ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮೀರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು c ಎನ್ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ij (ನಾನು = 1, 2, …, ಮೀ; ಜ = 1, 2, …, ಎನ್) - ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; x i- ಅಜ್ಞಾತ.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್(A) = ಆರ್() ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ( ಕ್ಷುಲ್ಲಕ) ಪರಿಹಾರ (0; 0; ...; 0).

ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮಾತ್ರ ಆರ್ಕಡಿಮೆ ಅಪರಿಚಿತರು ಎನ್, ಅಂದರೆ ಆರ್ < ಎನ್.

□ 1) ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಶ್ರೇಣಿಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮೀರುವಂತಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಆರ್ ≤ ಎನ್. ಅವಕಾಶ ಆರ್ = ಎನ್. ನಂತರ ಚಿಕ್ಕ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎನ್ ಎನ್ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ... ಇದರರ್ಥ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆರ್ < ಎನ್.

2) ಅವಕಾಶ ಆರ್ < ಎನ್. ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ■

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎನ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು c ಎನ್ಅಪರಿಚಿತ:

(2)

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎನ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು c ಎನ್ unknowns (2) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ: = 0.

□ ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ = 0. ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ. = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಆರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ < ಎನ್. ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ■

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ (1) X 1 = ಕೆ 1 , X 2 = ಕೆ 2 , …, x n = ಕೆ ಎನ್ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ .

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

1. ಸಾಲು ವೇಳೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಲೈನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

2. ಸಾಲುಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಪರಿಹಾರಗಳು, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಜೊತೆಗೆ 1 ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ 2 ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (1).

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇ 1 , ಇ 2 , …, ಇ ಆರ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೂಲಭೂತ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಇ 1 , ಇ 2 , …, ಇ ಆರ್.

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಶ್ರೇಣಿಯ ವೇಳೆ ಆರ್ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ (1) ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎನ್, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (1) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎನ್-ಆರ್ನಿರ್ಧಾರಗಳು.

ಅದಕ್ಕೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಇ 1 , ಇ 2 , …, ಇ ಆರ್- ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (9), ಜೊತೆಗೆ 1 , ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆರ್ = ಎನ್-ಆರ್.

ಪ್ರಮೇಯ 4.ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮೀರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು c ಎನ್ಅಜ್ಞಾತವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (1) ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ (1).

ಉದಾಹರಣೆ.ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ.ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಮೀ = ಎನ್= 3. ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X = ವೈ = z = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. 1) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2) ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 1) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮೀ = ಎನ್= 3. ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣ ಇರುವುದರಿಂದ

X + ವೈ – 4z = 0,

ನಂತರ ಅದರಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ X =4z- ವೈ. ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (4 z- ವೈ, ವೈ, z) - ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ನಲ್ಲಿ z= 1, ವೈ= -1, ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (5, -1, 1). ಹಾಕುವುದು z= 3, ವೈ= 2, ನಾವು ಎರಡನೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (10, 2, 3), ಇತ್ಯಾದಿ.

2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ (4 z- ವೈ, ವೈ, z) ಅಸ್ಥಿರ ವೈಮತ್ತು zಉಚಿತ, ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ X- ಅವರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ವೈ = 1, z= 0, ನಂತರ ವೈ = 0, z= 1. ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (-1, 1, 0), (4, 0, 1) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣೆಗಳು:

ಅಕ್ಕಿ. 1 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಅಕ್ಕಿ. 2 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ

ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು:

· ಪರಿಹಾರ SLAE_matrix ವಿಧಾನ

· SLAE_Cramer ವಿಧಾನದ ಪರಿಹಾರ

· ಪರಿಹಾರ SLAE_Gauss ವಿಧಾನ

· ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳು ಗಣಿತ, ಮ್ಯಾಥ್‌ಕ್ಯಾಡ್: ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ನಿಯಂತ್ರಣ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

1. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

2. ಯಾವ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಾಣುತ್ತದೆ? ಮೀಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎನ್ಅಪರಿಚಿತ?

3. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಲ್ವಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

4. ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

5. ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

6. ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಜಂಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

7. ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

8. ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

9. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ

10. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ

11. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನ್ವಯದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ

12. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು?

13. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು?

14. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು?

15. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ 3 ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ

16. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

17. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ರಾಮರ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

18. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

19. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು?

20. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ 3 ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ

ಸಾಹಿತ್ಯ:

1. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತ: ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / N.Sh. ಕ್ರೆಮರ್, ಬಿ.ಎ. ಪುಟ್ಕೊ, ಐ.ಎಂ. ತ್ರಿಶಿನ್, M.N. ಫ್ರೀಡ್ಮನ್. ಸಂ. ಎನ್.ಎಸ್. ಕ್ರೆಮರ್. - ಎಂ.: ಯುನಿಟಿ, 2005. - 471 ಪು.

2. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋರ್ಸ್: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. / ಎಡ್. ಮತ್ತು ರಲ್ಲಿ. ಎರ್ಮಾಕೋವಾ. –ಎಂ.: INFRA-M, 2006. – 655 ಪು.

3. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಸಂಪಾದಿತ V.I. ಎರ್ಮಾಕೋವಾ. ಎಂ.: INFRA-M, 2006. - 574 ಪು.

4. Gmurman V. E. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ. - ಎಂ.: ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 2005. - 400 ಪು.

5. ಗ್ಮರ್ಮನ್. V.E ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. - ಎಂ.: ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 2005.

6. ಡ್ಯಾಂಕೊ ಪಿ.ಇ., ಪೊಪೊವ್ ಎ.ಜಿ., ಕೊಝೆವ್ನಿಕೋವಾ ಟಿ.ಯಾ. ವ್ಯಾಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತ. ಭಾಗ 1, 2. - ಎಂ.: ಓನಿಕ್ಸ್ 21 ನೇ ಶತಮಾನ: ಶಾಂತಿ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ, 2005. - 304 ಪು. ಭಾಗ 1; – 416 ಪು. ಭಾಗ 2.

7. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ: 2 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ / ಎ.ಎಸ್. ಸೊಲೊಡೊವ್ನಿಕೋವ್, ವಿ.ಎ. ಬಾಬೈಟ್ಸೆವ್, ಎ.ವಿ. ಬ್ರೈಲೋವ್, I.G. ಶಾಂಡರ. – ಎಂ.: ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, 2006.

8. ಶಿಪಾಚೆವ್ ವಿ.ಎಸ್. ಉನ್ನತ ಗಣಿತ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳು - ಎಂ.: ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 2007. - 479 ಪು.

ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿ.

ನಾವು ನಮ್ಮ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮೆರುಗುಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳುಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಸ್ತುವು ನೀರಸ ಮತ್ತು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಅನಿಸಿಕೆ ಮೋಸದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ತಂತ್ರಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಬಹಳಷ್ಟು ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದರೇನು?

ಉತ್ತರವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮುಕ್ತ ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲರೂವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮತ್ತು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕಪರಿಹಾರ . ಕ್ಷುಲ್ಲಕ, ವಿಶೇಷಣಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದವರಿಗೆ, ಪ್ರದರ್ಶನವಿಲ್ಲದೆ ಅರ್ಥ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಆದರೆ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ =) ...ಪೊದೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಏಕೆ ಸೋಲಿಸಬೇಕು, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಪರಿಹಾರ: ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಬಾರ್ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಶೂನ್ಯ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನೀವು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಿದರೂ ಅವು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ:

(1) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

(2) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಾನವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ: ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರ, ವೇಳೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 3) ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - 3 ತುಣುಕುಗಳು).

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ತರಂಗಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ರೇಡಿಯೊವನ್ನು ಬೆಚ್ಚಗಾಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಟ್ಯೂನ್ ಮಾಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಅಂತಿಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

(1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಎದುರಿಸಿದ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಗಮನ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಮುಂದಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

(1) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, 4 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.

(3) ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ನರ್ಲ್ಡ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ:

- ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;
- ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರ.

ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ:

- 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸದಿಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ - ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ದೋಷಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೂವರಿಗೆ ನಾವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:, ಎಲ್ಲಿ

ಆಂಶಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಬಯಸುವವರು ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಳವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಆಲೋಚನೆ ಇದೆ ಇತರ ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಹಾಗಾದರೆ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಏಕೆ ಹೊಂದಿರಬಾರದು? ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ:

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಪಾಠಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು/ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಎಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ(ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದುಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು.
ಮತ್ತು ಈಗ, ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸದ ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ, ನಾವು ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಳಪು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳುಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಸ್ತುವು ನೀರಸ ಮತ್ತು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಅನಿಸಿಕೆ ಮೋಸದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ತಂತ್ರಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಬಹಳಷ್ಟು ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದರೇನು?

ಉದಾಹರಣೆ 1

(2) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಲೇಖನದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಚ್ಚುವ ಮೀನುಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಉದಾಹರಣೆ.

ಸೊನ್ನೆಗಳು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ತದನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ. ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು. ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾನು "ಮೈನಸ್" ನೊಂದಿಗೆ ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ, ಇದು ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(2) ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಳ್ಳಲಿಲ್ಲ - ಅದು ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿತು. ನೀವು ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಸಾಲುಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

(3) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

(4) ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. "ಹೆಜ್ಜೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುವ" ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು, "ಹೆಜ್ಜೆ" ಪಡೆಯದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಉಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಉಚಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ: ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:

ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಅನಗತ್ಯ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ: ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳಿಗೆ ಕಾನೂನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಇದನ್ನು ಸದ್ದಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಶಾಂತಿಯುತವಾಗಿ ಮುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ತೆರೆದಿದ್ದೇನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ. ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳು ಈ ಲೇಖನದ ಕಾರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಚನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು

ನಿಮ್ಮ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿ,
ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವಿಧಾನದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ,
ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ). ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹಲವಾರು SLAE ಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. SLAE ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಅವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ. ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು SLAE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ SLAE ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಪದನಾಮಗಳು.

ನಾವು p ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ (p n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, - ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಕೆಲವು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), - ಉಚಿತ ಪದಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ).

ಈ ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ SLAE ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು.

IN ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,
ಎಲ್ಲಿ - ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು (n+1) ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಹ ಒಂದು ಗುರುತಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಶ್ಚಿತ; ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ - ಅನಿಶ್ಚಿತ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ SLAE ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ SLAE ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಥವಾ ಅವರು ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅವರು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. ನಾವು ಈ ವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಾಗಿವೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸೋಣ.

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು - ಬದಲಿ ಮೂಲಕ A ಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು 1 ನೇ, 2 ನೇ, ..., ನೇಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಣಕ್ಕೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಣ:

ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ . ಕ್ರೇಮರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ .

ಪರಿಹಾರ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕ್ರೇಮರ್ನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅಗತ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ) :

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು :

ಉತ್ತರ:

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ (ಅದನ್ನು ಅನನುಕೂಲತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದಾದರೆ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆಯಾಮ n ನಿಂದ n ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ. ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಏಕೆಂದರೆ

ನಂತರ SLAE ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್‌ಗೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಉತ್ತರ:

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಚೌಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.
ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲನೆಯದು, x 1 ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಂತರ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಕೇವಲ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x n ವರೆಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, x n ಅನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x n-1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, x 1 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು .

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 ಅನ್ನು ಇತರ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, x n ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n-1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಈಗ ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 2 ಅನ್ನು ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ; ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು x 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಉಳಿದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ p ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ n:

ಅಂತಹ SLAEಗಳು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚದರ ಮತ್ತು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ.

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು, ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. SLAE ಯಾವಾಗ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ:
n ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗಿನ p ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು (p n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ , ಶ್ರೇಣಿ(A)=Rank(T).

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಪರಿಹಾರ.

. ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕನು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವನಾಗಿದ್ದಾನೆ

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, Rang(A), ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಆದರೆ ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಕ್ರಮವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಆಧಾರದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಇರಬಹುದು; ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ .

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಮೂಲವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.

n ನಿಂದ p ಆದೇಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು r ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲು (ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲು (ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳ ರಚನೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರ ಚಿಕ್ಕದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ?

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೈನರ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಅದರ ಕ್ರಮವು r ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಧಾರವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ SLAE ಮೂಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅನಗತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ r ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚಿಕ್ಕವರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಶ್ರೇಣಿ(A)=Rank(T)=2.

ಆಧಾರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ . ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

x 1 = 1, x 2 = 2.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ SLAE ಯಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳ ಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಎನ್ - ಆರ್ ತುಣುಕುಗಳಿವೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಚಿತ.

ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ನಂಬುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ r ಮುಖ್ಯ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಅದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 1 1 = 1 ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಮೈನರ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಡಿರೇಖೆಯ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಮೂರು. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಮೈನರ್ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ x 2 ಮತ್ತು x 5 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ , ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, SLAE ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, .

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಉತ್ತರ:

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಆಧಾರದ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸದ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸದೆಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು SLAE ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಸಾಮರಸ್ಯ ಎರಡರ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ p ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (n - r) ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ n ಆಯಾಮದ ಸ್ತಂಭಾಕಾರದ ಮಾತೃಕೆಗಳು ಮೂಲಕ 1) , ನಂತರ ಈ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ C 1, C 2, ..., C (n-r), ಅಂದರೆ, .

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಒರೊಸ್ಲಾವ್) ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂಬ ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು?

ಅರ್ಥ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಸೂತ್ರವು ಮೂಲ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ C 1, C 2, ..., C (n-r) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಏಕರೂಪದ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ 1,0,0,...,0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದು X (1) ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ - ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ 0,1,0,0,...,0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು X (2) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು 0.0,…,0.1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು X (n-r) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ SLAE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 0,0,...,0 ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ 1 1 = 9 ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಂದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣ:

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ:

ಮೂಲ SLAE ಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು:

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಈ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ SLAE ನಾಲ್ಕು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮವು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X (1) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ x 2 = 1, x 4 = 0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ m ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು n ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ:

(15)

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕ) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (0,0,…,0).

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (15) m=n ಮತ್ತು , ಆಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಾಮರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (15) ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಅಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. . ಆರ್(ಎ)< ಎನ್.

ಪುರಾವೆ. ಸಿಸ್ಟಂ (15) ಗೆ ಒಂದು ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 1, x 2,..., x n, ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಗಳು (15) ನಿಜ).

ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ  ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.  ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಆರ್ಡರ್ ಆರ್ಡರ್ ಅದರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವಾಗ. ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಣಾಮ. ಒಂದು ಚದರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ  ಯಾವಾಗ |A|=0.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಕಾಲಮ್‌ಗಳು x (1), x (2),..., x (s) ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ AX = 0 ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಂತರ AX=A()===0. ಇತ್ಯಾದಿ

ಫಲಿತಾಂಶ 1.ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅದು. Ax = 0 ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ x (1), x (2),..., x (s) ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಮೇಲಾಗಿ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಿಸ್ಟಂ k=n-r (n ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ, r=rg A) ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ x (1), x (2),…, x (k) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ Ах=0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. n ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು r=rg A ನೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು Ах=0 ನೀಡಲಿ, ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ k=n-r ಪರಿಹಾರಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ x (1), x (2),…, x (k) ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳು ಆಧಾರ ಸಾಲುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ x 1, x 2,..., x n ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೊದಲ r ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ. ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು), ನಂತರ ಅವು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು (r+1) ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು x r +1 , x r +2 ,…, x n ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳನ್ನು x 1 , x 2 ,…, x r ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡೋಣ:

(16)

ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ b i =0, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ಬದಲಿಗೆ

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r ((13), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r (13)

ನಾವು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು x r +1 , x r +2 ,..., x n ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಮೂಲ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಒಂದು ಚದರ SLAE ಅನ್ನು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ x r +1, x r +2,…, x n ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೆಳಗಿನ k=n-r ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ =1 ವೇಳೆ i=j ಮತ್ತು =0 ij ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳ i-th ಸರಣಿಯು ,,..., ಮೂಲಭೂತ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉಚಿತ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ (17).

e i =,i=1,2,...,k (18) ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ Ax=0 ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು k ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇದು ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ (16). ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಇರಲಿ ಇ 1 , ಇ 2 ,…, ಇ ಕೆ(x (1) , x (2) ,..., x (k)), ಶೂನ್ಯ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಸಮ:

 1 ಇ 1 +  2 ಇ 2 +…+  ಕೆ ಇ ಕೆ ( 1 X (1) + 2 X(2) +...+ ಕೆ X(ಕೆ) = 0)

ನಂತರ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು r+1,r+2,...,n ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ (r+1)ನೇ ಘಟಕವು  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, (r+2)ನೇ ಘಟಕವು  2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,…, kth ಘಟಕವು  k ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ  1 =  2 = …= k =0, ಅಂದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಇ 1 , ಇ 2 ,…, ಇ ಕೆ ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

ಪರಿಹಾರಗಳ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (18) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (13), ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(20)

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಅವಕಾಶ ಇ 1 , ಇ 2 ,…, ಇ ಕೆ- ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

x=c 1 ಇ 1 +s 2 ಇ 2 +…+ಸಿ ಕೆ ಇ ಕೆ (21)

ಅಲ್ಲಿ с 1,с 2,...,с k - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪುರಾವೆ. ಪ್ರಮೇಯ 2 ರಿಂದ, ಕಾಲಮ್ (19) ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ Ax=0 ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ (17) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ. ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X=y r +1 ಇ 1 +…+ವೈ ಎನ್ ಇ ಕೆ. ಈ ಕಾಲಮ್ r+1,...,n ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾಲಮ್ y ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು (16) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಲಮ್ಗಳು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು (16) ಅದರ ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ x r +1 ,…, x n , ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು Xಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಲ್ಲಿ=X= ವೈ ಆರ್ +1 ಇ 1 +…+ವೈ ಎನ್ ಇ ಕೆ, ಅಂದರೆ ಪರಿಹಾರ ನಲ್ಲಿಕಾಲಮ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಇ 1 ,…,y n ಸಾಮಾನ್ಯ FSR. ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಾಬೀತಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್‌ಎಸ್‌ಆರ್‌ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಏಕರೂಪದ ಎಸ್‌ಎಲ್‌ಇಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಫ್‌ಎಸ್‌ಆರ್‌ಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

X=ಸಿ 1 X 1 + ಸಿ 2 X 2 +…+ಗಳು ಎನ್ - ಆರ್ X ಎನ್ - ಆರ್ - ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

X 1, X 2,..., X n - r – ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ,

c 1 ,c 2 ,...,c n - r ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ. (ಪುಟ 78)

ಅಸಮಂಜಸ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ (1) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ SLAE (15)

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (1) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (15) ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. c 1 ,…,c n ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು d 1 ,…,d n ಸಿಸ್ಟಮ್ (15) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು c ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, i-th) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ (1) 1 +d 1 ,...,c n +d n , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

B i +0=b i h.t.d.

ಪ್ರಮೇಯ 5. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (1) ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (15) ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. c 1 ,…,c n ಮತ್ತು c 1 ,…,c n ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಪರಿಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು c ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಯಾವುದೇ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, i-th) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

B i -b i =0 p.t.d.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ, n ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ m ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (15) ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (15).

X ನಿಯೋಡ್. =X ಒಟ್ಟು ಒಂದು +X ಆಗಾಗ್ಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ (22)

ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ, c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. (a in)) j=1,2,...,r ((13) ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು c r +1 ,…,c n ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ, ಅಂದರೆ.

X 0 =(,...,,0,0,...,0) (23)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು X=ಸಿ 1 X 1 + ಸಿ 2 X 2 +…+ಗಳು ಎನ್ - ಆರ್ X ಎನ್ - ಆರ್ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X ನಿಯೋಡ್. =X 0 +ಸಿ 1 X 1 +ಸಿ 2 X 2 +…+ಎಸ್ ಎನ್ - ಆರ್ X ಎನ್ - ಆರ್ (24)

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ a ij 0.

ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 22 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು (-a 12) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (-a 21) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ x 1 ಅನ್ನು ಎಲಿಮಿನೇಟ್ ಮಾಡಿ (-a 21), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 11 ರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು: ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ,, ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:, ಅಂದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ :,.

Δ=0, ಮತ್ತು (ಅಥವಾ), ಆಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರೆ Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, ಆಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ