ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳು

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆಗ

ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಥಿರ) ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಅದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸರಳವಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೆಮ್ಮಾ 1. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ. ನಂತರ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಅರೆ-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ

ನಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು

ಲೆಮ್ಮಾ 2. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರಿಂದ 1-3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ನಂತರ

ಪುರಾವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಆಸ್ತಿ 3 ಕಾರಣ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ

ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾ 2 ರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, - ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರಿಂದ 1-3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

ಲೆಮ್ಮಾ 2 ಇದು ಅಂದಾಜು ಅನುಕ್ರಮದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಸ್ತಿ 1. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಅದು ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ಟೀಕೆ 1. ಸ್ಥಿರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೌಲ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆಸ್ತಿ 2. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಪುರಾವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ರಿಮಾರ್ಕ್ 1 ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಟೀಕೆ 2. ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಇತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ. ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 3. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 3. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪುರಾವೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ವಂತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರಿಮಾರ್ಕ್ 3 ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ):

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮ. ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 4. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪುರಾವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ (ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು

ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಈವೆಂಟ್ (ಈ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ (ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಈ ಸಮಾನತೆಗಳ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ (*) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಿರಂಗಿದಳದಲ್ಲಿ ಶೆಲ್‌ಗಳು ಹೊಡೆಯಬೇಕಾದ ಗುರಿಯ ಬಳಿ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾರ್ಗವು ಏನನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅವರ ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದತಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳುಅಥವಾ ಅವರ ಚೌಕಗಳು. ಇದನ್ನು ಅವರು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನಿಜ, ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಂಭೀರ ತೊಂದರೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ. ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಒಂದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳುವಿ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಶೋಧನೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ. ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ- ಇದುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ವಿತರಣೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ Xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಊಹಾಪೋಹಗಾರ ಗಳಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವಿನ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವವರುಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಅನುಕೂಲ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಊಹಕ" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳೂ ಇರುತ್ತವೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ, ಇದಕ್ಕೆ ನೀವು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಮಟ್ಟ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ - ಪ್ರಸರಣದ ಲಕ್ಷಣ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಹರಡುವಿಕೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಬಗ್ಗೆ.

ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಸಮಗ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು - ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಂದಾಜು ವಿವರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬರೋಣ. x-ಅಕ್ಷದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ವಿತರಿಸೋಣ X1 , X 2 , ..., Xಎನ್. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಪ1 , ಪ 2 , ..., ಪಎನ್. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳು, ಅವರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು. ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಅಂತಹ ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹಜ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ X, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಗೆ Xiಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ "ತೂಕ" ದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಿನ್-ವಿನ್ ಲಾಟರಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. 1000 ಗೆಲುವುಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 400 10 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ತಲಾ 300-20 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ತಲಾ 200-100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಮತ್ತು 100 - 200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ. ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸುವವರ ಸರಾಸರಿ ಗೆಲುವುಗಳು ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ಗೆಲುವನ್ನು 1000 (ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವಿನ ಮೊತ್ತ) ಭಾಗಿಸಿದರೆ ನಾವು ಸರಾಸರಿ ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು 50000/1000 = 50 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಜೇತ ಗಾತ್ರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು 10, 20, 100 ಮತ್ತು 200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 0.4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ; 0.3; 0.2; 0.1 ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಗೆಲುವಿನ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಪ್ರಕಾಶಕರು ಪ್ರಕಟಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಹೊಸ ಪುಸ್ತಕ. ಅವರು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು 280 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಲು ಯೋಜಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ವತಃ 200, 50 - ಪುಸ್ತಕದಂಗಡಿ ಮತ್ತು 30 - ಲೇಖಕರನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವ ವೆಚ್ಚಗಳು ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಟೇಬಲ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕಾಶಕರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ "ಲಾಭ" ಮಾರಾಟದಿಂದ ಬರುವ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ವೆಚ್ಚಗಳ ವೆಚ್ಚದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪುಸ್ತಕದ 500 ಪ್ರತಿಗಳು ಮಾರಾಟವಾದರೆ, ನಂತರ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಬರುವ ಆದಾಯವು 200 * 500 = 100,000, ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಣೆಯ ವೆಚ್ಚವು 225,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಕಾಶಕರು 125,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ನಷ್ಟವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ - ಲಾಭ:

ಸಂಖ್ಯೆ	ಲಾಭ Xi	ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪi	Xi ಪ i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
ಒಟ್ಟು:		1,00	25000

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಕಾಶಕರ ಲಾಭದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ= 0.2. 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸ್ಪೋಟಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಬಳಸಿದ ಅದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ X- ಶೆಲ್ ಬಳಕೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ Xಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿ ಶಾಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ = 0,4 .

ಸುಳಿವು: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ .

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಆಸ್ತಿ 1.ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 2.ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಆಸ್ತಿ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 5.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ (ಹೆಚ್ಚಳ). ಇದರೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ):

ನೀವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ Xಮತ್ತು ವೈಕೆಳಗಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಅರ್ಥ X	ಸಂಭವನೀಯತೆ
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

ಅರ್ಥ ವೈ	ಸಂಭವನೀಯತೆ
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಮಾದರಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ವೈಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆ: ಸರಾಸರಿ ವೇತನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಳದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಪಾಲನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅದರಿಂದ ಯಾವ ವಿಚಲನಗಳು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನದ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ Xಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ Xಮತ್ತು ವೈ, ಇವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು Xಮತ್ತು ವೈ, ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಇ(X)=ಇ(ವೈ)=0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು Xಮತ್ತು ವೈಸೌಂದರ್ಯ ವರ್ಧಕ

.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ Xತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈ- ಗಮನಾರ್ಹ. ಇದು ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಹೂಡಿಕೆದಾರರು 4 ಪರ್ಯಾಯ ಹೂಡಿಕೆ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಟೇಬಲ್ ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಯೋಜನೆ 1	ಯೋಜನೆ 2	ಯೋಜನೆ 3	ಯೋಜನೆ 4
500, ಪ=1	1000, ಪ=0,5	500, ಪ=0,5	500, ಪ=0,5
	0, ಪ=0,5	1000, ಪ=0,25	10500, ಪ=0,25
		0, ಪ=0,25	9500, ಪ=0,25

ಪ್ರತಿ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 3 ನೇ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ:

ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳಿಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದೇ ಆದಾಯವಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಪಾಯದ ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು - ಅದು ಹೆಚ್ಚಿನದು, ಹೂಡಿಕೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪಾಯ. ಹೆಚ್ಚು ಅಪಾಯವನ್ನು ಬಯಸದ ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಯೋಜನೆ 1 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0). ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಪಾಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದಾಯವನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ, ಅವರು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ - ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ 4.

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಆಸ್ತಿ 1.ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 2.ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸರಣ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು:

.

ಆಸ್ತಿ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಎಲ್ಲಿ .

ಆಸ್ತಿ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ Xಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: −3 ಮತ್ತು 7. ಜೊತೆಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಇ(X) = 4 ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಪಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ X1 = −3 . ನಂತರ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ X2 = 7 1 - ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಪ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ:

ಇ(X) = X 1 ಪ + X 2 (1 − ಪ) = −3ಪ + 7(1 − ಪ) = 4 ,

ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಪ= 0.3 ಮತ್ತು 1 - ಪ = 0,7 .

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ:

X	−3	7
ಪ	0,3	0,7

ಪ್ರಸರಣದ ಆಸ್ತಿ 3 ರಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಡಿ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಹುಡುಕಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ರೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿದೆ ಡಿ(X) = 6 . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 6 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 4 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಳೆದ ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X 0, 1, 2, 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ:

X	0	1	2	3
ಪ	1/30	3/10	1/2	1/6

ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ:

ಎಂ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

ನೀಡಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಡಿ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ f(X) ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅದರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ Xiಥಟ್ಟನೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ, ವಾದವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು . ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ನೇರವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ .

2. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳು

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ - ಅದರ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, " ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ", "ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ". ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂದು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಡೈ ಮೇಲಿನ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಗೋಚರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಹೇಳಿಕೆ 2.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x 1, x 2,…, xಮೀ. ಆಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ

(5)

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

(4) ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಂಕಲನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (5) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (5).

ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (5), ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (4) ಪದಗಳಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ

ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಭವನೀಯ-ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ x 1, x 2,…, xಮೀಸಮೂಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ(X= X 1 ), ಪ(X= X 2 ),…, ಪ(X= x ಮೀ) ಕ್ರಮವಾಗಿ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (5) ಈ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ರ ನೈಸರ್ಗಿಕತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೇಳಿಕೆ 3.ಅವಕಾಶ X- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ, M(X)- ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಎ- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- ಎ) 2 ]= ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ]+(ಎ- ಎಂ(X)) 2 .

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎ. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ

ಮೊತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಮೊದಲ ಪದಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎರಡನೆಯದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X+Y, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ M(X)ಮತ್ತು M(U)ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

ಆದ್ದರಿಂದ M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)).ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, M(M(X)) = M(X)ಆದ್ದರಿಂದ, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ (X - a) 2 = ((X – ಎಂ(X)) + (ಎಂ(X) - ಎ)} 2 = (X - ಎಂ(X)) 2 + 2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ) + (ಎಂ(X) – ಎ) 2 , ಅದು ಎಂ[(X - a) 2 ] =ಎಂ(X - ಎಂ(X)) 2 + ಎಂ{2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ)} + ಎಂ[(ಎಂ(X) – ಎ) 2 ]. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ. ಹೇಳಿಕೆ 3 ರ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂ[(ಎಂ(X) – ಎ) 2 ] = (ಎಂ(X) – ಎ) 2 . ಸ್ಥಿರ ಗುಣಕವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ ಎಂ{2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ)} = 2(ಎಂ(X) - ಎ)ಎಂ(X - ಎಂ(X)). ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವು 0 ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, M(X-M(X))=0.ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂ[(X- ಎ) 2 ]= ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ]+(ಎ- ಎಂ(X)) 2 , ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ[(X- ಎ) 2 ] ಕನಿಷ್ಠ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎ, ಸಮಾನ ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ], ನಲ್ಲಿ a = M(X),ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಪದದಿಂದ 3) ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.

ಹೇಳಿಕೆ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x 1, x 2,..., xಮೀ, ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ (4), ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳು:

ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ (2) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಹೇಳಿಕೆ 5.ಅವಕಾಶ Xಮತ್ತು ಯು- ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಎಂ(aX+ ಮೂಲಕ)= aM(X)+ ಬಿಎಂ(ವೈ).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಗತ್ಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಾಪನದ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟಕಕ್ಕೆ (ಪರಿವರ್ತನೆ) ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲಿನವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ=aX+ಬಿ), ಹಾಗೆಯೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉದ್ಯಮದ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಒಂದು ಕರೆನ್ಸಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿದೇಶಿ ಆರ್ಥಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯಂತ್ರಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ದಾಖಲಾತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ಗಾಗಿ ಒಂದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ.

ಹಿಂದಿನ

- 10 ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹತ್ತು ಮಕ್ಕಳು ಜನಿಸಬಹುದು:

ಅಥವಾ ಹುಡುಗರು - ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ.

ಮತ್ತು, ಆಕಾರವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸ್ವಲ್ಪ ದೈಹಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ:

- ಲಾಂಗ್ ಜಂಪ್ ದೂರ (ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ).

ಕ್ರೀಡೆಯ ಮಾಸ್ಟರ್ ಕೂಡ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ :)

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಗಳು?

2) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳುಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ.

ಸೂಚನೆ : ವಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳು DSV ಮತ್ತು NSV

ಮೊದಲಿಗೆ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ, ನಂತರ - ನಿರಂತರ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

- ಇದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಕಾನೂನನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪದವು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸಾಲು ವಿತರಣೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು "ಕಾನೂನಿಗೆ" ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ತುಂಬಾ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ : ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟನೆಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪುಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅಥವಾ, ಸಾಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿ ಬರೆದರೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೈನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ಟೀಕೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ "ಉತ್ತಮ" ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆ ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಭ್ರಮೆಯನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸೋಣ - ಅವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೆಲವು ಆಟವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಜೇತ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

...ನೀವು ಬಹುಶಃ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ಕನಸು ಕಂಡಿದ್ದೀರಿ :) ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ರಹಸ್ಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ - ನನಗೂ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮುಗಿದ ನಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಪರಿಹಾರ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟನೆಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

"ಪಕ್ಷಪಾತ"ವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು:

- ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ಆಗಿದೆ.

ನಿಯಂತ್ರಣ: ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ಇದನ್ನೇ.

ಉತ್ತರ:

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನೀವೇ ರಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ/ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಮತ್ತು ಇತರ ಚಿಪ್ಸ್ ಟರ್ವೆರಾ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 50 ಲಾಟರಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 12 ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 2 ತಲಾ 1000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು - ತಲಾ 100 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಗೆಲುವಿನ ಗಾತ್ರ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ನೀವು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಗೆಲುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಒಟ್ಟು 50 ಅಂತಹ ಟಿಕೆಟ್ಗಳಿವೆ - 12 = 38, ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:
- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಡ್ರಾ ಟಿಕೆಟ್ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: - ಮತ್ತು ಇದು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಹ್ಲಾದಕರ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ!

ಉತ್ತರ: ಗೆಲುವಿನ ವಿತರಣೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾನೂನು:

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸುವುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - 2 ಹೊಡೆತಗಳ ನಂತರ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

...ನೀನು ಅವನನ್ನು ಮಿಸ್ ಮಾಡಿಕೊಂಡೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಗೊತ್ತಿತ್ತು :) ನೆನಪಿರಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು .

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸರಾಸರಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ. ನಂತರ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ:

ಅಥವಾ ಕುಸಿದಿದೆ:

ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಡೈನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:

ಈಗ ನಮ್ಮ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆಟವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಈ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವೇ? ...ಯಾರು ಯಾವುದೇ ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ? ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅದನ್ನು "ಆಫ್‌ಹ್ಯಾಂಡ್" ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ! ಆದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ - ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಆಟದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಸೋಲುತ್ತಿದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ನಂಬಬೇಡಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಂಬಿರಿ!

ಹೌದು, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸತತವಾಗಿ 10 ಅಥವಾ 20-30 ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲಬಹುದು, ಆದರೆ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಿವಾರ್ಯವಾದ ನಾಶವು ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಆಟಗಳನ್ನು ಆಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ :) ಸರಿ, ಬಹುಶಃ ಮಾತ್ರ ತಮಾಷೆ ಗಾಗಿ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲದರಿಂದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ RANDOM ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಶೋಧನೆಗಾಗಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮಿಸ್ಟರ್ ಎಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯುರೋಪಿಯನ್ ರೂಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಆಡುತ್ತಾರೆ: ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ "ಕೆಂಪು" ನಲ್ಲಿ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಅದರ ಗೆಲುವುಗಳು. ಗೆಲುವಿನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ಕೊಪೆಕ್‌ಗೆ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎಷ್ಟು ಸರಾಸರಿಆಟಗಾರನು ಪ್ರತಿ ನೂರು ಬಾಜಿಗೆ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆಯೇ?

ಉಲ್ಲೇಖ : ಯುರೋಪಿಯನ್ ರೂಲೆಟ್ 18 ಕೆಂಪು, 18 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 1 ಹಸಿರು ವಲಯವನ್ನು ("ಶೂನ್ಯ") ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. "ಕೆಂಪು" ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪಂತಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪಾವತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಕ್ಯಾಸಿನೊದ ಆದಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನೀವು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಇತರ ರೂಲೆಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ಅಥವಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಟಗಾರನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬದಲಾಗುವುದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ