ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಉಪನ್ಯಾಸ 44. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. (ವಿಶೇಷ ಬಲಭಾಗ).
ಸಾಮಾಜಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ರಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್.
ಸಾಮಾಜಿಕ ರಾಜಕೀಯಬೋಲ್ಶೆವಿಕ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರ ವರ್ಗ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು.ನವೆಂಬರ್ 10, 1917 ರ ತೀರ್ಪಿನ ಮೂಲಕ, ವರ್ಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾಶವಾಯಿತು, ಪೂರ್ವ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳು, ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಶಸ್ತಿಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರ ಚುನಾವಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ; ನಾಗರಿಕ ರಾಜ್ಯಗಳ ಜಾತ್ಯತೀತೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಉಚಿತ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಆರೈಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು (ಅಕ್ಟೋಬರ್ 31, 1918 ರ ತೀರ್ಪು). ಮಹಿಳೆಯರಿಗೆ ಪುರುಷರೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು (ಡಿಸೆಂಬರ್ 16 ಮತ್ತು 18, 1917 ರ ತೀರ್ಪುಗಳು). ಮದುವೆಯ ಮೇಲಿನ ತೀರ್ಪು ನಾಗರಿಕ ವಿವಾಹದ ಸಂಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು.
ಜನವರಿ 20, 1918 ರ ಕೌನ್ಸಿಲ್ ಆಫ್ ಪೀಪಲ್ಸ್ ಕಮಿಷರ್ಸ್ನ ತೀರ್ಪಿನ ಮೂಲಕ, ಚರ್ಚ್ ಅನ್ನು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಶಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಮಾಸ್ಕೋದ ಕುಲಸಚಿವರು ಮತ್ತು ಆಲ್ ರುಸ್' ಟಿಖೋನ್ (ನವೆಂಬರ್ 5, 1917 ರಂದು ಚುನಾಯಿತರಾದರು) ಜನವರಿ 19, 1918 ರಂದು ಅನಾಥೆಮಟೈಸ್ ಮಾಡಿದರು ಸೋವಿಯತ್ ಶಕ್ತಿಮತ್ತು ಬೋಲ್ಶೆವಿಕ್ ವಿರುದ್ಧ ಹೋರಾಟಕ್ಕೆ ಕರೆ ನೀಡಿದರು.
ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಪ್ರಮೇಯ 1.ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ(1) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಪುರಾವೆ. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ
ಇದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸಮೀಕರಣ (1). ಕಾರ್ಯ (3) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಗೆ ನಲ್ಲಿ, ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2) ಪರಿಹಾರವಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಪರಿಹಾರವಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆ (4) ಒಂದು ಗುರುತು. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (3) ಆಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ (1). ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ x 0, y 0ಮತ್ತು (ಒಂದು ವೇಳೆ ಮಾತ್ರ x 0ಕಾರ್ಯಗಳು ನಡೆಯುವ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ a 1, a 2ಮತ್ತು f(x)ನಿರಂತರ).
ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು. ನಂತರ, ಷರತ್ತುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (5), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 1 ನಲ್ಲಿಮತ್ತು 2 ನಲ್ಲಿಹಂತದಲ್ಲಿ x=x 0. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2, ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಅರ್ಥಗಳಿವೆ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2, ಯಾವ ಸೂತ್ರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (3) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ (1) ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೋಗೋಣ.
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (2)
ನಾವು (7) ರೂಪದಲ್ಲಿ (7) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2ಕೆಲವು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆ X.
ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ (7):
ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2ಇದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ
ನಾವು ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
ಈಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮೊದಲ ಎರಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ ವೈ 1ಮತ್ತು ವೈ 2- ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ
ಹೀಗಾಗಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ (7) ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (1) ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2(8) ಮತ್ತು (9) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (8) ಮತ್ತು (9) ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ.
ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ವೈ 1ಮತ್ತು ವೈ 2ಸಮೀಕರಣ (2), ನಂತರ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಎರಡೂ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X:
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.
ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ. ನೀವು ಟೀಪಾಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಪಾಠದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಮತ್ತು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಮುಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿಧಾನವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯ ಪೂರ್ವಗ್ರಹವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ DE. ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದಿಂದ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರವೂ ಒಂದು.
2) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.
ಪಾಠವು ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ... ಹಾಗಾಗಿ ನಾನು ಈ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ನಾನು ಇತರ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಅಮೇಧ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದೆಂದು ಸುಮಾರು 10 ನಿಮಿಷಗಳ ಕಾಲ ನಾನು ನೋವಿನಿಂದ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ರಜಾದಿನಗಳ ನಂತರ ನಾನು ಯಾವುದೇ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ನಾನು ಏನನ್ನೂ ದುರುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರವಾಗಿ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಲೇಖನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಆ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದೆವು ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರಅಸಮಂಜಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ DE. ಈ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬದಲಿ ವಿಧಾನಅಥವಾ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ(ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಾರದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ!!!)
ಈಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ. ನಾನು ಕೇವಲ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಪಾಠದಿಂದ ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಏಕೆ ಕಡಿಮೆ? ಏಕೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಿ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1
(ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು)
ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: 
ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ ಬದಲಿಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಮೀಕರಣ ನಾನು ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವು (ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ: 
ಹೀಗೆ: 
- ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.
ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ"x" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ:
ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಧಾನದ ಹೆಸರು - ನಾವು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರವು ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಬಹುದು.
IN ಮೂಲಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:
ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು 
ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ :
ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದು - ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬೇಕು.
ಬದಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎಂತಹ ಆಶೀರ್ವಾದ, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಹ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ:
ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಬದಲಿ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಕಾರ್ಯವು ಇದೀಗ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ!
ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: 
ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ: 
ನೀವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ.
ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾನು ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ 
(ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು)
ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ :
ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ: 
ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ: 
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ. ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಟೇಸ್ಟಿ ಪತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "ಎ" ಮತ್ತು "ಬಿ" ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ಬದಲಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:
ಮತ್ತು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:
ಉದಾಹರಣೆ 3
ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
,
(ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು)
ಪರಿಹಾರ:
ಈ DE ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ: 
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ: 
ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: 
ನೀಡಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 
ಉತ್ತರ:ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:
ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ
ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ
ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭದ ವಿಷಯವಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ನಾನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇನೆ: ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವಿಧಾನವು ಅನೇಕರಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ - ನಿರ್ಧಾರದ ಕೋರ್ಸ್ ಸ್ಪಷ್ಟ, ಪಾರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸುಂದರ.
ವಿಧಾನವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸಮಂಜಸ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ DE ಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಮೇಲಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವು ಬಲಭಾಗವು ಬಹುಪದಗಳು, ಘಾತೀಯಗಳು, ಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ? ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ 
ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಗುಡುಗು ಸಹಿತ ಯಾವುದೇ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲ; ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸೂಕ್ತ ಏಕರೂಪದಸಮೀಕರಣಗಳು: 
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: 
- ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ದಾಖಲೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ - ಆವರಣ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು, ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಿ - ಸದ್ಯಕ್ಕೆಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ಇದು ಮನೆಯ ತ್ಯಾಜ್ಯದ ಡಂಪ್‌ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಅಜ್ಞಾತವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.
"ಗ್ರೀಕರು" ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತಾರೆ? ಕೊಕ್ಕರೆ ಅವರನ್ನು ತರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಪಡೆದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ಎಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ?
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವಾಗಿದೆ, in ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
ಗುಣಾಂಕವು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ:
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾವಾಗಲೂ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಹೊರತಾಗಿಲ್ಲ.
ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನೀವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು: 
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 
ಎರಡು-ಎರಡು-ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಹೇಗೆ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?ಲಿಂಕ್ ಅವಮಾನದ ಮಂಡಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ =)
ಆದ್ದರಿಂದ: ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು: 
ಆದರೆ ಅಷ್ಟೆ ಅಲ್ಲ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ: 
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಪರಿಹಾರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ? ಅಂತಹದಲ್ಲಿ:
ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇದೀಗ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ! 
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉತ್ತರವು ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಿತ್ತು.
ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ತರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಂಜಸ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ DE ಗಳು. ಆದರೆ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಸುಲಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಭಾರೀ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ತೊಡಕಿನ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನೀವು ಅಂತಹ ಡಿಫ್ಯೂಸರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ಇದು ಅಹಿತಕರ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 5
ವಿಭಿನ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವೂ ಇದೆ. ನೆನಪಿರಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರ, ಮೂಲಕ, ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಬಲಭಾಗದ ರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಲ್ಲಿಯೂ ಏಕೆ ಬಳಸಬಾರದು? ಉತ್ತರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಆಯ್ಕೆ, ಇದನ್ನು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ - ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಡಿಬಿಡಿಯಿಲ್ಲ.
ಜೊತೆ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6
ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
, 
ಪರಿಹಾರ:ಮತ್ತೆ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ.
ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸೂಕ್ತ ಏಕರೂಪದಸಮೀಕರಣಗಳು: 
- ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: , ಅಲ್ಲಿ - ಸದ್ಯಕ್ಕೆಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
,
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು: 
, 
ಹೀಗೆ: 
ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ.
ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ಈ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ:
ಬದಲಿಯಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗೆ: 
ಈ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚದರ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ:
ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ .
ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ಹೋಲ್ಡ್, ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಇದು ಅಂತಹ ಅವಮಾನ. ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ತಕ್ಷಣವೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ :
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ 
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ:
ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದು.
ಉತ್ತರ:ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ: 
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮನ್ನು ಬೆದರಿಸಿದ್ದು ನಾನಲ್ಲ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ!
ವಿಶ್ರಾಂತಿಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂತಿಮ, ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 7
ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
, 
ಉದಾಹರಣೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸೃಜನಶೀಲವಾಗಿದೆ, ನೀವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ, ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ ;-),
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ .
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ, ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು y’+p(x)y=q(x) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಇದ್ದರೆ: y'+p(x)y=0, ಆಗ ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ. ಅಂತೆಯೇ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಲಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣ, y'+p(x)y=q(x), ವೈವಿಧ್ಯಮಯ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ (ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ:
1) ನಾವು y'+p(x)y=0: y=y* ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.
2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಾವು C ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: C = C (x). ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ (y*) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು y* ಮತ್ತು (y*)’ ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು C(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ಸಿ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಿ (x) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಅದೇ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಉತ್ತರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
1) y'=3x-y/x
ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ (ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಸಂಕೇತ ರೂಪದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ).
y’+y/x=3x (I). ಈಗ ನಾವು ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.
1) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y'+y/x=0. ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇಮ್ಯಾಜಿನ್ y'=dy/dx, ಬದಲಿ: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು xy≠0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ: dy/y=-dx/x. ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
2) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಾವು C ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಆದರೆ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: C=C(x). ಇಲ್ಲಿಂದ
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಿತಿ (I) ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
ಇಲ್ಲಿ C ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ y=C/x ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಾವು C=C(x), ಅಂದರೆ, y=C(x)/x ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ, C(x) ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಂಡುಬಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x³ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. +C: y=(x³ +C)/x ಅಥವಾ y=x²+C/x. ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಉತ್ತರ: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ; ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
1) ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸಂಕೇತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು C ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೊಸ C ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗುವಂತೆ ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು.
2) ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಾವು C ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಆದರೆ x: C=C(x) ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ
ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು y ಮತ್ತು y’ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಇಲ್ಲಿ C ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ
ಕಂಡುಬಂದ ಫಂಕ್ಷನ್ C(x) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
y'x+y=-xy².
ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ: y'+y/x=-y² (II).
1) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು y ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ: dy/y=-dx/x. ಈಗ ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಗೆ (II) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:
ನಾವು C ಮತ್ತು x ಗಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ಇಲ್ಲಿ C ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಓವರ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡದಂತೆ ನಾವು C(x) ಬದಲಿಗೆ C ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು C(x) ಗೆ ಮರಳಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ C(x) ಅನ್ನು ಹೊಸ C ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು.
3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ y=C(x)/x ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಕಾರ್ಯವನ್ನು C(x):
ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: y'-2y=x.
1) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y'-2y=0. y'=dy/dx, ಆದ್ದರಿಂದ dy/dx=2y, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, y ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಿ:
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು y ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು y ಮತ್ತು y’ ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಾವು C(x) ಬದಲಿಗೆ C ಮತ್ತು C' (x) ಬದಲಿಗೆ C ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ):
ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ನಾವು u, du ಮತ್ತು v ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಇಲ್ಲಿ C = const.
3) ಈಗ ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ
ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
ವಿಷಯಸಹ ನೋಡಿ:
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ (ಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(1)
.
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು n ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಂಗತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.
ಹಂತ 1. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ, ನಾವು ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಬಲಗೈಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
(2)
.
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
(3)
.
ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ; - n ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳು (2), ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಹಂತ 2. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು
ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಅಂದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
(4)
.
ನಾವು (4) ಅನ್ನು (1) ಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು n ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನೀವು n ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಇದರಿಂದ n ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ.
ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (4) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಲು, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ (4) ಬರೆಯಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ n ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು (4) ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸೋಣ:
(5.1)
.
ನಂತರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:
(6.1)
.
ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸೋಣ:
(5.2)
.
ನಂತರ
(6.2)
.
ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ:
(5.ಕೆ) ,
ನಂತರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ:
(6.ಕೆ) .
ಇಲ್ಲಿ .
n ನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
(6.n)
.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (1):
(1)
;
.
ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
.
ನಂತರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(7)
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೀಕರಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಇನ್ನು ಮುಂದೆ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. (4) ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಗುಣಾಂಕಗಳು a i ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಬಳಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದಕ್ಕೇ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2) ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್).
ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರ >>>
ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ರೇಖೀಯ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಈಗ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ L(y)=0 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
. (3)
ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು, ನಾವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
. (4)
ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, (4) ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮೂರನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಎಂಟು ಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, (4) ನಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
. (5)
ಮೊದಲಿನ ಅದೇ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, (5) ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, n ನೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ 
. (6)
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 
. (7)
(7) ರಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ y j , j=1,2,..,n, ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ L(y)=0 ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಹಿಂದಿನದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, C" j (x) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 
(8)
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಧಾರಕವು y 1 ,y 2 ,..,y n ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ L(y)=0 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ (8). ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನಾವು C" j (x), j=1,2,…,n, ಮತ್ತು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, C j (x), j=1,2,…,n ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (3), ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y"" + 4y" + 3y = 0. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು r 2 + 4r + 3 = 0 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ -1 ಮತ್ತು - 3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು y 1 = e - x ಮತ್ತು y 2 = e -3 x ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. C" 1 , C " 2 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 
ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
ಪರಿಹಾರ:
ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಾವು y = e rx ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಆರ್ 2 -6 ಆರ್ + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು: r 1 = 4, r 2 = 2
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
C" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ C" 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
C" 1 = -c 2 e -2x
ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
ನಾವು ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಿ" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x ರಿಂದ, ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ಹೀಗಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ಅಥವಾ
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
ಕಂಡುಬಂದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
y(0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
ಪಡೆದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ಅಥವಾ
ಸಿ*1+ಸಿ*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ಅಥವಾ
ಸಿ*1+ಸಿ*2=2
2C 1 + C 2 = 2
ಇಂದ: C 1 = 0, C * 2 = 2
ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...