ಸರಣಿ 1 n ಏಕೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ. ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಇದು ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಾವು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆ

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯ n ಮತ್ತು (n+1) ನೇ ಪದಗಳು, ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು D ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: D ಆಗಿದ್ದರೆ< 1 - ряд сходится, если D >

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ n ನೇ ಪದವಿದೆ, ಮತ್ತು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು D ಯ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: D ಆಗಿದ್ದರೆ< 1 - ряд сходится, если D >1 - ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ D = 1, ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ="15625/64>1"> ರಿಂದ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ, ರಾಬೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇವೆ.

ನಮ್ಮ ಆನ್ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್, ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಆಲ್ಫಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು "ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಐಟಂಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು. "ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. "ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

"ಸರಣಿ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ಐಟಂನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅರ್ಥಗಳ ಅನುವಾದವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಪಠ್ಯ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಆಂಗ್ಲ ಭಾಷೆ	ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯ
ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.	ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಮೂಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.	ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.	ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.	ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಮಿತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ಶೀರ್ಷಿಕೆ="n->oo ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ- ಒಂದು ಮೊತ್ತವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶ್ರೇಣಿ :

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).

ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ YouTube

1 / 5

✪ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು - ಬೆಜ್ಬೋಟ್ವಿ

✪ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯ ಪುರಾವೆ

✪ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ-9. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನತೆ

✪ ಸಮಾಲೋಚನೆ ಸಂಖ್ಯೆ. 1. ಚಾಪೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ. ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

✪ ಶ್ರೇಣಿಗಳು. ಸಮೀಕ್ಷೆ

ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು

ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ n ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ

ಸರಣಿಯ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸದಸ್ಯರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರ ಮೊತ್ತವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ s n ಅನ್ನು n ನೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\ displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (ಎನ್)))

ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯಗಳು

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1.833 s 4 = 25 12 ≈ 2.083 s 5 = 137 60 ≈ 2.283 (\displaystyle (\)=1 \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \ಅಂದಾಜು &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\ಅಂದಾಜು &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\ಅಂದಾಜು &2(,)283\ಅಂತ್ಯ(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)))

s 6 = 49 20 = 2.45 s 7 = 363,140 ≈ 2.593 s 8 = 761,280 ≈ 2.718 s 10 3 ≈ 7.484 s 10 6 ≈ ≈ 7.484 s 10 6 ≈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ (49 )(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\ಅಂದಾಜು &2(,)593\\\\s_ (8)& =&(\frac (761)(280))&\ಅಂದಾಜು &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\ಅಂದಾಜು &7(,)484\\\\s_( 10^(6 ))&\ಅಂದಾಜು &14(,)393\end(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)))

ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರ

ಯಾವಾಗ ಮೌಲ್ಯ ε n → 0 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \varepsilon _(n)\rightarrow 0), ಆದ್ದರಿಂದ, ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s_(n)\ಅಂದಾಜು \ln(n)+\gamma )- ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಯೂಲರ್‌ನ ಸೂತ್ರ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ

n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ln(n)+\gamma )	ε n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸೂತ್ರ:

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n - 1 12 n 2 + 1 120 n 4 - 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n = k− 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6))\ಡಾಟ್ಸ್ =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), ಎಲ್ಲಿ ಬಿ 2 ಕೆ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ_(2ಕೆ)) - ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಈ ಸರಣಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷವು ಮೊದಲ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದದ ಅರ್ಧವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

∀ n > 1 s n ∉ N (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆ

S n → ∞ (\ displaystyle s_(n)\rightarrow \infty )ನಲ್ಲಿ n → ∞ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n\rightarrow \infty )

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ (ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು 100 ಮೀರಲು, ಸರಣಿಯ ಸುಮಾರು 10 43 ಅಂಶಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ).

ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು ದೂರದರ್ಶಕ ಸಾಲು :

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\ displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ ಎಡ(1+(\frac (1)(n))\ಬಲ)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),

ಇದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

∑ i = 1 n - 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

ಓರೆಸ್ಮೆ ಪುರಾವೆ

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಭಿನ್ನತೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\ಬಲ]+\ಎಡ[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\ಬಲ]+\ಎಡ[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\ಬಲ]+\ಎಡ[(\frac (1)(9))+\cdots \ ಬಲ]+\cdots \\&()>1+\ಎಡ[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\ಬಲ]+\ಎಡ[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\ಬಲ]+\ಎಡ[(\frac (1)(16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \\quad \ +\quad \\ (\frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\end(aligned)))

ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಂದ ಬಂದಿದೆ ನಿಕೋಲಸ್ ಓರೆಮ್(ಸುಮಾರು 1350).

ಭಿನ್ನತೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ

ಈ ಪುರಾವೆಯ ತಪ್ಪನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಾವು ಓದುಗರನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)ನೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಯೂಲರ್-ಮಾಸ್ಚೆರೋನಿ ಸ್ಥಿರ.

ವಿಭಿನ್ನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ H 1 = 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ H_(1)=1), ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.

ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಣಿ

ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ (ಅಥವಾ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ) ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac (\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ α ⩽ 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ಆಲ್ಫಾ \leqslant 1)ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ α > 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ಆಲ್ಫಾ >1) .

ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ α (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಆಲ್ಫಾ )ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು :

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೈ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ζ (2) = π 2 6 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ α=3 ಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿವರಣೆಯು ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಬಹುದು ζ (1 + 1 n) ∼ n (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸರಣಿಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸಾಂದ್ರತೆ-ಕಾರ್ಯ, +2 ಅಥವಾ −2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛ ನಿಂದ 10 −42 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ.

"ತೆಳುವಾದ" ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ

ಕೆಂಪ್ನರ್ ಸರಣಿ (ಆಂಗ್ಲ)

ಛೇದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n), "ತೆಳುವಾದ" ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮೀರದಂತೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಹುಪಾಲು ಪದಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಅದು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಈ ಲೇಖನವು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಲೇಖನವು ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಬಂಧಗಳು

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ: a 1 , a 2 . . . , a n , . . , ಅಲ್ಲಿ a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಇದರಲ್ಲಿ q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಒಂದು ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ k -thಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯ.

ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ - 16 · - 1 2 ಕೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ S n = a 1 + a 2 + ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. . . + a n , ಇದರಲ್ಲಿ ಎನ್- ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಸ್ ಎನ್ ಆಗಿದೆ n ನೇಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k ಎಂಬುದು S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 ಆಗಿದೆ.

ಎಸ್ 1, ಎಸ್ 2, . . , ಎಸ್ ಎನ್ , . . ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಾಲಿಗಾಗಿ n ನೇಮೊತ್ತವನ್ನು S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n, . . . .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k ಆಗಿದೆ ಒಮ್ಮುಖಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ S = lim S n n → + ∞ . ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ∑ k = 1 ∞ a k ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , ಸಾಲು ∑ k = 1 - 16) · - 1 2 ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತವು 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

n ನೇ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + ರೂಪದ ಮೊತ್ತ. . . . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು Sn = 5n ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯು ಅನಂತ ಲಿಮ್ n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + ನಂತೆ ಅದೇ ರೂಪದ ಮೊತ್ತ. . . + 1 ಎನ್ + . . . - ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಮೊತ್ತ ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , ಎಲ್ಲಿ ರು- ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

∑ k = 1 ∞ 1 k - ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್.

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲಿಮ್ n → + ∞ S n = S ಮತ್ತು lim n → + ∞ S 2 n = S ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

ವಿರುದ್ಧ,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 ಎನ್

ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . ನಾವು S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . S 2 n - S n > 1 2 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಲಿಮ್ n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊತ್ತವು q ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಮೊತ್ತ ಎನ್ S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕ್ಯೂ< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q · 1 = b - 1 q - 1 = b 1 q - 1

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + ಗಾಗಿ. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . S n = b 1 · n ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಮಿತಿಯು ಅನಂತ ಲಿಮ್ n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ q = - 1, ನಂತರ ಸರಣಿಯು b 1 - b 1 + b 1 - ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಬೆಸಕ್ಕೆ S n = b 1 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಎನ್, ಮತ್ತು S n = 0 ಸಹ ಎನ್. ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

q > 1 ಗೆ, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → 1 + ∞ 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ಒಂದು ವೇಳೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ s > 1ಮತ್ತು s ≤ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಾರ್ s = 1ನಾವು ∑ k = 1 ∞ 1 k ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ ರು< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для ಕೆ,ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ∑ k = 1 ∞ 1 k , ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ∑ k = 1 ∞ 1 k s ಅನುಕ್ರಮವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಸರಣಿಯು ಯಾವಾಗ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ರು< 1 .

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 ಅನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 ಎನ್ - 1) ಸೆ

1 (n + 1) s ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು n = 2 ಆಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 ಸೆ + 1 8 ಸೆ + . . . + 1 15 ಸೆ + . . . = = 1 + ಎಸ್ 3 - ಎಸ್ 1 + ಎಸ್ 7 - ಎಸ್ 3 + ಎಸ್ 15 + ಎಸ್ 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1 + 1 2 ಸೆ - 1 + 1 2 ಸೆ - 1 2 + 1 2 ಸೆ - 1 3 + ಆಗಿದೆ. . . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ q = 1 2 s - 1. ನಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ ಪ್ರಕಾರ s > 1, ನಂತರ 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 1 - 1 2 s - 1 ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸದಸ್ಯರು > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . .

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಸಿಗ್ನಲ್ಟರ್ನೇಟಿಂಗ್, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k ಅಥವಾ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , ಅಲ್ಲಿ a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಪರ್ಯಾಯ, ಇದು ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ.

ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಸರಣಿಯು ಮೂರನೇ ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

ಮೂರನೇ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9

∑ k = 1 ∞ b k ಅನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸಾಲುಗಳು 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + ಆಗಿದ್ದರೆ. . . ಮತ್ತು 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. . .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಅನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ∑ k = 1 ∞ b k ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ b k ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. . . . ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಕಾರಣ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + ಎಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. . . ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ

∑ k = 1 ∞ a k ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = m + 1 ∞ a k ಅನ್ನು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದೆ ಸಾಲು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು ಮೀನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ∑ k = m + 1 ∞ a k ಗೆ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
∑ k = 1 ∞ a k ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ = ಎಸ್, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ-ನಿರಂತರ.
∑ k = 1 ∞ a k ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ b k ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊತ್ತಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಸಹ, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k + b k ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ a k - b k ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ A+Bಮತ್ತು ಎ - ಬಿಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 ಅನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ಯಾವಾಗ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ s > 1. ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಸರಣಿ ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ∑ n = 1 ∞ 3 + n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 ಮತ್ತು ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಒಮ್ಮುಖವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೂಡ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸರಣಿ 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. . . ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

ಪ್ರತಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, ಮತ್ತು ಛೇದ = 0. 5, ಇದರ ನಂತರ, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. ಮೊದಲ ಪದವು ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಛೇದ = 1 3 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 11

∑ k = 1 ∞ a k ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮಿತಿ kthಪದ = 0: ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ a k = 0 .

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ, ಅನಿವಾರ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು. ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. lim k → + ∞ a k ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು. ಸಮಾನತೆಯ ಲಿಮ್ k → + ∞ a k = 0 ಹಿಡಿದಿದ್ದರೆ, ಇದು ∑ k = 1 ∞ a k ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಗೆ ∑ k = 1 ∞ 1 k ಸ್ಥಿತಿಯು lim k → + ∞ 1 k = 0 ಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಣಿಯು ಇನ್ನೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಗಾಗಿ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

ಮಿತಿ n ನೇಸದಸ್ಯನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.

ನೀವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನೀವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಈ ವಿಭಾಗವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯಿದೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . ಮೊತ್ತಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು

ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಹಲವಾರು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇವೆ. ನಾವು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ b k ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸಮಾನತೆ a k ≤ b k ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ k = 1, 2, 3, ...∑ k = 1 ∞ b k ಸರಣಿಯಿಂದ ನಾವು ∑ k = 1 ∞ a k ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ∑ k = 1 ∞ a k ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಗಂಭೀರ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಹೋಲಿಕೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆ ಇರಬಹುದು. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸೂಚಕದ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ kthಪದವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಘಾತಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ kthಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯ. a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 2 – 3 = - 1 . IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಇದರೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು k-thಪದ b k = k - 1 = 1 k , ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

ಪಡೆದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದೆರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಮಿತಿ = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ. ಅಸಮಾನತೆ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 ಕೆ< 1 k - 1 2 для ಕೆ,ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದವುಗಳು. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಿಂದ ನಾವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ 1 ಕೆ 3 + 3 ಕೆ - 1 = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಸಮಾನತೆ 1 k 3 + 3 k - 1 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ< 1 k 3 для любого значения ಕೆ. ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ s > 1. ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಸರಣಿ ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) ಏನೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

ಈ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬಯಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . ಪದವಿ ಏನೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅನುಕ್ರಮ (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. . . . ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಂತರ, N = 1619 ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು> 2 ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನತೆ 1 k ln (ln k) ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ b k ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ∑ k = 1 ∞ a k ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಭಿನ್ನವಾಗುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ∑ k = 1 ∞ a k ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ಮತ್ತು lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆ ಎಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದರ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆ.

ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ∑ k = 1 ∞ b k ನಾವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ಎಂದರೆ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಸರಣಿ ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ ಲಿಮ್ k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, ಇದು ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ∑ k = 1 ∞ 1 k . ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯು ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆ

ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

∑ k = 1 ∞ a k ಮತ್ತು _ ∑ k = 1 ∞ b k ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k ಗಾಗಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ∑ k = 1 ∞ b k ಎಂದರೆ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k ಸಹ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ a k ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ∑ k = 1 ∞ b k .

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಲಿಮ್ k → + ∞ a k + 1 a k ಆಗಿದ್ದರೆ< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ.

ಗಮನಿಸಿ 1

ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , ಆಗ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , ಆಗ ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k.

ಅಗತ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. L'Hopital ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ = ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ 2 (ಕೆ + 1) + 1 2 ಕೆ + 1 2 ಕೆ + 1 2 ಕೆ = 1 2 ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ 2 ಕೆ + 3 2 ಕೆ + 1 = 12< 1

ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! ಕೆ ಕೆ ಕೆ! = ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ (ಕೆ + 1) ಕೆ + 1 · ಕೆ ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 ಕೆ ಕೆ = ಇ > 1

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ರಾಡಿಕಲ್ ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ ಒಂದು ಕೆ ಕೆ< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ.

ಗಮನಿಸಿ 2

lim k → + ∞ a k k = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗುರುತಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಲಿಮ್ k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 1 . Данный ряд является сходимым.

ಉದಾಹರಣೆ 15

ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3 ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಿರಂತರ ವಾದದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ y = f(x), ಇದು n = f (n) ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ y = f(x)ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದು, ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು [a ಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; + ∞), ಅಲ್ಲಿ a ≥ 1

ನಂತರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ∫ a + ∞ f (x) d x ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 16

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y = 1 x ln x ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು [2] ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; +∞) . ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ, ಆದರೆ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಬೇಕು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. ಇದು [2 ; + ∞) ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, y = 1 x ln x ಕಾರ್ಯವು ನಾವು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ತತ್ವದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸೋಣ: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 17

ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

ಲಿಮ್ k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

k = 4 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ಸರಣಿ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ಅನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿ ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ಅನ್ನು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಗೋಣ: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಅಡ್ಡಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು [4 ; +∞) . ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ಎಲ್ಎನ್ 28 2

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, ನಾವು ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು 8 )) 3 ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ರಾಬೆಯ ಚಿಹ್ನೆ

∑ k = 1 ∞ a k ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ.

ಲಿಮ್ k → + ∞ k · a k a k + 1 ಆಗಿದ್ದರೆ< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, ನಂತರ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳು ಗೋಚರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಈ ನಿರ್ಣಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ ಅಧ್ಯಯನ

ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ∑ k = 1 ∞ b k ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ ∑ k = 1 ∞ b k ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಸೂಕ್ತವಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು. ∑ k = 1 ∞ b k ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 18

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 ಸರಣಿಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 ಕೆ - 1 .

ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ ಲಿಮ್ k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . ನಾವು ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್

ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಾಡ್ಯುಲಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ∑ k = 1 ∞ b k ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಕೌಚಿಯ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮಾತ್ರ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ∑ k = 1 ∞ b k ಸರಣಿಯು ಅಗತ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, lim k → ∞ + b k ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 19

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

ಘಟಕ kthಪದವನ್ನು ಬಿ ಕೆ = ಕೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ! 7 ಕೆ.

ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು 7 ಕೆ: ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ ಬಿ ಕೆ + 1 ಬಿ ಕೆ = ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ (ಕೆ + 1) ! 7 ಕೆ + 1 ಕೆ! 7 ಕೆ = 1 7 · ಲಿಮ್ ಕೆ → + ∞ (ಕೆ + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 ಕೆ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 20

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.

ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. L'Hopital ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡ

ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 12

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮಿತಿ = 0 ಎಂದು k → + ∞, ನಂತರ ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ b k ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 17

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸರಣಿಯನ್ನು ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . ಎರಡನೇ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ ∑ k = 1 ∞ 1 k ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) ಭಿನ್ನವಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸರಣಿ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ: ಅನುಕ್ರಮ 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 + 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

ಸರಣಿಯು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಬೆಲ್-ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ( u k ) ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ∑ k = 1 + ∞ v k ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + ಅನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ. . . ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ.

ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ಅಲ್ಲಿ (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . ಸೀಮಿತ (ಎಸ್ ಕೆ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಿಮಗೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖ

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಸರಣಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು (ಅಥವಾ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್) ನೋಡಬಹುದು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು (ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ): ಸಂಪೂರ್ಣ(x) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ X
(ಘಟಕ Xಅಥವಾ |x|) ಆರ್ಕೋಸ್(x)ಕಾರ್ಯ - ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಆಫ್ X ಆರ್ಕೋಶ್(x)ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿಂದ X ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(x)ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನಿಂದ X ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ಹ್(x)ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿಂದ X ಆರ್ಕ್ಟಾನ್(x)ಕಾರ್ಯ - ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ X arctgh(x)ನಿಂದ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ X ಇ ಇ 2.7 ಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಕ್ಸ್ (x)ಕಾರ್ಯ - ಘಾತ X(ಹಾಗೆ ಇ^X) ದಾಖಲೆ(x)ಅಥವಾ ln(x)ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ X
(ಹೊಂದಲು log7(x), ನೀವು log(x)/log(7) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕು (ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ log10(x)=ಲಾಗ್(x)/ಲಾಗ್(10)) ಪೈಸಂಖ್ಯೆ "ಪೈ" ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು 3.14 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪಾಪ(x)ಕಾರ್ಯ - ಸೈನ್ ಆಫ್ X cos(x)ಕಾರ್ಯ - ಕೊಸೈನ್ ಆಫ್ X sinh(x)ಕಾರ್ಯ - ಸೈನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿಂದ X cosh(x)ಕಾರ್ಯ - ಕೊಸೈನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿಂದ X ಚದರ(x)ಕಾರ್ಯ - ವರ್ಗ ಮೂಲನಿಂದ X ಚದರ(x)ಅಥವಾ x^2ಕಾರ್ಯ - ಚೌಕ X ತನ್(x)ಕಾರ್ಯ - ರಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ X tgh(x)ಕಾರ್ಯ - ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿಂದ X cbrt(x)ಕಾರ್ಯ - ಘನ ಮೂಲ X

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು: ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಎಂದು ನಮೂದಿಸಿ 7.5 , ಇಲ್ಲ 7,5 2*x- ಗುಣಾಕಾರ 3/x- ವಿಭಾಗ x^3- ಘಾತ x+7- ಸೇರ್ಪಡೆ x - 6- ವ್ಯವಕಲನ
ಇತರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು: ಮಹಡಿ(x)ಕಾರ್ಯ - ಪೂರ್ಣಾಂಕ Xಕೆಳಮುಖವಾಗಿ (ಉದಾಹರಣೆ ಮಹಡಿ(4.5)==4.0) ಸೀಲಿಂಗ್ (x)ಕಾರ್ಯ - ಪೂರ್ಣಾಂಕ Xಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ (ಉದಾಹರಣೆ ಸೀಲಿಂಗ್(4.5)==5.0) ಚಿಹ್ನೆ(x)ಕಾರ್ಯ - ಸೈನ್ X erf(x)ದೋಷ ಕಾರ್ಯ (ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್(x)ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ