೋಗ) ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ;
2) ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಗದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ;
3) ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಗ (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್) ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರಾಕರಣೆ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ;
4) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಯೋಗವು (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್) ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು (ಆದರೆ ರೂಪಗಳಲ್ಲ!) ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನ್ನೂ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು.
ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು DNF (CNF) ನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ SDNF (SKNF) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು ಸಹ ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು SDNF ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿತ್ವದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SCNF ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SDNF ಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತರುವುದು:
ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಲುವಾಗಿ ಎಫ್, ಇದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತಪ್ಪು ಅಲ್ಲ, SDNF ಗೆ, ಇದು ಸಾಕು:
1) ಅವಳನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ DNF ಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯಿರಿ;
2) ಅದರ ನಿರಾಕರಣೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ) ಜೊತೆಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ;
3) ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಹಾಕಿ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ);
4) ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಗದ ಒಂದೇ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ);
5) ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಗವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ;
6) ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಭಜನೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನ್ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಈ ಸೂತ್ರದ SDNF ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.7:ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ SDNF ಮತ್ತು SCNF ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 
.
ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ DNF ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದರಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆ 2.5 ನೋಡಿ), ನಾವು SDNF ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ:
2) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಿರಾಕರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಲ್ಲ;
3) ವಿಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸದಸ್ಯರಿಲ್ಲ;
4) ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಲ್ಲ;
5) ಮೊದಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಗವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಗವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ z, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: ;
6) ವಿಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ (ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನ್ 3);
3) ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಂಗಡಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ: 
;
4) ಉಳಿದ ವಿಂಗಡಣೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;
5) ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಂಗಡಣೆಗಳು ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸೋಣ: ;
6) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಯೋಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಂಗಡಣೆಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಯೋಜಕ ರೂಪವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ SKNF ಮತ್ತು SDNF ಸೂತ್ರಗಳು ಎಫ್ 8 ಸದಸ್ಯರು, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದ್ದಾರೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯ (ಸುಳ್ಳುಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ) ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಅನನ್ಯ SDNF ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನನ್ಯ SCNF ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟೌಟಾಲಜಿಯು SKNF ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವು SKNF ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ತರ್ಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಎ ಮತ್ತು ಬಿಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನ,ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅವರು ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ.
ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ INಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದರ್ಥ ಎ ಮತ್ತು ಬಿಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
ಫಾರ್ಮುಲಾ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸತ್ಯ (ಅಥವಾ ಟೌಟಾಲಜಿ), ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದು ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ನಿಜ , .
ಸೂತ್ರ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸುಳ್ಳು,ಅದರಲ್ಲಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದು ಮೌಲ್ಯ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ.
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ: ಸೂತ್ರಗಳು ಎಮತ್ತು INಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರ ಎ IN- ಟೌಟಾಲಜಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸೂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎ IN- ಟೌಟಾಲಜಿ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಮತ್ತು INಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.
1. ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಗಳು:
ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ . ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎ= 1 ನಂತರ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡು ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ. ಈಗ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ ಎ x = 0. ಆದರೆ ನಂತರ, ಸಂಯೋಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಸಂಯೋಗವು ಸಹ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಎ,ಆದ್ದರಿಂದ ಎ X.
2. ಕೆಲವು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಇತರರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳು:
ನಾವು ನಂತರದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಂದ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ 5 ಮತ್ತು 6 ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆ 3 ಮತ್ತು 4 ರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ: ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ.
ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ, , ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಯೋಗವು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಈಗ ಬಿಡಿ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿವಿಭಿನ್ನ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪರಿಣಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
ಸಂಯೋಗವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ . ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 3. ಒಂದು ವೇಳೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ಸಂಯೋಗವು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ x&yಮತ್ತು ಸಂಯೋಗದ ತಪ್ಪು ನಿರಾಕರಣೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಘಟನೆಯು ಸಹ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ .
ಈಗ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರವನ್ನು ನೋಡೋಣ Xಅಥವಾ ನಲ್ಲಿಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಗ ಸಂಯೋಗವು ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ x&yಮತ್ತು ಅದರ ನಿಜವಾದ ನಿರಾಕರಣೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರಾಕರಣೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ 3 ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಸಮಾನತೆ 2 ಮತ್ತು 4 ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಈ ಗುಂಪಿನ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು: ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆ ಅಥವಾ ವಿಘಟನೆ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆ.
ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿದರೆ, ನಿರಾಕರಣೆಯಂತಹ ಸೂತ್ರ Xಸಂಯೋಜಕ ಆಪರೇಟರ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಬಳಸುವ ಐದು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಷೆಫರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x|yಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
| X | ವೈ | x|y |
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ:
2) x&y (x|y)|(x|y)
ಈ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಸ್ಕೇಫರ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ .
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು 
.
3. ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳು:
1. x&y y&x -ಸಂಯೋಗದ ಸಂವಹನ.
2. X ನಲ್ಲಿ ವೈ X- ವಿಂಗಡಣೆಯ ಸಂವಹನ.
3. x&(y&y) (x&y)&z- ಸಂಯೋಗದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ.
4. X(y z ) (X ವೈ) z ಎಂಬುದು ಡಿಜಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವಾಗಿದೆ.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- ವಿಘಟನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಗದ ವಿತರಣೆ.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಭಜನೆಯ ವಿತರಣೆ.
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕಾನೂನುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಒಂದು ವೇಳೆ X= 1, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ X (y& z), X y, x z . ಆದರೆ ನಂತರ ಸಂಯೋಗವು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ (X y)& (x z ). ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವಾಗ X= 1, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು 6 ಒಂದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ನಿಜ).
ಈಗ ಬಿಡಿ x = 0. ನಂತರ X (y&z) y&z,x ನಲ್ಲಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು X z z , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಯೋಗ X (y&z) y&z. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ 6 ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ y&z,ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
§ 5. ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳು
I, II ಮತ್ತು III ಗುಂಪುಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸೂತ್ರದ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರಗಳ ಇಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ.
ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತರಲು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸೂತ್ರ ಎಅದರ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ IN,ಇದು ಕಡಿಮೆ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
1. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 
.
I, II ಮತ್ತು III ಗುಂಪುಗಳ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
2.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ 
.
ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
3. ಸೂತ್ರದ ಒಂದೇ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ
ಗುಂಪು III ರ ಸಮಾನತೆಗಳು ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಘಟನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಕಾನೂನುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕುವುದು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹಾಕುವುದು) ನಡೆಸುವ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅದೇ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.
ಆದರೆ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಗಳ ಬಳಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಾಧ್ಯ:
ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ದೂರಗಾಮಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬರಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಖಾಲಿ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಂಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅಂಶಗಳು ( x,y,z,...} , ಇದರಲ್ಲಿ "=" (ಸಮಾನ) ಮತ್ತು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: "+" (ಸೇರ್ಪಡೆ), "" (ಗುಣಾಕಾರ) ಮತ್ತು "-" (ನಿರಾಕರಣೆ), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ:
ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನುಗಳು:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
ಸಂಘದ ಕಾನೂನುಗಳು:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (ವೈ z) = (x ವೈ) z.
ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು:
3a. (x + y) z = (x z ) + (ವೈ ಜಿ) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
ಅಸಮರ್ಥತೆಯ ಕಾನೂನುಗಳು:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾನೂನು:
ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಕಾನೂನುಗಳು:
6a. , 6b . .
ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳು:
7a. x + (ವೈ X)= X, 7b. X (y + x) = x.
ಬಹಳಷ್ಟು ಎಂಎಂದು ಕರೆದರು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ.
ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ x, y, z, ...ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ "+", "", "-" ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್, ಸಂಯೋಗ, ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ, I, II ಮತ್ತು III ಗುಂಪುಗಳ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ , ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ.
ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತವೆ, ಅದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ(ಅಥವಾ ಮಾದರಿ)ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ.
ಇದರರ್ಥ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಬೂಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ x, y, z, ...ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ "+", "", "-" ಯೂನಿಯನ್, ಛೇದನ, ಸೇರ್ಪಡೆ, ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ - ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸೆಟ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಸೆಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬೂಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಸ್ವಭಾವದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಇದು ಆಧುನಿಕ ಯಾಂತ್ರೀಕೃತಗೊಂಡ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಲಾಜಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ
ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರ f(x,y,z).ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಅದರ ವಾದಗಳು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಲಾಜಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಹೆಕ್ಟೇರ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯ)ಇದನ್ನು ha ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 0 ಮತ್ತು 1, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0 ಅಥವಾ 1.
ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದೇ ನಿಜ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತಪ್ಪು ಸೂತ್ರಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ.
n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಹಾಗೆಯೇ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರ) ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದು 2n ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 2 n ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು 2 n ಉದ್ದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೊನ್ನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದ 2 n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹದಿನಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದರಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತುಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ.
ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
| X | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, ಎ f2(x) X,ಮತ್ತು f 3 (x) .
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
f i = f i (x,y)
| X | ವೈ | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಅನುಬಂಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣದ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. .
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು- ಇವು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.
ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ, ಆದರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
f(x)=g(x) ಮತ್ತು r(x)=s(x) ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಅವರು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅದೇ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೂ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲ.
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳು 4 x = 8, 2 x = 4 ಮತ್ತು x = 2 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದೇ ಮೂಲ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು x·0=0 ಮತ್ತು 2+x=x+2 ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ತಾಳೆಯಾಗುತ್ತವೆ: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಎರಡರ ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x=x+5 ಮತ್ತು x 4 =−1 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಅಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=2 ಮತ್ತು x 2 =4 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು −2 ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ.
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೇಳಿಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಅಸ್ಥಿರ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು, ಮೂರು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ "ಮೂಲಗಳು" ಪದವನ್ನು "ಪರಿಹಾರಗಳು" ಎಂಬ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ,
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು- ಇವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. x 2 +y 2 +z 2 =0 ಮತ್ತು 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - ಇಲ್ಲಿ x, y ಮತ್ತು z ಮೂರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅವೆರಡೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (0, 0 , 0) ಆದರೆ x+y=5 ಮತ್ತು x·y=1 ಎಂಬ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು x=2, y=3 ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 2+3=5), ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ (ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ನಾವು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆ 2·3=1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).
ಪರಿಣಾಮ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ಅನುಬಂಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
f(x)=g(x) ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವೂ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ p(x)=h(x) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, p(x)=h(x) ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಸಮೀಕರಣಗಳು f(x)=g(x) .
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ.
ಕೊರೊಲರಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. x 2 =3 2 ಸಮೀಕರಣವು x−3=0 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ x=3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಈ ಮೂಲವು x 2 =3 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, x 2 =3 2 ಸಮೀಕರಣವು x−3= ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. 0. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಸಮೀಕರಣ (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ 
, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ, ಇವು 2 ಮತ್ತು 3) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ.
ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅನುಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹಲವಾರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:
- ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.
- ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.
1. ಇಬ್ಬರು ಸಮಾನ ಆಟಗಾರರು ಯಾವುದೇ ಡ್ರಾಗಳಿಲ್ಲದ ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು: ಎ) ಎರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಟ? ಬಿ) ನಾಲ್ಕರಲ್ಲಿ ಎರಡು? ಸಿ) ಆರರಲ್ಲಿ ಮೂರು?
ಉತ್ತರ:ಎ) ; ಬಿ) ; ವಿ)
3. ವಿಭಾಗ ಎಬಿಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್ C ನ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡು - ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ:
4. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.25 ಆಗಿದ್ದರೆ, 243 ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ನಿಖರವಾಗಿ 70 ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: .
5. ಹುಡುಗನನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.515 ಆಗಿದೆ. 100 ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: 0,0782
6. ಅಂಗಡಿಯು ಗಾಜಿನ ಧಾರಕಗಳಲ್ಲಿ 500 ಬಾಟಲಿಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದೆ. ಸಾಗಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಾಟಲಿಯು ಒಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.003 ಆಗಿದೆ. ಅಂಗಡಿಯು ಮುರಿದ ಬಾಟಲಿಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಎ) ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು; ಬಿ) ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ; ಸಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು; d) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು.
ಉತ್ತರ: a) 0.22; ಬಿ) 0.20; ಸಿ) 0.80; ಡಿ) 0.95
7. ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಪ್ಲಾಂಟ್ ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ 80% ಕಾರುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಎಕ್ಸ್‌ಚೇಂಜ್‌ಗೆ ವಿತರಿಸಲಾದ 600 ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕನಿಷ್ಠ 500 ಕಾರುಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಉತ್ತರ: 0,02.
8. ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ 0.95 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಆರ್=0.5 0.02 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಒಂದು ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆಯೇ?
ಉತ್ತರ: ಎನ್ ≥ 2401.
9. ಪ್ರತಿ 100 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ=0.8. ಈವೆಂಟ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) ಕನಿಷ್ಠ 75 ಬಾರಿ ಮತ್ತು 90 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಅಲ್ಲ; ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ 75 ಬಾರಿ; ಸಿ) 74 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಇಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ:ಎ ಬಿ ಸಿ)
10. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.2 ಆಗಿದೆ. 5000 ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ 0.9128 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ಯಾವ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ:
11. ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.6 ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಪ=0.5 ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ಎನ್ = 1764.
12. ಪ್ರತಿ 10,000 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.75 ಆಗಿದೆ. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು 0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: .
13. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎನ್, 0.7698 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು 0.02 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...