ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರ, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ. ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
; (5.22)
. (5.23)
ಕೊನೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು 3 > 0 ನೀಡುತ್ತದೆ. Δ 2 > 0, 0 > 0, a 1 > 0 ಮತ್ತು 3 > 0 ಕ್ಕೆ 2 > 0 ಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಬಹುದು.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. a 1 a 2 > a 0 a 3 ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಸಹ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4. ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ
ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು:
ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾನದಂಡಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಮಾನದಂಡವು ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಇತರ ಮಾನದಂಡಗಳ ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.
5.3 ಮಿಖೈಲೋವ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡ
ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ (5.7) ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ನಾವು ಈ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ p = j, ಅಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಲ್ಲಿ ನೈಜ ಭಾಗವು ಆವರ್ತನದ ಸಹ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ - ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿಆವರ್ತನಗಳು
ಇ
ಅಕ್ಕಿ. 5.4 ಮಿಖೈಲೋವ್ ಅವರ ಹೊಡೋಗ್ರಾಫ್
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆವರ್ತನದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯು () ಮತ್ತು ವಿ () ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.28), (5.29) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.1.
ಕೋಷ್ಟಕ 5.1
ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ ನಿರ್ಮಾಣ
ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 5.4).
ಆವರ್ತನ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ D(j) ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇಲ್ಲಿ 1 - n ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.
ನಂತರ ವಿಶಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, D(j) ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಡಿ (ಜೆ) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೋನವು ಇರುತ್ತದೆ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಆವರ್ತನವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳು (5.31)
ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (5.31) ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು, ಪರಿಗಣಿಸಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಬೇರುಗಳು.
1. ಕೆಲವು ರೂಟ್ ಇರಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1, ಆಗಿರಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ , ಅಂದರೆ 1 = – 1 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶವು (5.31), ಈ ಮೂಲದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ( 1 + j). ಆವರ್ತನವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಹೊಡೋಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 5.5, ಎ) ಯಾವಾಗ= 0, ನೈಜ ಭಾಗವು U= 1, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು V= 0. ಇದು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. 0 ನಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗವು ಇನ್ನೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ V = (ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ B) ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಂಬವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
ಅಕ್ಕಿ. 5.5 ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು
ವೆಕ್ಟರ್ 1 = +( / 2) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೋನ.
2. ಈಗ ಮೂಲ 1 ಆಗಿರಲಿ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ , ಅಂದರೆ 1 = + 1. ನಂತರ ಈ ಮೂಲದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ (5.31) ಅಂಶವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (– 1 + j). ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.5, ಬಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು 1 = –( / 2) ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
3. ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿರಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ , ಅಂದರೆ 2;3 = –±j. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಮೂಲಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು (5.31), ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (–j + j)( + j + j).
ಯಾವಾಗ = 0, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು A 1 ಮತ್ತು A 2 ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.6, ಎ) ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಕ್ಟ್ಜಿ ( / ) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನದಿಂದ ನೈಜ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಕೋನ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕ್ರಮೇಣ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ತುದಿಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೋನವು 2 = ( / 2) + ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ 3 = ( / 2) –. ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ (-j + j)( + j + j) ಕೋನದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುತ್ತದೆ 2 + 3 = 2 / 2 =.
ಅಕ್ಕಿ. 5.6. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು
4. ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ , ಅಂದರೆ 2;3 = +±j.
ಹಿಂದೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು (ಚಿತ್ರ 5.6, ಬಿ), ನಾವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 2 + 3 = –2 / 2 = –.
ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಎಫ್ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಬೇರುಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಏನೇ ಇರಲಿ, ಅವು -f ( / 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ (n - f) ಬೇರುಗಳು +(n - f)( / 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (5.32) ಆವರ್ತನವು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಡಿ (ಜೆ) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಕೋನವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮಿಖೈಲೋವ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. 1936 ರಲ್ಲಿ ಎ.ವಿ. ಮಿಖೈಲೋವ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಯಾವುದೇ ಆದೇಶ.
n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ D(j.) ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ), ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು = ಎನ್ ( / 2).
ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ನೇರವಾಗಿ (5.33) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು, ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಿಖೈಲೋವ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ರೇಖೀಯ ಎಸಿಎಸ್‌ನ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ, ಮಿಖೈಲೋವ್ ಹೊಡೋಗ್ರಾಫ್, ಆವರ್ತನವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಧನಾತ್ಮಕ ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ದಾಟದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣದ ಅನೇಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬಹುಪದದ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ಲೇನ್.
ಬಗ್ಗೆ
ಅಕ್ಕಿ. 5.7. ನಿರೋಧಕ ಎಟಿಎಸ್
ಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಮಿಖೈಲೋವ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ n ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಟ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವಿಧಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗಡಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ನಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.
ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗಡಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವಿಧ (ಶೂನ್ಯ ಮೂಲ) ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ n = 0 ನ ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಪದವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ ಮೂಲವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.9, ಕರ್ವ್ 1)
|
ಅಕ್ಕಿ. 5.8 ಅಸ್ಥಿರ ಎಟಿಎಸ್ |
ಅಕ್ಕಿ. 5.9 ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿಗಳು |
ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವಿಧ (ಆಂದೋಲಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗಡಿ) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗ, ಅಂದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, p = j 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
ಇದು ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. ಇದರರ್ಥ ಮಿಖೈಲೋವ್ ಕರ್ವ್ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ = 0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.9, ಕರ್ವ್ 2). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯವು 0 ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗಡಿಗಾಗಿ ಮೂರನೇ ವಿಧ (ಅನಂತ ಮೂಲ) ಮಿಖೈಲೋವ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಅನಂತದ ಮೂಲಕ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.9, ಕರ್ವ್ 3). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದದ (5.7) ಗುಣಾಂಕ a 0 ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ (DEs) ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಟಗಳಿಗೆ ಲಿಂಕ್ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವಿಷಯಸಹ ನೋಡಿ: ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಆದೇಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ
ನೇರ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.
ನಾವು n ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ.
;
;
ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು:
.
ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಏಕೀಕರಣ >>>
ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರ್ಯಾಯವು ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ > > >
ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
.
ಇದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ
.
ಅದೇ ರೀತಿ ಇತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೂ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ > > >
y, y′, y′′, ... ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
,
ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ
.
ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಹೈಯರ್-ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ > > >
ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ n ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ:
(1)
,
ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇರಲಿ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸಮೀಕರಣ (1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(2)
,
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ n ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ:
.
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಯಾವುದೇ) ಪರಿಹಾರವಿರಲಿ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
,
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ (1).
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಇವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ:
(3)
.
ಇಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ n ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (2):
(2)
.
ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ:
(4)
.
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳು, ನಂತರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಲಭ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲ
,
ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೂಲವೂ ಇದೆ. ಈ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು .
ಬಹು ಬೇರುಗಳುಗುಣಾಕಾರಗಳು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಗಳುಗುಣಾಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
.
ವಿಶೇಷ ಅಸಮಂಜಸ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ
,
ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ 1
ಮತ್ತು ಎಸ್ 2
; - ಶಾಶ್ವತ.
ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ (3). ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ (4) ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:
,
ಎಲ್ಲಿ
;
;
s - s ನಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಷ್ಠ 1
ಮತ್ತು ಎಸ್ 2
.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ (4) ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಬಹುಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:
.
ಇದರ ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.
1)
ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.
ನಂತರ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
,
ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಾವು u ಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ u ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು, ನಾವು n ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 1
- ನೇ ಆದೇಶ.
2)
ಲೀನಿಯರ್ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ
,
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ (4). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
3)
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ.
ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3) ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವನ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
(2)
.
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
,
ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣ
ಇದು ಕೆಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಸ್ಥಿರ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ:
.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂತಹ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ರೂಪದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಬಹುದು
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ನಾವು ಅದೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ನೀವು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ .
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ವಿ.ವಿ. ಸ್ಟೆಪನೋವ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೋರ್ಸ್, "LKI", 2015.
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಥರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಕ್ರಮವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಆದರೆ ನಾವು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
ಸಮೀಕರಣ (1) ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಮೂರನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (5) ಮೊದಲ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎನ್ನೇ ಆದೇಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳು, ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಾರದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಲ್ಲ, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (2) - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (4) - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (5) - ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕೇವಲ ಸಮೀಕರಣವು (3) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y = f(x), ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಅದು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
ಅದು ಏನು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ . ಅದರಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎನ್ th ಆದೇಶವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಅಂದರೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
.
ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ.
,
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ -
ನೀಡಿದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ.
ಈಗ ನಿಗದಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ
.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಸಿ. ಇದು ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ವೈ = 3, X= 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸರಳವಾದವುಗಳು ಸಹ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಉತ್ತಮ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 4.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.
.
ವೇರಿಯಬಲ್ (ಬದಲಿ) ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಆಗಿರಲಿ.
ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ dxಮತ್ತು ಈಗ - ಗಮನ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ಇದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ("ಸೇಬು" - ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ವರ್ಗ ಮೂಲಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ - "ಒಂದು-ಅರ್ಧ" ಮತ್ತು "ಕೊಚ್ಚಿದ ಮಾಂಸ" ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ):
ನಾವು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಇದು ಈ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಅಂದರೆ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದಿಂದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು. ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ X. ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮರೆತುಹೋಗದ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಶಾಲೆಯಿಂದ ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಓದಬಹುದು.ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಇಲ್ಲಿ x(t), y(t), z(t) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ij (i, j =1, 2, 3) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ
,
ಎಲ್ಲಿ 
ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
,
ಎಲ್ಲಿ 
, C 1 , C 2 , C 3 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ 
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು 3 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:
1. ಬೇರುಗಳು (ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಸ್) ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.
2. ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ (ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಸ್) ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಇವೆ, ಅವಕಾಶ
- ನಿಜವಾದ ಮೂಲ
=
3. ಬೇರುಗಳು (eigenvalues) ನೈಜವಾಗಿವೆ. ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹು.
ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಪ್ರಮೇಯ 1.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ
.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ನೈಜ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಆಗಿರಲಿ (ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಜವಾದ ಮೂಲ), ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ.
= - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು, - ಅನುಗುಣವಾದ - ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್. ನಂತರ
(ಮರು - ನೈಜ ಭಾಗ, Im - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ)
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ ಮತ್ತು = ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ)
ಪ್ರಮೇಯ 3.
ಗುಣಾಕಾರ 2 ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪದ 2 ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 
,
ಅಲ್ಲಿ , ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಗುಣಾಕಾರವು 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೂಪದ 3 ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ
.
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (*) ಮತ್ತು (**) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫಾರ್ಮ್ (*) ಮತ್ತು (**) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೆಳಗಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
ಈಗ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
1. ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
1) ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ
- ಈ ಸಮೀಕರಣದ 9 ಮೂಲಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು).
2) ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ 
3) ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್, ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅಂದರೆ. - ಯಾವುದೇ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರ 
4) ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್, ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅಂದರೆ. - ಯಾವುದೇ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರ 
5)
ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
,
ಇಲ್ಲಿ C 1, C 2, C 3 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ,
,
ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ 
ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆ 1.
2) ಹುಡುಕಿ 
3) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
4) ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು 
ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ 
ಉದಾಹರಣೆ 2.
1) ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: 
2) ಹುಡುಕಿ 
3) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
4) ಹುಡುಕಿ 
5) ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು 
ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 
ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ 
2. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
- ನಿಜವಾದ ಮೂಲ,
2) ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ
 |
3) ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ
| - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್, ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ |  |
ಇಲ್ಲಿ Re ನಿಜವಾದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ
ಇಮ್ - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ
4) ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
, ಎಲ್ಲಿ
C 1, C 2, C 3 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.
1) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ 
2) ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ
3) ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ 2i ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. 
ಮತ್ತಷ್ಟು 
ಆದ್ದರಿಂದ, 
4) - ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: 
ಉದಾಹರಣೆ 2.
1) ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ 
2) ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ
(ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ), ಅಲ್ಲಿ
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1-i) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. 
ಆದ್ದರಿಂದ, 
3)
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ
ಅಥವಾ 
2. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬಹು ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ: 
ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a) 1), ಅಲ್ಲಿ
| - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್, ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ | |
2) ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 3 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದ ರೂಪದ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
,
ಅಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
3) - ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಬಿ):
1) ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 3 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದ ರೂಪದ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
,
ಅಲ್ಲಿ , , ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
2) - ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಫಾರ್ಮ್ (*) ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.
ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ನಮಗೆ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ a)
1) ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ 
, ಎಲ್ಲಿ
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ:
? ಮೂರನೆಯ ಸಾಲು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ: 
2) = 1 (2 ರ ಗುಣಗಳು)
T.3 ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮೂಲವು ರೂಪದ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.
ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ರೂಪದ ಪರಿಹಾರಗಳು
.
ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ =1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
, ಅಥವಾ 
, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕಿ. 
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎರಡು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು . ಮೊದಲು ಅವರಿಗೆ 1, 0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ; ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, 1. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 
.
ಆದ್ದರಿಂದ, 
.
3) - ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: 
. .. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ X 3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ: ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ದಾಟಿ (ಇದು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ). ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). c=1 ಎಂದು ಬಿಡಿ. 
ಅಥವಾ 
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...