ಕಿರಿಯಾನೋವ್ ಡಿ.ವಿ., ಕಿರಿಯಾನೋವಾ ಇ.ಎನ್., ಕೊಜ್ಲೋವ್ ಎನ್.ಐ., ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ವಿ.ಐ.
(D.V.Kiriyanov, E.N.Kiriyanova, N.I.Kozlov, V.I.Kuznetsov)

IPM im. M.V.Keldysh RAS

ಮಾಸ್ಕೋ, 2005

ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಕೆಲಸವು ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಸರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು(ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು), ವೋಲ್ಟೆರಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವು.

ಅಮೂರ್ತ

ಪರಿಸರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವೋಲ್ಟೆರಾ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು PDE ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹಲವಾರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

§ 1. ಮೂಲ ಮಾದರಿ

ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಇಂಟಿಗ್ರೊ-ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಸರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಜೈವಿಕ ಸಮುದಾಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾಡುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

· ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಿಯಾದ ಆಯ್ಕೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಪರಿಸರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ;

· ವಯಸ್ಸಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾದರಿಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಪರಿಸರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆ.

ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್-ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಅರಣ್ಯ ಬಯೋಸೆನೋಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಯಸ್ಸಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎರಡು ಜಾತಿಗಳ ಅರಣ್ಯದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಸರಳೀಕೃತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ, ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಯಸ್ಸಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಸರದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮುಖ್ಯ ಸಂವಹನಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಾವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವೆಕ್ಟರ್, i=l (ಪತನಶೀಲ ಜಾತಿಗಳು), x (ಕೋನಿಫೆರಸ್) ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. "ಸಂಪನ್ಮೂಲ-ಗ್ರಾಹಕ" ಪ್ರಕಾರದ ಟ್ರೋಫಿಕ್ ಸಂವಹನಗಳ ಎರಡು-ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಮಿತಿಗೊಳಿಸೋಣ: ಮಣ್ಣು - ಎರಡು ಜಾತಿಗಳ ಅರಣ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮಣ್ಣಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೂರನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ - ಫಲವತ್ತತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚಕ P (t). ಈ ಉಂಡೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸಿದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

i = (x, l)(1)

· P - ಫಲವತ್ತತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚಕ - ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಸಾಂದ್ರತೆ (kg/m 2 );

· u l - ಪತನಶೀಲ ಜಾತಿಗಳ ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆ (kg/m 2 );

· u x - ಕೋನಿಫೆರಸ್ ಜೀವರಾಶಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ (kg/m 2 );

· A i ಎಂಬುದು i-th ಜಾತಿಯ (1/ವರ್ಷ) ಪತನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮಣ್ಣಿನ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;

· ಬಿ - ಮಣ್ಣಿನ ಸ್ವಯಂ-ಗುಣಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕ (1 / ವರ್ಷ);

· ಪಿ 0 - ಅರಣ್ಯದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಫಲವತ್ತತೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಮೌಲ್ಯ (ಕೆಜಿ / ಮೀ 2 );

· Vi - ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಬಳಕೆಯ ದರ (ಟ್ರೋಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯ) (1 / ವರ್ಷ);

· с i - ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶ;

· k i - i-th ತಳಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಗುಣಾಂಕ;

· D i - ಮರಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮರಣ ಪ್ರಮಾಣ (1/ವರ್ಷ);

· ಡಬ್ಲ್ಯೂ - ಬಾಹ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಹಾನಿಕಾರಕ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, (ಕೆಜಿ / (ವರ್ಷ× ಮೀ 2))

· t 0 - ಯುವ ಕಾಡಿನ ಪಕ್ವತೆಯ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ (ವರ್ಷ)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವೋಲ್ಟೆರಾ ಮಾದರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲಸದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಪರಿಹಾರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಸಾಕಷ್ಟು ತೇವಾಂಶದೊಂದಿಗೆ) ಅರಣ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 1. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪತನಶೀಲ ಕಾಡುಗಳನ್ನು ಕೋನಿಫೆರಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ.1. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ (1).

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಮಾದರಿ (1) ವಯಸ್ಸಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಒರಟು ಪರಿಗಣನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಟ್ಟು ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ (ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಿಲ್ಲದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ. 1, ನಾವು (ಸೂಕ್ತ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ) ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಮರಣ ಪ್ರಮಾಣ D i ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಕೆಲಸದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರಣ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳು.

§ 2. ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾದರಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಜಾತಿಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು (ಉಂಡೆ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಲೆಸ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪರಿಸರ ಮಾದರಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಇದು ಸ್ವತಃ ಕೆಲವು ಅಂದಾಜು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾನವ ಜನಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಐದು ವರ್ಷಗಳ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ (ಕಾಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಒಂದು ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಕಾಲೋಚಿತ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಿಯಾದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹು-ವಯಸ್ಸಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸಲು ಲೆಸ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು

,(2)

ವಿವಿಧ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ - ನವಜಾತ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, k - ಹಳೆಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ನಂತರ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, a ವರ್ಷ). ಹೀಗಾಗಿ, ರಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಲೆಸ್ಲಿ p i ಎಂಬುದು ಬದುಕುಳಿಯುವ ದರವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ i-th ವರ್ಗದ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮುಂದಿನ ವರ್ಷ (i+1)-ನೇಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ),ಎ i - ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಫಲವತ್ತತೆ i-th ವಯಸ್ಸುಗುಂಪುಗಳು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (k+1)´ (k+1), ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (k+1)´ 1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗಬೇಡಿ, ನಂತರ ಅವರ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ನೈಜ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಳಿವಿನಂಚಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ; ಅದು ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅನಿಯಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್‌ಗಳು ಒಂದರ ಗರಿಷ್ಠ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಈ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಪ್ರೀಜೆನೆರೇಟಿವ್ (ಯುವ, ಇನ್ನೂ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಸಮರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ), ಉತ್ಪಾದಕ (ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಆದರೆ ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಪೋಸ್ಟ್ಜೆನೆರೇಟಿವ್ (ವಯಸ್ಸಾದ, ಈಗಾಗಲೇ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾತಿಯ ಜೀವನ ಚಕ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಪಾತ್ರಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾತಿಯ ಜೀವಿಗಳು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಯಸ್ಸನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅರಣ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮರದ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮರದ ವಯಸ್ಸನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗೆ ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ§ 1. ಈ ಮೂಲಭೂತ ಮಾದರಿಯು ವಯಸ್ಸನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಅರಣ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಬರ, ನೀರು ತುಂಬುವಿಕೆ, ನೆರಳು, ಮಾಲಿನ್ಯ, ನೆಲದ ಬೆಂಕಿ, ರೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಸ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿರೋಧವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೀಕ್ಷಣೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವೀಕ್ಷಣೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿಯೇ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರತಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ: ಯುವ ಕಾಡು, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಕಾಡು ಮತ್ತು ಅತಿಯಾದ ಅರಣ್ಯ (ಬೀಜಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಅಂದರೆ, ಕೇವಲ 12 ಗುಂಪುಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮೊದಲು ಈ ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸಮಯದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಗುಂಪು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ನಂತರ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಂಪು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ "ಸ್ಥಿರಗಳು" ಗುಂಪು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರಬಹುದು. ಗುಂಪು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗುಂಪು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಂಪಿನಿಂದ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯೋಜನೆಗೆ (Fig. 2) ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಯೋಮಾನವು rlet ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಲಿ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಜೀವರಾಶಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

123 4

ಚಿತ್ರ.2. ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ನಂತರ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

1 ವರ್ಷ=,2 ವರ್ಷ=,3 ವರ್ಷ=,...ಆರ್ ವರ್ಷ=

ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ಆರಂಭಿಕ ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 0.1-0.18 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು, ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಫಲವತ್ತತೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಅದು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 10 ವರ್ಷಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ರೇಖೀಯ ನಿಯಮವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಬರುವ ಗುಂಪಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಜೀವರಾಶಿಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

(3)

ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಜೀವರಾಶಿಯ ಒಟ್ಟು ಪರಿಮಾಣವು ವರ್ಷದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: . ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು

(4)

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, u i [j] ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಕಸನವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಹೋಲುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ C i0 ಮತ್ತು D i0 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ಸರಣಿಗಳು C i0 [j] ಮತ್ತು D i0 [j] ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬರ, ಜೌಗು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಯುವ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಮರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ವಯಸ್ಸನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಮೂಲ ಮಾದರಿ (1) ನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಸೂಕ್ತವಾದ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರು, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಆಗುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬರ, ನೀರು ತುಂಬುವಿಕೆ, ಛಾಯೆ, ಮಾಲಿನ್ಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಳೆಯ ಮರಗಳು ನೀರಿನ ಕೊರತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರೌಢ ಮರಗಳು ನೀರು ತುಂಬುವಿಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿರೋಧಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಆಳವಾದ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮಾದರಿ (4) ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಡಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಅದೇ ರಚನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಅಂಶದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಕೇತವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ: . ಇಲ್ಲಿ ನೇ ವಿಧದ ಗರಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಂಪುಗಳು, ಮಣ್ಣಿನ ಉತ್ಪಾದಕತೆ ಮತ್ತು ತೇವಗೊಳಿಸಲಾದ ಪದರದ ದಪ್ಪಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು). ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪು ಗಾತ್ರ p ವರ್ಷಗಳು.

ಅರಣ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (4) ಆಧರಿಸಿ ನಾವು ಈಗ ಕೆಲವು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನ ಅಗಲವು 10 ವರ್ಷಗಳು. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 3 ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅರಣ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ತೇವಾಂಶದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಅಂಜೂರ 1 ರಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮಿಶ್ರ ಅರಣ್ಯದಿಂದ ಕೋನಿಫೆರಸ್ ಅರಣ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಥನೀಯ ಬದಲಾವಣೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಾಸರಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳಿವೆ (ಚಿತ್ರ 4.). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಯಸ್ಸಿನ-ಆಧಾರಿತ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಮಾದರಿಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

Fig.3. .ಸುಸ್ಥಿರ ಮರದ ಜನಸಂಖ್ಯೆ

Fig.4. ಮರಗಳ ಸರಾಸರಿ ವಯಸ್ಸಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

§ 3. ಏಕ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆಟ್ಟ ಮಾದರಿ

ಬೀಜಗಳಿಂದ ವಾರ್ಷಿಕ ಪ್ರಸರಣ, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಿತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಇಂಟ್ರಾಸ್ಪೆಸಿಫಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಮತ್ತು "ಪರಿಸರ" ಕತ್ತರಿಸಿದ (ಕೇವಲ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅದೇ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೊಳಕೆಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ರಚನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ), ಸ್ವಾಯತ್ತತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡುವುದು.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು abscissa ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಯವನ್ನು ಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ನಾವು ಮೊಳಕೆಯ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಟೋನ್ಗಳು ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ತಲೆಮಾರುಗಳು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅವರು "ಸಿಂಕ್ರೊನಸ್ ಆಗಿ ವಯಸ್ಸಾದ" ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ.

ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ನಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಕಾಸಾತ್ಮಕ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

,(5)

ಅಲ್ಲಿ ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪೀಳಿಗೆಯ ವಯಸ್ಸು t, k-th ಪೀಳಿಗೆಯ ಜೀವರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ (ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ).

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಟ್ರಾಸ್ಪೆಸಿಫಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

, (6)

ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ವಯಸ್ಸು, t-m+1 ಎಂಬುದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ತಲೆಮಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, k ಮತ್ತು j ತಲೆಮಾರುಗಳ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಅಂದರೆ ಇವು ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಒಂದು ವರ್ಷದ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೆ() ಮತ್ತು ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

(7)

ಈ ನಮೂದುನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣವು ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಅವಧಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಈಗ ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ:

,(8)

ನಂತರ ನೀವು ಲೇಯರ್ t ನಲ್ಲಿ ಹೊಸದಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಪೀಳಿಗೆಯ ಕಾಣೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಟೈಮ್ ಲೇಯರ್ t-1 ನಿಂದ ಲೇಯರ್ t ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ನೀವು ಎಣಿಕೆಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

(9)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಪದರದ ಮೇಲೆ ಈಗಷ್ಟೇ ಜನಿಸಿದ ಪೀಳಿಗೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು t ಪದರದ ತಲೆಮಾರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಸಮಯದ ಪದರ.

ನೀವು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಯೋಜನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಯೋಜನೆಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಸ್ಪರ್ಧೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಇಲ್ಲದೆ) ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವೋಲ್ಟೆರಾ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಪದವಿಲ್ಲದೆ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಅದು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಅರಣ್ಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಾಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು (ಚಿತ್ರ 5) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಷ 320 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಗಮನಾರ್ಹ ಏರಿಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ನೆಟ್ಟ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ. ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣಾ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನ ಸ್ಥಾಪನೆಯು ಇನ್ನೂ ಸಂಭವಿಸದ ಆರಂಭಿಕ ಅವಧಿಯನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.

(100, 200 ಮತ್ತು 300 ವರ್ಷಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ)

ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ, ಆದರೆ ಸ್ಪರ್ಧೆಯೊಂದಿಗೆ, ಲ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದ 120 ನೇ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನ ಸ್ಥಾಪನೆಯು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜೀವರಾಶಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸುಮಾರು 200).

ಮೊನೊ-ವಯಸ್ಸಿನ ನೆಡುವಿಕೆಗಳು ವಯಸ್ಸಿನ ಮೂಲಕ ಅರಣ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಮಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಪರಿವರ್ತನಾ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಪರಿಸರ" ಕಡಿಯುವಿಕೆಯು ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮತ್ತು ಜೀವರಾಶಿಯ ಸ್ಥಾಯಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಮಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 6 ಅದೇ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಡೇಟಾವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಟ್ಟು ಜೀವರಾಶಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಯುವ ಮರಗಳ ವಯಸ್ಸು 40-45 ವರ್ಷಗಳು, 5% ಕಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೀವರಾಶಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮತ್ತು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪೈಪೋಟಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 6. ಮೊನೊ-ಏಜ್ ನೆಡುವಿಕೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಕಸನ

(150 ಮತ್ತು 200 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ): ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ

§ 4 ನಿರಂತರ ಪ್ರಸರಣ ಮಾದರಿ

ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಿತಿಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ನಿರಂತರ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಜೈವಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಸಮಯ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸು T. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, u(t, T) dT ಎಂಬುದು ವಯಸ್ಸಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ (T, T + dT) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೀವರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

t ಸಮಯಕ್ಕೆ T, T + dT ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

· u(t, T) T ಎಂಬುದು ಎಡ ತುದಿಯಿಂದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಜೀವರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಯಸ್ಸಿನ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ),

· u(t,T+dT) ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣದ ಜೀವರಾಶಿಯು ಗುಂಪಿನ ಬಲ ಅಂಚಿನಿಂದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಗುಂಪನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ,

· u(t,T) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಇಂಟ್ರಾಸ್ಪೆಸಿಫಿಕ್ ಹೋರಾಟದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಜೀವರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ:

ಎಡ ಗಡಿ ಬಲ ಗಡಿ

ಚಿತ್ರ.7.

ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಯಸ್ಸಿನ ಜೀವರಾಶಿಗಳ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

dT ಗುಂಪಿನ ಜೀವರಾಶಿಯು u(t,T)dT ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಪೂರ್ಣ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(10)

ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿ (11)

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ

ವಯಸ್ಸಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಬೀಜಗಳಿಂದ ವಯಸ್ಕ ಜೀವರಾಶಿಯ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ವಯಸ್ಸು, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಬಲ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಳಂಬಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8):

(12)

ಚಿತ್ರ 8. ಟೈಮ್ ಗ್ರಿಡ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಕಡೆಗೆ

ಎರಡೂ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ವಿ(ಟಿ, ಟಿ) ಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಬಹುದು:

(13)

ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ:

(14)

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ t ಗೆ u(t,T) ಪಡೆಯಬಹುದು

(15)

T ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು

(16)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ u(t,T`) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಅವಧಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ತಿಳಿದಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಂತರ, ನಾವು ಹಿಂದುಳಿದ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮಾತ್ರ ವಾದದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆ q(ಗಳು) ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - exp(s):

(17)

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಡೆಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತದೆ. .

ಮಂದವಾದ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಇದು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಳಂಬವಾದ ವಾದಗಳಿಲ್ಲದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೋಲುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಬಹುತೇಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ , ನಾವು ಅದನ್ನು ಶಬ್ದಶಃ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು: ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಪ್ರಕಾರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರತೆ (ಬೇರುಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಅಥವಾ ಇದು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಬೇರುಗಳ ಶೂನ್ಯ ನೈಜ ಭಾಗದ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ).

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಿರಿದಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ ಅಂತಹ ಕಡಿತದ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ನಮಗೆ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರಿಟಾರ್ಡೆಡ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಪಡೆದ ಪ್ರಬಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ, ಅಷ್ಟೆ, ಇದು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ: .

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(18)

ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(19)

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ G(T) ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಸರಳ ಘಾತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೇರುಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಇದರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು T ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

(20)

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ನಿಜವಾದ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ಥಿರತೆ, ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಅರಣ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೊದಲು ಅರಣ್ಯವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೀವ್ರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಸಹ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಅದೇ ಸಮಯ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಿಂದ ವಯಸ್ಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು:

(21)

ವಯಸ್ಸಿನ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ವಯಸ್ಸು ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಇವುಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ). ಬಳಸಿದ ಅವಲಂಬನೆಗಳು ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಯದ ಹಂತಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ ಚಿತ್ರ 10 ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆ U0 ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ಸ್ಥಾಪನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು (ಅರಣ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ) ಜೀವರಾಶಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ವಯಸ್ಸಿನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 10. ಮೊನೊಜ್ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಕಸನ

ಸ್ಪರ್ಧೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಘಟನೆಯು ಕಾಡಿನ ವಿಕಸನಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು: ಮೊದಲು ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವು ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಾಯಿ ಆಡಳಿತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು: ಯುವ ಅರಣ್ಯವು ಪ್ರಬುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 11).

ಚಿತ್ರ 11. ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಕಾಸ

ಏಕ ವಯಸ್ಸಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಪರ್ಧೆಯೊಂದಿಗೆ)

ತೀರ್ಮಾನ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಯಸ್ಸನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅರಣ್ಯ ವಿಕಾಸದ ಮೂರು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಥಮ (§ 2) ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಧಾರಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸೀಮಿತ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇತರ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು (§ 3) ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು (§ 4) - ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

ಸ್ವಿರೆಝೆವ್ ಯು.ಎಮ್., ಲೋಗೋಫೆಟ್ ಡಿ.ಓ. ಜೈವಿಕ ಸಮುದಾಯಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ. ಎಂ., ನೌಕಾ, 1978.

ಫೆಡೋರೊವ್ ವಿ.ಡಿ., ಗಿಲ್ಮನೋವ್ ಟಿ.ಜಿ. ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ. ಎಂ., ಎಡ್. ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, 1980.

ವಿಲಿಯಮ್ಸನ್ ಎಂ. ಜೈವಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಎಂ.: ಮಿರ್, 1975.

ವೋಲ್ಟೆರಾ ವಿ. ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ಹೋರಾಟದ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1976.

V.I. ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ "ಅರಣ್ಯ ವಿಕಾಸದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ", ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯ ಪದವಿಗಾಗಿ ಪ್ರಬಂಧ, M, 1998

ಕೊಜ್ಲೋವ್ ಎನ್.ಐ., ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ವಿ.ಐ., ಕಿರಿಯಾನೋವ್ ಡಿ.ವಿ., ಕಿರಿಯಾನೋವಾ ಇ.ಎನ್. ಮಧ್ಯ-ಅಕ್ಷಾಂಶ ಅರಣ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳು. ಪ್ರಿಪ್ರಿಂಟ್ IAM RAS M., 2005.

ಲೆಸ್ಲಿ ಪಿ.ಎಚ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ. ಬಯೋಮೆಟ್ರಿಕಾ, v.33(1945), N3, p.183

ಗೊಡುನೋವ್ ಎಸ್.ಕೆ. ರೈಬೆಂಕಿ ವಿ.ಎಸ್. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಯೋಜನೆಗಳು."ವಿಜ್ಞಾನ", ಎಂ. 1973.

ಬೆಲ್ಮನ್ ಆರ್., ಕುಕ್ ಕೆ.ಎಲ್. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. "ಮಿರ್", ಎಂ., 1967.

ಗೊಡುನೋವ್ ಎಸ್.ಕೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪುಟ 1. ಎಡ್. NSU, ​​1994.

ಕಲಿಟ್ಕಿನ್ ಎನ್.ಎನ್. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು "ಮಿರ್", ಎಂ., 1978.

UDK577.4:517.9

ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲವತ್ತತೆ ದರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನಜಾತಿಯ ಲೆಸ್ಲೀ ಮಾದರಿಯ ಮಾರ್ಪಾಡು

ಬಾಲಕಿರೇವಾ ಎ.ಜಿ.

ಪ್ರತಿ ನಿಗದಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, t0) ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು

ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲವತ್ತತೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದೊಳಗಿನ ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1. ಪರಿಚಯ

ಇಲ್ಲಿ xi(tj) ಎಂಬುದು tj ಸಮಯದಲ್ಲಿ i-th ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, i = 1,...,n.

ವೆಕ್ಟರ್ X(ti), ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ X(to) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ:

ಅದರ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮುಂಗಾಣುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುರ್ತು ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ಯಮ ಅಥವಾ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವೃತ್ತಿಪರ ಗುಂಪಿನ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು. ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ವಿಧಾನದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಜನನ ದರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನಜಾತಿಯ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಈ ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ.

2. ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ (ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿ)

ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಅವಧಿಯ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳು) ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ , 1 ವರ್ಷ).

ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಹಾರ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು 40 ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು

ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ X(t0)) ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

^AI a2. .. a n-1 a > u-n

0 ಆರ್ 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 .. ಆರ್ ಎನ್-1 0 ವಿ

ಇಲ್ಲಿ a i ವಯಸ್ಸು-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನನ ದರಗಳು, ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಜನಿಸಿದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಪೈ - ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ದರಗಳು ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಹೊತ್ತಿಗೆ i +1 ಗುಂಪಿನ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ-

^Pi ಗಿಂತ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು). i=1

RI, 2011, ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಲೆಸ್ಲೀ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. x;(t) ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು Pn n -ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಕ್ಟಾಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಸ್ಲೀ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಕ್ಟಾಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಲೆಸ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ ತನ್ನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. X(t j) (j = 1,2,...) ಪಥವು Pn ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಲೆಸ್ಲೀ ಮಾದರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶೇಷ ರಚನೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ (1) ಪರಿಹಾರಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ರೋಹಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯು ರೂಪದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

ಇಲ್ಲಿ Lj ಎಂಬುದು jth ಹಂತದ ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಅಸಮಂಜಸ ಮಾದರಿಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತುಂಬಾ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಮಾದರಿ (1) ನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಾದರಿಯು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿದೆ.

3. ಲೆಸ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕೆಲಸವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಇಂಪ್ರಿಮಿಟಿವಿಟಿ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಘಟಿಸಲಾಗದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ h > 1 ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಇಂಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. h ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಇಂಪ್ರಿಮಿಟಿವಿಟಿ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಇಂಪ್ರಿಮಿಟಿವಿಟಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಜನನ ಪ್ರಮಾಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಾಚೀನತೆಗಾಗಿ

1 > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಾಕು, ಅಥವಾ ಜನನ ಪ್ರಮಾಣವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. j Ф 0 ಮತ್ತು ಒಂದು j ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

ಸುಲಭ sprt,

ಇದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

2. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮೀಕರಣ A n(p) = 0 ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲ р1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಆಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ p1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ X1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಯ ಹೇಳಿಕೆ 2 ನೇರವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

3. ಫಲವತ್ತತೆಯ ದರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದಾಗ ಅಸಾಧಾರಣ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (3) ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು k > 0, ಮತ್ತು j = 0 ಗಾಗಿ j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. ಮೌಲ್ಯ p1 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. I1 >1 ಆಗಿರುವಾಗ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು I1 ಆಗಿರುವಾಗ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್, ಒಂದು ಅಂಶದವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೂಪದ (4) ವಿಘಟಿಸಲಾಗದ ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಆಸ್ತಿ 4 ರ ಸೂಚಕವು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ

R = а1 + £а iP1...Pi-1, i=2

ಇದನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ದರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯತಾಂಕ), ಅಂದರೆ R > 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ p1 > 1 (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ), R ವೇಳೆ< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲವತ್ತತೆ ದರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಮಾರ್ಪಾಡು

ಕೃತಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿವೆ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯೆಂದರೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗಣಿತದ ಅನುಕೂಲಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಬದುಕುಳಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲವತ್ತತೆಯ ದರಗಳು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ "ವಿರೋಧಿ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ" ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಜೈವಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ಮಾದರಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

RI, 2011, ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಯಾವ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳು (ಮೊಟ್ಟೆಗಳು ಮತ್ತು ಯುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನಾಶ, ಇತ್ಯಾದಿ). ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಯಸ್ಸಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಸಹ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾದರಿಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ವಲಯದಲ್ಲಿ).

ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆ ಮತ್ತು ವಾಸಿಸುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿದೆ l = (p: |p|< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

ನಾವು ಈ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1. ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ರಚನೆ ಏನೇ ಇರಲಿ, ನಿಜವಾದ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ದರದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಹ ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.

ರಿಮಾರ್ಕ್ 2. ನಿಜವಾದ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಗುಣಾಂಕದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮಾದರಿಯು ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

5. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅಧ್ಯಯನ. ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಯೋಗ

ಖಾರ್ಕೊವ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಕಾರ ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ, "ಸಂಕುಚಿತ" ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯು 5 ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಕೋಷ್ಟಕವು ವರ್ಷವಾರು ಪ್ರತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗದ N ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L j ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ರೂಪದ (2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಜನನ ದರ ಮತ್ತು ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಇದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು

ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು (4).

ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ರಚನೆ

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

ಒಟ್ಟು 854 629 649 657

ಫಲವತ್ತತೆ ದರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಹತ್ತು ಜನ ಬೋಧಕ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಲಿ. ಫಲವತ್ತತೆ ದರಗಳು ಒಂದು; i-th ವಯಸ್ಸಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಫಲವತ್ತತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು a1, a 5 = 0, ಮತ್ತು a 2 = 7, ಮತ್ತು 3 = 3 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, 4 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರ ನಿರ್ಗಮನ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ಜೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

0 0 ರಲ್ಲಿ 3 0 0 . (5)

ನಾವು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ). ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾವು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ನಂತರದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲಿ (5) ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ а4 = 15, Р1 = 0.27, r2 = 1.39, r3 = 0.29;

ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (5) ಪ್ರಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L2 а 4 = 11, Р1 = 0.381, r2 = 1.64, r3 = 0.43.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ L1 ಮತ್ತು L2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2005-2006 ಮತ್ತು 2007-2008 ರ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆರಂಭಿಕ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ X (t0) = T ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು p1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಆಡಳಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನಜಾತಿಯ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n=30 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

RI, 2011, ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., ಇಲ್ಲಿ q = 1.64 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L 2 ನ ದೊಡ್ಡ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಆಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರೀಕರಣದ ನಂತರ, ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಅನುಪಾತವು ಕೆಳಕಂಡಂತಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲ ವರ್ಗ - 39%, ಎರಡನೇ - 14%, ಮೂರನೇ - 22%, ನಾಲ್ಕನೇ - 12%, ಐದನೇ -13%.

ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L2 ನ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯ:

L(j)X(t0)/cc, ಇಲ್ಲಿ j = 1,2,....

2015 ರವರೆಗೆ ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಶೇಕಡಾ

2004 2005 2007 2008 2013 2015

ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳ ಷೇರುಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು

ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, 10 ರಿಂದ 40 ರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಗಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಈ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ.

ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಮಾದರಿ ಡೇಟಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 50 ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲ್ಪಟ್ಟ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಅನುಪಾತದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಕಡೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ "ವಯಸ್ಸಾದ" ಪ್ರವೃತ್ತಿಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸಲು ಉಳಿದ ವಯಸ್ಸಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಎರಡು ವಯಸ್ಸಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ 23% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ನವೀನತೆಯು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲವತ್ತತೆ ದರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಮಾದರಿಯು ಜನನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರೀಜೆನೆರೇಟಿವ್ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಾವಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮುಖ್ಯ ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂ (ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ವಲಯ) ದ ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವ: ಈ ಮಾದರಿಯು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಫಲವತ್ತತೆ ಮತ್ತು ಮರಣ ಎರಡನ್ನೂ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಖಾರ್ಕೊವ್ ನಗರದ ಹಲವಾರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ನೈಜ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬೋಧನಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಯಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಡೇಟಾವು ನೈಜ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ: 1. ಲೆಸ್ಲಿ ಪಿ.ಎಚ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ // ಬಯೋಮೆಟ್ರಿಕಾ. 1945.ವಿ.33, ಎನ್3. P.183212. 2. ಜುಬರ್ ಐ.ಇ., ಕೋಲ್ಕರ್ ಯು.ಐ., ಪೊಲುಯೆಕ್ಟೋವ್ ಆರ್.ಎ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವುದು // ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ನ ತೊಂದರೆಗಳು. ಸಂಚಿಕೆ 25. P.129-138. 3. ರಿಜ್ನಿಚೆಂಕೊ ಜಿ.ಯು., ರೂಬಿನ್ ಎ.ಬಿ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳುಜೈವಿಕ ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಎಂ.: ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್. ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, 1993. 301 ಪು. 4. ಸ್ವಿರೆಝೆವ್ ಯು.ಎಮ್., ಲೋಗೋಫೆಟ್ ಡಿ.ಓ. ಜೈವಿಕ ಸಮುದಾಯಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1978.352 ಪು. 5. ಗಂಟ್ಮಖರ್ F. P. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1967.548 ಪು. 6. ಲೋಗೋಫೆಟ್ D.O, ಬೆಲೋವಾ I.N. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್: ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು // ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ. 2007.ಟಿ. 13. ಸಂಪುಟ. 4. ಪಿ.145-164. 7. ಕುರೋಶ್ A. G. ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1965. 433 ಪು.

ಶೈಲಿ ಐಕಾನ್: ಲೆಸ್ಲಿ ವೈನರ್

ಪಠ್ಯ: ಅಲ್ಲಾ ಅನಾಟ್ಸ್ಕೊ

ರೂಪದರ್ಶಿ, ಕವಿ ಮತ್ತು ಗಾಯಕ, ಲೆಸ್ಲಿ ವೈನರ್ ಫ್ಯಾಷನ್ ಬಗ್ಗೆ ಭ್ರಮನಿರಸನಗೊಂಡರು ಏಕೆಂದರೆ ಆಕೆಯ ನೋಟದಿಂದ ಅವಳು ನಿರ್ಣಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಳು. ಆದರೆ ಫ್ಯಾಷನ್ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವೈನರ್ನಿಂದ ಆಕರ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ.

ವಿಶ್ವದ ಮೊದಲ ಆಂಡ್ರೊಜಿನಸ್ ಮಾಡೆಲ್, ಬಾಸ್ಕ್ವಿಯಾಟ್ ಮತ್ತು ಬರೋಸ್ ಅವರ ಸ್ನೇಹಿತ, ವ್ಯಾಲೆಂಟಿನೋ ಮತ್ತು ಮಿಸ್ ಡಿಯರ್ ಅವರ ಮುಖ, ಗಮನಾರ್ಹ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯ ಜಗಳಗಾರ, ಕವಿ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತಗಾರ, ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಬೃಹತ್ ದಾಳಿ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಟಿಸ್‌ಹೆಡ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಇದೆಲ್ಲವೂ ಲೆಸ್ಲಿ ವಿನರ್ , ಒಬ್ಬ ಬುದ್ಧಿಜೀವಿ ಮತ್ತು ಅವಳ ಸ್ವಂತ ಇಚ್ಛೆಯ ಹೊರಗಿನವನು, ಬಹುಶಃ ಟ್ರಿಪ್-ಹಾಪ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಹಲವಾರು ದಶಕಗಳ ನಂತರ, ಫ್ಯಾಷನ್ ಉದ್ಯಮವು ಲೆಸ್ಲಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ?

ಮೊದಲ ಆಂಡ್ರೊಜಿನಸ್ ಮಾದರಿ

ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1979. ಓಕೆ, ಲೆಸ್ಲಿ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಗ್ಯಾಲೋ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಿಮ್ಮ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಅನ್ನು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಮಯ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ಮಾಡೆಲ್ ಮತ್ತು ಕಲ್ಟ್ ಸಂಗೀತಗಾರ ಲೆಸ್ಲಿ ವಿನರ್ ಐ ಸ್ಯಾಟ್ ಬ್ಯಾಕ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಮೂವತ್ತು ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹಳೆಯದು. ಯಂಗ್ ವೈನರ್ ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್‌ನಿಂದ ವಿಶ್ವದ ಮುಖ್ಯ ಮಹಾನಗರಕ್ಕೆ ತೆರಳುತ್ತಾನೆ - ಶಾಲೆಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಲಲಿತ ಕಲೆಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಕಲಾ ಪ್ರವರ್ತಕ ಜೋಸೆಫ್ ಕೊಸುತ್ ಅವರ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ. ವಸತಿ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಪಾವತಿಸಲು, ಲೆಸ್ಲಿ ತನ್ನ ನೆರೆಯವರಿಗೆ ಅಶ್ಲೀಲ ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಲಿಯಂ ಬರೋಸ್ ಅವರ ಸಹಾಯಕ ಮತ್ತು ಆಶ್ರಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಅವಳು ಎಲೈಟ್ ಮಾಡೆಲ್ ಮ್ಯಾನೇಜ್‌ಮೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತಾಳೆ - ಅವಳ ಮೊದಲ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಐದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಹುಡುಗಿ: ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಟ್ರೇಡ್‌ಮಾರ್ಕ್ ಮುಳ್ಳು ನೋಟ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೊಜಿನಿ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸುಳಿವು ಇಲ್ಲ.

ಈಗಾಗಲೇ 1980 ರಲ್ಲಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ತನ್ನ ಕೂದಲನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಳು - ಪಾವೊಲೊ ರೋವರ್ಸಿ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ ಲಿಂಡ್‌ಬರ್ಗ್ ತೆಗೆದ ಹೊಡೆತಗಳು ಅವಳ ಪೋರ್ಟ್‌ಫೋಲಿಯೊದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಹೀಗೆ ಜೀನ್-ಪಾಲ್ ಗೌಲ್ಟಿಯರ್ ಅವಳನ್ನು ಕರೆಯುವಂತೆ "ವಿಶ್ವದ ಮೊದಲ ಆಂಡ್ರೊಜಿನಸ್ ಮಾಡೆಲ್" ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಸ್ಲಿ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೋಜು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಜೀನ್-ಮೈಕೆಲ್ ಬಾಸ್ಕ್ವಿಯಾಟ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ - ಅವರು ಹೆಲ್ಮಟ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇರ್ವಿಂಗ್ ಪೆನ್ ಅವರಿಂದ ಛಾಯಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ ವೋಗ್, ದಿ ಫೇಸ್ ಮತ್ತು ದಿ ಗ್ರೇಟ್‌ನ ಕವರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಆ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾದ ಮ್ಯಾಡೆಮೊಯಿಸೆಲ್ ಪತ್ರಿಕೆ. ಅವಳು ವಿಶೇಷವಾದ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಅವಳು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಾಳೆ, ಒಂದು ಪಕ್ಕದ ನೋಟ ಮತ್ತು ಪರಭಕ್ಷಕ ಪುರುಷ ಸ್ಕ್ವಿಂಟ್, ಅದು ನಂತರ ಬಹುತೇಕ ಕ್ಲೀಷೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿ- ಹಿಲರಿ ಸ್ವಾಂಕ್ ಅವರನ್ನು "ಬಾಯ್ಸ್ ಡೋಂಟ್ ಕ್ರೈ" ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ರೂಬಿ ರೋಸ್ ಅನ್ನು ಅಶ್ಲೀಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವೋಗ್ US, ಅಕ್ಟೋಬರ್ 1981

ವೋಗ್ US, ನವೆಂಬರ್ 1982

ವೋಗ್ US, ಜುಲೈ 1982

ಈಗ ಲೆಸ್ಲಿಯನ್ನು 80 ರ ದಶಕದ ಸೂಪರ್ ಮಾಡೆಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ವೈನರ್ ಸ್ವತಃ ವಿಷಪೂರಿತವಾಗಿ ತಮಾಷೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: “ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಅಮೇಧ್ಯ? ಆಗ ಅಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇರಲಿಲ್ಲ. ನಾನು ಬಹಳಷ್ಟು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಆಲ್ಕೊಹಾಲ್ಯುಕ್ತನಾಗಿದ್ದೆ, ನಾನು ಟ್ಯಾಂಪೂನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ - ನಾನು ಮಾಡೆಲ್ ಆಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ.

("ಅಂಕಗಳು":[("id":1,"ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್":("x":0,"y":0,"z":0,"ಅಪಾರದರ್ಶಕತೆ":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"ಅಪಾರದರ್ಶಕತೆ":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು":("x":778,"y":0,"z":0,"ಅಪಾರದರ್ಶಕತೆ":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"ಹಂತಗಳು":[("id":2,"properties":("duration":0.8,"delay":0,"bezier":,"ease":" Power2.easeInOut","automatic_duration":true)),("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":,"ease":"Power2.easeInOut ","automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0.5,"y":0.5))

ಫ್ಯಾಷನ್ ನಿರಾಶೆ ಮತ್ತು ವಿಚ್ ಆಲ್ಬಮ್

WITCH ಆಲ್ಬಮ್ ಕವರ್

ವೋಗ್ ಇಟಾಲಿಯಾ, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1989

ಲೆಸ್ಲಿ ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಚಿತ್ರೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಹಗರಣ ಮಾಡಿದರು - ಪ್ಯಾರಿಸ್‌ನಿಂದ ಟೋಕಿಯೊವರೆಗಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸುಗಾರ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಯಿತು. 1980 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಲಂಡನ್‌ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ಥಳೀಯ ಭೂಗತ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸತಿ ಹಂಚಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಲೇಹ್ ಬೋವರಿ ಕ್ಲಬ್ ಟ್ಯಾಬೂದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಂಗ್ ಔಟ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೈನರ್ ತನ್ನ ಹೊಸ ಹೊಳಪು ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಳು - ಒಬ್ಬ ಮನುಷ್ಯನ ಅಂಗಿ, ಕಳಂಕಿತ ಕೂದಲು, ಅವಳ ಹಲ್ಲುಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಗರೇಟ್ ಮತ್ತು ಮಸೂರಗಳ ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳು; ಆದರೆ ಅವಳು ತನ್ನ ಜೀವನವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ ಮತ್ತು ತನ್ನ ಸಾಹಿತ್ಯಿಕ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂಬ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಮಾಡೆಲ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯೂಸ್ ಆಗಿ ವೃತ್ತಿಜೀವನದೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಿಲ್ಲ. ಲಂಡನ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಲು, ಲೆಸ್ಲಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮಾಜಿ ಬಾಸ್ ವಾದಕ ಆಡಮ್‌ನನ್ನು ಮದುವೆಯಾಗುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತುಇರುವೆಗಳು - ದಾಖಲೆಗಳ ಸಲುವಾಗಿ; ಮದುವೆಯ ಸಾಕ್ಷಿಗಳು ಆಕೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಮತ್ತು ಬೋವರಿ ಸ್ನೇಹಿತರು: ನಿರ್ದೇಶಕ ಜಾನ್ ಮೇಬರಿ ಮತ್ತು ಕಲಾವಿದ ಟ್ರೋಜನ್, ಮದುವೆಯ ಕೆಲವು ತಿಂಗಳ ನಂತರ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಸೇವನೆಯಿಂದ ಸಾಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಾವು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ವೈನರ್‌ನನ್ನು ಗಾಯಕನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಮ್ಯಾಕ್ಸ್, ಅವಳ ಗಂಡನ ಹೊಸ ಬ್ಯಾಂಡ್, ಕಲಾವಿದನಿಗೆ ಗೌರವವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಿಂದೆ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆದ ಲೆಸ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ಗಾಯಕನಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಆಕೆಯ ಚೊಚ್ಚಲ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು 337.5537 ನ ಲಿಟಲ್ ಘೋಸ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಡಯಲಿಂಗ್ ಕೋಡ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಾಸ್ಕ್ವಿಯಾಟ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಟ್ಯಾಗ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮತ್ತು ವೈನರ್ ಹೆಸರನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಲೆಸ್ಸ್ಲೀ.

ನಂತರ, ವೈನರ್ ಮತ್ತು ಅವಳ ಪತಿ ಸಿನೆಡ್ ಓ'ಕಾನ್ನರ್‌ಗಾಗಿ ಟ್ರ್ಯಾಕ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಲೆಸ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಅತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದರು - ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಗುಂಪು ಸಂಗೀತವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಳು ಇಷ್ಟಪಡಲಿಲ್ಲ, ಅವಳು ತನ್ನ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಲಿಲ್ಲ. ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅವಳ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೋಲ್ ಮಾಡೆಲ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು: ಪೌರಾಣಿಕ ನಿರ್ಮಾಪಕ ಟ್ರೆವರ್ ಹಾರ್ನ್ - ಅವರ ಕೆಲಸದ ಶೈಲಿಯು ಲೆಸ್ಲಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಕೈಂಡ್ ಆಫ್ ಈಸಿ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಿತು, ಅದರ ಪೈರೇಟೆಡ್ ಪ್ರತಿಗಳು ಕಿರಿದಾದ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಜನಪ್ರಿಯವಾಯಿತು. ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಪೂರ್ಣ-ಉದ್ದದ ಆಲ್ಬಮ್ ವಿಚ್ ಆಗಿತ್ತು, ಇದನ್ನು ಲೆಸ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಗುಪ್ತನಾಮದಡಿಯಲ್ಲಿ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿದರು, ಇದು ಹಕ್ಕುಸ್ವಾಮ್ಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಸಾರ್ವಜನಿಕರು "ಹಿಂದೆ ಪ್ರಿನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಾಯಕ" ಎಂಬ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು. ಆದರೆ ವಿಪರ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಕೇವಲ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಬಿಡುಗಡೆಯಾಯಿತು - 1993 ರಲ್ಲಿ.

ವೋಗ್ ಯುಕೆ, ಮೇ 1990

ಲೆಸ್ಲಿ ವೈನರ್ ಮತ್ತು ಸಚಿತ್ರಕಾರ ಟೋನಿ ವಿರಾಮೊಂಟೆಸ್

ಈ ಆಲ್ಬಂ ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಸ್ಲಿ ವೈನರ್ ಅವರ ವಿಶೇಷ ಮಾಂತ್ರಿಕತೆಯ ಸಾಕಾರವಾಯಿತು: ಅವಳು ನಿರ್ಲಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಿಲ್ಲದೆ, ತನ್ನ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುತ್ತಾಳೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ರಾಜಕೀಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಅವರು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ತೆವಳುವಂತೆ ಧ್ವನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹರಿದು ಹಾಕುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - ಮತ್ತು ಇದೆಲ್ಲವೂ ಆಳವಾದ ಬಾಸ್ನೊಂದಿಗೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೈನರ್ ಬಹುತೇಕ ರಾಜಕೀಯಗೊಳಿಸಿದ ಪ್ರದರ್ಶಕನಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಳು, ಆದರೆ ಅವಳು ಭೂಗತದಲ್ಲಿಯೇ ಇದ್ದಳು - ಅವಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಬಯಸದೆ, ಅವಳು ಟ್ರಿಪ್-ಹಾಪ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬಂದಳು. ವೈನರ್‌ನ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳು ಮಾಸಿವ್ ಅಟ್ಯಾಕ್, ಟ್ರಿಕಿ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಟಿಸ್‌ಹೆಡ್‌ನ ಟ್ರ್ಯಾಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ವಿಮರ್ಶಕರು ವೈನರ್ "ಟ್ರಿಪ್-ಹಾಪ್‌ನ ಅಜ್ಜಿ" ಎಂಬ MNE ನಿಯತಕಾಲಿಕದ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವಾದಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ: ಆಲ್ಬಮ್ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಬೃಹತ್ ಆಕ್ರಮಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು 1990 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಎರಡನೇ ಸಂಗೀತ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ದಪ್ಪ ಬಾಸ್ ಆಧಾರವಾಯಿತು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬ್ರಿಸ್ಟಲ್ ಧ್ವನಿಯು ಕೇವಲ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವಾಗ, ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು, ಪ್ರದರ್ಶನದ ವಿಧಾನ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಮನಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡಿಸ್ಟೋಪಿಯನ್ ಸಾಹಿತ್ಯ - ಮತ್ತು ಲೆಸ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬೇರೆಯವರಿಗಿಂತ ಮೊದಲು ಹಿಡಿದನು. .

ಟ್ವಿಗ್ಗಿ- ನಿಜವಾದ ಹೆಸರು ಲೆಸ್ಲಿ ಹಾರ್ನ್ಬಿ. 60 ರ ದಶಕ - ಯುವ ದಂಗೆಗಳ ಯುಗ - ಅನೇಕ ಯುವಕರು ತಮ್ಮನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪಾಲಿಸಲು ಅಥವಾ ತ್ಯಜಿಸಲು ಬಯಸದಿದ್ದಾಗ, ಅವರು ಸಂತೋಷದಿಂದ ಬದುಕಲು ಬಯಸಿದ್ದರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಪೋಷಕರು, ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಅಧಿಕಾರದ ವಿರುದ್ಧ ಬಂಡಾಯವೆದ್ದರು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ತಲೆಮಾರುಗಳ ನಡುವೆ ಇಂತಹ ಸಂಘರ್ಷಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸಿವೆ. ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಯುವಕರು ಪ್ರತಿಭಟಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಹೊಸ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಯುಗದಲ್ಲಿ ಹೊಸದು ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಿಗಿಟ್ಟೆ ಬಾರ್ಡೋಟ್ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಹೊಸ ಆದರ್ಶದ ಸಾಕಾರ ರೂಪದರ್ಶಿ ಟ್ವಿಗ್ಗಿ - ಕೇವಲ 45 ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳು ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 169 ಸೆಂ.ಮೀ ತೂಕದ ಹದಿನಾರು ವರ್ಷದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಹಿಳೆ, ಅವರು ಲಂಡನ್ನ ಉಪನಗರಗಳಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು, 16 ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಟ್ವಿಗ್ಗಿ ಕೇಶ ವಿನ್ಯಾಸಕಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಅವರನ್ನು ಭೇಟಿಯಾದರು ಮತ್ತು ಆಯಿತು. ಅವನ ಬ್ಯೂಟಿ ಸಲೂನ್‌ನ ಮುಖ. ಚಿಕ್ಕ ಕೂದಲಿನ ಮಾಡೆಲ್ ಆಗಿ ಟ್ವಿಗ್ಗಿಯ ಮೊದಲ ಫೋಟೋ ಶೂಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ಯಾರಿ ಲೇಟೆಗನ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಲೆಸ್ಲಿ ಹಾರ್ನ್ಬಿ - ಟ್ವಿಗ್ಗಿ ಗಾಗಿ ಸ್ಮರಣೀಯ ಕಾವ್ಯನಾಮದೊಂದಿಗೆ ಬಂದವರು ಅವರು.

ಲಂಡನ್ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಪತ್ರಕರ್ತರೊಬ್ಬರು ಸಲೂನ್ ಕಿಟಕಿಯಲ್ಲಿ ಟ್ವಿಗ್ಗಿಯ ಛಾಯಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಭಾವಚಿತ್ರವನ್ನು "1966 ರ ಮುಖ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅದೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಟ್ವಿಗ್ಗಿ ವಿಶ್ವದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಮಾದರಿಯಾಯಿತು.

ಕೇವಲ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಮಾಡೆಲ್ ಆಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅವಳು ತುಂಬಾ ಶ್ರೀಮಂತಳಾದಳು, 19 ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅವಳು ನಿವೃತ್ತಿ ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಟ್ವಿಗ್ಗಿ - ತೆಳುವಾದ ರೆಂಬೆ ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ - ಲಕ್ಷಾಂತರ ಜನರ ವಿಗ್ರಹವಾಗಲು ಮೊದಲ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅವಳು ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಹೋದಾಗ, ಅವಳ ಸುತ್ತಲೂ ಜನಜಂಗುಳಿ ಸೇರಿತು.

ಟ್ವಿಗ್ಗಿ ಮಾದರಿಸತತವಾಗಿ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಅವರು ಫ್ಯಾಷನ್ ಮಾಡೆಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ವಿವಾದ ರಾಣಿಯಾಗಿ ಉಳಿದರು. ಸಂಗೀತಗಾರರು ಮತ್ತು ನಟರೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪಾಪ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಮೊದಲ ಫ್ಯಾಷನ್ ಮಾಡೆಲ್ ಅವರು.

ಟ್ವಿಗ್ಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಯೌವನ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧತೆಯನ್ನು ಉಸಿರಾಡುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ x i(ಕೆ) , ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ iಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೇ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪು ಕೆ. ಒಂದು ವಯೋಮಾನದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ, ಸಾವು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು (ರೋಸೆನ್‌ಬರ್ಗ್, 1984). ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ ಕೆ+ 1 ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಕೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ( ಕೆ= 1) ಒಂದೇ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗುಂಪುಗಳ ನವಜಾತ ವಂಶಸ್ಥರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸಂತತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ f i- ಜನನ ಪ್ರಮಾಣ iನೇ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪು. ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಡಿ ಜೆ<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы ಜಗುಂಪಿಗೆ ಜ+ 1, ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಎನ್- 1 ವಿಧದ ಅನುಪಾತ:

ನಂತರ, ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು , ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಎನ್ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

X(ಕೆ + 1) = Lx(ಕೆ),

ಎಲ್ಲಿ X(ಕೆ) = {x i(ಕೆ)) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು

- ಫಲವತ್ತತೆ ಮತ್ತು ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ದರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಡಭಾಗದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಕೆ+1, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಕೆ. ಫಲವತ್ತತೆ ಮತ್ತು ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ದರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸರಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

X(ಕೆ + 1) = Lx(ಕೆ)

X(ಕೆ + 2) = Lx(k+1) =LLx(ಕೆ) = ಎಲ್ 2 X(ಕೆ)

X(k+m) = ಎಲ್ಮೀ X(ಕೆ)

ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಲೆಸ್ಲಿ, 1945).

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ (ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ). ಲೆಸ್ಲೀ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಘಟಿತವಾಗಲು (ಅಂದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ):

ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಚದರ ಸಬ್‌ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್), ಇದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜೈವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥ ಎನ್ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ವಯಸ್ಸು.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಇ- ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ವಿಘಟಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ನಂತರ, ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ), ಇದು ಇದರ ಸರಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ. ಜೊತೆಗೆ, ರಿಂದ , ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ 1 (ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಗರಿಷ್ಠ) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿ 1 ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್:

ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ 1 - ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ X(0).

λ 1 >1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ( X(ಕೆ) ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ) λ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. ಪ(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, ಅಂದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸ್ಥಿತಿ (ಸೂತ್ರ 5 ನೋಡಿ), ಹೋಲುತ್ತದೆ ಪ(1)>0 ಸಾವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ(1) = 0 - ಸ್ಥಾಯಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ. ಹೀಗಾಗಿ, ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ 1 ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ರೂಪದಿಂದ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅನುಕರಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಗುಣಾತ್ಮಕ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಲೆಸ್ಲೀ ಮಾದರಿಯ ಅನನುಕೂಲತೆಯು ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿಯ ಅನನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ - ಇದು λ 1 >1 ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ರೋಸೆನ್‌ಬರ್ಗ್, 1984).

ಷೆಲ್‌ನ ಕುರಿ ಸಹಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು ( ಹೆಲಿಕ್ಟೋಟ್ರಿಚಾನ್ ಶೆಲಿನಮ್) ಇದು ಉತ್ತರ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು ಹುಲ್ಲುಗಾವಲುಗಳ ಸಡಿಲವಾದ ಬುಷ್ ಸಣ್ಣ-ಟರ್ಫ್ ಹುಲ್ಲು. ಎ.ಎನ್. ಚೆಬುರೇವಾ (1977) ವಿವಿಧ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ (1970-1974) ಒಟ್ಟು 50 ಮೀ 2 ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಪೆನ್ಜಾ ಪ್ರದೇಶದ ಪೊಪೆರೆಚೆನ್ಸ್ಕಾಯಾ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಈ ಏಕದಳದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ, 0.5×0.5 ಮೀ 200 ಪ್ಲಾಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕುರಿಗಳ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಅಂತಹ ದೊಡ್ಡ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳು ಪ್ರತಿ ವಯೋಮಾನದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಶೋಧಕರು ಒಂಬತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ:

· ಮೊಗ್ಗುಗಳುಮತ್ತು ಚಿಗುರುಗಳು

ಪೂರ್ವಭಾವಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ( ಬಾಲಾಪರಾಧಿ, ಅಪಕ್ವಮತ್ತು ಯುವ ಸಸ್ಯಕ)

· ಉತ್ಪಾದಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ( ಯುವ, ಪ್ರಬುದ್ಧಮತ್ತು ಹಳೆಯದು)

ಜನನೋತ್ತರ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ( ಉಪವೃತ್ತಿಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಾದ)

ಶೆಲ್ ಶೀಪ್ ಸೆನೊಪೋಪ್ಯುಲೇಷನ್ (1972 ಬರಗಾಲದ ವರ್ಷ) ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಪದಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪ್ರತಿ ವಯಸ್ಸಿನವರಿಗೆ ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: x i + 1 (ಕೆ + 1) < Xನಾನು ( ಕೆ), ಅಂದರೆ. ನಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕಿರಿಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹಳೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರಬಾರದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಏಳು ವಯೋಮಾನದ ಎ.ಎನ್. ಚೆಬುರೇವಾ ಒಂದುಗೂಡಿದರು. ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1.

ಕೋಷ್ಟಕ 1

ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದವರಿಗೆ ಶೆಲ್ ಶೀಪ್ ಸೆನೋಪೋಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (A.N. ಚೆಬುರೇವಾ, 1977 ರ ಪ್ರಕಾರ)

ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, 1972 ರ ಡೇಟಾವು ಇನ್ನೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಯು ಸಮೃದ್ಧಿಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಾರದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತಗೊಳಿಸಬೇಕು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಲ್ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಜನನ ದರಗಳು f iಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪಾದಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಹಳೆಯ ಸಸ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕು. ಬದುಕುಳಿಯುವ ದರಗಳು ಡಿ ಐಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ (ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಾರೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಮುಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಇದು ಮೂರನೇ ಹಂತದ ಬಹುಪದೀಯವಾಗಿದೆ:

ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಪ(1) = 0.23>0 P. ಲೆಸ್ಲಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಗಮನಿಸಿದ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕೋನೊಪೊಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ನ ವಯಸ್ಸಾದ ಮತ್ತು ಒಣಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಕಾರ್ಡಾನೊ ಸೂತ್ರ. ರೂಪದ ಘನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ y = α + β, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸೋಣ (3 αβ + ಪು), ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಚಲಿಸಬಹುದು:

ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ (α 3 - ಮೊದಲ ಮೂಲ; β 3 - ಎರಡನೇ ಮೂಲ). ಇಲ್ಲಿಂದ:

- ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ.

D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

D = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ: ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು, ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮೂಲಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಬಹು ಮೂರು ಮೂಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಘನ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು:

ಎಲ್ಲಿ i= ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಕ್ಯೂಬ್ ರೂಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ಯೂಬ್ ರೂಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ!) ಮತ್ತು ರೂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಇದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ≠ 0

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ≠ 0

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: ಎ = 1; ಬಿ = –0,6; ಸಿ = –0,15; ಡಿ = –0,02;

ಡಿ= – 0,03888, ಡಿ<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

ಮುಂದೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಐಜೆನ್ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: λ 1 = 0.814; λ 2 = – 0.107 + 0.112 i; λ 3 = - 0.107 - 0.112 i, ಎಲ್ಲಿ i= ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. λ 1 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು λ 1 ರಿಂದ<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

ಜೊತೆಗೆ, Yu.M ಪ್ರಕಾರ. ಸ್ವಿರ್ಜೆವ್ ಮತ್ತು ಡಿ.ಒ. ಲೋಗೋಫೆಟ್ (1978), ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಏರಿಳಿತಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಷೆಲ್ ಕುರಿಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಏರಿಳಿತಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ λ 1 > ಗರಿಷ್ಠ (0.5, 0.4).

ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ, ಗಮನಿಸಿದ ಎ.ಎನ್. ಚೆಬುರೇವಾ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಕುರಿಗಳ ಸಹವರ್ತಿಗಳ ವಯಸ್ಸಾದಿಕೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಗುರುತಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಲ್ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಿದರೆ X(ಕೆ+1) ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರದ ಮೊತ್ತವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕೆ+1, ನಂತರ ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

X(ಕೆ+1) = Lx(ಕೆ), ,

ಎಲ್ಲಿ X(ಕೆ+1) - ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ ಕೆ+1 (ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳು ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ವಿವಿಧ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಟ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೈವಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಲೆಸ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು X(1) 1970 ರಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಕ ಕುರಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿತರಣೆ, ಇತರ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಸೆನೋಪೋಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾತ್ರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಹೆಲಿಕ್ಟೋಟ್ರಿಚಾನ್ ಶೆಲಿನಮ್ವಿವಿಧ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದವರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 1970 ರ ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 1971 ಕ್ಕೆ ವಿವಿಧ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಿ, ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಟ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಟೇಬಲ್ 2) ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ತರುತ್ತೇವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2

ಲೆಸ್ಲಿಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಪ್ರಕಾರ ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದವರಿಗೆ ಶೆಲ್ ಶೀಪ್ ಸೆನೊಪೋಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾತ್ರ

ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪು
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ	ಮಾದರಿ ಲೆಸ್ಲಿ	ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ	ಮಾದರಿ ಲೆಸ್ಲಿ		ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ	ಮಾದರಿ ಲೆಸ್ಲಿ	ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ	ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ	ಮಾದರಿ ಲೆಸ್ಲಿ	ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ	ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ	ಮಾದರಿ ಲೆಸ್ಲಿ	ಲೆಸ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ
ಮೊಳಕೆ, ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
ಸಬ್ಸೆನೈಲ್ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
ವಯಸ್ಸಾದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ				532,7			449,2			360,9			294,6