ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ f(X) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X.ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ X 0 X ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹೆಚ್ಚಳ Δ Xಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 + Δ Xಸೇರಿದ್ದರು X.ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳΔ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ = f(x 0 + Δ X) - f(x 0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0Δ ನಲ್ಲಿನ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X 0 (ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ).

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ವೈ" (x 0) ಅಥವಾ f"(x 0):

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೇಳೆ x 0ಮಿತಿ (4.1) ಅನಂತವಾಗಿದೆ:

ನಂತರ ಅವರು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ x 0ಕಾರ್ಯ f(X) ಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಅನಂತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X,ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನ f"(x)ವಾದದ ಕಾರ್ಯವೂ ಆಗಿದೆ X,ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸ್ಪರ್ಶಕಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ y = f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಸ್ಥಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ MN,ಯಾವಾಗ ಬಿಂದು ಎನ್ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ f(X).

ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಂವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ f(X) ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ x 0, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎನ್-ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ x 0 + Δ X(ಚಿತ್ರ 4.1). ಸ್ಪರ್ಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x 0ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಮಿತಿ ಇರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಓಹ್. ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಎಂ.ಎನ್.ಎ.ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ (4.1) ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟ ತೀರ್ಮಾನ ಬರುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f"(x 0) y ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ (ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ = f(X) ವಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ(x 0, f(x 0)) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (4.2):

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ l = f(ಟಿ) ಪಥ ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿ ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಲ್ಸಮಯದಿಂದ ಟಿ.ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -Δ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಟಿ, ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ Δ ಎಲ್/Δ ಟಿ- ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ Δ ಟಿ. ನಂತರ ಮಿತಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಗಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ = f(x)ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ ಎಂದೂ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು: ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ f"(X), ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾದಷ್ಟೂ ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿದಾದ f(X) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ.

ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಬಲ (ಎಡ)ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ = f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0Δ ಗೆ ಸಂಬಂಧದ ಬಲ (ಎಡ) ಮಿತಿ (4.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ 0.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ x 0ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ನಂತರ ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಈ f(X) = |X|. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಂತದಲ್ಲಿ x = 0ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (Fig. 4.2) ಮತ್ತು f' +(0) ≠ f’ -(0), ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ X = 0.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ;ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾಗಬಲ್ಲ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 . x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂವಾದವು ನಿಜವಲ್ಲ: ಕಾರ್ಯ f(X), ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ = |X|; ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ X= 0, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ

ವಿಭಾಗ 3.9 ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂ(x 0, y 0) ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಕೆತೋರುತ್ತಿದೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ ನಲ್ಲಿ = f(X) ನಂತರ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಎಂ(x 0, y 0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರು ಎಂ,ನಂತರ ಅದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ f(X) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

$y = f(x)$ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ $x_0$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ವಾದದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

$(f(x) ± g(x))"= f"(x) ±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಾರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು $ x(t)$ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $x(t)$ $t$ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವು $12$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?

1. ವೇಗವು $x(t)$ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. ಯಾವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ $t$ ವೇಗವು $12$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $y = kx + b$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $k$ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಗುಣಾಂಕ $k$ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು $Ox$ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$x_0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ $f(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ $k$ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು:

$f"(x_0) = k = tanα$

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಂಕ $k > 0$. $k > 0$ ರಿಂದ, ನಂತರ $f"(x_0) = tanα > 0$. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ $Ox$ ನಡುವಿನ ಕೋನ $α$ ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಂಕ $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು $Ox$ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕ $k = 0$, ಆದ್ದರಿಂದ, $f"(x_0) = tan α = 0$. ಪಾಯಿಂಟ್ $x_0$ ಇದರಲ್ಲಿ $f "(x_0) = 0$, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ.

ಚಿತ್ರವು $y=f(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು abscissa $x_0$ ನೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. $x_0$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ $f(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು, $Ox$ ಅಕ್ಷದ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು $ABC$ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ.

$BAC$ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. (ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25

$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$

ಉತ್ತರ: $0.25$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x) > 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f(x)$ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

ಚಿತ್ರವು $y = f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. $х_1,х_2,х_3...х_7$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಯೋಜನೆ:

1. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

2. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್

3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯ

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ನಾವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ನೀಡುತ್ತೇವೆ: , ನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹಲವಾರು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ (ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ):

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾಗಬಲ್ಲಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: . ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ: . ಹೀಗಾಗಿ, .

ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ. ರಿಂದ ಅಥವಾ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನೀಯರ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ .

ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ .

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಲ್ಲದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 1).

ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ - ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಯಾವಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್, ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನ, ಅಂದರೆ. . ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು

ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ .

ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 2), ಸ್ಪರ್ಶದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: .

ನಂತರ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ.

ಸಾಮಾನ್ಯದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: (ಸಾಮಾನ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ).

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:, ವೇಳೆ .

ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. .

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ: ಅಥವಾ .

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೀಮಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.1ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂವಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಲ್ಲ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ - ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ವಾದವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ನಿರಂತರ

ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ:

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ;

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ:

3) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ;

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ:

4) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ;

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು , , , :

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅಂದರೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು: . ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ತೊಡಕಿನ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. .

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.2ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.3ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: .

ಉದಾಹರಣೆ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.4ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಛೇದದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ: .

ಉದಾಹರಣೆ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ. .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ನಿಯಮವು ಜಾರಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ , , , ನಂತರ

ಲೆಟ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ - ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.5ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. , ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: .

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: . ನಂತರ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: .

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಳಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೀಳುವಂತೆ ವಾದವನ್ನು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ನೀಡೋಣ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಲ್ಲಿ (ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ), ಅಂದರೆ.

ಸೂಚಿಸಿ: ,,,.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಎಡ) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆದರು

(ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ).

ಇವರಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: , – ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ,

, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಮೇಲಾಗಿ

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ). ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ. ನಂತರ

,

ಅಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ .

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

1) ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಯದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಾಹಕದ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹರಿಯುವ ವಿದ್ಯುಚ್ಛಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿ.

2) ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ.

ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೆಕೆಂಟ್ .

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಸ್ಥಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್). ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಲ್ಲದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಇದರ ಸಮೀಕರಣ: (ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ).

ಇಳಿಜಾರಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ. ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಯಾವಾಗ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ(ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ . ಬಿಂದುವಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ . ಲಂಬವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

, ವೇಳೆ .

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡೋಣ ವೈ=f(X), ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಹಂತದಲ್ಲಿ X 0. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ವೈ/(X)=limΔ X→0Δ ವೈΔ X

Δ ವೈ=f(X+Δ X)−f(X).

ಸಮೀಕರಣ ಸ್ಪರ್ಶಕಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ: ವೈ=kx+ಬಿ (ಕೆ,ಬಿ=ಸ್ಥಿರ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಿಂದ: f/(X 0)=tgα= ಕೆಏಕೆಂದರೆ X 0 ಮತ್ತು f(X 0)∈ ನೇರ ರೇಖೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ಪರ್ಶಕಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ವೈ−f(X 0)=f/(X 0)(X−X 0), ಅಥವಾ

ವೈ=f/(X 0)· X+f(X 0)−f/(X 0)· X 0.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸಾಮಾನ್ಯ- ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ(ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ:

tgβ= tg(2π-α)= ctgα=1 tgα=1 f/(X 0)

ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಕೋನ β1 ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=-1 f/(X).

ಡಾಟ್ ( X 0,f(X 0))∈ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ವೈ−f(X 0)=−1f/(X 0)(X−X 0).

ಪುರಾವೆ

ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ. ನಂತರ

,

ಅಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿರಂತರತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡಿ). ∎

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ . ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವರು ಅವಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ .

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು f(x) ಮತ್ತು g(x) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f - g)’ = f ’ - g ’

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳು ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ವ್ಯವಕಲನ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲ. "ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, f - g ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೊತ್ತ f + (-1) g ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಉಳಿದಿದೆ - ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ xOyಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y=f(x). ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ M(x 0 ; f (x 0)). ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ x 0ಹೆಚ್ಚಳ Δx. ನಾವು ಹೊಸ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 0 +Δx. ಇದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎನ್, ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f (x 0 +Δx) ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಂಮತ್ತು ಎನ್ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಎಂ.ಎನ್, ಇದು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ φ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಓಹ್. ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ φ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಎಂಪಿಎನ್.

ಅವಕಾಶ Δxಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂ.ಎನ್ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂಟಿ, ಮತ್ತು ಕೋನ φ ಕೋಣವಾಗುತ್ತದೆ α . ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ α ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ φ :

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಓಹ್:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು y= ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ x 2, ವಾದದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ 4 , ಮತ್ತು ಹೊಸ - 4,01 .

ಪರಿಹಾರ.

ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ x=x 0 +Δx. ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ: 4.01=4+Δх, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ Δx=4.01-4=0.01. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ y=x2, ಅದು Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ಉತ್ತರ: ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ Δx=0.01; ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ Δу=0,0801.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ವೇಳೆ f "(x 0) = 1.

ಪರಿಹಾರ.

ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ x 0ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ಏಕೆಂದರೆ tg45°=1.

ಉತ್ತರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ 45°.

3. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ y=x n.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದವಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಂತೆಯೇ: (x n)" = nx n-1.

ಇವು ಸೂತ್ರಗಳು.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. X ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

4. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತವು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

5. ಒಂದು ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು x ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

9. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

10. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಲಿಸುತ್ತೇವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು.

1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

3. "ve" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ "y" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಶವು "y ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ve" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ "y ಅನ್ನು ve ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ", ಮತ್ತು ಛೇದವು "ve ವರ್ಗ" ಆಗಿದೆ.

4. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ 3.