1°

1°. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ z = f (X ;ವೈ)ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು (x 0; y 0)ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶ ಡಿÎ ಆರ್ 2. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸೋಣ ಎಸ್,ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ z,ವಿಮಾನಗಳು x = x 0ಮತ್ತು y = y 0(ಚಿತ್ರ 11).

ವಿಮಾನ X = x 0ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಸ್ಕೆಲವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ z 0 (y),ಇದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z ==f (X ;ವೈ)ಬದಲಾಗಿ Xಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 0ಡಾಟ್ M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ z 0 (y)ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ಕಾರಣ zಹಂತದಲ್ಲಿ M 0ಕಾರ್ಯ z 0 (ವೈ)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ y =y 0.ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ x = x 0ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ z 0 (ವೈ)ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು l 1.

ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವುದು ನಲ್ಲಿ = y 0,ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ l 2ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ z 0 (X)ಹಂತದಲ್ಲಿ X = x 0 -ನೇರ 1 1 ಮತ್ತು 1 2 ಎಂಬ ವಿಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಮಾನಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎಸ್ಹಂತದಲ್ಲಿ M 0.

ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ವಿಮಾನವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಮೊ(x 0;y 0;z 0),ನಂತರ ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -C ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸುವುದು ).

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ 1ಮತ್ತು ಬಿ 1.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು 1 1 ಮತ್ತು 1 2 ಹಾಗೆ ನೋಡಿ

ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ l 1ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ a , ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು l 1ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ (1). ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

B 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. l 3, ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಎ 1ಮತ್ತು B 1 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1), ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಾಲು M 0ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ.

ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ, ಅಂದರೆ, ವಿಶೇಷವಲ್ಲದ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಾಟ್ M 0ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶೇಷ,ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ M(2; -1; 1).

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಇಲ್ಲಿಂದ, (2) ಮತ್ತು (3) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: z-1=2(x-2)+2(y+1)ಅಥವಾ 2х+2у-z-1=0- ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

2°. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಮೇಲ್ಮೈ ವೇಳೆ ಎಸ್ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಫ್ (X ; ವೈ;z)= 0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು (2) ಮತ್ತು (3), ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ

1.

4.

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ

ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡೋಣ, A ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು B ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್,

(ಚಿತ್ರ 1).

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್

→

ಎನ್

ಎಂದು ಕರೆದರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ, ವೇಳೆ

ಲಿಂ ಬಿ → ಎ j = π 2 .

ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದು F (x, y, z) = 0 ಅನ್ನು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

1. F "x , F " y , F " z ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
2. (F "x )2 + (F" y )2 + (F "z )2 ≠ 0 .

ಈ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದು .

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಒಂದು ವೇಳೆ M(x 0 , y 0 , z 0 ) ಮೇಲ್ಮೈ F (x , y , z) = 0 , ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ

→ ಎನ್ = ಪದವಿ F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → ಜ + F "z (x 0, y 0, z 0) → ಕೆ

(1)

ಪಾಯಿಂಟ್ M (x 0, y 0, z 0) ನಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಐ.ಎಂ. ಪೆಟ್ರುಷ್ಕೊ, ಎಲ್.ಎ. ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವಾ, ವಿ.ಐ. ಪ್ರೊಖೋರೆಂಕೊ, ವಿ.ಎಫ್. ಸಫೊನೊವಾ ``ಕೋರ್ಸ್ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಎಂ.: ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ MPEI, 2002 (ಪುಟ 128).

ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಮಾನಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಒಂದು ಸಮತಲವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(3)

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವು ಏಕವಚನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ಸಮತಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

z = f (x, y) ಕಾರ್ಯವು a (x 0, y 0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ. ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ

f (x, y) - z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) ಅನ್ನು ಹಾಕೋಣ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ A (x 0, y 0, z 0) ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದೆ.

F (x, y, z) = f (x, y) - z ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

ಮತ್ತು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

ಆದ್ದರಿಂದ, A ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈ F (x, y, z) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವಿದೆ. (3) ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f "y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

ಪಾಯಿಂಟ್ a (x 0, y 0) ನಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು p (x, y) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಲಂಬ ಸ್ಥಳಾಂತರವು B Q (Fig. 2) ಆಗಿದೆ. ಅರ್ಜಿದಾರರ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ

(z - z 0 ) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f "y (x 0, y 0) (y - y 0)

ಇಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಡಿ z ಫಂಕ್ಷನ್ z = f (x, y) ಪಾಯಿಂಟ್ a (x 0, x 0) ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ,
ಡಿ f (x 0, y 0). ಬಿಂದುವಿನ (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ f (x, y) ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ P ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ Q ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅನಂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕಪಾಯಿಂಟ್ p ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ.

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಇರುತ್ತದೆ ಬಲ ಮೇಲ್ಮೈ.

ಮೇಲಿನವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸೂಚಿಸುವ ಸೂಚ್ಯ ಮಾರ್ಗಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ z, ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಕೂಡ ಇದೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸರಳ ಮೇಲ್ಮೈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸರಳ ಮೇಲ್ಮೈ ಘಟಕ ಚೌಕದ ಒಳಭಾಗದ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಅಂದರೆ, ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡಬಹುದು.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚೌಕವನ್ನು ನೀಡೋಣ u ಮತ್ತು v, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳು(u, v) ಮತ್ತು (u", v") ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು (x, y, z) ಮತ್ತು (x", y", z").

ಉದಾಹರಣೆ ಸರಳ ಮೇಲ್ಮೈಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಇಡೀ ಗೋಳವು ಅಲ್ಲ ಸರಳ ಮೇಲ್ಮೈ. ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಉಪವಿಭಾಗ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸರಳ ಮೇಲ್ಮೈ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಬಲ ಮೇಲ್ಮೈ .

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ

ಹೆಲಿಕಾಯ್ಡ್

ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಲಿಕಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್‌ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಉದ್ದಗಳನ್ನು (ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ) ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅವರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ. ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಆಂತರಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಅಥವಾ ಸಂಕೋಚನವಿಲ್ಲದೆ ಅದು ಬಾಗಿದ್ದಾಗ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅನ್ನು ಕೋನ್ಗೆ ಬಾಗಿಸಿದಾಗ).

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯೊಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು (ಕೋನಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ವಕ್ರತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗ

ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು

ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ- ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್:

.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ (ಸೈನ್ ವರೆಗೆ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನ θ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಕ್ರತೆ ಕೆವಕ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಕೆ ಎನ್ಮೆಯುನಿಯರ್ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗ (ಅದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ):

ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

	ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
ಸೂಚ್ಯ ನಿಯೋಜನೆ
ಸ್ಪಷ್ಟ ನಿಯೋಜನೆ
ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿವರಣೆ

ವಕ್ರತೆ

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಿನ್ನ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆ; ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮುಖ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಲಂಬ ದಿಕ್ಕುಗಳಿವೆ ಇ 1 ಮತ್ತು ಇ 2, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಈ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ. ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗೋಳದ ಬಳಿ ಅಥವಾ ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ (ಎಡ), ಶೂನ್ಯ (ಮಧ್ಯ) ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ (ಬಲ) ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು.

ಪ್ರಮುಖ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ವಕ್ರತೆಗಳು; ಅವುಗಳನ್ನು κ 1 ಮತ್ತು κ 2 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಗಾತ್ರ:

ಕೆ= κ 1 κ 2

ಎಂದು ಕರೆದರು ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆ, ಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ವಕ್ರತೆಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಎಂಬ ಪದವೂ ಇದೆ ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್, ಇದು ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸುರುಳಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಆಂತರಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ (ಮುಖ್ಯ ವಕ್ರತೆಗಳು ಆಂತರಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ನೀವು ವಕ್ರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸಮತಲದ ವಕ್ರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. R ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದ ವಕ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯೂ ಇದೆ - ಸೂಡೋಸ್ಫಿಯರ್.

ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗಳು, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಕ್ರತೆ

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಿಯೋಡೆಟಿಕ್ ಲೈನ್, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೇಟಿಕ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್‌ಗೆ ಮುಖ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಭಾಗಗಳು, ಗೋಳದ ಮೇಲೆ - ದೊಡ್ಡ ವಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು.

ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗೆ, ಆಸ್ಕ್ಯುಲೇಟಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಅದರ ಪ್ರಧಾನ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಕ್ರತೆ ಕೆ ಜಿಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಸಂಬಂಧವಿದೆ:

,

ಎಲ್ಲಿ ಕೆ- ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಕ್ರತೆ, ಕೆ ಎನ್- ಅದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗದ ವಕ್ರತೆ.

ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗಳು ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ.

• ಮೂಲಕ ಈ ಹಂತನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
• ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ. ವಿವರಣೆ: ಗೋಳದ ಮೇಲೆ, ವಿರುದ್ಧ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿಕಟ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಭಾಗದಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕದರಲ್ಲಿ.
• ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ: ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತುಣುಕಿನ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚೌಕ

ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಚೌಕ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

2 ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ z = f(x,y) ಎಂಬುದು XOY ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಡಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ.
ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ σ , z = f(x,y) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ f(x,y) ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ಮೇಲ್ಮೈ σ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. z 0 = f(x 0 ,y 0). ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಕರ್ವ್ (y = f(x)) ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಈ ಸೇವೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು:

1. ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು x,y,z ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ σ ಅವಳ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0 ಎಂಬುದು ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದು, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ σ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಎಂ 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ z = f(x,y) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ σ ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ನಲ್ಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ σ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0 ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ N ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ z = f(x,y) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇಲ್ಲಿ z 0 = f(x 0 ,y 0), ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು x 3 +5y ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. M 0 (0;1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - ವೈ 0)
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, x 0 = 0, y 0 = 1, ನಂತರ z 0 = 5
z = x^3+5*y ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (0,1) ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ಅಥವಾ -5 y+z = 0 ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ y 2 -1/2*x 3 -8z ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. M 0 (1;0;1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ:

ನಂತರ:

ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (1,0,1) ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) ಅಥವಾ 3 / 16 x+z- 19 / ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 16 = 0

ಉದಾಹರಣೆ. ಮೇಲ್ಮೈ σ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ z= y/x + xy – 5X 3. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ σ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0 (X 0 ,ವೈ 0 ,z 0), ಅವಳಿಗೆ ಸೇರಿದ, ವೇಳೆ X 0 = –1, ವೈ 0 = 2.
ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z= f(X,ವೈ) = y/x + xy – 5X 3:
f x '( X,ವೈ) = (y/x + xy – 5X 3)’ x = – y/x 2 + ವೈ – 15X 2 ;
f y' ( X,ವೈ) = (y/x + xy – 5X 3)' y = 1/x + X.
ಡಾಟ್ ಎಂ 0 (X 0 ,ವೈ 0 ,z 0) ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದೆ σ , ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು z 0 , ಕೊಟ್ಟಿರುವದನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು X 0 = –1 ಮತ್ತು ವೈಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ 0 = 2:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0 (–1, 2, 1) ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು:
f x '( ಎಂ 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( ಎಂ 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (5) ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ σ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(ವೈ – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2ವೈ + z + 10 = 0.
ಸೂತ್ರವನ್ನು (6) ಬಳಸಿ ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ σ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0: .
ಉತ್ತರಗಳು: ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ: 15 X + 2ವೈ + z+ 10 = 0; ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು: .

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. z=f(x,y) ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು A(x 0, y 0) ಮತ್ತು B(x 1, y 1) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದೆ: 1) ಪಾಯಿಂಟ್ B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ z 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; 2) ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ z 0 ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ B ಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ z 1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ; 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) ಹಂತದಲ್ಲಿ z = f(x,y) ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, x 0 = 1, y 0 = 2, ನಂತರ z 0 = 25
z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (1,2) ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು M 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
ಅಥವಾ
-26 x-36 y+z+73 = 0

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ z = 2x 2 + y 2 ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (1;-1;3).

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಮಾನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೆಚ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೀಕ್ಯಾಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್‌ನ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು (ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಇದನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ (ಅದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವು) ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೆಳೆಯುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ t (ಚಿತ್ರ 203) ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (MM 1, MM 2, ..., MM n) ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಸೆಕೆಂಟ್ l j ಯ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (M ≡ M n , l n ≡ l M). ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, ರಿಂದ g ⊂ β. ಮೇಲಿನಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಗಳನ್ನು (ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಮೇಲಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ) ಸೆಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಕು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ. ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 204. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ n ಅನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ರೇಖೆ) ಹೊಂದಬಹುದು. ಸ್ಪರ್ಶದ ರೇಖೆಯು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿರುವಾಗ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳೂ ಇವೆ; ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಏಕವಚನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ಮುಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ರಿಟರ್ನ್ ಅಂಚಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಕೋನಗಳು.

ಸ್ಪರ್ಶದ ವಿಧಗಳು ಮೇಲ್ಮೈ ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ ವಕ್ರತೆ

ಮೇಲ್ಮೈ ವಕ್ರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಫ್. ಡುಪಿನ್ (1784-1873) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳ ವಕ್ರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ದೃಶ್ಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪಾಯಿಂಟ್ M (Fig. 205, 206) ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕದಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ವಕ್ರತೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳು. ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ - ವಿಭಾಗಗಳ ತುದಿಗಳು ಎಂಬ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಡುಪಿನ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಡುಪಿನ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಚಿತ್ರ 205) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) ಡುಪಿನ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈಯ ಡುಪಿನ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂ ಬಿಂದುವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.(ಚಿತ್ರ 206). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ: ಕ್ರಾಂತಿಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಒಂದು ಗೋಳ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡುಪಿನ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ವೃತ್ತ, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಮುಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ, ಸಮತಲವು ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೇರವಾದ ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡುಪಿನ್‌ನ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 207*).

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 208 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

* ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ - ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ನೈಜ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು, ಎರಡು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು, ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 207 ನಾವು ಎರಡು ನೈಜ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳು. ಡುಪಿನ್ಸ್ ಇಂಡಿಕ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ- ಹೈಪರ್ಬೋಲ್.

ಮೇಲ್ಮೈ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ತಡಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲ, ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಕ್ರಾಂತಿಯ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಳಿ (Fig. 209) ಪಾಯಿಂಟ್ M ಅಂಡಾಕಾರದ; ಪಾಯಿಂಟ್ ಎನ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ; ಪಾಯಿಂಟ್ K ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆ ಜೆ = 1/ ಆರ್ ಜೆ (ಆರ್ ಜೆ ಎಂಬುದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದ ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ) ವಕ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಎರಡರಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳು.

ಅಂತಹ ವಕ್ರತೆಗಳು ಕೆ 1 = 1/ಆರ್ ಗರಿಷ್ಠ. K 2 = 1/R ನಿಮಿಷವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳು H = (K 1 + K 2)/2 ಮತ್ತು K = K 1 K 2 ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ( ಗೌಸಿಯನ್) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಕ್ರತೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ K > 0, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳು K

ಮೊಂಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು

ಕೆಳಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಅಂಡಾಕಾರದ (ಉದಾಹರಣೆ 1), ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ (ಉದಾಹರಣೆ 2) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ (ಉದಾಹರಣೆ 3) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಂಡಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಾಂತಿಯ β ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a) ಪಾಯಿಂಟ್ M ∈ β ಮತ್ತು b) ಪಾಯಿಂಟ್ M ∉ β

ಆಯ್ಕೆ a (ಚಿತ್ರ 210).

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ t 1 ಮತ್ತು t 2 ಬಿಂದು M ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ β ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ β ನ ಸಮಾನಾಂತರ h ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ t 1 ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು t" 1 ⊥ (S"M") ಮತ್ತು t" 1 || x ಅಕ್ಷ M ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೇಲ್ಮೈ β ನ ಮೆರಿಡಿಯನ್ d ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ t" 2 ರ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ನ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ t" 2 ರ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ಪ್ಲೇನ್ γ(γ ∋ M) ಸಮತಲ π 2 ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ β 1 ರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ γ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ M → M 1 (M" 1, M" 1). ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t" 2 rarr; t" 2 1 ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು (M" 1 S") ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ಸಮತಲ γ 1 ಅನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ S" ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿದಂತೆ), ಮತ್ತು M" 1 → M" ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t" 2 ನ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (M" S")

M ∈ β ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು t 1 ಮತ್ತು t 2 ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಯ್ಕೆ ಬಿ (ಚಿತ್ರ 211)

ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು: ಅಂಡಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅನೇಕ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು. ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಹೊದಿಕೆಯು ಕೆಲವು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂಚನೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ γ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ β.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 211 ಗೋಳ β ಗೆ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ γ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ γ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

M" ಮತ್ತು M" ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ γ ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು h" ಮತ್ತು f" ವಲಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ - ಗೋಳದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು. ಟಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್ 1 (1" ಮತ್ತು 1"), 2 (2" ಮತ್ತು 2"), 3 (3" ಮತ್ತು 3") ಮತ್ತು 4 (4" ಮತ್ತು 4") ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ವೃತ್ತದ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ - ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶದ ರೇಖೆಯನ್ನು [1"2"] ಆಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ವೃತ್ತವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮುಂಭಾಗದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲ್ಪಡುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಗೋಳದ ಸಮಾನಾಂತರಗಳು.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 211 ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ E ಮತ್ತು F (E" ಮತ್ತು F") ಬಿಂದುಗಳ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ γ, ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ α ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರಾಫಿಕ್ನ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಂತೆ, ನಾವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: a) ಪಾಯಿಂಟ್ N ∈ β; ಬಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ N ∉ β

ಆಯ್ಕೆ a (ಚಿತ್ರ 212).

ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 207 ನೋಡಿ.) ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅದನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು N ಮೂಲಕ ಜನರೇಟರ್ SN (S"N" ಮತ್ತು S"N");

2) ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ d: (SN) ∩ d = A ನೊಂದಿಗೆ generatrix (SN) ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ;

3) A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ t ನಿಂದ d ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಬೀಸುತ್ತದೆ.

ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (SA) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು N* ನಲ್ಲಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು α, ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ β ಮತ್ತು ಬಿಂದು N ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

* ಮೇಲ್ಮೈ β ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ (ಶೃಂಗ S ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ α ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು N ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (SN).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಒತ್ತುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು N ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯ S ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ β ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ a (a" ಮತ್ತು a") ;

2) ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮತಲವಾದ ಜಾಡನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ H a;

3) H a ಮೂಲಕ ಕರ್ವ್ h 0β ನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು t" 1 ಮತ್ತು t" 2 ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ - ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮತಲ ಜಾಡಿನ;

4) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು A (A" ಮತ್ತು A") ಮತ್ತು B (B" ಮತ್ತು B") ಅನ್ನು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ S (S" ಮತ್ತು S") ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ.

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು t 1, (AS) ಮತ್ತು t 2, (BS) ಬಯಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಮಾನಗಳು α 1 ಮತ್ತು α 2 ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈ β ಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ K (Fig. 214) ಗ್ಲೋಬಾಯ್ಡ್ (ರಿಂಗ್ ಒಳಗಿನ ಮೇಲ್ಮೈ) ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು α ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಬಿಂದು K ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈ β h(h", h") ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ;

2) K" ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ t" 1 (t" 1 ≡ h") ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ;

3) ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಪಾಯಿಂಟ್ K ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲ γ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಸಮತಲ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ t" 2 h 0γ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ನಿರ್ಮಿಸಲು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t" 2 ರ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ, ನಾವು ಮೊದಲು ಸಮತಲವನ್ನು γ ಅನ್ನು ತಿರುಗುವ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ γ 1 ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ || π 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೇನ್ γ ಮೂಲಕ ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ವಿಭಾಗವು ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಎಡ ಔಟ್ಲೈನ್ ​​ಆರ್ಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ - ಸೆಮಿಸರ್ಕಲ್ ಜಿ".

ಪಾಯಿಂಟ್ K (K", K"), ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ವಿಭಾಗದ ಕರ್ವ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ್ದು, K 1 (K" 1, K" 1) ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. K" 1 ಮೂಲಕ ನಾವು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t" 2 1 ನ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸಮತಲ γ 1 || π 2 ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಿರುಗುವ S" ನ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿ 1. ನಾವು ಪ್ಲೇನ್ γ 1 ಅನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ K" 1 → K" (ಪಾಯಿಂಟ್ S" 1 ≡ S") ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ t" 2 ರ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು K" ಮತ್ತು S" ಅಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳು t 1 ಮತ್ತು t 2 ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲ α ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ ಕರ್ವ್ ಜೊತೆಗೆ ಮೇಲ್ಮೈ β ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. K ಹಂತದಲ್ಲಿ β ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ α ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ K ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 215).

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಟುಂಬವು ಇತರ ಕುಟುಂಬದ ಎಲ್ಲಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (§ 32, ಅಂಜೂರ 138 ನೋಡಿ). ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು - ಜನರೇಟರ್ಗಳು, ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ g 1 ಮತ್ತು g 2 ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಪಾಯಿಂಟ್ K ನ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಮತ್ತು t" 1 ಮತ್ತು t" 2 ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಗಿಸಲು ಸಾಕು.

ವೃತ್ತದ ತಾಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ d" 2 - ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಂಟಲು; 1" ಮತ್ತು 2 ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಇದರಲ್ಲಿ t" 1 ಮತ್ತು t" 2 ಒಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು d 1. 1 "ಮತ್ತು 2" ನಿಂದ ನಾವು 1" ಮತ್ತು 2" ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು K ಜೊತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.