ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು

TO ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಳಗಿನ 6 ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ: ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ , ಆರ್ಕೋಸಿನ್ , ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ , ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ , ಆರ್ಕ್ಸೆಕೆಂಟ್ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ .

ಮೂಲದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಆವರ್ತಕ, ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಬಹುಸೂಕ್ಷ್ಮ . ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗಳು . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(y = \sin x\) ಕಾರ್ಯವನ್ನು \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ವಿಲೋಮ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (\(\arcsin a\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) \(\ಎಡ[ ( - \pi /2,\pi /) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. 2) \right]\), ಇದಕ್ಕಾಗಿ \(\sin x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \arcsin x\) ಅನ್ನು \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \left[ ( - \pi / 2,\pi /2) \right]\).

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ (\(\arccos a\)) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(\left[ (0,\pi) \right]\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. , ಇದರಲ್ಲಿ \(\cos x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \arccos x\) ಅನ್ನು \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ \ಎಡ[ (0,\ ಪೈ)\ಬಲ]\).

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎ(\(\arctan a\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಇದು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), ನಲ್ಲಿ ಇದು \(\tan x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \arctan x\) ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ \(x \in \mathbb(R)\) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು \(y \in \left((-\pi/2,) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \pi/2 )\ಬಲ)\).

ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (\(\text(arccot) a\)) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(x\) ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(\left[ (0,\) pi) \right]\), ಇದರಲ್ಲಿ \(\cot x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arccot) x\) ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ \(x \in \mathbb(R)\) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಡ[ (0,\pi) \ಬಲ]\).

ಆರ್ಕ್ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೆಂಟ್ (\(\text(arcsec) a\)) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(x\) ಇದರಲ್ಲಿ \(\sec x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arcsec) x\) ಅನ್ನು \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ )\ ), ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \ಬಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ]\).

ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸೆಕೆಂಟ್ (\(\text(arccsc ) a\) ಅಥವಾ \(\text(arccosec ) a\)) \(\) ಕೋನ \(x\) ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ csc x = a\ ). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arccsc ) x\) ಅನ್ನು \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ )\ ), ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ಗೆ ಸೇರಿದೆ ]\).

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\ಪಠ್ಯ(ಆರ್ಕಾಟ್) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

ಪಾಠಗಳು 32-33. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

09.07.2015 8495 0

ಗುರಿ: ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

I. ಪಾಠಗಳ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುವುದು

II. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು

1. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: a) ಪಾಪ x = 1/2; b) ಪಾಪ x = a.

a) ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನಾವು 1/2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ x 1 ಮತ್ತು x2, ಇದಕ್ಕಾಗಿಪಾಪ x = 1/2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x1 + x2 = π, ಎಲ್ಲಿಂದ x2 = π – x 1 . ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು x1 = π/6 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:ಅಲ್ಲಿ k ∈ Z.

ಬಿ) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಪಾಪ x = a ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈಗ ಮೌಲ್ಯ a ಅನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನ x1 ಅನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಈ ಕೋನವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಎ. ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಈ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು:ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

ಉಳಿದಿರುವ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅದರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಹುಮೌಲ್ಯಮಾಪನವಾಗಿದೆ - ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಕೋನಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ a (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ , ಯಾರ ಪಾಪವು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ a(ಆರ್ಕೋಸ್ a) ಒಂದು ಕೋನ a ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಅದರ ಕೊಸೈನ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ a (arctg a) - ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಅಂತಹ ಕೋನ aಇದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.tg a = a.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ a(arcctg a) ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ a ಕೋನವಾಗಿದೆ (0; π), ಇದರ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ctg a = a.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ

ಕೋನ a = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಇರಲಿ 3/5, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ sin a = 3/5 ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು cos ಎ. ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:ಒಂದು ≥ 0 ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು	ಕಾರ್ಯ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು	y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x	y = ಆರ್ಕೋಸ್ x	y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x	y = arcctg x
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ	y ∈ [ -π/2 ; π /2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
ಸಮಾನತೆ	ಬೆಸ	ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ	ಬೆಸ	ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ
ಕಾರ್ಯ ಸೊನ್ನೆಗಳು (y = 0)	x = 0 ನಲ್ಲಿ	x = 1 ನಲ್ಲಿ	x = 0 ನಲ್ಲಿ	y ≠ 0
ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು	x ∈ (0; 1] ಗೆ y > 0, ನಲ್ಲಿ< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ ಗಾಗಿ y > 0 [-1; 1)	x ∈ ಗೆ y > 0 (0; +∞), ನಲ್ಲಿ< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; +∞) ಗೆ y > 0
ಏಕತಾನ	ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ	ಅವರೋಹಣ	ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ	ಅವರೋಹಣ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ	ಪಾಪ y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

y ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕಇದು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ x∈ (-∞; +∞), ಎರಡನೇ -ಈ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ z = 2x - x2 (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

z ∈ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (-∞; 1]. ವಾದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಟೇಬಲ್ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಆದ್ದರಿಂದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರದೇಶ

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕಾರ್ಯವು y = ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ arctg x ಬೆಸ ಅವಕಾಶನಂತರ tg a = -x ಅಥವಾ x = - tg a = tg (- a), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, - a = arctg x ಅಥವಾ a = - arctg X. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆಅಂದರೆ y(x) ಒಂದು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ

ಅವಕಾಶ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂದಿನಿಂದ

ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು

ಅಂತೆಯೇ ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಉದಾಹರಣೆ 8

y = ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ cos(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x).

ನಾವು a = arcsin x ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ x = sin a ಮತ್ತು y = cos a, ಅಂದರೆ x 2 ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ + y2 = 1, ಮತ್ತು x ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು (x∈ [-1; 1]) ಮತ್ತು y (y ≥ 0). ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = cos(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) ಒಂದು ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

y = ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣಆರ್ಕೋಸ್ (cos x ).

ಕಾಸ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳು [-1; 1], ನಂತರ y ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. y = ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣಆರ್ಕೋಸ್ (ಕಾಸ್ಕ್ಸ್) = x ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ; y ಕಾರ್ಯವು 2π ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ cos x ಈಗ ಗ್ರಾಫ್ ರಚಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣಸೂಚಿಸೋಣ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ z = π/4, ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ z = -π/2, ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಂತೆಯೇ, ನೀವು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣ	ಪರಿಹಾರ


tgx = a
ctg x = a

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು:ನಾವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:ಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (a = 0; ± 1) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಿ sin x = a ಮತ್ತು cos x = ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು, ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ಸಿನ್ x = 1 ಪರಿಹಾರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ sin x = 0 ಪರಿಹಾರಗಳು x = π k;

ಸಿನ್ x = -1 ಪರಿಹಾರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ

cos ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ x = 1 ಪರಿಹಾರಗಳು x = 2πಕೆ ;

cos x = 0 ಪರಿಹಾರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ

cos x = -1 ಪರಿಹಾರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ

ಉದಾಹರಣೆ 14

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:ನಾವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು?

III. ಭದ್ರತಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು(ಮುಂಭಾಗದ ಸಮೀಕ್ಷೆ)

1. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

2. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

3. ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

IV. ಪಾಠ ನಿಯೋಜನೆ

§ 15, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (a, b); 4 (ಸಿ, ಡಿ); 7(ಎ); 8(ಎ); 12 (ಬಿ); 13(ಎ); 15 (ಸಿ); 16(ಎ); 18 (ಎ, ಬಿ); 19 (ಸಿ); 21;

§ 16, ಸಂಖ್ಯೆ 4 (a, b); 7(ಎ); 8 (ಬಿ); 16 (ಎ, ಬಿ); 18(ಎ); 19 (ಸಿ, ಡಿ);

§ 17, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (a, b); 4 (ಸಿ, ಡಿ); 5 (ಎ, ಬಿ); 7 (ಸಿ, ಡಿ); 9 (ಬಿ); 10 (ಎ, ಸಿ).

V. ಹೋಮ್ವರ್ಕ್

§ 15, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ಸಿ, ಡಿ); 4 (ಎ, ಬಿ); 7 (ಸಿ); 8 (ಬಿ); 12(ಎ); 13(ಬಿ); 15 (ಗ್ರಾಂ); 16 (ಬಿ); 18 (ಸಿ, ಡಿ); 19 (ಗ್ರಾಂ); 22;

§ 16, ಸಂಖ್ಯೆ 4 (ಸಿ, ಡಿ); 7(ಬಿ); 8(ಎ); 16 (ಸಿ, ಡಿ); 18 (ಬಿ); 19 (ಎ, ಬಿ);

§ 17, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ಸಿ, ಡಿ); 4 (ಎ, ಬಿ); 5 (ಸಿ, ಡಿ); 7 (ಎ, ಬಿ); 9 (ಗ್ರಾಂ); 10 (ಬಿ, ಡಿ).

VI. ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು

1. ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

3. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ:

VII. ಪಾಠಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದು

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು- ಇವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್.

ಮೊದಲಿಗೆ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಅದರ ಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಮಗೆ ಈ ನಾಲ್ಕು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡೋಣ - ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ.

ನೆನಪಿಡಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಭೇಟಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತ ವರ್ಗಮೂಲಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ a ಎಂಬುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವರ್ಗವು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ b ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ c ಆಗಿದೆ

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕೆ "ಆವಿಷ್ಕರಿಸಬೇಕು" ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಲಾಗರಿದಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ: ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು 7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 2 ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ

ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೈನ್‌ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ a. ಹೌದು, ಎಲ್ಲರೂ ಈಗಾಗಲೇ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ.

ಸೈನ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನವು ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸರಣಿಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದ ಸರಿಯಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಎರಡನೇ ಸರಣಿ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿಯಿರಿ -.

ಇದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಳಿದಿದೆ - ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನ ಎಂದು ಏಕೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ?

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕೋನಗಳಿವೆ, ಅದರ ಸೈನ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಆರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವದನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಸೈನ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಕೋನದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ , ಅಂತಹ

ಹುದ್ದೆ: ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

"ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಗಳು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿಯೂ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದೇವೆ

ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, x -1 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ.

ಇದರರ್ಥ y = arcsin x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ

y ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ y = arcsin x ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

y=arcsinx ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ಟೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೊನ್ನೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಎಂಬುದು ಸೈನ್ ಇರುವ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು? - ಇದು ಶೂನ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದರ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು

ನಾವು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ: - ಇದು ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೌದು ಅದು

			0
			0

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

2. ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

3., ಅಂದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

4. ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ, ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - , ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ, ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

5. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಏನು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ? ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬಲ ಶಾಖೆ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಂತೆ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಂತೆ - ಅವುಗಳನ್ನು "ಅದೇ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೈನ್ ತರಂಗದಿಂದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತುಣುಕನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ - ಮತ್ತು ನಾವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುವು, ನಂತರ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಅದು ಹೇಗಿರಬೇಕು! ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ - ಪರಸ್ಪರ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು, ಹಾಗೆಯೇ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

ಅಂತೆಯೇ, ನಮಗೆ ಪ್ರತಿ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕೋನವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ , ಅಂತಹ

ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ: “ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಮೇಲಿನಿಂದ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ,” ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ

ಪದನಾಮ: ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದೇ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕೂಡ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲ ಬೆಸ ಕಾರ್ಯ. ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ

ನಮಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು. ಪ್ರತಿ x ಮೌಲ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, y = ಆರ್ಕೋಸ್ಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯ.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡೋಣ.

ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ x ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಂಖ್ಯೆ y ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಇದರರ್ಥ, ರಿಂದ;

ಏಕೆಂದರೆ ;

ಏಕೆಂದರೆ,

			0
					0

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

2. ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ - ಇದು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ.

4. ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. y = arccosx ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

5. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮುಂದಿನವು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ , ಅಂತಹ

ಹುದ್ದೆ: . ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು - ಬಿಂದುಗಳು - ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಯಾವುದೇ ಕೋನಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, x ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಂಖ್ಯೆ y ಆಗಿದೆ

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪರಸ್ಪರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ:

x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರ C. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ನಂತರ ಹೊಂದಿವೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ, ಡೊಮೇನ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಂದ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ,

ಆದರೆ x ನ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ?

ನಾವು ನಮಗೆ ನಾವೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ? - ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು

ಇದರರ್ಥ x ನ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮತಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ

ಅಂತೆಯೇ, x ಮೈನಸ್ ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದರೆ, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮತಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

2. ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

3. ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ.

4. ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

6. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ - ಸಹಜವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ , ಅಂತಹ

ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್:

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

2. ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ

3. ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ.

4. ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

5. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ನೇರ ಮತ್ತು - ಸಮತಲ ಲಕ್ಷಣ.

6. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) ಎಂಬುದು ಸೈನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x = ಪಾಪ -1 ≤ x ≤ 1ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ -π /2 ≤ y ≤ π/2.
ಪಾಪ(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = x ;
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = x .

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್‌ನ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕೋಸ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಕೊಸೈನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x = ಕಾಸ್ ವೈ) ಅದಕ್ಕೊಂದು ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಇದೆ -1 ≤ x ≤ 1ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಅರ್ಥಗಳು 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
ಆರ್ಕೋಸ್(cos x) = x .

ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನತೆ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ:
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(- x) = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-ಸಿನ್ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಎಕ್ಸ್

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಲ್ಲ:
ಆರ್ಕೋಸ್(- x) = ಆರ್ಕೋಸ್(-ಕಾಸ್ ಆರ್ಕೋಸ್ x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - ಆರ್ಕೋಸ್ x ≠ ± ಆರ್ಕೋಸ್ x

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು - ತೀವ್ರ, ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ನಿರಂತರತೆಯ ಪುರಾವೆ ನೋಡಿ). ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

	y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x	y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್
ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ
ಆರೋಹಣ, ಅವರೋಹಣ	ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ	ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ
ಗರಿಷ್ಠ
ಕನಿಷ್ಠಗಳು
ಸೊನ್ನೆಗಳು, y = 0	x = 0	x = 1
ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸಿ, x = 0	y = 0	y = π/ 2

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ, ವಾದದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

x	ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x		ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್
	ಆಲಿಕಲ್ಲು ಮಳೆ	ಸಂತೋಷವಾಯಿತು.	ಆಲಿಕಲ್ಲು ಮಳೆ	ಸಂತೋಷವಾಯಿತು.
- 1	- 90 °	-	180°	π
-	- 60 °	-	150°
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

ಸೂತ್ರಗಳು

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ: ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು

ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ

ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ

ನಲ್ಲಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ: ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

;
.
ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡಿ > > >

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:
,
ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ.
;
;
.

ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ > > > ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ x = ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆಪಾಪ ಟಿ ., ನಾವು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು -π/:
.

2 ≤ t ≤ π/2
.

ವೆಚ್ಚ ಟಿ ≥ 0

ಆರ್ಕ್ ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:< 1 ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ
;
.

ಯಾವಾಗ |x|

ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳುಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ನ ವಿಲೋಮಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್.
ಪಾಪ(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = x
cos(arccos x) = x .

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = xವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
ಆರ್ಕೋಸ್(cos x) = xಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ನಲ್ಲಿ
ನಲ್ಲಿ.

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯ:

ಐ.ಎನ್. ಬ್ರಾನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಕೆ.ಎ. ಸೆಮೆಂಡ್ಯಾವ್, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೈಪಿಡಿ, "ಲ್ಯಾನ್", 2009.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ:

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 2

y=cos x ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ) ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ.

ಇದರರ್ಥ y=cos x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y=arccos x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸೈನ್, ಒಂದು ವೇಳೆ |a|1, ಕೋಸೈನ್ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕೋಸ್ a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

y = arccos x (Fig. 3) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, y=arccos x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ p ನಿಂದ 0 ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ y=cos x ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ); ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಅದರ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ: ಆರ್ಕೋಸ್(-1)= p, ಆರ್ಕೋಸ್ 1= 0. ಆರ್ಕೋಸ್ 0 = ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. y = arccos x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ (ಚಿತ್ರ 3 ನೋಡಿ) y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ y = cos x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 3

ಸಮಾನತೆ arccos(-x) = p-arccos x ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ 0? ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್? ಆರ್. (-1) ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಪು? ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್? 0. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಿಗೆ p ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ? p-arccos x? ಆರ್.

ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಕೋಸ್ (-x) ಮತ್ತು p - ಆರ್ಕೋಸ್ x ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕೋನಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ. ಆರ್ಕೋಸ್(-x) ಮತ್ತು ಪಿ-ಆರ್ಕೋಸ್ x ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, cos (arccos x) = - x, ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ವಿಲೋಮ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ

y=sin x (Fig. 6) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-р/2;р/2] ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ [-1; 1]. ಇದರರ್ಥ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [- p/2; р/2] y=sin x ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 6

ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y=arcsin x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಆರ್ಕ್), ಅದರ ಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ [-р/2; ಪು/2]; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, arcsin a ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -ಆರ್/2 ? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಹೌದಾ? r/2. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಪ ಮತ್ತು [- ಪು/2 ರಿಂದ; ಪು/2]; ಆರ್ಕ್ಸಿನ್, ಸಿನ್ = ಯು [- ಪು/2; ಪು/2].

ಕಾರ್ಯ y=arcsin x (Fig. 7) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [- 1; 1], ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-р/2;р/2]. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [- 1; 1] y=arcsin x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನವಾಗಿ -p/2 ರಿಂದ p/2 ವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು [-p/2; p/2] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y=sin x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಇದು x = 1: arcsin 1 = p/2 ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x = -1 ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 0 = 0.

y = arcsin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-x) = - ಯಾವುದೇ x ಗೆ arcsin x [ - 1; 1].

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ವೇಳೆ |x| ?1, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: - p/2 ? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x? ? r/2. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನಗಳು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-x) ಮತ್ತು - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x ಒಂದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [ - p/2; ಪು/2].

ಇವುಗಳ ಸಿನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣಕೋನಗಳು: ಪಾಪ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (-x)) = - x (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ); y=sin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು [-р/2; p/2], ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (-x)= - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x. ಇದರರ್ಥ y=arcsin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ. y=arcsin x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) = x ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ [-р/2; ಪು/2].

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ -p/2? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ? p/2, ಮತ್ತು ಷರತ್ತು -p/2 ಮೂಲಕ? x? r/2. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ಕೋನಗಳು y=sin x ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಒಂದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಕೋನ x ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಿನ್ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಕೋನ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಾಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x)) = ಪಾಪ x. ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = x. .

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 7

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 8

ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್|x|) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ y=ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ನಿಂದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್ ಮಾಡಿದ ರೇಖೆಯಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬಯಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ y=arcsin (sin |x-/4|) ಅನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಲಕ್ಕೆ /4 ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ಘನ ರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y=tg x ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು: E (tg x)=. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ y = tan x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a ನ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, arctg a ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: tg (arctg a) = a ಮತ್ತು 0? arctg a? ಆರ್.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ x ಯಾವಾಗಲೂ y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x (Fig. 9) ಕಾರ್ಯದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

D (arctg x) = , E (arctg x) = ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

y = arctan x ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ y = tan x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. arctg(-x) = - arctgx ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 9

y = arctan x ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ y = tan x ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ y = arctan x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 0 = 0 ರಿಂದ) ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಂತೆ).

ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ (ಟಾನ್ x) = x ವೇಳೆ x ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = ctg x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, y = cot x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = cot x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y = arcctg x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a ನ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, arcctg a ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: ctg (arcctg a)=a ಮತ್ತು 0? arcctg a? ಆರ್.

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು D (arcctg x) = , E (arcctg x) = ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. y = ctg x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

y = arcctg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 =.

y = arcctg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 11 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 11

x ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗುರುತು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: arcctg(-x) = p-arcctg x.