ದಿ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಇದು ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಲೇಖನವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ - ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಹೇಗೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಮುಖ್ಯ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಗಳ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಇದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಾನು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ; ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗುವುದು - ಆ ವಿಷಯಗಳು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಅಕ್ಷರಶಃ ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ. ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳು? ಒಬ್ಬರು ಹಾಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

ಓದುಗರಿಂದ ಹಲವಾರು ವಿನಂತಿಗಳ ಕಾರಣ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಷಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ:

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಶಾರ್ಟ್ ಸಾರಾಂಶವಿದೆ
- ಆರು ಪುಟಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ 16 ಪ್ರಕಾರದ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ!

ಗಂಭೀರವಾಗಿ, ಆರು, ನನಗೂ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಯಿತು. ಈ ಸಾರಾಂಶವು ಸುಧಾರಿತ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಶುಲ್ಕಕ್ಕೆ ಲಭ್ಯವಿದೆ; ಡೆಮೊ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೈಯಲ್ಲಿರಲು ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಧನ್ಯವಾದಗಳು!

ಮತ್ತು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಚೆಕ್ಕರ್ ಗುರುತುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಕೆಲಸ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, A4 ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಉತ್ತಮ-ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಪಂಜರವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು .

ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಗಿರಬಹುದು.

ಮೊದಲು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x-ಅಕ್ಷ , ಮತ್ತು ಅಕ್ಷವು y-ಅಕ್ಷ . ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಮತ್ತು ವಕ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಾಣಗಳು ಪಾಪಾ ಕಾರ್ಲೋ ಅವರ ಗಡ್ಡವನ್ನು ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ.

2) ನಾವು "X" ಮತ್ತು "Y" ಎಂಬ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

3) ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ: ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಿಡಿ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ಪ್ರಮಾಣ: 1 ಘಟಕ = 2 ಕೋಶಗಳು (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ) - ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 1 ಘಟಕ = 1 ಸೆಲ್ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ). ಇದು ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬೇಕು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು) ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ

"ಮೆಷಿನ್ ಗನ್" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….ಫಾರ್ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ಗೆ ಸ್ಮಾರಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪಾರಿವಾಳವಲ್ಲ. ನಾವು ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ ಶೂನ್ಯಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡು ಘಟಕಗಳು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬದಲಾಗಿಘಟಕಗಳು, ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು "ಗುರುತು" ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ "ಎರಡು" ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ "ಮೂರು" - ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (0, 2 ಮತ್ತು 3) ಸಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಂದಾಜು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ , , ನಂತರ 1 ಘಟಕ = 2 ಕೋಶಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಏಕೆ? ಬಿಂದುವನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹದಿನೈದು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಅಳೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 1 ಘಟಕ = 1 ಕೋಶ.

ಮೂಲಕ, ಸುಮಾರು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ನೋಟ್ಬುಕ್ ಕೋಶಗಳು. 30 ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಕೋಶಗಳು 15 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ? ವಿನೋದಕ್ಕಾಗಿ, ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ 15 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಯುಎಸ್ಎಸ್ಆರ್ನಲ್ಲಿ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬಹುದು ... ನೀವು ಇದೇ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ! ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಧುನಿಕ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳು ​​ಚೆಕ್ಕರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆಯತಾಕಾರದ. ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವು ತುಂಬಾ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಕ್ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಶಿಬಿರಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕಾಮ್ರೇಡ್ ಸ್ಟಾಲಿನ್ ಅವರ ನಿಖರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೀರಿ, ದೇಶೀಯ ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಉದ್ಯಮ, ಬೀಳುವ ವಿಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಾವರಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು.

ಗುಣಮಟ್ಟದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅಥವಾ ಸ್ಟೇಷನರಿ ಕುರಿತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಶಿಫಾರಸು. ಇಂದು, ಮಾರಾಟದಲ್ಲಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಮೇಧ್ಯ. ಅವರು ಒದ್ದೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮತ್ತು ಜೆಲ್ ಪೆನ್ನುಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಬಾಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೆನ್ನುಗಳಿಂದಲೂ! ಅವರು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಹಣವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ನೋಂದಣಿಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಆರ್ಖಾಂಗೆಲ್ಸ್ಕ್ ಪಲ್ಪ್ ಮತ್ತು ಪೇಪರ್ ಮಿಲ್ (18 ಹಾಳೆಗಳು, ಗ್ರಿಡ್) ಅಥವಾ "ಪ್ಯಾಟೆರೋಚ್ಕಾ" ನಿಂದ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೂ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಜೆಲ್ ಪೆನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಗ್ಗದ ಚೈನೀಸ್ ಜೆಲ್ ರೀಫಿಲ್ ಕೂಡ ಬಾಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೆನ್‌ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಾಗದವನ್ನು ಸ್ಮಡ್ಜ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹರಿದು ಹಾಕುತ್ತದೆ. ನಾನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ "ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ" ಬಾಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೆನ್ ಎರಿಕ್ ಕ್ರೌಸ್. ಅವಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸುಂದರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾಳೆ - ಪೂರ್ಣ ಕೋರ್ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಖಾಲಿಯಾಗಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ: ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮೂಲಕ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದೃಷ್ಟಿ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಅಲ್ಲದ) ಅವಲಂಬನೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

3D ಕೇಸ್

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಬಹುತೇಕ ಹಾಗೆಯೇ.

1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ: ಅಕ್ಷ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ - ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಕ್ಷ - ಬಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಕ್ಷ - ಎಡಕ್ಕೆ ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ 45 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ.

2) ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ.

3) ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮಾಪಕವು ಇತರ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾನು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ "ನಾಚ್" ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ). ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಕಲಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋಶದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಘಟಕವನ್ನು "ಕೆತ್ತನೆ" ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

3D ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಸ್ಕೇಲ್ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿ
1 ಘಟಕ = 2 ಕೋಶಗಳು (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಲು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ನಾನು ಈಗ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ. ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಲೇಖನದ ನಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಾನು ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ತಪ್ಪಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಸರಿಯಾದ ವಿನ್ಯಾಸ. ನಾನು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಸೆಳೆಯಬಲ್ಲೆ, ಆದರೆ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು ಇಷ್ಟವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಭಯಾನಕವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ ನೇರ. ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1.

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಂಕಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

ನಾನು ಸಹಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಾಕಿದ್ದೇನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಹಿಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಾರದು. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಹಿಯನ್ನು ಹಾಕಲು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

1) ರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು () ನೇರ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸರಳೀಕೃತವಾಗಿದೆ - ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು.

2) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದೆ ತಕ್ಷಣವೇ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮೂದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ y ಯಾವಾಗಲೂ -4 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

3) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಕೂಡ ತಕ್ಷಣವೇ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಮೂದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x ಯಾವಾಗಲೂ, y ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಕೆಲವರು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆ 6 ನೇ ತರಗತಿ ನೆನಪಿದೆ?! ಅದು ಹೇಗೆ, ಬಹುಶಃ ಅದು ಹೀಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಭ್ಯಾಸದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ಉತ್ತಮ ಡಜನ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ, ಅವರು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತರು ಲೇಖನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್, ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಗ್ರಾಫ್

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ () ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಕಾರ್ಯದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ: - ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಇದೆ. ಇದು ಏಕೆ ಎಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೇಖನ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಪಾಠದಿಂದ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಈ ಮಧ್ಯೆ, ಅನುಗುಣವಾದ "Y" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಶೃಂಗವು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಜ್ಜವಾಗಿ ಬಳಸುವಾಗ ಈಗ ನಾವು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು – ಸಹ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಯಾರೂ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಉಳಿದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅಂತಿಮ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈ ನಿರ್ಮಾಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ "ಷಟಲ್" ಅಥವಾ ಅನ್ಫಿಸಾ ಚೆಕೊವಾದೊಂದಿಗೆ "ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ" ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಂದ, ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ () ಈ ಕೆಳಗಿನವು ನಿಜ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂಬ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್

ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷವು ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣ ನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಲು ನೀವು ಅಸಡ್ಡೆಯಿಂದ ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಪ್ಪು.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತವೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: , ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಡಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ) ಅನಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, "ಆಟಗಳು" ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಕ್ಷವು ಸಮತಲ ಲಕ್ಷಣ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಾಗಿ, "x" ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ.

ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಬೆಸ, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಈ ಸತ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ರೂಪದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ () ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎರಡು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ , ನಂತರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ(ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ವೇಳೆ , ನಂತರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ನಿವಾಸದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಯು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶಾಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್-ವೈಸ್ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎಡ ಶಾಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಚಿತ್ರತೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

IN ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಾನು ತಕ್ಷಣವೇ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ 95% ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾನು ಸಮಾರಂಭವಿಲ್ಲದೆ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮೂರು ಅಂಕಗಳು ಬಹುಶಃ ಸಾಕು:

ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡೋಣ, ನಂತರ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು.

ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು, ಆದರೆ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ನಾನು ಪರಿಗಣಿಸಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಡೊಮೇನ್:

ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ: .

ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ: , ನಿಧಾನವಾಗಿ ಆದರೂ, ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಶಾಖೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.
ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಶೂನ್ಯದ ಬಳಿ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: . ಆದ್ದರಿಂದ ಅಕ್ಷವು ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಾಗಿ "x" ಬಲದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ: .

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: , , (ಬೇಸ್ 10 ಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್), ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬೇಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂತಹ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ನಾನು ಕೊನೆಯ ಬಾರಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನನಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಹಳ ಅಪರೂಪದ ಅತಿಥಿಯಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ: ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ- ಇವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಇದು ಒಂದೇ ಘಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಇದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಹಿಂಸೆ ಎಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ? ಸರಿ. ಸೈನ್ ನಿಂದ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ

ಈ ಸಾಲನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್.

"ಪೈ" ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಬೆರಗುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ. ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಅದೇ ತುಣುಕು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಡೊಮೇನ್: , ಅಂದರೆ, "x" ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ: . ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಸೀಮಿತ: , ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ "ಆಟಗಳು" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ .
ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

1. ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್

y = P(x) / Q(x) ರೂಪದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ, ಅಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರುವಿರಿ. ಅಂತೆಯೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳುಎರಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ - ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳು, ಅಂದರೆ. ರೂಪದ ಕಾರ್ಯ

y = (ax + b) / (cx + d), ನಂತರ ಅದನ್ನು ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯ y = ax/d + b/d) ಮತ್ತು a/c ≠ b/d (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). x = -d/c ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ y = 1/x ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. y = 1/x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತಿಶಯ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ x ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, y = 1/x ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಎರಡೂ ಶಾಖೆಗಳು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ: ಬಲವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಎಡವು ಕೆಳಗಿನಿಂದ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ವಿಧಾನದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅದರ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ y = 1/x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: 3 ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ, Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 7 ಬಾರಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಘಟಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ.

ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿ y = (ax + b) / (cx + d) ಅನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, "ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ" ವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆಂಶಿಕ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗ್ರಾಫ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳು ಸಮೀಪಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕು - ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x = -d/c ಮತ್ತು y = a/c.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು x = -1 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ನೇರ ರೇಖೆ x = -1 ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮತಲವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ y(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏನನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ ನಂತೆ ಭಾಗವು 3/2 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮತಲವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ನೇರ ರೇಖೆ y = 3/2 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಭಾಗದ "ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು" ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 - 1/(x + 1).

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ y = 1/x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: ಎಡಕ್ಕೆ 1 ಘಟಕದಿಂದ ಶಿಫ್ಟ್, ಆಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರದರ್ಶನ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 2 ಘಟಕ ವಿಭಾಗಗಳು.

ಡೊಮೇನ್ D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು: c Oy: (0; 1); c ಎತ್ತು: (-1/2; 0). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರ 1.

2. ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ

y = P(x) / Q(x) ರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಮೊದಲಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಂತಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ಅಥವಾ y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

y = P(x) / Q(x) ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ನಿಯಮದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. , ಎಲ್ಲಾ ವಿವರಗಳೊಂದಿಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿ (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + ... + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು

ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.

y = 1/x 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

y = 1/x 2 ರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು y = x 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು "ವಿಭಜಿಸುವ" ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಡೊಮೇನ್ D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ E (y) = (0; +∞).

ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (-∞; 0), x ಗೆ 0 ರಿಂದ +∞ ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರ 2.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಡೊಮೇನ್ D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅಪವರ್ತನ, ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಕಡಿತದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರ 3.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ D(y) = R. ಕಾರ್ಯವು ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು, ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

x → ±∞ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y → 1, ಅಂದರೆ. ನೇರ ರೇಖೆ y = 1 ಸಮತಲವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರ 4.

ಉದಾಹರಣೆ 7.

y = x/(x 2 + 1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬಿಂದು. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಇಂದಿನ ಜ್ಞಾನವು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು "ಏರಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಛೇದವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅಂಶವನ್ನು "ಓವರ್ಟೇಕ್" ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, A = x/(x 2 + 1) ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವ ದೊಡ್ಡ A ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ: Ax 2 – x + A = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣವು 1 – 4A 2 ≥ 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು A = 1/2 ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರ 5, ಗರಿಷ್ಠ y(x) = ½.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು, ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಪರೇಟರ್ ಇದೆ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಘಾತವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಸರಿಸುಮಾರು 2.718281828 ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ನೇಪಿಯರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಘಾತಾಂಕ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ e ಎಂಬುದು ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಏರಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಈ ಸೂಚಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - EXP. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಾಧನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವಿಧಾನ 1: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

EXP(ಸಂಖ್ಯೆ)

ಅಂದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಾದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಾದವು ರೂಪವಾಗಿರಬಹುದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ, ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಉಲ್ಲೇಖದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಧಾನ 2: ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಝಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಘಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವು ಬಳಕೆದಾರರು ಬಳಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಝಾರ್ಡ್. ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಲ್ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಕರ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ "ಸಂಖ್ಯೆ"ಮತ್ತು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಆ ಕೋಶವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಬಟನ್ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ "ಸರಿ".

ವಿಧಾನ 3: ಸಂಚು

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಘಾತವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಹಾಳೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವಿಧ ಶಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ವೈ (x) = ಇ x, ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಘಾತವನ್ನು , ಅಥವಾ .

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ

ಘಾತಾಂಕ ಪದವಿಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ. ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಇ ≈ 2,718281828459045...

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ:
.

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಅನ್ನು ಸಹ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
.

ಘಾತೀಯ ಗ್ರಾಫ್

ಘಾತೀಯ ಗ್ರಾಫ್, y = e x.

ಗ್ರಾಫ್ ಘಾತೀಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಇಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ X.
ವೈ (x) = ಇ x
ಘಾತವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗ್ರಾಫ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರಗಳು

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಪವರ್ ಬೇಸ್ ಜೊತೆ ಇ.

;
;
;

ಒಂದು ಘಾತೀಯ ಮೂಲಕ ಪದವಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತಳಹದಿಯೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ:
.

ಖಾಸಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ವೈ (x) = ಇ x. ನಂತರ
.

ಘಾತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಘಾತವು ಪವರ್ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಇ > 1 .

ಡೊಮೇನ್, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್

ಘಾತ ವೈ (x) = ಇ xಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್:
- ∞ < x + ∞ .
ಇದರ ಹಲವು ಅರ್ಥಗಳು:
0 < y < + ∞ .

ವಿಪರೀತಗಳು, ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದು, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು

ಘಾತೀಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತದ ವಿಲೋಮವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ.
;
.

ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಇಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ Xಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ X :
.
n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ >>>

ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಜೊತೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳು:
,
ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಲ್ಲಿದೆ:
.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

; ;
.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

; ;
;
.

ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಐ.ಎನ್. ಬ್ರಾನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಕೆ.ಎ. ಸೆಮೆಂಡ್ಯಾವ್, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ, "ಲ್ಯಾನ್", 2009.