ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಗಳ ಕಾನೂನುಗಳು. ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಪೂರಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ
ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ,
ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ P ಲೆಟ್ ರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ನಂತರ P ಯ ಕೆಲವು -ನೆರೆಹೊರೆ ಕೂಡ ಸೇರಿದೆ ಅದೇ P ಯ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಕೂಡ ಒಟ್ಟು g ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು g ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಂತಿಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
ಮತ್ತು P g ಗೆ ಸೇರಿರಲಿ. P ಯ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯು g ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನಂತೆ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಪಿ ಜಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಪಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೇರಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ - ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು, ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು -ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಿಮಿತವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ P ನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, g ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. ಸೆಟ್ CF ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ CO ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. P CF ಗೆ ಸೇರಿರಲಿ. ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆ ಪಿ ಸಿಎಫ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. P ಯ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ F ಅಂಕಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸೇರದ P ಬಿಂದುವು F ಗೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಸೇರಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ.
ಪ್ರಮೇಯ 3. ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು
ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಸೆಟ್‌ಗಳು ತೆರೆದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಮೂಲಕ ಸೆಟ್ ಕೂಡ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೆಟ್ g ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಪ್ರಮೇಯ 4. ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ:
ಇವುಗಳಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಲದಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 4 ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ g ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ M ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿಸ್ಟಮ್ M ನಿಂದ ಸೆಟ್ g ಅನ್ನು ಆವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 5 (ಬೋರೆಲ್). ಒಂದು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಿಸ್ಟಂ a ಓಪನ್ ಸೆಟ್ O ಯಿಂದ ಆವರಿಸಿದರೆ, ಈ ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಲೋಮದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಆವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. F ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, F ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ನಾವು ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ನಾಲ್ಕು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಾಲ್ಕು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಎಫ್ ಬಿಂದುಗಳು, ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸಂಭವಿಸುವ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಕಾರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದರ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಹೊಂದಿದೆ: ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ F ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎ. k ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು P ಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕುಗ್ಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಅವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ F ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ F ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. P ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸಹ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. k ನ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, D ಮಧ್ಯಂತರಗಳು P ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿನ-ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಬೀಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಆವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ a ನ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ O, ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು a ಗೆ ಸೇರಿದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಆವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 6. ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳಿಲ್ಲದೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
ನಾವು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಡ್ಡ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸೆಳೆಯೋಣ. ಈ ಚೌಕಗಳ ಸೆಟ್ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಚೌಕಗಳಿಂದ, ನಾವು ಆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ನೀಡಿದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಗ್ರಿಡ್‌ನ ಉಳಿದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಸದಾಗಿ ಪಡೆದ ಚೌಕಗಳಿಂದ ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ O ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. O ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. O ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು P ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, d ಎಂಬುದು P ನಿಂದ O ನ ಗಡಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂತರವಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಕರ್ಣೀಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ನಾವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳು O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಅವುಗಳು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಮಾಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆದ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಡಿಎಲ್ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು
ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ "ಚಿಕ್ಕ" ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.
2. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ.
3. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು.
4. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.
5. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವಧಿ ರಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ.
(ನೈಜ = ನಿಜ - ನಮಗೆ ಹುಡುಗರಿಗೆ ಜ್ಞಾಪನೆ.)
R ಸೆಟ್ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಪ್ರಮೇಯ: ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ½, 1/3, 0.5, 0.333.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಮೂಲ 2=1.4142356…, π=3.1415926…
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ R ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. ಇದನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು bಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎ ಅಥವಾ a>b
2. ಸೆಟ್ R ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ a ಮತ್ತು bಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ X,ಅಂದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 3 ನೇ ಆಸ್ತಿಯೂ ಇದೆ, ಆದರೆ ಇದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಕ್ಷಮಿಸಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್. ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮೀರದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ: ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಕನಿಷ್ಠ: ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಯಮಿತ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮಾತ್ರ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ. ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿ. ಇಬ್ಬರು ಪೊಲೀಸರ ಬಗ್ಗೆ ಲೆಮ್ಮಾ. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ. ಉದಾಹರಣೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ . ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿ- ಇದು ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಇರುತ್ತದೆ. ಇಬ್ಬರು ಪೊಲೀಸರ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಮೇಯ... ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ, ಅವುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಆದೇಶಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು X ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು Y ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ.
ಅವಕಾಶ ಒಂದು ವೇಳೆ ಉದಾಹರಣೆ.
ಅವಕಾಶ ಉದಾಹರಣೆ.
ಅವಕಾಶ ವೇಳೆ, ನಂತರ. ನಿಂದ ಅಂಶಗಳು ಅವಕಾಶ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ( ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಂತರಿಕ ಕಾನೂನು) ರಂದು ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಉದಾಹರಣೆ.
ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು * ಆನ್ ಅವಕಾಶ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಬಾಹ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಮೂಲಕ
ಸಂಯೋಜನೆಗಳುಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆ. ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಮೂಲಕ ಕಾನೂನು ಉದಾಹರಣೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ವಿತರಕಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಂತರಿಕ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ * in ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬಾಹ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಕಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಂತರಿಕ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ * Y ನಲ್ಲಿ, ವೇಳೆ ಉದಾಹರಣೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.
ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ಸಹಯೋಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆ.
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಹಾಯಕವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ.
ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಅಂಶ ಲೆಮ್ಮಾ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಪುರಾವೆ
.
ಅವಕಾಶ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಅಂಶ ಉದಾಹರಣೆ.
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ 1, 2, 3, 4, ..., ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್
: ಎನ್
= {1, 2, 3, 4, ..., ಎನ್, ...}
. 1. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎ
. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 2. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ
ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ = ಎ + (ಬಿ + ಸಿ)
. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ (ಸಹಕಾರಿ) ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳು 3. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಮಾನತೆ ನಿಜ ab = ಬಾ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 4. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ
ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎಬಿ)ಸಿ = ಎ(ಬಿಸಿ)
. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ (ಸಹಕಾರಿ) ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 5. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ
ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎ + ಬಿ)ಸಿ = ac + ಕ್ರಿ.ಪೂ
. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ). 6. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಎ*1 = ಎ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವ ಅಥವಾ ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರಿಂದ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು; ಸಂಖ್ಯೆ 15 ಅನ್ನು 4 ರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆ.ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಜನೆ.ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನ 12*18 ಅನ್ನು 36 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ 12 ಅಥವಾ 18 ಅನ್ನು 36 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಸಮವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು 0 ಅಥವಾ 5 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಘಟಕಗಳು 0 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಗಳು 00, 04, 08 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು 4. 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ (9 ರಿಂದ).ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ (9 ರಿಂದ) ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 3 ರಿಂದ (9 ರಿಂದ) ಭಾಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಓ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ 3. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಘಟಕದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮೂರು ಬಾರಿ ಯೋಜಿಸೋಣ. ಓ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ", ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಓ. ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಎ"ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ - 3. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎನ್"
: ಎನ್"
= {- 1, - 2, - 3, - 4, ...}
. ನಾವು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ ಎನ್
, ಎನ್"
ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ಟನ್ ಸೆಟ್ {0}
, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ Z
ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು: Z
= {0} ∪ ಎನ್
∪ ಎನ್"
. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳು ನಿಜ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಕಲನ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎ - ಬಿ = ಎ + (- ಬಿ)
; ಎ + (- ಎ) = 0
. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪ್ರ
: ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು , ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಭಾಗದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಂದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ (ಕಳೆಯುವಾಗ), ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ: ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಿ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಛೇದ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಭಾಗಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲು, ಅಂಶವನ್ನು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ.ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುಗಳು ಇರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ವರ್ಗ 2 ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ. ವರ್ಗಗಳು 5, 7, 9 ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು , ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಆರ್
. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. X ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ММ Х, аОХ. a ನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ M\(a) ಸೆಟ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು M ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ a ಯ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ A ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ M ಸೆಟ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. 1. ಮಿತಿ ಬಿಂದುವು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 ಮತ್ತು 1 ಸೆಟ್ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (0,2), ಆದರೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು. 2. M ಸೆಟ್ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಾರದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದು M ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 ಎಂಬುದು ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (-1,0)È(1). 3. ಮಿತಿ ಬಿಂದು a ವು M ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ x n OM ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು a ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ತ್ರಿಜ್ಯ 1/n ನ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡಿನಿಂದ M ಗೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, a ಗೆ ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಮಿತಿ ಬಿಂದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6. ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ M ನ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಹುದ್ದೆ ಚೆಂಡಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಅದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು B(a,1) ಚೆಂಡಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ಆದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು (a,1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ. 1. MÌ. ಇದು ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 2. ಎಂ ಎಂ ಎನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಂ 4. 5. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಒಪ್ಪಂದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7. ಒಂದು ಸೆಟ್ M М X ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ವೇಳೆ = M ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X\M ಸೆಟ್ ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ M М X ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಓಪನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ M М X ಅನ್ನು X if = X ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ r ಗಾಗಿ B(a,r)MM ಆಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು M ಸೆಟ್ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ r ಗೆ ಚೆಂಡನ್ನು B(a,r)МХ/M, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು M ಸೆಟ್ನ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. M ಸೆಟ್ನ ಆಂತರಿಕ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಮತ್ತು M ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ 4. ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರಲು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, )
,
, ನಂತರ
.
,
, ನಂತರ 
.
, ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ 
ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಸೆಟ್ಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು n ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶದ ತಂತಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ:
n ಉದ್ದದ ಸಾಲು ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ.ಒಂದು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಗಳು
1 ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸೆಟ್.
ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚೌಕದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆದರೆ ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ 
ವಿ 
, ಅಂದರೆ
(1)
(2)
. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 
, ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ 
.
ಇತ್ಯಾದಿ ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ 
ಅಂದರೆ "ಸೇರ್ಪಡೆ", ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ "" ಎಂದರೆ "ಗುಣಾಕಾರ" ಎಂದರ್ಥ. ಅವು ಸಂಕೇತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ, ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 
ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 
- ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ 
ಮತ್ತು 
.
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ.
. ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಆನ್ ಆಗಿ 
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ 
ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ. ನಂತರ ಸೆಟ್‌ಗಳು 
,
ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದು.
, ಸೆಟ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 
ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ತಿರುಗಿದರೆ 
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿಲ್ಲ *, ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ * ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ.
ಮತ್ತು 
ಎರಡು ಸೆಟ್.
ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
,
(3)
ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶ 
ಅಂಶ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ 
. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 
, ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಅಥವಾ 
.
ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 
ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ 
. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು 
ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಂತರಿಕ ನಿಯಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
, ವೇಳೆ
ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡೂ ವಿತರಣೆ, ಏಕೆಂದರೆ,.ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದು 
. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ 
ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ:
- ಆಯಾಮದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 
ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ. ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ * ಆನ್ 
ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಕಾಶ 
, ನಂತರ 
, ಆದಾಗ್ಯೂ 
, ಅಂದರೆ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪರಿವರ್ತಕವಲ್ಲ.
ಎಂದು ಕರೆದರು ಏಕಅಥವಾ ತಟಸ್ಥಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ 
, ವೇಳೆ
- ಸೆಟ್ನ ಘಟಕ ಅಂಶ 
, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ *, ನಂತರ ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.
- ಸೆಟ್ನ ಘಟಕ ಅಂಶ 
, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ *. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ 
ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಘಟಕ ಅಂಶವಿದೆ 
, ನಂತರ 
, ಏಕೆಂದರೆ 
ಒಂದೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 
, ಏಕೆಂದರೆ 
- ಏಕ ಅಂಶ. ಆದ್ದರಿಂದ, 
- ಸೆಟ್ನ ಏಕೈಕ ಘಟಕ ಅಂಶ 
.
ಎಂದು ಕರೆದರು ಹಿಮ್ಮುಖಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯಅಂಶಕ್ಕೆ 
, ವೇಳೆ
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ 
. ಅಂಶ 
, ನಂತರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಂಶ 
ಒಂದು ಅಂಶ ಇರುತ್ತದೆ 
. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ನಿಯಮಗಳು
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್
.ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು
.ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು
.ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್
. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, О , a ПМ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ a ಸೆಟ್ M ನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಅವು N ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ aО . M ನಿಂದ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
.
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...