ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ

§ 3. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು

1. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ವೆಕ್ಟರ್
- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ OX
- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ OY

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬಗಳ ನೆಲೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಚಲನೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. . ಇದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಹೇಗಾದರೂ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೇಗಾದರೂ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಹೆಚ್ಚಿನದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಎಬಿಡಿ: .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳಿಗೆ, ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 9 ಗಾಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
ಕಾರ್ಯ №5
ಅಧ್ಯಾಯಕ್ಕೆ " ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಸಂಚಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಹಿತಿ».

1. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

1. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ a (ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ) ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

2. ದೇಹದ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ s ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ ಏನು?

3. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯ ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

4. ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಏನು? ಮತ್ತು Y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

4. ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

5. ಚಿತ್ರ 22 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವಾಹಕಗಳ X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ?

5. ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ದೇಹದ Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

a) s 1;

X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ s 1 ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ s 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ವೆಕ್ಟರ್ s 1 ರ ಉದ್ದದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ) ರು 2;

X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ s 2 ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ s 1 ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ವೆಕ್ಟರ್ s 2 ರ ಉದ್ದದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿ) ಎಸ್ 3;

X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ s 3 ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ s 3 ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ವೆಕ್ಟರ್ s 3 ರ ಉದ್ದದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿ)ಗಳು 4;

X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ s 4 ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ s 4 ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ವೆಕ್ಟರ್ s 4 ರ ಉದ್ದದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಇ) ರು 5;

X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ s 5 ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ s 5 ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೇಹದ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ವೆಕ್ಟರ್ s 5 ರ ಉದ್ದದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

6. ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚಿಕ್ಕದಾಗಬಹುದೇ?

6. ಬಹುಶಃ. ಇದು ಸ್ಥಳಾಂತರ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್) ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅದರ ನಂತರದ ಸ್ಥಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ದೇಹದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನವು (ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ) ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗಬಹುದು. ದೇಹದ ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ?

7. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನ, ಮತ್ತು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ಅಕ್ಷವು ದಿಕ್ಕು. ಇದರರ್ಥ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಎಲ್ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಬಿ → ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಎ 1 ಬಿ 1 ⇀ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ಎ 1 ಮತ್ತು ಬಿ 1 ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

A 1 B → 1 ವೆಕ್ಟರ್ A B → L ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. n p L A B → → ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ A B → ಅನ್ನು L ಗೆ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. L ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಲಂಬಗಳನ್ನು L ಮೇಲೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ.

ಆನ್ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಸುಮಾರು x y ಬಿಂದು M 1 (x 1 , y 1) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು O x ಮತ್ತು O y ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ (x 1, 0) ಮತ್ತು (0, y 1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿ → ಅಥವಾ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ a → ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ b → , ಆಗ ನಾವು ದಿಕ್ಕು b → ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ a → ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. b → ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ a → ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು n p b → a → → ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ a → ಮತ್ತು b → , n p b → a → → ಮತ್ತು b → ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೋನವು ಓರೆಯಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n p b → a → → ಮತ್ತು b → ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ a → ಮತ್ತು b →, ಮತ್ತು a → ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, b → ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ a → ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

A B → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು L ಮೇಲೆ n p L A B → , ಮತ್ತು a → onto b → - n p b → a → ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a → ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ a → , a ⇀ , b → ^ ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ a → ಮತ್ತು ಬಿ →.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ a → ಮತ್ತು b → ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

a → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು b → ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ 8 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ನಾವು ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳುಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

ಉತ್ತರ: 4.

ತಿಳಿದಿರುವ cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , ನಾವು → , b → ಅನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ b → ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು n p b → a → = a → , b →. ಸೂತ್ರವು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಸದಿಶದ a → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು b → ನೊಂದಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ a → ಮತ್ತು b → ಉದ್ದದ b → ಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. n p b → a → = a → , b → b → ಸೂತ್ರವು a → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು b → ನೊಂದಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ, ತಿಳಿದಿರುವ a → ಮತ್ತು b → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

b → = (- 3 , 4) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. L ಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → = (1, 7) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ n p b → a → = a → , b → b → ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + a y ಮತ್ತು (a) ಜೊತೆಗೆ a y b → = b x, b y. L ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ a → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 = 1 y (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

ಉತ್ತರ: 5.

ಉದಾಹರಣೆ 4

→ = - 2, 3, 1 ಮತ್ತು b → = (3, - 2, 6) ಇರುವ b → ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ, L ಗೆ → ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

a → = a x , a y , a z ಮತ್ತು b → = b x , b y , b z , ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → ಉದ್ದವು b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + z.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

ಉತ್ತರ: - 6 7.

L ನಲ್ಲಿ a → ಮತ್ತು L ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೋಡೋಣ. L ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a → ಮತ್ತು b → ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ L ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು → ನಿಂದ L ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು L ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರದ 5 ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ:

ಪ್ರಥಮ a → = n p b → a → → ಎಂದರೆ a → = n p b → a → → , ಆದ್ದರಿಂದ n p b → a → = a → · cos (a , → b → = a → ° · ^ a → n p b → a → → .

ಎರಡನೇಪ್ರಕರಣವು n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ಅಂದರೆ n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p→ → .

ಮೂರನೇ n p b → a → → = 0 → ನಾವು n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , ನಂತರ n p → → ಎಂದು ಪ್ರಕರಣವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n p b → a → = 0 = n p b → a → →.

ನಾಲ್ಕನೇಪ್ರಕರಣವು n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ n p b → a → = a → a → , b → ^) = - n p b → a → → .

ಐದನೆಯದುಪ್ರಕರಣವು a → = n p b → a → → ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ a → = n p b → a → → , ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು n p b → a → = a → · cos a → , b → ° 8 ^ = ° a → = - n p b → a → .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

L ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ a → ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್, ಇದು b → ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಒಂದು → ಮತ್ತು b → ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ 0: n p b → a → = n p b → a → → ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
ಶೂನ್ಯವು a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಒದಗಿಸಿದೆ: n p b → a → = 0, ಯಾವಾಗ (a → , b → ^) = 90 °;
90 ° ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ a → L ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದ್ದ, -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b →: n p b → a → = - n p b → a → →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ a → L ಗೆ, 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನವು 5 π 6 ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳು ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಈ ಕೋನವು ಮೊಂಡಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

ಉತ್ತರ: - 2.

ಉದಾಹರಣೆ 6

30 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ 6 3, b → (- 2, 1, 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ O x y z ಸಮತಲವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎ → ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → = ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದ್ದ a →: n p L a → = n p L a → → = 9. ಈ ಪ್ರಕರಣವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು n p L a → → ಮತ್ತು b → ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ t ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ: n p L a → → = t · b → . ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ n p L a → → = t · b → , ಇದರರ್ಥ ನಾವು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

ನಂತರ n p L a → → = 3 · b → ವೆಕ್ಟರ್ a → ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ b → = (- 2 , 1 , 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ L ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ , ಅಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ 3. ನಾವು n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . ಉತ್ತರ: (- 6, 3, 6).

ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

Pr a b = |b|cos(a,b) ಅಥವಾ

ಅಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, |a| - ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ a.

ಸೂಚನೆಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್ Pr a b ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು a ಮತ್ತು b. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು Word ಫೈಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವಿಧಗಳು

ಅಕ್ಷದ (ವೆಕ್ಟರ್) ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ AB ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ A"B" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪ್ರಾರಂಭವು A' ಅಕ್ಷದ (ವೆಕ್ಟರ್) ಮೇಲೆ ಪ್ರಾರಂಭದ A ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು B' ಅಂತ್ಯವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ.
ವೆಕ್ಟರ್ AB ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷದ (ವೆಕ್ಟರ್) ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ A"B" ನ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು + ಅಥವಾ - ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ A"B" ಅಕ್ಷದಂತೆಯೇ ಅದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ( ವೆಕ್ಟರ್).

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವಿಧಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ (ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AC" =AB" +B"C"

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವಿಧಗಳು

OX ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.
OY ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.
ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

OX ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ	OY ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ	ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್
ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ದಿಕ್ಕು OX ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ದಿಕ್ಕು OY ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ದಿಕ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ NM ನ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕು OX ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ದಿಕ್ಕು OY ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ದಿಕ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ NM ನ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್ AB OX ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ AB ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ AB OY ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ AB ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ವೆಕ್ಟರ್ AB ವೆಕ್ಟರ್ NM ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A'B' ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ AB ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್ AB ಆಕ್ಸಿಸ್ OX ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ A'B' ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್).	ವೆಕ್ಟರ್ AB OY ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ A'B' ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್).	ವೆಕ್ಟರ್ AB ವೆಕ್ಟರ್ NM ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ A'B' ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್).

1. ಪ್ರಶ್ನೆ: ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದೇ? ಉತ್ತರ: ಹೌದು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (OX ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು AB ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ)
2. ಪ್ರಶ್ನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದೇ? ಉತ್ತರ: ಹೌದು, ಅದು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಅದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು).
3. ಪ್ರಶ್ನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ? ಉತ್ತರ: ಹೌದು, ಅದು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ವೆಕ್ಟರ್) ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ವೆಕ್ಟರ್ (Fig. 1) OX ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ 60 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ a ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ). OE ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ |b|=4, ಆದ್ದರಿಂದ .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ( ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಬಿ) 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು OX ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೆಕ್ಟರ್ (ಚಿತ್ರ 2) ಕೋನ (a,b) = 120 o OX ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ (ವೆಕ್ಟರ್ a ನೊಂದಿಗೆ) ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದ್ದ |b| ವೆಕ್ಟರ್ b 4 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ pr a b=4·cos120 o = -2.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು 2 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು x ವೇಳೆ - ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಎ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಒಂದು x i- ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

ಸೂಚಿಸೋಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆಯೇ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎನಾವು ಸೂಚಿಸುವ X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎ X ( ಕೊಬ್ಬುವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ಅಥವಾ (ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ದಪ್ಪವಲ್ಲದ ಅಕ್ಷರ, ಆದರೆ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ (!) ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್).

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ (ಆಯ್ದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ - ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ, ದಪ್ಪವಲ್ಲದ ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ) ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ (ನಿಯಮದಂತೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ ಎ,ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವಾಗ, ಅಕ್ಷವು Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು y ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವೆಕ್ಟರ್ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಅಕ್ಷ), ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ
a x = x k - x n.
ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.ಇದಲ್ಲದೆ, x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು x k ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ x n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದು ಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆಕೃತಿಯಿಂದ x = a Cos α ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶನ. ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ
Cos α > 0 ಮತ್ತು a x > 0, ಮತ್ತು, ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಸೈನ್ ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, Cos α = Cos (− α), ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದು.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು- ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ[- ಪರಿಮಿತ-ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ವಾಹಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, S.p.v. ಎ = (ಎ 1 , ..., ಒಂದು ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ = (ಬಿ 1 , ..., ಬಿ ಎನ್):

(ಎ , ಬಿ ) = ಎ 1 ಬಿ 1 + ಎ 2 ಬಿ 2 + ... + ಎ ಎನ್ ಬಿ ಎನ್