ಹಿಮ್ಮುಖ ಸ್ಪರ್ಶಕ. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) ಎಂಬುದು ಸೈನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x = ಪಾಪ -1 ≤ x ≤ 1ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ -π /2 ≤ y ≤ π/2.
ಪಾಪ(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = x ;
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = x .

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್‌ನ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕೋಸ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಕೊಸೈನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x = ಕಾಸ್ ವೈ) ಅದಕ್ಕೊಂದು ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಇದೆ -1 ≤ x ≤ 1ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಅರ್ಥಗಳು 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
ಆರ್ಕೋಸ್(cos x) = x .

ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನತೆ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ:
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(- x) = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-ಸಿನ್ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಎಕ್ಸ್

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಲ್ಲ:
ಆರ್ಕೋಸ್(- x) = ಆರ್ಕೋಸ್(-ಕಾಸ್ ಆರ್ಕೋಸ್ x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - ಆರ್ಕೋಸ್ x ≠ ± ಆರ್ಕೋಸ್ x

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು - ತೀವ್ರ, ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ನಿರಂತರತೆಯ ಪುರಾವೆ ನೋಡಿ). ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

	y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x	y = ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್
ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ
ಆರೋಹಣ, ಅವರೋಹಣ	ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ	ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ
ಗರಿಷ್ಠ
ಕನಿಷ್ಠಗಳು
ಸೊನ್ನೆಗಳು, y = 0	x = 0	x = 1
ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸಿ, x = 0	y = 0	y = π/ 2

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ, ವಾದದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

x	ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x		ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್
	ಆಲಿಕಲ್ಲು ಮಳೆ	ಸಂತೋಷವಾಯಿತು.	ಆಲಿಕಲ್ಲು ಮಳೆ	ಸಂತೋಷವಾಯಿತು.
- 1	- 90 °	-	180°	π
-	- 60 °	-	150°
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

ಸೂತ್ರಗಳು

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ: ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು

ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ

ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ

ನಲ್ಲಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ: ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

;
.
ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡಿ > > >

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:
,
ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ.
;
;
.

ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ > > > ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ x = ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆಸಿಂಟ್ ., ನಾವು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು -π/:
.

2 ≤ t ≤ π/2
.

ವೆಚ್ಚ ಟಿ ≥ 0

ಆರ್ಕ್ ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:< 1 ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ
;
.

ಯಾವಾಗ |x|

ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳುಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ವಿಲೋಮಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್.
ಪಾಪ(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) = x
cos(arccos x) = x .

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು
ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = xವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
ಆರ್ಕೋಸ್(cos x) = xಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ನಲ್ಲಿ
ನಲ್ಲಿ.

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯ:

ಐ.ಎನ್. ಬ್ರಾನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಕೆ.ಎ. ಸೆಮೆಂಡ್ಯಾವ್, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೈಪಿಡಿ, "ಲ್ಯಾನ್", 2009.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ:

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 2

y=cos x ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ) ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ.

ಇದರರ್ಥ y=cos x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y=arccos x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸೈನ್, ಒಂದು ವೇಳೆ |a|1, ಕೋಸೈನ್ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕೋಸ್ a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಕೋಸ್ a ಎಂಬುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? ಆರ್ಕೋಸ್ ಎ ?ಆರ್.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 3

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಕೋಸ್, ರಿಂದ ಕಾಸ್ ಮತ್ತು; ಆರ್ಕೋಸ್, ರಿಂದ ಕಾಸ್ ಮತ್ತು.

y = arccos x (Fig. 3) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, y=arccos x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ p ನಿಂದ 0 ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ y=cos x ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ); ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಅದರ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ: ಆರ್ಕೋಸ್(-1)= p, ಆರ್ಕೋಸ್ 1= 0. ಆರ್ಕೋಸ್ 0 = ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. y = arccos x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ (ಚಿತ್ರ 3 ನೋಡಿ) y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ y = cos x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆ arccos(-x) = p-arccos x ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ 0? ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್? ಆರ್. (-1) ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ

ವಿಲೋಮ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ

y=sin x (Fig. 6) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-р/2;р/2] ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ [-1; 1]. ಇದರರ್ಥ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [- p/2; p/2] y=sin x ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 6

ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y=arcsin x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಆರ್ಕ್), ಅದರ ಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ [-р/2; ಪು/2]; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, arcsin a ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -ಆರ್/2 ? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ ಹೌದಾ? r/2. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಪ ಮತ್ತು [- ಪು/2 ರಿಂದ; ಪು/2]; ಆರ್ಕ್ಸಿನ್, ಸಿನ್ = ಯು [- ಪು/2; ಪು/2].

ಕಾರ್ಯ y=arcsin x (Fig. 7) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [- 1; 1], ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-р/2;р/2]. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [- 1; 1] y=arcsin x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನವಾಗಿ -p/2 ರಿಂದ p/2 ವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು [-p/2; p/2] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y=sin x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಇದು x = 1: arcsin 1 = p/2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x = -1 ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 0 = 0.

y = arcsin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-x) = - ಯಾವುದೇ x ಗೆ arcsin x [ - 1; 1].

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ವೇಳೆ |x| ?1, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: - p/2 ? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x? ? r/2. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನಗಳು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(-x) ಮತ್ತು - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x ಒಂದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [ - p/2; ಪು/2].

ಇವುಗಳ ಸಿನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣಕೋನಗಳು: ಪಾಪ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (-x)) = - x (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ); y=sin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು [-р/2; p/2], ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (-x)= - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x. ಇದರರ್ಥ y=arcsin x ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ. y=arcsin x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) = x ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ [-р/2; ಪು/2].

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ -p/2? ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ? p/2, ಮತ್ತು ಷರತ್ತು -p/2 ಮೂಲಕ? x? r/2. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ಕೋನಗಳು y=sin x ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಒಂದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಕೋನ x ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಿನ್ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಕೋನ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಾಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x)) = ಪಾಪ x. ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(ಸಿನ್ x) = x. .

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 7

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 8

ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್|x|) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ y=ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (ಸಿನ್ x) ನಿಂದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್ ಮಾಡಿದ ರೇಖೆಯಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬಯಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ y=arcsin (sin |x-/4|) ಅನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಲಕ್ಕೆ /4 ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ಘನ ರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y=tg x ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು: E (tg x)=. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ y = tan x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a ನ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, arctg a ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: tg (arctg a) = a ಮತ್ತು 0? arctg a? ಆರ್.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ x ಯಾವಾಗಲೂ y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x (Fig. 9) ಕಾರ್ಯದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

D (arctg x) = , E (arctg x) = ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

y = arctan x ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ y = tan x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. arctg(-x) = - arctgx ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 9

y = arctan x ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ y = tan x ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ y = arctan x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 0 = 0 ರಿಂದ) ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಂತೆ).

ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ (ಟಾನ್ x) = x ವೇಳೆ x ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = ctg x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, y = cot x ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = cot x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y = arcctg x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a ನ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, arcctg a ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ: ctg (arcctg a)=a ಮತ್ತು 0? arcctg a? ಆರ್.

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು D (arcctg x) = , E (arcctg x) = ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. y = ctg x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

y = arcctg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 =.

y = arcctg x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 11 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ 11

x ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗುರುತು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: arcctg(-x) = p-arcctg x.

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿವೆ.

ಕಾರ್ಯ y=arcsin(x)

α ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮಧ್ಯಂತರ [-π/2;π/2] ನಿಂದ α ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸೈನ್ α ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್
[-π/2;π/2] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ у= sin⁡(x) ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
y= sin⁡(x), ಇಲ್ಲಿ x ∈[-π/2;π/2], ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y=arcsin(x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x∈[-1;1 ].
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-1;1], ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-π/2;π/2].
y=arcsin(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಅಲ್ಲಿ x ∈[-1;1], y= sin(⁡x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x∈[-π/2;π /2], ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ y=arcsin(x).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1.

ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್(1/2) ಹುಡುಕುವುದೇ?

arcsin(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯು [-π/2;π/2] ಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, π/6 ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, arcsin(1/2) =π/. 6.
ಉತ್ತರ:π/6

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2.
ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್(-(√3)/2) ಹುಡುಕುವುದೇ?

ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (x) x ∈ [-π/2; π/2] ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಕಾರಣ, ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ (-(√3)/2) =- π ಮೌಲ್ಯ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ /3.

ಕಾರ್ಯ ವೈ=ಆರ್ಕೋಸ್(x)

α ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ α ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕೊಸೈನ್ α ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y= cos(⁡x) ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
y= cos⁡x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ, ಇಲ್ಲಿ x ∈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ಮತ್ತು y=arccos(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ∈[-1;1].
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-1;1], ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.
y=arccos(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಇಲ್ಲಿ x ∈[-1;1] y= cos(⁡x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ∈, ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ಸಮನ್ವಯ ಕೋನಗಳು.

ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ y=arccos(x).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3.

ಆರ್ಕೋಸ್ (1/2) ಹುಡುಕುವುದೇ?

ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಆರ್ಕೋಸ್ (x) x∈ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, π/3 ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಕೋಸ್ (1/2) =π/3.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4.
ಆರ್ಕೋಸ್ (-(√2)/2) ಹುಡುಕುವುದೇ?

ಆರ್ಕೋಸ್ (x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯ 3π/4 ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಕೋಸ್ (-(√2)/2) = 3π/4.

ಉತ್ತರ: 3π/4

ಕಾರ್ಯ y=arctg(x)

α ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ [-π/2;π/2] ನಿಂದ α ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು α ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (-π/2;π/2); ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
y= tan⁡(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ, ಇಲ್ಲಿ x∈(-π/2;π/2); ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y=arctg(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x∈R.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (-∞;+∞), ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಅಲ್ಲಿ x∈R, y= tan⁡x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ∈ (-π/2;π/2), ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕ.

y=arctg(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5?

ಆರ್ಕ್ಟಾನ್((√3)/3) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, π/6 ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, arctg((√3)/3) =π/6.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6.
arctg(-1) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದೇ?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಆಗ -π/4 ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, arctg(-1) = - π/4.

ಕಾರ್ಯ y=arcctg(x)

α ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ (0;π) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ α ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ α ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0; π), ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;π), ಈ ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
y=ctg(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು x ∈(0;π), ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y=arcctg(x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x∈R.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮೂಲಕಮೌಲ್ಯಗಳು - ಮಧ್ಯಂತರ (0;π).ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y=arcctg(x), ಇಲ್ಲಿ x∈R ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ y=ctg(x) x∈(0;π),ಸಂಬಂಧಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ.

ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ y=arcctg(x).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7.
arcctg((√3)/3) ಹುಡುಕುವುದೇ?

arcctg(x) x ∈(0;π) ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ π/3 ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ((√3)/3) =π/3.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8.
arcctg(-(√3)/3) ಹುಡುಕುವುದೇ?

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯು arcctg(x) x∈(0;π) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, 2π/3 ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

ಸಂಪಾದಕರು: ಅಗೀವಾ ಲ್ಯುಬೊವ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ನಾ, ಗವ್ರಿಲಿನಾ ಅನ್ನಾ ವಿಕ್ಟೋರೊವ್ನಾ

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು(ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಆರ್ಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) - ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 6 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ:

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್(ಹೆಸರು: ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x; ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x- ಇದು ಕೋನ ಪಾಪಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ x),
ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್(ಹೆಸರು: ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್; ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್ಕೋಸೈನ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ xಮತ್ತು ಹೀಗೆ),
ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್(ಹೆಸರು: ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ xಅಥವಾ ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x),
ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್(ಹೆಸರು: arcctg xಅಥವಾ ಆರ್ಕಾಟ್ xಅಥವಾ ಆರ್ಕೋಟಾನ್ x),
ಆರ್ಕ್ಸೆಕೆಂಟ್(ಹೆಸರು: ಆರ್ಕ್ಸೆಕ್ x),
ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್(ಹೆಸರು: ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ xಅಥವಾ arccsc x).

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) - ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಪಾಪ (x = ಪಾಪ ವೈ . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಪಾಪ.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ (y = ಆರ್ಕೋಸ್ x) - ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ cos (x = cos y cos.

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x) - ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ tg (x = ತನ್ ವೈ), ಇದು ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ tg.

ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (y = arcctg x) - ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ctg (x = cotg y), ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ctg.

ಆರ್ಕ್ಸೆಕ್- ಆರ್ಕ್ಸೆಂಟ್, ಅದರ ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ಕೋನವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕೋಸೆಕ್- ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್, ಅದರ ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೋನವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಆರ್ಕ್ಸೆಕ್ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (-1,1) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸ್ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ [-1,1].

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರಿನಿಂದ "ಆರ್ಕ್-" ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ಲ್ಯಾಟ್ನಿಂದ. ಚಾಪ ನಮಗೆ- ಆರ್ಕ್). ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಚಾಪದ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ (ಅಥವಾ ಈ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನ) ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಳಗೆ ವಿದೇಶಿ ಸಾಹಿತ್ಯ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ/ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಂತೆ, ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಾಪ−1, cos−1ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಮತ್ತು ಹಾಗೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲದ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ −1 (« −1 »(ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಯ ಮೈನಸ್) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ x = f -1 (y), ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ y = f(x)).

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಮುಖ್ಯ.

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳು.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಮೂಲಕ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x, ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್, ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x, ಆರ್ಕಾಟ್ xಮತ್ತು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಇರಿಸಿ: ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x, ಆರ್ಕೋಸ್ x, ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x, ಆರ್ಕಾಟ್ xಅವರ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

TO ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಳಗಿನ 6 ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ: ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ , ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ , ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ , ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ , ಆರ್ಕ್ಸೆಕೆಂಟ್ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ .

ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಬಹುಶಬ್ದಾರ್ಥಕ . ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗಳು . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(y = \sin x\) ಕಾರ್ಯವನ್ನು \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ವಿಲೋಮ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (\(\arcsin a\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) \(\ಎಡ[ ( - \pi /2,\pi /) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. 2) \right]\), ಇದಕ್ಕಾಗಿ \(\sin x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ\(y = \arcsin x\) ಅನ್ನು \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \left[ ( - \pi /2, \pi /2) \ಬಲ]\).

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ (\(\arccos a\)) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(\ಎಡ[ (0,\pi) \right]\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. , ಇದರಲ್ಲಿ \(\cos x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \arccos x\) ಅನ್ನು \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ \ಎಡ[ (0,\ ಪೈ)\ಬಲ]\).

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎ(\(\arctan a\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಇದು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x\) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), ನಲ್ಲಿ ಇದು \(\tan x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \arctan x\) ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ \(x \in \mathbb(R)\) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು \(y \in \left((-\pi/2,) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \pi/2 )\ಬಲ)\).

ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (\(\text(arccot) a\)) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(x\) ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(\left[ (0,\) pi) \right]\), ಇದರಲ್ಲಿ \(\cot x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arccot) x\) ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ \(x \in \mathbb(R)\) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು \(y \in \ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಡ[ (0,\pi) \ಬಲ]\).

ಆರ್ಕ್ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೆಂಟ್ (\(\text(arcsec) a\)) ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ \(x\) ಇದರಲ್ಲಿ \(\sec x = a\). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arcsec) x\) ಅನ್ನು \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ )\ ), ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ \)

ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಕಾರ್ಯ
\(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸೆಕೆಂಟ್ (\(\text(arccsc ) a\) ಅಥವಾ \(\text(arccosec ) a\)) \(\) ಕೋನ \(x\) ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ csc x = a\ ). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ \(y = \text(arccsc ) x\) ಅನ್ನು \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ )\ ), ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸೆಟ್ \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\ಪಠ್ಯ(ಆರ್ಕಾಟ್) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)