ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

ಕಾರ್ಯ f(x)=ax2+bx2+c, ಎಲ್ಲಿ a, b, c- ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ( ಎ 0), ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ b2-4acಎಂದು ಕರೆದರು ತಾರತಮ್ಯಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿ. ರೂಪದಲ್ಲಿ (1) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಚೌಕ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಬಿ 0 ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ. ನಲ್ಲಿ ಬಿ=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ - ಸಹ.

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

x=-b/(2a). ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ>0, ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ x=-b/(2a)ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಲ್ಲಿ X<-b/(2a) ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ x>-b/(2a)ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ<0, то в точке x=-b/(2a)ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಲ್ಲಿ X<-b/(2a) ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ x>-b/(2a)ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ x=-b/(2a)ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ y= -((b2-4ac)/4a)ಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗ.

ಕಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆ ಪ್ರದೇಶ: ಯಾವಾಗ ಎ>0 - ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ [-((b2-4ac)/4a); +); ನಲ್ಲಿ ಎ<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ 0yಹಂತದಲ್ಲಿ y=c. ಒಂದು ವೇಳೆ b2-4ac>0, ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ 0xಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು); ಒಂದು ವೇಳೆ b2-4ac=0 (ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗುಣಾಕಾರ 2 ರ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ 0xಹಂತದಲ್ಲಿ x=-b/(2a); ಒಂದು ವೇಳೆ b2-4ac<0 , ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕಗಳು 0xಸಂ.

ರೂಪದಲ್ಲಿ (1) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. x=-b/(2a)- ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಚಿತ್ರ r=(-b/(2a); 0).

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್

f(x)=ax2+bx+c

• (ಅಥವಾ f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a))ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು f(x)=x2 ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ:
  • ಎ) ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ r=(-b/(2a); 0);
  • ಬಿ) x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಕೋಚನ (ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು) ಸಿ ಎಒಮ್ಮೆ;
  • ಸಿ) ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(x)=ax, ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಆಧಾರ.ನಲ್ಲಿ a=1ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣ ಎ=1 ಅನ್ನು ಮುಂದೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

(ಎ x) = ಎ xln ಎ

ನಲ್ಲಿ ಎ>1 ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಎ<1 монотонно убывает.

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ 0yಹಂತದಲ್ಲಿ ವೈ=1.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕಾನ್ವೇವ್ ಆಗಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎ=2 ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 5

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ y= ಎ x ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ

y=ಲೋಗಾ x.

ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಆಧಾರದಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ. ಬೇಸ್ 10 ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (0; +).

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

(ಲೋಗಾ x) = 1/(x ln a).

ಒಂದು ವೇಳೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎ>1. 0 ನಲ್ಲಿ<ಎ<1 логарифмическая функция с основанием ಎಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಎ>0, ಎ 1, ಸಮಾನತೆಯ ಹಿಡಿತ

ಲೋಗಾ 1 = 0, ಲೋಗಾ = 1.

ನಲ್ಲಿ ಎಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ > 1 ಗ್ರಾಫ್ - ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ; 0 ನಲ್ಲಿ<ಎ<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

ನಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎ=2 ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 6.

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ y= ಗಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಎ x ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ x =log ಎವೈ. ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ f ಮತ್ತು f-I ಎಲ್ಲರಿಗೂ X f-I(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ (1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಎಲಾಗ್ ಎ y=y.

ಸಮಾನತೆ (2) ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ x, yಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜವಾಗಿದ್ದು, ಮುಖ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು (2) ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಲೋಗ (xy)=ಲೋಗ x+ಲೋಗ y;

ಲೋಗಾ (x/y)= ಲೋಗಾ x-ಲೋಗಾ y;

loga(x)= logax(- ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ);

ಲೋಗಾ=1;

ಲೋಗಾ x =(logb x/ logb a) (ಬಿ- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, b>0, ಬಿ 1).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ a=e, b=10 ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ln x = (1/(ln ಇ)) ಎಲ್ಜಿ X.(3)

ಎಲ್ಜಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು M ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

lg x = M ln x.

ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದ ಸಂಬಂಧ

ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆವೇರಿಯಬಲ್ X, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ y = k/x, ಎಲ್ಲಿ ಕೆ- ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

y = k/x ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ f(x) = k/x- ಬೆಸ, ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ f(x) = k/xವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. f(x) = -k/x2.ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ f(x) = k/x k>0 ಗೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ (-, 0) ಮತ್ತು (0, +), ಮತ್ತು k ಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್ f(x) = k/x k>0 ಗಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, +) ಇದು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-, 0) - ಕಾನ್ವೇವ್ ಆಗಿ ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕೆ ನಲ್ಲಿ<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್ f(x) = k/xಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕೆ=1 ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 7.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳು sin, cos, tg, ctgಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ. ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ sin, cos, tg, ctg ಜೊತೆಗೆ, ಕೋನದ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ - ಸೆಕೆಂಟ್ಮತ್ತು ಕೋಸೆಕಂಟ್, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಸೆಕೆಂಡ್ಮತ್ತು ಕೋಸೆಕ್ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಸೈನಸ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Xರೇಡಿಯನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು sin x.

ಸಿನ್ x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ: sin (-x)=- sin x.

ಸಿನ್ x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ 2:

ಪಾಪ (x+2)= ಪಾಪ x.

ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು: ಸಿನ್ x=0 ನಲ್ಲಿ x= ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

sin x>0 ನಲ್ಲಿ x (2 ಎನ್; +2ಎನ್), ಎನ್ Z,

ಪಾಪ x<0 при x (+2ಎನ್; 2+2ಎನ್), ಎನ್ Z.

ಸಿನ್ x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(ಸಿನ್ x) = cos x.

sin x ಕಾರ್ಯವು x (-/2)+2 ನಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ n;(/2)+2ಎನ್), ಎನ್ Z, ಮತ್ತು x (/2)+2 ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್; ((3)/2)+ 2ಎನ್),ಎನ್ Z.

sin x ಕಾರ್ಯವು x=(-/2)+2 ನಲ್ಲಿ -1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು x=(/2)+2 ನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z.

y=sin x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 8. ಸಿನ್ x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್.

cos x ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ [-1; 1].

ಫಂಕ್ಷನ್ cos x - ಸಹ: cos (-x)=cos x.

cos x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ 2:

cos (x+2)= cos x.

ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು: cos x=0 ನಲ್ಲಿ x=(/2)+2 ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

cos x>0 ನಲ್ಲಿ x ((-/2)+2 n;(/2)+2ಎನ್)), ಎನ್ Z,

cos x<0 при x ((/2)+2ಎನ್); ((3)/2)+ 2ಎನ್)), ಎನ್ Z.

cos x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(cos x) = -sin x.

cos x ಕಾರ್ಯವು x ನಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (-+2 n; 2ಎನ್), ಎನ್ Z,

ಮತ್ತು x ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (2 ಎನ್; + 2ಎನ್),ಎನ್ Z.

cos x ಕಾರ್ಯವು x=+2 ನಲ್ಲಿ -1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು x=2 ನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z.

y=cos x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 9.

tg x ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ x=/2+ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಫಂಕ್ಷನ್ tg x - ಬೆಸ: tg (-x)=- tg x.

tg x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ:

tg (x+)= tg x.

ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು: tg x=0 ನಲ್ಲಿ x= ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

ತನ್ x>0 ನಲ್ಲಿ x ( ಎನ್; (/2)+ಎನ್), ಎನ್ Z,

ಟಿಜಿ ಎಕ್ಸ್<0 при x ((-/2)+ಎನ್; ಎನ್), ಎನ್ Z.

tg x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ:

(tg x) =1/cos2 x.

ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ tg x ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

y=tg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 10. tg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು сtg x.

ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಶ್ರೇಣಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ сtg x - ಬೆಸ: сtg (-х)=- сtg x.

сtg x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ:

ctg (x+) = ctg x.

ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು: x=(/2)+ ನಲ್ಲಿ ctg x=0 ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

cot x>0 ನಲ್ಲಿ x ( ಎನ್; (/2)+ಎನ್), ಎನ್ Z,

ctg x<0 при x ((/2)+ಎನ್; (ಎನ್+1)), ಎನ್ Z.

ctg x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

ctg x ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ( n;(ಎನ್+1)), ಎನ್ Z.

y=сtg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹನ್ನೊಂದು.

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೆಕೆ x.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ

x=(/2)+ ಎನ್, ಎನ್ Z.

ವ್ಯಾಪ್ತಿ:

ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೆಕೆಂಡ್ x - ಸಹ: ಸೆಕೆಂಡ್ (-x)= ಸೆಕೆಂಡ್ x.

ಸೆಕೆ x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ 2:

ಸೆಕೆಂಡು (x+2)= ಸೆಕೆಂಡ್ x.

ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೆಕೆ x ಕಾರ್ಯವು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

ಸೆಕೆಂಡ್ x>0 ನಲ್ಲಿ x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

ಸೆಕೆಂಡ್ x<0 при x ((/2)+2ಎನ್; (3/2)+2ಎನ್), ಎನ್ Z.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೆಕೆ x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(sec x) = sin x/cos2 x.

sec x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

(2n;(/2)+ 2ಎನ್), ((/2)+ 2ಎನ್; + 2ಎನ್],ಎನ್ Z,

ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

[+ 2ಎನ್; (3/2)+ 2ಎನ್), ((3/2)+ 2ಎನ್; 2(ಎನ್+1)], ಎನ್ Z.

y=sec x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 12.

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು cosec x

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ x= ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎನ್, ಎನ್ Z.

ವ್ಯಾಪ್ತಿ:

ಫಂಕ್ಷನ್ cosec x - ಬೆಸ: cosec (-x)= -cosec x.

cosec x ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ 2:

cosec (x+2)= cosec x.

ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ cosec x ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

cosec x>0 ನಲ್ಲಿ x (2 ಎನ್; +2ಎನ್), ಎನ್ Z,

ಕೋಸೆಕ್ x<0 при x (+2ಎನ್; 2(ಎನ್+1)), ಎನ್ Z.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ cosec x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

ಕೋಸೆಕ್ x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

[(/2)+ 2n;+ 2ಎನ್), (+ 2ಎನ್; (3/2)+ 2ಎನ್],ಎನ್ Z,

ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

(2ಎನ್; (/2)+ 2ಎನ್], ((3/2)+ 2ಎನ್; 2+2ಎನ್), ಎನ್ Z.

y=cosec x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 13.

y =a*x^2+b*x+c ರೂಪದ ಕಾರ್ಯ, ಇಲ್ಲಿ a,b,c ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು a ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮತ್ತು x,y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ y =a*x^2+b*x+c ಎಂಬುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಸಾಲು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು a>0 ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಅದರ ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ x=(-b)/(2*a) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಹ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕ a ದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. a>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಶೃಂಗವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ. a, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋದಾಗ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ R.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y =a*x^2+b*x+c ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ y=a*(x+k)^2+p ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದುವು (-k;p) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು y=a*(x+k)^2+p ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು y=a*x^2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಬೇಕೇ?