ಸಮಗ್ರತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ ], ಎ < ಬಿ. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

1) ವಿಭಜಿಸೋಣ [ ಎ, ಬಿ] ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಎ = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X ಎನ್ = ಬಿ ಮೇಲೆ ಎನ್ಭಾಗಶಃ ವಿಭಾಗಗಳು [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X ಎನ್- 1 , X ಎನ್ ];

2) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಶಃ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... ಎನ್, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: f(z i ) ;

3) ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(z i ) · Δ X i , ಆಂಶಿಕ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಿದೆ [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... ಎನ್;

4) ಮೇಕಪ್ ಮಾಡೋಣ ಸಮಗ್ರ ಮೊತ್ತಕಾರ್ಯಗಳು ವೈ = f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ ]:

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಮೊತ್ತವು σ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನೆಲೆಗಳು ಭಾಗಶಃ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X ಎನ್- 1 , X ಎನ್ ], ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 1). ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ λ ಉದ್ದವಾದ ಭಾಗಶಃ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ:

5) ಯಾವಾಗ ಸಮಗ್ರ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ λ → 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತದ (1) ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎ, ಬಿ] ಭಾಗಶಃ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಬಿಂದುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ z iಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕಾರ್ಯದಿಂದ ವೈ = f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ,

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ f(X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಗ್ರಮೇಲೆ [ ಎ, ಬಿ]. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಏಕೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, f(X) - ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ, f(X ) dx- ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, X- ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್; ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ [ ಎ, ಬಿ] ಅನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ], ನಂತರ ಇದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಏಕೀಕರಣದ ಅದೇ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ > ಬಿ, ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ

2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ [ ಎ, ಬಿ] ನಿರಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ವೈ = f(X ) . ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ವೈ = f(X), ಕೆಳಗಿನಿಂದ - ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ - ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x = aಮತ್ತು x = ಬಿ(ಚಿತ್ರ 2).

ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವೈ = f(X) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ವೈ = f(X), ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ - ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳು x = aಮತ್ತು x = ಬಿ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ - ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ.

3. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಅರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪದನಾಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ:

2. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

3. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

4.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಇದು [ನಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರವಾಗಿದೆ ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಎ < ಬಿ < ಸಿ, ಅದು

5. (ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ). ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ], ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ

4. ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರ

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಎಫ್(X) ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರ.ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಫ್(ಬಿ) - ಎಫ್(ಎ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ವೈಲ್ಡ್‌ಕಾರ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರ (2) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಗ್ರತೆಗಾಗಿ f(X ) = X 2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

5. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ]. ಒಂದು ವೇಳೆ:

1) ಕಾರ್ಯ X = φ ( ಟಿ) ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ φ "( ಟಿ) ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

2) ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ X = φ ( ಟಿ) ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ ];

3) φ ( ಎ) = ಎ, φ ( ಬಿ) = ಬಿ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸೂತ್ರ .

ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ವಿ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲಮೂಲ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಲು - ಏಕೀಕರಣ α ಮತ್ತು β ಹೊಸ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಟಿಸಮೀಕರಣಗಳು φ ( ಟಿ) = ಎಮತ್ತು φ ( ಟಿ) = ಬಿ).

ಪರ್ಯಾಯದ ಬದಲಿಗೆ X = φ ( ಟಿ) ನೀವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಟಿ = ಜಿ(X) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕರಣದ ಹೊಸ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಟಿಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ: α = ಜಿ(ಎ) , β = ಜಿ(ಬಿ) .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು 1 + ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x = ಟಿ 2 , ಎಲ್ಲಿ x = ಟಿ 2 - 1, dx = (ಟಿ 2 - 1)"ಡಿಟಿ= 2ಟಿಡಿಟಿ. ಏಕೀಕರಣದ ಹೊಸ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಹಳೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ x = 3 ಮತ್ತು x = 8. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , ಎಲ್ಲಿಂದ ಟಿ= 2 ಮತ್ತು α = 2; , ಎಲ್ಲಿ ಟಿ= 3 ಮತ್ತು β = 3. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಪರಿಹಾರ. ಅವಕಾಶ ಯು= ಲಾಗ್ X, ನಂತರ, v = X. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (4)

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಆಗಿದ್ದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿರ C ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ . ಹೀಗಾಗಿ, f(x) ಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಗಾಗಿ F(x)+C ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಎಫ್(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು f(x) ಅನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ F(x)+C.

ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಏಕೀಕರಣ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

4. ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ/ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ/ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಮಾನತೆಗಳ ಬಲಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು:

ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೊನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ:

ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಡೆಸಿದ ಏಕೀಕರಣದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕು. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರರ್ಥ;

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಎರಡನೆಯ ಗುಣವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

1.4. ಏಕೀಕರಣ ರೂಪಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆ.

ಅಸ್ಥಿರ ಏಕೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಏಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದಗಳು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು).

ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ f.w, ಅಲ್ಲಿ

r(x) ಗಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಪ್ಪಂದದ ಷರತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ .

ಇಲ್ಲಿ Tg ಎಂದರೆ gОG ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು X ನಲ್ಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್: Tgf(x)=f(g-1x). X=G ಒಂದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಆಗಿರಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಎಡ ಶಿಫ್ಟ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ವತಃ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಮತ್ತು. G ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ I.I. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ). I. ಮತ್ತು ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ cA (A ಮೇಲೆ 1 ಮತ್ತು 0 ಹೊರಗೆ A) ಎಡ Xaar ಅಳತೆ m(A) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಳತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎಡ ಶಿಫ್ಟ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ gОG ಗಾಗಿ m(g-1A)=m(A). ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಎಡ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶದವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ ಅಳತೆ m ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ I. ಮತ್ತು. ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ . ಸರಿಯಾದ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ನಿರಂತರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ (ಗುಂಪಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆ) DG ಇದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಅಲ್ಲಿ ಡಿಎಂಆರ್ ಮತ್ತು ಡಿಎಂಐ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಹಾರ್ ಅಳತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಜಿ(ಜಿ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ G ಗುಂಪಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್. ವೇಳೆ , ನಂತರ G ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಮಾಡ್ಯುಲರ್; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಹಾರ್ ಅಳತೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಸೆಮಿಸಿಂಪಲ್ ಮತ್ತು ನಿಲ್ಪೋಟೆಂಟ್ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಗುಂಪುಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. G ಒಂದು n-ಆಯಾಮದ Lie ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು q1,...,qn ಎಂಬುದು G ಮೇಲಿನ ಎಡ-ಅಸ್ಥಿರ 1-ರೂಪಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, G ನಲ್ಲಿ ಎಡ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯನ್ನು n-ಫಾರ್ಮ್‌ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ

ರೂಪಗಳು qi, ನೀವು G ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 1-ಫಾರ್ಮ್ g-1dg ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕ. ಎಡ-ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ 1-ಫಾರ್ಮ್‌ಗಳು ಇವುಗಳಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪು GL(n, R) ಯುನಿಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ರೂಪದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಕಾಶ X=G/H ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪು G ಒಂದು ರೂಪಾಂತರ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು H ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. X ನಲ್ಲಿ i.i ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು, ಎಲ್ಲಾ hОH ಗಾಗಿ DG(h)=DH(h) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, H ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಥವಾ ಸೆಮಿಸಿಂಪಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಜ. I. ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು. ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭದ ಕೆಲಸ, ಆದರೆ ಆಯ್ದ ಕೆಲವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಲೇಖನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ... ಏಕೆ ಬೇಕು? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವುವು?

ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಬಳಕೆಯೆಂದರೆ, ತಲುಪಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಕಾನ್‌ನ ಆಕಾರದ ಕ್ರೋಚೆಟ್ ಹುಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ನಂತರ ಸ್ವಾಗತ! ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಇತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು ಏಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಾವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ « ಅವಿಭಾಜ್ಯ »

ಏಕೀಕರಣವು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಗುರುತಿಸಿಕೊಂಡರು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೈಬ್ನಿಜ್ , ಆದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸಾರವು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಸಾದ್ಯ! ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ನಮ್ಮ ಬ್ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ f(x) .

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯ f(x) ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ F(x) , ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x) .

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ನಮ್ಮ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಓದಿ.

ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿರಲು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಿದ್ದವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಅಸಮ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ದೂರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತವಾದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು! ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಅನಂತವಾದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಅಂದಾಜು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಕಿರಿದಾದ ಭಾಗಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

« ಅವಿಭಾಜ್ಯ »

ಅಂದಹಾಗೆ! ನಮ್ಮ ಓದುಗರಿಗೆ ಈಗ 10% ರಿಯಾಯಿತಿ ಇದೆ

ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

• ಮೊತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

• ರೇಖೀಯತೆ:

• ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ:

• ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಳು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವಿದೆ:

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರದ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏನಾದರೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಹತಾಶೆ ಮಾಡಬೇಡಿ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತಿಪರ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅಥವಾ ಬಾಗಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು 5 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, a ಗಿಂತ b ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

x = a ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ∫ a a f (x) d x = 0.

ಪುರಾವೆ 1

ಕಾಕತಾಳೀಯ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ರೀಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತ σ [ a ; a ] ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆ ζ i ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ಅಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ [a; b ] , ಷರತ್ತು ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಾಕ್ಷಿ 2

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಏಕೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮಗ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು x = b ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f (x) ಮತ್ತು y = g (x) ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ [ a ; ಬಿ ] .

ಪುರಾವೆ 3

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು y = f (x) ± g (x) ಕಾರ್ಯದ ಸಮಗ್ರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

ಇಲ್ಲಿ σ f ಮತ್ತು σ g ಗಳು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು y = f (x) ಮತ್ತು y = g (x) ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. λ = m a x i = 1, 2, ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ದಾಟಿದ ನಂತರ. . . , n (x i - x i - 1) → 0 ನಾವು lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ರೀಮನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು. ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯ [a; b ] ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ k ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ರೂಪದ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪುರಾವೆ 4

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

y = f (x) ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ∈ x, b ∈ x ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಗ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d X.

ಪುರಾವೆ 5

ಆಸ್ತಿಯನ್ನು c ∈ a ಗೆ ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; b, c ≤ a ಮತ್ತು c ≥ b ಗಾಗಿ. ಪುರಾವೆಯು ಹಿಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಏಕೀಕರಿಸಬಹುದಾದಾಗ [a; b ], ನಂತರ ಇದು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ c; d ∈ a ; ಬಿ.

ಪುರಾವೆ 6

ಪುರಾವೆಯು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನದು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು [a] ನಲ್ಲಿ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ; b ] f (x) ನಿಂದ ≥ 0 f (x) ≤ 0 ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ∈ a ; b , ನಂತರ ನಾವು ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ರೀಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು: ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನಾ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ζ i ಅಂಕಗಳು f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ .

ಪುರಾವೆ 7

y = f (x) ಮತ್ತು y = g (x) ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ [ a ; b ], ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ಬಿ

ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8

ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = f (x) ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ [ a ; b ] ನಾವು ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ರೂಪದ ನ್ಯಾಯಯುತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಪುರಾವೆ 8

ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪದದ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . ಈ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9

y = f (x) ಮತ್ತು y = g (x) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ [ a ; b ] ಯಾವುದೇ x ∈ a ಗೆ g (x) ≥ 0; b , ನಾವು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , ಅಲ್ಲಿ m = m i n x ∈ a ; b f (x) ಮತ್ತು M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

ಪುರಾವೆ 9

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. M ಮತ್ತು m ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ [a; b ] , ನಂತರ m ≤ f (x) ≤ M . ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ y = g (x) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆರೂಪ m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ [a; b ] , ನಂತರ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮ: g (x) = 1 ಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರ

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f (x) ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ಜೊತೆಗೆ; b f (x) ಮತ್ತು M = m a x x ∈ a ; b f (x) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ μ ∈ m; M , ಇದು ∫ a b f (x) d x = μ · b - a ಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ: y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಿರಂತರವಾದಾಗ [ a ; b ], ನಂತರ c ∈ a ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ; b, ಇದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರ

y = f (x) ಮತ್ತು y = g (x) ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತವಾದಾಗ [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ಜೊತೆಗೆ; b f (x) ಮತ್ತು M = m a x x ∈ a ; b f (x) , ಮತ್ತು g (x) > 0 ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ∈ a ; ಬಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು μ∈ ಮೀ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; M , ಇದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

ಎರಡನೇ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರ

y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ [ a ; b ], ಮತ್ತು y = g (x) ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ c ∈ a ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ; b , ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x ರೂಪದ ನ್ಯಾಯಯುತ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ƒ(x) ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ(ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ). ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ: F(x) ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ F "(x)=ƒ(x) (ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಬಯಸಿದ ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಅನ್ನು ƒ(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. )

F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯ ƒ(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b), ಯಾವುದಾದರೂ x є (a; b) ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆ

F " (x)=ƒ(x) (ಅಥವಾ dF(x)=ƒ(x)dx).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = x 2, x є R ಎಂಬ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಅಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರಿಂದ

ಪ್ರಮೇಯ 29. 1. F(x) ಕಾರ್ಯವು (a;b) ಮೇಲೆ ƒ(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ƒ(x) ಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು F(x)+ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. C, ಇಲ್ಲಿ C ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ.

▲ ಫಂಕ್ಷನ್ F(x)+C ಎಂಬುದು ƒ(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Ф(х) ಫಂಕ್ಷನ್ ƒ(x), F(x), ಅಂದರೆ Ф "(x)=ƒ(х) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ x є (а; b) ಗೆ

ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ (ಪರಿಹಾರ 25.1 ನೋಡಿ) ಅದು

ಇಲ್ಲಿ C ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Ф(x)=F(x)+С.▼

ƒ(x) ಗಾಗಿ F(x)+С ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ƒ(x)ಮತ್ತು ∫ ƒ(x) dx ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

ಇಲ್ಲಿ ƒ(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ, ƒ(x)dx - ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, X - ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್, ∫ -ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು "ಸಮಾನಾಂತರ" ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ y=F(x)+C (C ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಕುಟುಂಬದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ) (Fig. 166 ನೋಡಿ). ಪ್ರತಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ (ಕರ್ವ್) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

"(a;b) ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ.

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ.

1. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಭೇದವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

ಈ ಆಸ್ತಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಏಕೀಕರಣದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಾನತೆ

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

ನಿಜ, ರಿಂದ (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕ:

∫dF(x)= F(x)+C.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

α ≠ 0 ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

(ಸಿ 1/ಎ = ಸಿ ಹಾಕಿ.)

4. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರಾಂಶಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

F"(x)=ƒ(x) ಮತ್ತು G"(x)=g(x) ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಂತರ

ಅಲ್ಲಿ C 1 ±C 2 =C.

5. (ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ಅಸ್ಥಿರತೆ).

ಒಂದು ವೇಳೆ , ಇಲ್ಲಿ u=φ(x) ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

▲ x ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ƒ(x) - ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಮತ್ತು F(x) ಇದರ ಪ್ರತಿಜನಕವಾಗಿದೆ. ನಂತರ

ನಾವು ಈಗ u=φ(x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ φ(x) ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. F(u)=F(φ(x)) ಎಂಬ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ (ಪುಟ 160 ನೋಡಿ), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಇಲ್ಲಿಂದ▼

ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕೀಕರಣದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದಿಂದ x ಅನ್ನು u ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ (u=φ(x)) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

ಉದಾಹರಣೆ 29.1.ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಅಲ್ಲಿ C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

ಉದಾಹರಣೆ 29.2.ಸಮಗ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

• 29.3. ಮೂಲಭೂತ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡು, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕ) ತಲೆಕೆಳಗು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲಭೂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ

d(sin u)=cos u . ದು

ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿಯಬೇಕು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು) ಕೊಟ್ಟಿರುವ (ಬಯಸಿದ) ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತರುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯ ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು (ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ).

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸೂತ್ರದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ 2 ರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯ 1/u ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

u > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ln|u|=lnu, ನಂತರ ಅದಕ್ಕೇ

ನೀನೇನಾದರೂ<0, то ln|u|=ln(-u). Ноಅರ್ಥ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ 2 ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸೂತ್ರ 15 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಮುಖ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಸ್ನೇಹಿತರೇ! ಚರ್ಚಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.