ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ನಿಯಮಿತ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳು. ಅದರ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ

ತನ್ನದೇ ಆದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊಸ ಪದಗಳ ಪರಿಚಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡು ಬಣವೆಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿಂತಿರುವ ಕತ್ತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ರೈ ಸ್ಟ್ರಾ ಮತ್ತು ಗೋಧಿ ಹುಲ್ಲು (ಚಿತ್ರ 10.5).

ಕತ್ತೆ ಎರಡು ಬಣವೆಗಳ ನಡುವೆ ನಿಂತಿದೆ: "ರೈ" ಮತ್ತು "ಗೋಧಿ" (ಚಿತ್ರ 10.5). ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷವೂ ಅವನು ಮೊದಲ ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಯ ಕಡೆಗೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಯ ಕಡೆಗೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಹತ್ತು ಮೀಟರ್ ಚಲಿಸುತ್ತಾನೆ ಅಥವಾ ಅವನು ನಿಂತಿರುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತಾನೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ); ಈ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ.ಕತ್ತೆ ಒಂದು ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಗಳು "ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ" ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಗಳು ಮತ್ತು ಕತ್ತೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಹಲವಾರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಅವನು ಯಾವ ಹುಲ್ಲಿನ ಬಣವೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಅವನು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಅಕ್ಕಿ. 10.5

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು, ಆಘಾತಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಐವತ್ತು ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕತ್ತೆ "ಗೋಧಿ" ಆಘಾತದಿಂದ ಇಪ್ಪತ್ತು ಮೀಟರ್ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ನೀವು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ (- ಆಘಾತಗಳು ಸ್ವತಃ), ನಂತರ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು th ಘಟಕವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ನಂತರ ಅದರ ಸ್ಥಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ - ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮಿಷಗಳ ಅಂಗೀಕಾರದ ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಅವನು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದು ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಇದು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ಮತ್ತು -ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಎಲ್ಲದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸಾಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್, ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ನಂತರ ಕತ್ತೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ - ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ -ನೇ ಘಟಕವು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ ಕತ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಕರೆ ಮಾಡೋಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ಒಂದು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಸರಪಳಿ) ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ - ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಇದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು - ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಆರಂಭಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ನಂತರ ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು (ಫೆಲ್ಲರ್ ವಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂಪುಟ. 1. ಎಂ.: ಮಿರ್. 1967) ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಪಳಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಿಸೋಣ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಅವರ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳು.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯವೇ, ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕತ್ತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೂರು ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಗಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ. ನಂತರ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಡಿಗ್ರಾಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಭರವಸೆ ಇದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಆರ್ಕ್ಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ).

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಚೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ . ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ, ಕ್ಷಣಗಳು ಟಿ 1, ಟಿ 2ಯಾವಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸತತ ಹಂತಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ವಾದವು ಸಮಯವಲ್ಲ ಟಿ, ಮತ್ತು ಹಂತ ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2, ಕೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ರಾಜ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ S(0), S(1), S(2), ಎಸ್(ಕೆ), ಎಲ್ಲಿ S(0)- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ (ಮೊದಲ ಹಂತದ ಮೊದಲು); S(1)- ಮೊದಲ ಹಂತದ ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿ; ಎಸ್(ಕೆ)- ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಕೆನೇ ಹೆಜ್ಜೆ...

ಈವೆಂಟ್ ( S(k) = Si), ತಕ್ಷಣವೇ ನಂತರ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಕೆಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿದೆ ಎಸ್ ಐ (i= 1, 2,), ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ರಾಜ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ S(0), S(1), ಎಸ್(ಕೆ), ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಘಟನೆಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿ , ಪ್ರತಿ ಹಂತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿ S i ಯಿಂದ ಯಾವುದೇ S j ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಿಸ್ಟಂ S i ಗೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಬಂದಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ S(0)ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಿ ಐ (ಕೆ)ನಂತರ ಏನು ಬರುತ್ತದೆ ಕೆನೇ ಹಂತ (ಮತ್ತು ವರೆಗೆ ಕೆ+ 1) ನೇ) ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ ಐ (i = 1, 2, ಎನ್) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಕೆ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

P 1 (0), P 2 (0), P i (0), P n (0).

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎಸ್ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ S(0) = Si, ನಂತರ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ Р i (0)= 1, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ) ಗೆ ಕೆ- ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಹಂತ ಎಸ್ ಐಒಂದು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಜೆಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ನಂತರ ಕೆನೇ ಹಂತವು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ ಜೆಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೊದಲು (ನಂತರ) ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೆ- 1 ಹೆಜ್ಜೆ) ಅವಳು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದಳು ಎಸ್ ಐ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದರಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎನ್ರಾಜ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣಕ್ಕೂ ಟಿಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಎನ್ 2ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪಿ ಐಜೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ Р ij- ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಸ್ ಐಒಂದು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಜೆ;

ಪಿ ii- ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಳಂಬದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಸ್ ಐ.

ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಹಂತದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಸಮಯಕ್ಕೆ) ಅವಲಂಬಿಸಿರದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಯಾವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ .

ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Р ijಗಾತ್ರದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಎನ್ ಎಂ.

ಅದರ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ:

1. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಸಿಸ್ಟಂನ ಆಯ್ದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಆಯ್ದ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (ಇಂದ i th) ರಾಜ್ಯ, ತನ್ನೊಳಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೇರಿದಂತೆ.

2. ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಅಂಶಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತಕ್ಕೆ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ ( ಜ-f) ಸ್ಥಿತಿ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಲು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾಲಮ್ - ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ).

3. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ:

4. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿವೆ ಪಿ iiವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಎಸ್ ಐ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪಿ ಐ (ಕೆ) (ನಾನು, ಜೆ= 1, 2, ಎನ್) ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಒಂದು ಕಾರು. ಒಂದು ಶಿಫ್ಟ್ (ದಿನ) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರು (ಸಿಸ್ಟಮ್) ಎರಡು ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಲಿ: ಸೇವೆಯ ( ಎಸ್ 1) ಮತ್ತು ದೋಷಯುಕ್ತ ( ಎಸ್ 2) ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 3.2.

ಅಕ್ಕಿ. 3.2.ವಾಹನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಗ್ರಾಫ್

ವಾಹನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಾಮೂಹಿಕ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಪಿ 11= 0.8 - ಕಾರು ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ;

ಪಿ 12= 0.2 - "ಉತ್ತಮ" ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ "ದೋಷಯುಕ್ತ" ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾರ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ;

ಪಿ 21= 0.9 - "ದೋಷಯುಕ್ತ" ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ "ಉತ್ತಮ" ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾರ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ;

ಪಿ 22= 0.1 - ಕಾರು "ದೋಷಯುಕ್ತ" ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಕಾರ್ ರಾಜ್ಯಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. P 1 (0)= 0 ಮತ್ತು R 2 (0)=1.

ಮೂರು ದಿನಗಳ ನಂತರ ಕಾರಿನ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3.1) ಬಳಸಿ, ನಾವು ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಪಿ ಐ (ಕೆ)ಮೊದಲ ಹಂತದ ನಂತರ (ಮೊದಲ ದಿನದ ನಂತರ):

P 1 (1) = P 1 (0)×P 11 + P 2 (0)×P 21 = 0?0,8 + 1?0,9 = 0,9;

P 2 (1) = P 1 (0)×P 12 + P 2 (0)×P 22 = 0?0,2 + 1?0,1 = 0,2.

ಎರಡನೇ ಹಂತದ ನಂತರ (ಎರಡನೇ ದಿನದ ನಂತರ) ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

P 1 (2) = P 1 (1)×P 11 + P 2 (1)×P 21= 0.9×0.8 + 0.1×0.9 = 0.81;

= 0.9×0.2 + 0.1×0.1 = 0.19.

ಮೂರನೇ ಹಂತದ ನಂತರ (ಮೂರನೇ ದಿನದ ನಂತರ) ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P 1 (3) = P 1 (2)×P 11 + P 2 (2)×P 21= 0.81×0.8 + 0.19×0.9 = 0.819;

= 0.81×0.2 + 0.19×0.1 = 0.181.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರನೇ ದಿನದ ನಂತರ ಕಾರು 0.819 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0.181 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ "ದೋಷಯುಕ್ತ" ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಸ್, ಇದು ತಪಾಸಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು: ಎಸ್ 1- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ; ಎಸ್ 2- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ RAM ನಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು; ಎಸ್ 3- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು; ಎಸ್ 4- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಮಯದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ರಾಜ್ಯ ಎಸ್ 1) ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ನಿಗದಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ 1, ಟಿ 2, ಟಿ 3. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಸ್, ಏಕರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿಮೂರು ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಪಾಸಣೆ). ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಮೂರು ತಪಾಸಣೆಗಳ ನಂತರ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ರಾಜ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 3.3 ಪ್ರತಿ ಬಾಣದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ರಾಜ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು P 1 (0) = 1, P2(0) = P 3 (0) = P 4 (0) = 0.

ಅಕ್ಕಿ. 3.3 ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (3.1), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ನೇರ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

P 1 (1) = P 1 (0)×P 11= 1×0.3 = 0.3;

P 2 (1) = P 1 (0)×P 12= 1×0.4 = 0.4;

P 3 (1) = P 1 (0)×P 13= 1×0.1 = 0.1;

P 4 (1) = P 1 (0)×P 14= 1×0.2 = 0.2;

P 1 (2) = P 1 (1)×P 11= 0.3×0.3 = 0.09;

P 2 (2) = P 1 (1)×P 12 + P 2 (1)×P 22= 0.3×0.4 + 0.4×0.2 = 0.20;

P 3 (2) = P 1 (1)×P 13 + P 2 (1)×P 23 + P 3 (1)×P 33 = 0,27;

P 4 (2) = P 1 (1)×P 14 + P 2 (1)×P 24 + P 3 (1)×P 34 + P 4 (1)×P 44 = 0,44;

P 1 (3) = P 1 (2)×P 11= 0.09×0.3 = 0.027;

P 2 (3) = P 1 (2)×P 12 + P 2 (2)×P 22= 0.09×0.4 + 0.20×0.2 = 0.076;

P 3 (3) = P 1 (2)×P 13 + P 2 (2)×P 23 + P 3 (2)×P 33 = 0,217;

P 4 (3) = P 1 (2)×P 14 + P 2 (2)×P 24 + P 3 (2)×P 34 + P 4 (2)×P 44 = 0,680.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ತಪಾಸಣೆಗಳ ನಂತರ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: P 1 (3) = 0,027; P 2 (3) = 0,076; P 3 (3) = 0,217; ಪಿ 4 (3) = 0,680.

ಕಾರ್ಯ 1.ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಯನ್ನು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ t 1, t 2, t 3, t 4.

ಸಂಭಾವ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಎಸ್ 1- ಗುರಿ ಹಾನಿಗೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಎಸ್ 2- ಗುರಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹಾನಿಯಾಗಿದೆ; ಎಸ್ 3- ಗುರಿಯು ಗಮನಾರ್ಹ ಹಾನಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿತು; ಎಸ್ 4- ಗುರಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಡೆದಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಗುರಿಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಸ್ 1. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾಲ್ಕು ಹೊಡೆತಗಳ ನಂತರ ಗುರಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳು

ಪರಿಚಯ

§ 1. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ

§ 2. ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು. ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

§3. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸಮಾನತೆ

§4. ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆ. ಮಿತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯ

§5. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ

§6. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು

ತೀರ್ಮಾನ

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ

ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ಥೀಮ್ ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ ರಷ್ಯಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಂಡ್ರೇ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು: ಆಧುನಿಕ ವೆಬ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳು, ಸಾಹಿತ್ಯ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ತಂಡಕ್ಕೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳು ಏನೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರಿಗೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ವಿಷಯ ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಇರಬಹುದು.

ಇಲ್ಲ, ಇದು ಕೇವಲ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಅದರ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗಲೂ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನ ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಕೆಲವು ಸಹಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ನಿರೂಪಣೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ನನ್ನ ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸದ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

§1. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿ

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ನೆಯ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ , ನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ , ಹಿಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ನಾಲ್ಕು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆರನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಏಳನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯದು, ..., ಐದನೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಘಟನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಹಿಂದೆ ನಡೆಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವಾಗ, ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿದೆ: , ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಂದ ಗೆ). ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬಹುದು (ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ "ಸರಿಸುವುದು").

ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಘಾತಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕಣವು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು: ; ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗೋಡೆಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಕಣವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಕಣವು ಗೋಡೆಯ ಬಳಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಕಣವು ಗೋಡೆಯ ಬಳಿ ಇದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ತಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಗೋಡೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕಣದ ನಡಿಗೆಯ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಹೊಸ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ ಒಂದು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಗದಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯು ಸರಪಳಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

§2. ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು. ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ) ಪ್ರಯೋಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯುವ ಬದಲು .

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವಸ್ತುವಿನ ಕಣವಿರಲಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಣವು ಆಘಾತಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ತಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕಣವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಘಟಕ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆಘಾತದ ನಂತರ ಕಣದ ಸ್ಥಾನ (ಸಮನ್ವಯ) ತಕ್ಷಣವೇ ಹಿಂದಿನ ಆಘಾತದ ನಂತರ ಕಣವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಿಂದಿನ ಆಘಾತಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಹೇಗೆ ಚಲಿಸಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮುಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ (ಕೆಲವು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ) ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪದನಾಮದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ನಂತರದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ:

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು (ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ) ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮೂರು ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ; ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ; ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.2 ರೊಂದಿಗೆ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರ ಅದು ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ 0.1 ರ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ನೀಡಿರುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ನಂತರ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 4 ಸಂಭವನೀಯ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಮೊದಲು ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು), ತದನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

§3. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸಮಾನತೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಹಂತಗಳ (ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಐದನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ 10 ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ನಾವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ

ನಮಗೆ ನಾವೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ: ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ಮತ್ತು ನಡುವೆ) ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಉಳಿದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (1)

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣೆ.ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

- ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಈವೆಂಟ್ (ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ, ; − ಊಹೆಗಳು (ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ, - ಸಂಭವಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಊಹೆಯು ನಡೆದಿದ್ದರೆ (ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ,

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ,

()

ಅಥವಾ ನಾವು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ

ಇದು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಅವರ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ (1) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅಂದರೆ, ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ನೀವು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ವತಃ; ತಿಳಿದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಾಕುವುದು

ಅಂಕಗಳ ಸರಣಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ

(2)

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (2) ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ವತಃ. ಸೂತ್ರದ (2) ನೇರ ಬಳಕೆಯು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗುರಿಯತ್ತ ವೇಗವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ನಾನು (2) ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

(1) ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಯಾವುದೇ ಗಳಿಗೆ, ಟಿ

(3)

ಪುರಾವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (), ಹಾಕುವುದು

ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ (4) ಮತ್ತು

ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ (3) ರೂಪವಿದೆ

ಅಂದಿನಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. (5) ರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

(6)

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸೂತ್ರವನ್ನು (6) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

§4. ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆ. ಮಿತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯ

ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

(7)

ಇದು ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿರುಗಬಹುದು. ಕರೆ ಮಾಡೋಣ ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆವೆಕ್ಟರ್ , ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು (7) ಮತ್ತು (8) ನಿಂದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಕೆಲವು >0 ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದಾದರೂ , ಫಾರ್

, (9)

ಎಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆ 0< ಗಂ <1.

ರಿಂದ , ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (9) ಮತ್ತು (7) ರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ,

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ಮಿತಿಗಳು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ

ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ತೃಪ್ತಿಕರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು (8):

;

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಯೋಜನೆಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಆವರ್ತನವು ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (9), ನಾವು ಯಾವಾಗ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಬಳಸಬೇಕು. ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

(10)

ಎಲ್ಲಿ, ವೇಳೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಏಕೆಂದರೆ

ನಂತರ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ (9) ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಟ್ರಿಪಲ್ ಪದವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಹಾಕುವುದು , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

ಸೂತ್ರದಿಂದ (11), ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ನಲ್ಲಿ

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು.

§5. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ

ನಾವು ಮೊದಲು ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹಾಕೋಣ

ಲೆಮ್ಮಾ 1. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಮಿತಿಗಳಿವೆ

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ (3) ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಇದು ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಲೆಮ್ಮಾ 2. ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ

ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ

ಅಲ್ಲಿ , ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲದರ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ . ಇಲ್ಲಿಂದ

. (12)

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು , ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ

ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಾಜ್ಯಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ

ಈಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ . , ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3) ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇಲ್ಲಿಂದ, (8)-(10) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ (14), ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಗಿ. ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

0<. (15)

ಇದರಿಂದ ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾ 1 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಪಡೆದಾಗ ಮತ್ತು

ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (15). (3) ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (12) ಪೂರೈಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

§6. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಪರಿಚಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸರಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು - ಸ್ವತಂತ್ರ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಆಳವಾಗಿಸಲು ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು, ಇದು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ಆಕ್ಚುರಿಯಲ್ (ವಿಮೆ) ಗಣಿತ, ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ, ಜೆನೆಟಿಕ್ಸ್, ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ದಾಸ್ತಾನು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.

ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ . ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ, ಪ್ರಮುಖ ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅವುಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಾಗ, ಭವಿಷ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮಾತ್ರ, ಆದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಭೂತಕಾಲದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಜೊತೆಗೆ, ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪರಮಾಣು ವಿದಳನದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ತಳಿಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಸ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಷ್ಟೀಕರಿಸಿದೆ.

ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು . ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯದಾದ ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಸಮಯದ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಊಹೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು, ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಗ್ರ ಸರಾಸರಿಯು ಸಮಯದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರತಿಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ (ಮತ್ತು ತತ್ಕ್ಷಣದ) ವೀಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಅದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಬಿರ್‌ಕಾಫ್‌ನ ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಸ್ಥಾಯಿ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯ, ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಶೋಧನಾ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂವಹನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಶಬ್ದ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ರವಾನಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (ನಂತರದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು) ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ (ಕ್ಯೂಎಸ್) ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಲ್ಲಿ.

ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಚೈನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಂತೆ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಒಂದು ಪದದ ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು ಪದದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಈ ಸರಪಳಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟಿಕೆ ಬಹಳ ಮನರಂಜನೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ!

ತೀರ್ಮಾನ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಯಾವ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವು, ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿತು, ಹಾಗೆಯೇ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ ವಿನ್ಯಾಸವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿನ್ಯಾಸದ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ

1. ಚಿಸ್ಟ್ಯಾಕೋವ್ ವಿ.ಪಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೋರ್ಸ್. 6 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್: ಲ್ಯಾನ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್, 2003. − 272 ಪು. - (ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯ).

2. ಗ್ನೆಡೆಂಕೊ ಬಿ.ವಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೋರ್ಸ್.

3. ಗ್ಮುರ್ಮನ್ ವಿ.ಇ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

4. ವೆಂಟ್ಜೆಲ್ ಇ.ಎಸ್. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಗಳು.

5. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಜುರ್ಬೆಂಕೊ ಐ.ಜಿ., ಪ್ರೊಖೋರೊವ್ ಎ.ವಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ. − ಮಾಸ್ಕೋ-ಇಝೆವ್ಸ್ಕ್: ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ರಿಸರ್ಚ್, 2003, 188 ಪುಟಗಳು.

6. Katz M. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

(ಆಂಡ್ರೇ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ (1856-1922) - ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಈ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬಂದಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕೆಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು ಐಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಿಂದ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಿಜಿ(ಎಸ್) ಏನಿದೆ ಎಸ್-ನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ ಈವೆಂಟ್ ಬರಲಿದೆ Ajಅದನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಎಸ್ – 1 ) - ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಐ, ಹಿಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರಾಜ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು - ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು.

ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ಇದನ್ನು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿಇದನ್ನು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಏಕರೂಪದಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಿಜಿರಾಜ್ಯದಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ I ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಜೆಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಿಜಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಕೆ.

ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಒಬ್ಬರು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್, ಇದನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿದ ರಾಜ್ಯ ಗ್ರಾಫ್. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.ನೀಡಿರುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 4 ಸಂಭವನೀಯ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಪಿಜಿ(ಎನ್) - ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಹೋಗುತ್ತದೆ Iಒಂದು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಜೆ, ಆರ್ - ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿ I ಮತ್ತು ಜೆ. ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪಿಜಿ(1) = ಪಿಜಿ.

ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಿಜಿ(ಎನ್) ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸಮಾನತೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಟಿ- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾದ ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಪ್ರಯೋಗಗಳು). I ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಆರ್.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಅವರ ಸಮಾನತೆಯು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಅಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು P1), ನಾವು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಪಿಜಿ(2) , ಅಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ P2, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ P3, ಇತ್ಯಾದಿ

ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರದ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ).

ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಅದನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ P1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ P3.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್. ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದ್ದರೆ ಪಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು Rpಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯಮಿತ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಯಮಿತ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು ಪಯಾವುದೇ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಹೆಜ್ಜೆಗಳು. ಅಂತಹ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯಮಿತ.

ಪ್ರಮೇಯ. (ಮಿತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯ) n ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಿತ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು P ಅದರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ P(¥ ) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಇದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಸಮಯದ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ t 0, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (t> t 0 ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಸ್ತುತ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ನಲ್ಲಿ t = t 0) ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಬಂದಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು).

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರಾಜ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ P k (t) ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ವ್ಯವಸ್ಥೆ) S k ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ (ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿ- ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್.

ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದಾಗ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳು ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಸರಪಳಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳು (ಸಿಸ್ಟಮ್) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ರಾಜ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳವರೆಗೆ ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಭಾವಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ P=||P ij || ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ವಿಶೇಷತೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

ಎಸ್ 1 - ಹೊಸಬರು;

ಎಸ್ 2 - ಎರಡನೆಯದು…;

ಎಸ್ 5 - 5 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ;

ಎಸ್ 6 - ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಿಂದ ಪದವಿ ಪಡೆದ ತಜ್ಞ;

ಎಸ್ 7 - ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವ್ಯಕ್ತಿ, ಆದರೆ ಪದವಿ ಪಡೆದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ವರ್ಷದೊಳಗೆ ರಾಜ್ಯ S 1 ರಿಂದ, ರಾಜ್ಯ S 2 ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ r 1 ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯ; S 1 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ q 1 ಮತ್ತು S 7 ಸಂಭವನೀಯತೆ p 1, ಮತ್ತು:

r 1 + q 1 +p 1 =1.

ಈ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಾಗಿ ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಗುರುತಿಸೋಣ.

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾತೃಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ;

ಅವರ ಸಾಲಿನ ಮೊತ್ತಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಪಥದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯುಳ್ಳವರು:

ಮೀ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು;

m→∞ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆ;

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಳೆದ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ;

ಈ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳಲು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ.

n ರಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ, ರಾಜ್ಯ S i ನಿಂದ ರಾಜ್ಯ S j ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು m ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ ರಾಜ್ಯ Si ನಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿ Sk ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬೇಕು. ಉಳಿದ m-l ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ Sk ನಿಂದ Sj ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸಂಬಂಧವು ಎಲ್ಲಾ i=1, ..., n; j=1, …,n ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

P(m)=P(l)*P(m-l).

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

P(2)=P(1)*P(1)=P 2

P(3)=P(2)*P(1)=P(1)*P(2)=P 3, ಇತ್ಯಾದಿ.

P(m)=P(m-1)*P(1)=P(1)*P(M-1)=P m,

ಯಾವುದೇ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ P ij (m) - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ P (m) ನ ಒಂದು ಅಂಶವು ರಾಜ್ಯ S ನಿಂದ ಚಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ನಾನು S j ಅನ್ನು m ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಹವಾಮಾನವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯವರೆಗೆ ಮಳೆ ಮತ್ತು ಶುಷ್ಕ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಳೆಯಾದರೆ, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.7 ಮರುದಿನ ಮಳೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಂದು ಹವಾಮಾನವು ಶುಷ್ಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 0.6 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದು ಮರುದಿನ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಬುಧವಾರ ಮಳೆಯ ವಾತಾವರಣವಿತ್ತು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಶುಕ್ರವಾರ ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಎಲ್ಲಾ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ಡಿ - ಮಳೆಯ ಹವಾಮಾನ, ಸಿ - ಶುಷ್ಕ ಹವಾಮಾನ.

ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ: ಪು 11 = ಪು (ಡಿ ಹೀಲ್ | ಡಿ ಸರಾಸರಿ) = 0.61.

m→∞ ಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಗಳು р 1 (m), р 2 (m),…, р n (m) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು: ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು + ಪ್ರತಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ) ಪರಸ್ಪರ ಹೋಗಬಹುದಾದರೆ, ರಾಜ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. .

ಹೀಗಾಗಿ, m→∞ ಆಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾಯಿ ಆಡಳಿತವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರಾಜ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ p, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: p=p*P.

ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಳೆದ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ S i ಸಮಯಕ್ಕೆ T ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ p i *T, ಅಲ್ಲಿ p i - ರಾಜ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ S i . ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಮರಳಲು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ ಎಸ್ ಐ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅನೇಕ ಆರ್ಥಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ನದಿ ಹರಿವಿನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಷಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ (ಪರಿವರ್ತನೆ) ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳು) ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ (ಕಡಿಮೆ ಹರಿವು), ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಹರಿವು). ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ತೇವಾಂಶದ ಶೇಖರಣೆ (ನೆಲದಲ್ಲಿ, ಜಲಾಶಯ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಕಾರಣದಿಂದ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಇತರ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಅವಲೋಕನಗಳು ತೋರಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು:

ಎ) ಮೊದಲ ಹಂತದಿಂದ ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ.

ಪು 11 =0.2; ಪು 12 =0.4; ಪು 13 =0.4; ಪು 14 =0;

ಬಿ) ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದಿಂದ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಐದು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

ಕಠಿಣ, ಅಂದರೆ.

ನಾಲ್ಕನೇಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ.

ಪು 41 =0; ಪು 42 =0.4; ಪು 43 =0.5; ಪು 44 =0.1;

ಸಿ) ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಇತರ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಆಗಿರಬಹುದು: ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ, ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ 25%, ನಾಲ್ಕನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಿಂತ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ, ಅಂದರೆ.

p 21 =0.2;p 22 =0.4; ಪು 23 =0.3; ಪು 24 =0.1;

d) ಮೂರನೇ ಹಂತದಿಂದ, ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಮೂರನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಪು 31 =0.1; ಪು 32 =0.4; ಪು 33 =0.4; ಪು 34 =0.1;

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಬರಗಾಲ ಮತ್ತು ಅಧಿಕ ನೀರಿನ ವರ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮಿತಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ P2 ಶೂನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು).

ಅಲ್ಲಿ p 4 =0.08; ಪು 3 =; ಪು 2 =; ಪು 1 =0.15

ರಾಜ್ಯ S i ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಆವರ್ತನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಶುಷ್ಕ ವರ್ಷಗಳ ಆವರ್ತನವು ಸರಾಸರಿ 6.85 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. 6-7 ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಮಳೆಯ ವರ್ಷಗಳು 12.