ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಲಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ. ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಎ. PQ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ (Fig. 4) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟ್ ಮಾಡುವ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ A B ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. 5.

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತ್ಯವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು PQ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ A B ಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ;

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ PQ ಸೂಚಕವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; PQ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅದನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಓಎಸ್ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜೊತೆಗೆ. ಪ್ರಮೇಯ I. ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 6 ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಉದ್ದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(2) ಅನ್ನು (3) (1) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಹ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ; (2) ಮತ್ತು (3) ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. (2) ಮತ್ತು (3) ಸಮಾನತೆ (1) ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (4) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ II. ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪ್ರಮಾಣವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನೀಡೋಣ. . 7. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷದಂತೆಯೇ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ. ಅದರ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರಮಾಣ

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು x ವೇಳೆ - ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಎ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಒಂದು x i- ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

ಸೂಚಿಸೋಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆಯೇ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎನಾವು ಸೂಚಿಸುವ X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎ X ( ಕೊಬ್ಬುವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ಅಥವಾ (ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ದಪ್ಪವಲ್ಲದ ಅಕ್ಷರ, ಆದರೆ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ (!) ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್).

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ (ಆಯ್ದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ - ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ, ದಪ್ಪವಲ್ಲದ ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ) ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ (ನಿಯಮದಂತೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ ಎ,ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವಾಗ, ಅಕ್ಷವು Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು y ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವೆಕ್ಟರ್ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಅಕ್ಷ), ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ
a x = x k - x n.
ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.ಇದಲ್ಲದೆ, x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು x k ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ x n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದು ಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆಕೃತಿಯಿಂದ x = a Cos α ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶನ. ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ
Cos α > 0 ಮತ್ತು a x > 0, ಮತ್ತು, ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಸೈನ್ ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, Cos α = Cos (− α), ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದು.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು- ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ[- ಪರಿಮಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ವಾಹಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, S.p.v. ಎ = (ಎ 1 , ..., ಒಂದು ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ = (ಬಿ 1 , ..., ಬಿ ಎನ್):

(ಎ , ಬಿ ) = ಎ 1 ಬಿ 1 + ಎ 2 ಬಿ 2 + ... + ಎ ಎನ್ ಬಿ ಎನ್

ಉತ್ತರ:

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಸ್ತಿ 1.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಆಸ್ತಿ 2.ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು λ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 3.

l ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆರ್ಥ ಅಕ್ಷ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಘಟನೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಸಮನ್ವಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಉತ್ತರ:

ಅಕ್ಷಗಳ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ) ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಬಾಣದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಳಸಬಹುದು.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಲಗೈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳುವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಘಟನೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು , ಅಕ್ಷಗಳು ಮೂಲಕ , ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1)

ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ವೇಳೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಅದರ ಆರಂಭದ A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (x1; y1) ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತ್ಯ B ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (x2; y2) ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಪ್ರಾರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು: ( x2 - x1; y2 - y1).

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಪಾಯಿಂಟ್ O ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ i ನಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ a: a = axi.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಡಲಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ 1.ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ 2.ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಉತ್ತರ:

ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ab=ba

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮನ್ವಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.

ಉತ್ತರ:

ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ (×).

(X)	I	ಜೆ	ಕೆ
I
ಜೆ
ಕೆ

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಉತ್ತರ:

ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಮೂರನೆಯ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ಮೂರು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಬಲಗೈ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಡಕ್ಕೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ( "ಹ್ಯಾಂಡಲ್ಸ್" ನೊಂದಿಗೆ ಅವನು ಹೇಗೆ ತೋರಿಸಿದನು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ)

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಎವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಬಿವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದರಿಂದ:

1. ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ

2. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮೇಲೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಮತ್ತು ಬಿವಾಹಕಗಳು

3. ವಾಹಕಗಳು, a ,b, ಮತ್ತು ಸಿವಾಹಕಗಳ ಬಲಗೈ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.

ವಾಹಕಗಳು a = (x1; y1; z1) ಮತ್ತು b = (x2; y2; z2) ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ O, i, j, k, ಮತ್ತು ಟ್ರಿಪಲ್ i, j, k ಎಂಬುದು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಿ. ಬಲಗೈ.

a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

[ಎ; ಬಿ] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

= 0, = ಕೆ, = - ಜೆ,

= - ಕೆ, = 0, = ನಾನು,

= j, = - i. = 0.

ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸೂತ್ರ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

[ಎ; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[ಎ; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

ಫಾರ್ಮುಲಾ (2) ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವು ತೊಡಕಾಗಿದೆ.ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಠಪಾಠಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅದು ಏನೆಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷ- ಇದು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು.

ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಕೆಲವು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: X, Y, Z, s, t... ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ) ಇದನ್ನು ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯಮದಂತೆ, O ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಿಂದ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ- ಇದು ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ ಲಂಬದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 8). ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ- ಇದು ಅಕ್ಷದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ನಡುವಿನ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ (ಆಯ್ದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಸಮನಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅದರ ಮೂಲದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್- ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ (ಆಯ್ದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮುಖ! ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್, ಅಂದರೆ ಪದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ತಗ್ಗಿಸಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ, ದಪ್ಪವಲ್ಲದ ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ), ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಹೆಸರಿನ ಕಡಿಮೆ (ನಿಯಮದಂತೆ) ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ ಎ,ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವಾಗ, Y ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೇಳಿ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು y ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 9).

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಅಕ್ಷ), ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ

a x = x k - x n.

ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ (ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ (ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ)!ಇದಲ್ಲದೆ, x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, x k ಮೌಲ್ಯವು x n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x k x n ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 10).

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದು ಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 11 ರಿಂದ a x = a Cos α ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವೆ. ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, Cos α > 0 ಮತ್ತು a x > 0, ಮತ್ತು ಅದು ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಸೈನ್ ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, Cos α = Cos (− α), ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೇಳೆ

ಎ = ಬಿ + ಸಿ +…+ ಡಿ, ನಂತರ a x = b x + c x +...+ d x (ಇತರ ಅಕ್ಷಗಳಂತೆಯೇ),

ಎ= ಮೀ ಬಿ, ನಂತರ a x = mb x (ಇತರ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ).

a x = a Cos α ಎಂಬ ಸೂತ್ರವು ಇರುತ್ತದೆ ಆಗಾಗ್ಗೆಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅದನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಹೃದಯದಿಂದ!

ನೆನಪಿಡಿ!

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ - ಹೃದಯದಿಂದ!

ಚಲನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿವರಣೆಯು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿವಿಧ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಚಲನೆಯ ದೃಶ್ಯ "ಚಿತ್ರ" ವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಆಡಳಿತಗಾರ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಹಳ ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು- ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು.

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್.

ಎಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ 50 ಕಿಮೀ, ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ರೂಪಗಳು ಚೂಪಾದ ಕೋನ X ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ 150°. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

sx = s cos(α) = 50 km cos (150°) = –43 km

ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕು Y ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ 60 ° ನ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, Y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

sy = s cos(β) = 50 km cos (60°) = +25 km

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ 5 m/s ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು X ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ 30 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2.5 m/s

ಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ವೆಕ್ಟರ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಎಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ sy ಮತ್ತು ay ಮತ್ತು ಬಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ sx ಮತ್ತು υx ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಅದರ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೋಡರೆಕ್ಷನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, sx = +s (ಎಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಅದು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ "+1" ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: sx = x - xo = + s .

ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, sy = –s (ಬಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಅದರ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 180 ° ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ “–1”, ಅಂದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: sy = y – yo = –s .

ಎರಡೂ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಬಲಭಾಗವು ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.