ಶೇಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ. ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಮಾದರಿಯ ನಿಖರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ, ಅಥವಾ ಅಂದಾಜಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸರಳ ಮತ್ತು ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. (ಗುಂಪು ಮಾಡದ ಡೇಟಾಗಾಗಿ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

2. ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ವ್ಯತ್ಯಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ):

ಇಲ್ಲಿ n ಆವರ್ತನ (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ X ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆ)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಈ ಪುಟವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನೀವು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1. 20 ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಡೇಟಾ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಮಧ್ಯಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಧ್ಯಂತರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ X max ಎಂಬುದು ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
X ನಿಮಿಷ - ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ;
n - ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:

ನಾವು n=5 ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಂತ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ಮಧ್ಯಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

X'i ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರ 159 – 165.6 = 162.3)

ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಪ್ರಸರಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಚೌಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸರಣದ ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು (ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು). ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ:

ಅಲ್ಲಿ i ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೌಲ್ಯ;
ಎ ಒಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ;
m1 ಎಂಬುದು ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ;
m2 - ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣ

(ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

ಈ ಪ್ರಸರಣ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ q = 1- p ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಗಳು

ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು x ನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ x ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಲೆಕ್ಕಿಸದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಶ-ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಸರಣವು ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ X ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳ ಪ್ರಸರಣ ಅಥವಾ ತೂಕದ ಪ್ರಸರಣ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕ್ರಮಗಳುಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ xi ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿ;
ni ಎಂಬುದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಅರ್ಹತೆಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಇಂಟ್ರಾಗ್ರೂಪ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಉಪಕರಣಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿತಿ, ಲಭ್ಯತೆ ಪರಿಕರಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳು, ಕಾರ್ಮಿಕರ ವಯಸ್ಸು, ಕಾರ್ಮಿಕ ತೀವ್ರತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.), ಅರ್ಹತಾ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸಗಾರರು ಒಂದೇ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ).

ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶ-ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ. ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಂಪಿನ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತರ ಗುಂಪು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮ

ಈ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ನಿಯಮದ ಅರ್ಥಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಮೂರನೇ ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಭಾವದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸ್ಥಿರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಹೆಚ್ಚಿದ), ನಂತರ ಪ್ರಸರಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
2. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ n ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಹೆಚ್ಚಿದ), ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು n^2 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಳ).

1. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ-ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರ.

2. ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

3. ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕಾರಣಗಳು.

4. ಜೋಡಿಯಾದ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು.

5. ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ.

6. ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಗಿತ ಮತ್ತು ಬಲವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸೂಚಕಗಳು.

7. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು.

8. ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು.

1. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ-ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರ.ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ಬಹಳ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಅನೇಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೌಕರನ ಗಂಟೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಸಂಬಳ), ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅತ್ಯಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಿಂಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮತ್ತು ಅವರ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಧನೆ). ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಹತ್ತಿರವಾದಂತೆ, ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಅವಲಂಬನೆಗಳಿವೆ:

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ (ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಕಾರಣ) ಅವಲಂಬನೆ . ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅಪವಾದಗಳಾಗಿವೆ;

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ (ಸ್ಥಿರವಾದ, ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ) ಅವಲಂಬನೆ - ಇದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅವಲಂಬನೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅವಲಂಬನೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ (ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ) ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅವಲಂಬನೆಯು "ಅಪೂರ್ಣ" ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದ್ಯೋಗಿಯ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿರುವ ಒಂದೇ ವರ್ಗದ/ಹಂತದ ಇಬ್ಬರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಮಿಕರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಿಕಟತೆ, ಸಂಪರ್ಕದ ನಿರ್ದೇಶನ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಪರ್ಕದ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಪಿತ ಸಂಪರ್ಕದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ಪ್ರಮಾಣ (y) ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೇಲೆ (x i) ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸರಳ (ಜೋಡಿ) ಮತ್ತು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಸರಳ (ಜೋಡಿಯಾಗಿ) ಹಿಂಜರಿತ ಅವಲಂಬಿತ (ವಿವರಿತ) ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ) ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತವು ರೂಪದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ:

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ:

,

ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಅವಲಂಬಿತ (ವಿವರಿಸಿದ) ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ) ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 2, ... x n ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತವು ರೂಪದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ:

.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ:

ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b 1, b 2, b n ಗಳು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನೌಕರನ ಸಂಬಳದ ಅವಲಂಬನೆಯು ಅವನ ವಯಸ್ಸು, ಶಿಕ್ಷಣ, ಅರ್ಹತೆಗಳು, ಸೇವೆಯ ಉದ್ದ, ಉದ್ಯಮ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇವೆ:

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ;

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರಿಗ್ರೆಷನ್, ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೋಟದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು, ಅದು ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

3. ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕಾರಣಗಳು.ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮಾದರಿ ವಿಶೇಷಣಗಳು , ಅಂದರೆ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ, ಅಸ್ಥಿರ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರಬಲ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳವಾದ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಾಸರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, y ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ y ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;

- ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯ;

- ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಅಡಚಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮಾದರಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಪನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಮೂರು ಮೂಲಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಮಾದರಿ ವಿವರಣೆ,

ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಆಯ್ದ ಸ್ವಭಾವ,

ಅಳೆಯುವ ಅಸ್ಥಿರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯ ತಪ್ಪಾದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಹತ್ವದ ಅಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು (ಅನೇಕ ಬದಲಿಗೆ ಜೋಡಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾದರಿ ದೋಷಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ ಸಂಶೋಧಕರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾದರಿ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಡೇಟಾದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮಾದರಿ ದೋಷಗಳು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಥಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಸಂಗತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಹಿಂಜರಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮಾದರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲ ಡೇಟಾ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಅಪಾಯವೆಂದರೆ ಮಾಪನ ದೋಷಗಳು. ಮಾದರಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ), ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾದರಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ಮಾಪನ ದೋಷಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ.

4. ಜೋಡಿಯಾದ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು.ಮಾಪನ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಗಮನವು ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು
ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು:

ಗ್ರಾಫಿಕ್;

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ, ಅಂದರೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ;

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ.

ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲ ಪ್ರಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ; ಇತರ ರೀತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಪರ್ಕದ ವಸ್ತು ಸ್ವಭಾವದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಸ್ವರೂಪದ ದೃಶ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆ. ನಾವು ಲಾಫರ್ ಕರ್ವ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ತೆರಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಶೀಲತೆ ಮತ್ತು ಬಜೆಟ್ ಆದಾಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಐಸೊಕ್ವಾಂಟ್‌ಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳಾಗಿವೆ.

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ-ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಧಾನ

ಸಂಘದ ನಾನ್‌ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಮಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕದ ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ

ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ

1. ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಹಂತಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ. ಕೋರೆಲೋಗ್ರಾಮ್ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ;

ತಜ್ಞ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸಲು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಧಾನಗಳು

1. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮೇಲೆ ಅಂಶದ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರದ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ಎಕ್ಸೆಲ್ನಲ್ಲಿ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು ಲಿಂಕ್ ಇದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಪಡೆದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಘಟಕಗಳು

1. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ (ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಮತ್ತು ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು. ಸಾಕಷ್ಟು ಡೇಟಾ ಇದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಿಂದ ಅಂಟಿಸಬಹುದು.
2. ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.
   ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರಂತರ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆವೆಲಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
   ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀವು ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ಅಂದಾಜು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಲೋಕನಗಳು ಇರಬೇಕು.
3. ಚಲಿಸುವ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೃದುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ. ಬಳಸಿ

ನಾವು ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

ŷ = ಎ + ಬಿX,

ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಹಿಂಜರಿತ ಸ್ಥಿರ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದು OY;

ಬಿ- ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಡಿವೈ¤DX;

ŷ - ವಿವರಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು:

1. ಗ್ರಾಫಿಕ್.

2. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ.

3. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ.

ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪರ್ಕದ ಅಂದಾಜು ಆಕಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ವಕ್ರತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾವು ಬಳಕೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಆದಾಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೇವಿಸುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. "ಆದಾಯ - ಬಳಕೆ ವೆಚ್ಚ" ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸಂಬಂಧದ ಅಂದಾಜು ರೂಪವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1).

ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಉತ್ತಮ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆಯ್ದ ಕಾರ್ಯದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಹೋಗೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ.

ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಈಗ ಗ್ರೇಡ್‌ಗಳಾಗಿವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಸಂಪರ್ಕದ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ನಲ್ಲಿಮತ್ತು X. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ - ಎಸ್, ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ. ಅಂದರೆ, ನಾವು = 0 ಮತ್ತು = 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಮತ್ತು ಬಿ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ, ಜೋಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ŷ = ಎ + ಬಿX. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಎಸ್ತೋರುತ್ತಿದೆ

. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಸ್ಮೂಲಕ ಎ, ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಬಿ- ಎರಡನೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ,

ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(*)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸರಳೀಕೃತ ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

1) ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ŷ = ಎ + ಬಿXಮೊದಲ ನಿಯತಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ( ಎ), ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರಿಂದ.

2) ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

3) ಸಮೀಕರಣದ ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಎನ್.

4) ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

5) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ( ಬಿ), ಅಂದರೆ, ಆನ್ X.

6) ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

7) ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್. ಪರ್ಲ್ ರೂಪಿಸಿದರು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

, ,

ಕೋಷ್ಟಕ 1 ರಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (*) ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿ:

1677=11*a+4950*ba = -3309

790 400=4950*a+2 502 500*bb = 7.6923

ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮೀಕರಣವು:

ŷ = -3309 + 7.6923 x ,

ಉತ್ಪನ್ನ ಎ (ಕೋಷ್ಟಕ 2) ಯ ಬಳಕೆಯ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2 ಸರಕುಗಳ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ವೆಚ್ಚಗಳ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಎರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ:

ಗುಂಪು ಸಂಖ್ಯೆ	ಬಳಕೆಯ ವೆಚ್ಚಗಳು ಸರಕುಗಳು ಎ		ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ವೆಚ್ಚಗಳಿಂದ ನಿಜವಾದ ವೆಚ್ಚಗಳ ವಿಚಲನ
	ನಿಜವಾದ(ಗಳು)	ವಸಾಹತು	ಸಂಪೂರ್ಣ (y - ŷ)
1	120	-1770,54	1890,54
2	129	-1385,92	1514,92
3	135	-1001,31	1136,31
4	140	-616,45	756,45
5	145	-232,08	377,08
6	151	152,53	-1,53
7	155	537,15	-382,15
8	160	921,76	-761,76
9	171	1306,38	-1135,38
10	182	1690,99	-1508,99
11	189	2075,61	-1886,61
ಒಟ್ಟು	-	-	0

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ŷ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು (y) ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ಪ್ಲೋಟ್ ( ŷ) .

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

=

ಟೇಬಲ್ 1 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

σ X =158;

σ ವೈ = 20,76;

ಆರ್ = 0,990.

ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು ಮೈನಸ್ 1 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ 1 ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಬಂಧದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ನೇರ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ Xಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ

ನಿಕಟ, ನೇರ ಅವಲಂಬನೆ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಡಿ = 0,9801

ಇದರರ್ಥ ಉತ್ಪನ್ನದ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಎಆದಾಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ 98.01% ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಉಳಿದ 1.99% ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾಗಬಹುದು:

1) ಸಂವಹನದ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ರೂಪ;

2) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಲೆಕ್ಕಿಸದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವ.

ಊಹೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡುತ್ತೇವೆ:

ಎಚ್ 0 : ಬಿ = 0.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ-ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲು ಚೌಕಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ರು 2 ost= å (ವೈ ಐ – ŷ i) 2

ರು 2 ost = 1,3689.

ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ರು = 0,39. ಸೆ ( ಬಿ ) = 0,018.

ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಟಿರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆ:

.

ಟಿ ಬಿ = 427,35.

ಮೌಲ್ಯ |t b |>t cr (95% ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ t cr =2.26) ಹಿಂಜರಿತದ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಭಾವದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಪರ್ಕ) Xಮತ್ತು ಯು.

ತೀರ್ಮಾನ: ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಟಿ-ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 95% ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

[ಬಿ– t cr *se( ಬಿ), ಬಿ+ t cr *se( ಬಿ)]- ಬಿ ಗಾಗಿ 95% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಬಿನೀಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 95%).

7,6516 < ಬಿ < 7,7329.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಾವು ಹೋಗೋಣ:

ಆರ್ = 0,990;

ಡಿ = ಆರ್ 2 = 0,9801.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡುತ್ತೇವೆ:

ಎಚ್ 0 : ಆರ್ 2 = 0.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್- ಮೀನುಗಾರರ ಮಾನದಂಡ. ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯಾದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ s 2 ಅಂಶವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವಾಗಿದೆ ŷ (ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ);

ರು 2 ಉಳಿದ - ಚೌಕಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತ;

ಆರ್ 2 - ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ.

ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್- ಮೀನುಗಾರರ ಮಾನದಂಡ:

ಎಫ್ f = 443,26

ತೀರ್ಮಾನ: ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 95% ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x (ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರ ಮಟ್ಟ) ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ y (ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನ) ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅವಲಂಬನೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ಆರ್ಥಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

y=f(x)+E,y t =f(x) – ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯ, E=y-y t

y t =a+bx – ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ (x) ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನದ (y) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅವಲಂಬನೆ

a+b =

ಎ +b =

b=
- ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕ.

ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ (X) ದಿನಕ್ಕೆ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರ ಮಟ್ಟವು 1 ಯೂನಿಟ್‌ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಸರಾಸರಿ ವೇತನ (Y) ಎಷ್ಟು ಯೂನಿಟ್‌ಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

b=
= 0,937837482

ಇದರರ್ಥ ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ (x) ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 1 ಯೂನಿಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನವು ಸರಾಸರಿ 0.937 ಯೂನಿಟ್‌ಗಳಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

a= -ಬಿ , a=135.4166667-0.937837482 86.75=54.05926511

3) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವು SV ಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಯಾವ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

υ x = δх/x = 0.144982838, υ y = δy/y = 0.105751299

4) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನದ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

rxy = b δх/δy = 0.823674909 ಏಕೆಂದರೆ rxy ˃0 , ನಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇವೆಲ್ಲವೂ ಒಬ್ಬ ಸಮರ್ಥ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಜೀವನಾಧಾರದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

5) ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ Y (ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನ) ದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

R 2 xy = (∑(y t - y avg) 2) / (∑(y - y avg) 2) = 0.678440355, 0.5< R 2 < 0,7 ,

ಇದರರ್ಥ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಲವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

6) ಮಾದರಿಯ ನಿಖರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ, ಅಥವಾ ಅಂದಾಜಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ.

=1/n ∑ ׀(y i - y t)/y i ׀ 100% - ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ.

5-7% ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ದೋಷವು ಮಾದರಿಯ ಉತ್ತಮ ಫಿಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ದೋಷವು 10% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಅಂದಾಜು ದೋಷ =0.015379395 100%=1.53%, ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾಗೆ ಮಾದರಿಯ ಉತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

7) ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಯೋಜನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

∑(y - y avg) 2 =∑(y t - y avg) 2 +∑(y i - y t) 2 n – ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, m – ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಗಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘಟಕಗಳು	ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ	ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪ್ರಸರಣ
	∑(y - y ಸರಾಸರಿ) 2		S 2 ಒಟ್ಟು =(∑(y - y avg) 2)/(n-1)
ಅಪವರ್ತನೀಯ	∑(y t - y av) 2		S 2 ಸತ್ಯ =(∑(y t - y av) 2)/m
ಶೇಷ	∑(y i - y t) 2		S 2 ವಿಶ್ರಾಂತಿ =(∑(y i - y t) 2)/ (n-m-1)

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
ಘಟಕಗಳು	ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ	ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	ಪ್ರಸರಣ
ಸಾಮಾನ್ಯ
ಅಪವರ್ತನೀಯ
ಶೇಷ

8) ಪ್ರಕಾರ ಮಾದರಿಯ ಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದುಎಫ್-ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡ (α=0.05).

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆಎಫ್- ಮೀನುಗಾರರ ಮಾನದಂಡ.

H 0 - ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆ.

H 1 - ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವ.

ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಪ್ರತಿ ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ = S 2 ಸತ್ಯ / S 2 ಉಳಿದ = ((∑(y t - y av) 2)/m) / ((∑(y i - y t) 2)/ (n-m-1)) =1669.585177 / 79.13314895 = 29.6984

ಎಫ್ ಕೋಷ್ಟಕ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಮಾನದಂಡದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ. TO 1 = ಮೀ, TO 2 = ಎನ್- ಮೀ-1, ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ α (α=0.05)

F ಟೇಬಲ್ (0.05; 1; n-2), F ಟೇಬಲ್ (0.05; 1; 10), F ಟೇಬಲ್ = 4.964602701

ಒಂದು ವೇಳೆಎಫ್ ಟೇಬಲ್ < ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ , ನಂತರ ಊಹೆಎಚ್ 0 ಅಂದಾಜು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆಎಚ್ 0 ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಟೇಬಲ್< F расч, следовательно признаётся статистическая значимость и надёжность уравнения регрессии.

9) ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಟಿ-ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ (α=0.05).

ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು. ಹಿನ್ನಡೆ., t - ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮಾನದಂಡ. b ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಕಲ್ಪನೆ H 0: b=0, t b (calc) = ׀b ׀/ m b, m b = S ವಿಶ್ರಾಂತಿ / (δ x
), ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

m b = 79.13314895 / (12.57726123
) = 0,204174979

t b (ಲೆಕ್ಕ) = 0.937837482 / 0.204174979 = 4.593302697

t ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ (K=n-2), ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ α (α=0.05). t ಕೋಷ್ಟಕ = 2.2281, t (calc) > t ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, H 0 ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, t b (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ) > t ಟೇಬಲ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹೆ H 0 ಅನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ a. ಕಲ್ಪನೆ H 0: a=0 t a (ಲೆಕ್ಕ) = ׀а ׀/m a

m a = (S ವಿಶ್ರಾಂತಿ
)/(n δ x), m a = (79.13314895
)/(12 12.57726123)= 17.89736655, t a (ಲೆಕ್ಕ) = 54.05926511 / 17.89736655=3.020515055

t a (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ) > t ಕೋಷ್ಟಕ ಆದ್ದರಿಂದ H 0 ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು.ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

mrxy =
, mrxy =
=0.179320842, trxy = 0.823674909/ 0.179320842 = 4.593302697

tr = t b , tr > t ಟೇಬಲ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.