ಏಕೀಕರಣ - MT1205: ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ - ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಹಿತಿ. ಕೆಲವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಏಕೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳು

ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, ಅಂಶದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೀಯ $ ax^2+bx+c $ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಮಾತ್ರ, ನಂತರ ಅದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು $ x_1 $ ಮತ್ತು $ x_2 $, ನಂತರ ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು $ A $ ಮತ್ತು $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. ಒಂದು ಬಹು ಮೂಲ $ x_1 $, ನಂತರ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ $ A $ ಮತ್ತು $ B $ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ತಪ್ಪು, ಅಂದರೆ, ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು ಸರಿಯಾದಛೇದದಿಂದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಸರಳ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಓದುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಈ ವಿಷಯದ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಸ್ತುವಿನ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಮಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದೆರಡು ಪದಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ನನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, $n ವೇಳೆ< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется ತಪ್ಪು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಸರಳ) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ಗಮನಿಸಿ (ಪಠ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ): ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ

$p^2-4q ಷರತ್ತು ಏಕೆ ಬೇಕು?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^2+5x+10$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 ರಿಂದ< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

ಅಂದಹಾಗೆ, ಈ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ $x^2$ ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $5x^2+7x-3=0$ ಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$ ರಿಂದ, $5x^2+7x-3$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅನುಚಿತ), ಹಾಗೆಯೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಏಕೀಕರಣದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. (2) ಮತ್ತು (4) ಪ್ರಕಾರಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ, $n=2,3,4,\ldots$ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಸೂತ್ರಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) $p^2-4q ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ< 0$.

\begin(ಸಮೀಕರಣ) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ಸಮೀಕರಣ)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $t=x+\frac(p)(2)$ ಅನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎರಡಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

\begin(ಸಮೀಕರಣ) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(ಸಮೀಕರಣ)

ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮೂರನೇ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ).

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಯೋಜನೆ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು):

1. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (1)-(4).
2. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ, ತದನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(4) ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. ಆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ನೀವು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಯಾವುದಾದರುತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಯೂಲರ್, ಚೆಬಿಶೇವ್, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಪರ್ಯಾಯ) ನಲ್ಲಿನ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತದನಂತರ ಅದಕ್ಕೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅನ್ವಯವಿಲ್ಲದೆ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $7$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು $dx=d(x+9)$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ, ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಕೈಯಾರೆ" ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಅದೇ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

2) ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ. ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, $x$ (ಸಂಖ್ಯೆ 4) ರ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)\ಬಲ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ಎಡ(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)^8). $$

ಈಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಮಯ:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\ಎಡ(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\ಎಡ(x+\frac(19)(4) \ಬಲ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+ಸಿ. $$

ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $4$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೂ ಸಹ. ನಾವು $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು "ಬದಲಿಯಿಂದ ಏಕೀಕರಣ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ)" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

3) ನಾವು $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಭಾಗವು $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು $p^2-4q ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನು? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು $2x+10$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅಂಶವು ಕೇವಲ $4x+7$ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

ಈಗ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ $2x+10$ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಸರಿ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹ "ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \ಬಲಕ್ಕೆ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲು ಮಾತನಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ. ಸುಮಾರು $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ನಂತರ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವು ಛೇದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಬದಲಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ $(2x+10)dx$ ನಾವು $d(x^2+10x+34)$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು $dx=d(x+5)$ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಪಡೆದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) $$

ನಾವು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ $u=x^2+10x+34$ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಅದು $\int\frac(du)(u)$ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು . ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, $u=x+5$ ಬದಲಾವಣೆಯು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು $\int\frac(du)(u^2+9)$ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಶುದ್ಧ ಹನ್ನೊಂದನೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಬಳಸಿದ ಅದೇ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಮನಿಸುವ ಓದುಗರು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ನಂಬುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ಗೆ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಏಕೆ ಇರಲಿಲ್ಲ?

ಪ್ರಶ್ನೆ #1 ಗೆ ಉತ್ತರ

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಹಜ. ಯಾವುದೇ $x\ in R$ ಗಾಗಿ $x^2+10x+34$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ಮತ್ತು $(x+5)^2 ≥ 0$, ನಂತರ $(x+5)^2+9 > 0$ . ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ನೀವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಬಹುದು. $10^2-4\cdot 34=-16 ರಿಂದ< 0$, то $x^2+10x+34 >ಯಾವುದೇ $x\ in R$ ಗೆ 0$ (ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಪಳಿಯು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ). ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $x^2+10x+34 > 0$ ರಿಂದ, ನಂತರ $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ಅಂದರೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+ಸಿ $.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಭಾಗ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ಮೂಲಕ. $x^2$ ಮುಂದೆ $3$ನ ಗುಣಾಂಕ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ (ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಹೋಲಿಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ಭಾಗಕ್ಕೆ $p^2-4q ಷರತ್ತು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ ಮೊದಲು ನಮ್ಮ ಗುಣಾಂಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ $p^2-4q ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, ಆದ್ದರಿಂದ $3x^2-5x-2$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಧಾತುರೂಪದ ಭಾಗವಲ್ಲ, ಮತ್ತು $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ 5x-2)dx$ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸರಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಜಾಡು ಲಾಭ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

ನಾವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2)). $$

ಈಗ ನಾವು $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\ಬಲ))(\ಎಡ(x+) \frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ಬಲ). $$

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ. $x=2$ ಮತ್ತು ನಂತರ $x=-\frac(1)(3)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯದ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\ಬಲ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\ಬಲ)+B\ಎಡ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\ಬಲ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಗಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಈ ನಮೂದನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೇನೆ:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\ಬಲ|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

ಉತ್ತರ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\ಬಲ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಂಶವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

ಉತ್ತರ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ಈ ವಿಷಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೆ.

ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ ಭಾಗಶಃ-ತರ್ಕಬದ್ಧ$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ %%P_n(x)%% ಮತ್ತು % ಎಂಬ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತ %Q_m(x)% %.

%%m > n \geq 0%% ಆಗಿದ್ದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಬಹುಪದದ %%P_(n - m)%% ಡಿಗ್ರಿ %%n - m%% ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ ಅಲ್ಲಿ ಪದವಿ %%l%% ಬಹುಪದದ %%P_l(x)%% ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ %%Q_n(x)%% ರಷ್ಟು %%n%% ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಹುಪದದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಸರಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು

ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಸರಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು:

1. %%\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

ಅಲ್ಲಿ %%k > 1%% ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳುನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಎರಡು ವಿಧಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಮೊದಲ ಎರಡು ವಿಧಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ ರಿಂದ %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, ಇದನ್ನು ನಾವು %%a^2%% ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು $$ \begin(array) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(ಅರೇ) $$

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎರಡರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ನಾವು %%t%% ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \ಎಡ(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\ಬಲ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ %%x%% ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಾವು $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\ಬಲ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ ಅಲ್ಲಿ %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% ಶೇ.

ಟೈಪ್ 4 ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, "ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಷ್ ಮಾಡಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂಶದ ಮಟ್ಟವು ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - 2 x + 3 x 3 + x, ಅದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. ಆದ್ದರಿಂದ,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 x = 2 x 2 + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

ನಾವು ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಸರಳ ಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

d x 2 + 1 = 2 x d x ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. ಅದಕ್ಕೇ
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x = x 2 x 2 x 2 x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

ಆದ್ದರಿಂದ,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x , ಅಲ್ಲಿ C = - C 1

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ವಿಧದ A x - a ನ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ನೇರ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = 3 2 x - 1 ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಏಕೀಕರಣ ನಿಯಮ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

ಉತ್ತರ: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

ಎರಡನೇ ವಿಧದ A x - a n ನ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ

ನೇರ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವು ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ d x 2 x - 3 7 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

ಉತ್ತರ:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

ಮೂರನೇ ವಿಧದ M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q ನ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ< 0

ಮೊದಲ ಹಂತವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ M x + N x 2 + p x + q ಅನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p x = x 2 p p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ 2 + d x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

ಅದಕ್ಕೇ,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 x + x d q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ d x x 2 + p x + q ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 + 2 - p = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

ಆದ್ದರಿಂದ,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 t 9 a r c + 1 3 + ಸಿ

ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 1 = x + = ಕನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

ಉತ್ತರ: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಧದ M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q ನ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ< 0

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

ನಂತರ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಕುರಿತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು "ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕರಣ" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 ರೂಪದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರ 4 q ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ - p 2 · J n - 1 .

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ d x x 5 x 2 - 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

ಈ ರೀತಿಯ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಧದ ಒಂದು ಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ M = 0, p = 0, q = 1, N = 1ಮತ್ತು n = 3. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ z = x 2 - 1 ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

ಉತ್ತರ:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಅನುಕೂಲಕರ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ದುಃಖದ ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಇದೆ: ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಭಾಗ, ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನೀವು ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕು, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಈಗ ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ತಯಾರಾದ ಓದುಗರು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಪರಿವಿಡಿ:

• ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ

ಕೃತಕ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಪರಿವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಮೂಲಕ, ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ , ಆದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಗಮನ, ಮುಖ್ಯ! ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2 ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಬೇರುಗಳು) ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ತಂತ್ರವು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಅಂಶದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿದೆ:

1) ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾನು ಸಂಘಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ . ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನಾನು ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ: .

2) ಈಗ ನಾನು ಈ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಏನಾಗುತ್ತದೆ? . ಹಾಂ... ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನೀವು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

3) ನಾನು ಮತ್ತೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇನೆ: ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸು! ಇದು ಸರಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿತು! ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗದಂತೆ ತಡೆಯಲು, ನನ್ನ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು:
. ಜೀವನ ಸುಲಭವಾಯಿತು. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಸಂಘಟಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

4) ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: . ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ:
. ಕ್ಷಮಿಸಿ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾನು ನಿಜವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೆ , ಅಲ್ಲ . ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನೀವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಇದರ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

5) ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾನು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇನೆ:
. ಈಗ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ರ ಅಂತಿಮ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ! ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ “ಆದರೆ” ಇದೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ನನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ನಾನು ಸೇರಿಸಬೇಕು:

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ನಾವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ನ ಮೂಲ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಹುಡ್.

ಹೀಗೆ:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ.

ನಾವು ಉತ್ತರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂಲ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಘಟನೆಯ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುವ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕೌಶಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಾನು 11 ನೇ ಪವರ್‌ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ವರ್ಡ್‌ನ ಸುಮಾರು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ

ಮುಂದಿನ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.
, , , (ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ ವಿಧಾನ. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೇಗೆರೂಪಾಂತರ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸೂಚನೆ, ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಏಕೆಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆ 6 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ , ನಂತರ ಅದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತನ್ನಿ. ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ .

ಏಕೆ ನೋಡಿ, ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7, 8 ಅನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನೀವು ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೌರವ - ನಿಮ್ಮ ವಿಭಿನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ.

ಪೂರ್ಣ ಚದರ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ

ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚದರ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ನಾವು ಈಗ ನೋಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಧಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕೃತಕವಾಗಿ ಸಂಘಟಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ, ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ - ಘಟಕ ಗುಣಾಂಕ(ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಅಲ್ಲ).

ಛೇದವನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಕಾಶಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಛೇದವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು 4 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದೇ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ:

ಈಗ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

ಪರಿವರ್ತನೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ ಯಾವಾಗಲೂರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. "ಫ್ರೀಬಿ" ಸಾರಾಂಶ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ: ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಇದ್ದಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಬೇಕು: . ನಿರಂತರ(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಎರಡು") ಮುಟ್ಟಬೇಡ!

ಈಗ ನಾವು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅನ್ವಯಿಸಿ:

ಯಾವಾಗಲೂನಾವು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
, ಯಾವುದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಶುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಇಲ್ಲಿ ಪದವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಘಟಕ ಗುಣಾಂಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಐದು".

(1) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

(2) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಹೊರಗೆ ಸರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಇದರಿಂದ ಅದು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ.

(3) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಪದವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, "ಎರಡು" ಪಡೆಯಿರಿ

(4) ಹೌದು, . ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

(5) ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ , ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ದೀರ್ಘ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ; ಏಕೆ ಕೆಳಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

(6) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು , "X" ಬದಲಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಇದು ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಹಂತವು ತಪ್ಪಿಹೋಗಿದೆ - ಏಕೀಕರಣದ ಮೊದಲು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು: , ಆದರೆ, ನಾನು ಪದೇ ಪದೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

(7) ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕಷ್ಟವೇ? ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಭಾಗವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ನೀವು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ತಯಾರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು

ಇದು ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ! ನೀವು ದಣಿದಿದ್ದರೆ, ನಾಳೆ ಓದುವುದು ಉತ್ತಮವೇ? ;)

ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಅಥವಾ (ಗುಣಾಂಕಗಳು , ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ).

ಅಂದರೆ, ನಾವು ಈಗ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?