ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು(x n ), ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿε > 0 ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದೆ x n, ಇದಕ್ಕಾಗಿ n>N, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

|x n - a|< ε. (6.1)

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: ಅಥವಾ x n →ಎ.

ಅಸಮಾನತೆ (6.1) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ಅಂದರೆ ಅಂಕಗಳು x n, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ n>N ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಮಲಗಿಕೊಳ್ಳಿ (a-ε, a+ ε ), ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ಬೀಳುತ್ತವೆε - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಎ.

ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಭಿನ್ನವಾದ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಾದದ x n = f(n) ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎನ್.

f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಬಿಡೋಣ ಎ - ಮಿತಿ ಬಿಂದುಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ D(f), ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದು, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು D(f) ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ. ಡಾಟ್ ಎ D(f) ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ನಲ್ಲಿ x→a, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (x n ) ಎ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು (f(x n)) ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ A.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ,ಅಥವಾ " ಅನುಕ್ರಮ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ”.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ನಲ್ಲಿ x→a, ವೇಳೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ε , ಅಂತಹ δ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು>0 (ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ), ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗಿದೆ X, ಮಲಗಿರುವುದುಸಂಖ್ಯೆಯ ε-ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಎ, ಅಂದರೆ ಫಾರ್ X, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು
0 < x-a< ε , f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆA ಸಂಖ್ಯೆಯ ε-ನೆರೆಹೊರೆ, ಅಂದರೆ.|f(x)-A|< ε.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ,ಅಥವಾ ε - δ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ “.

1 ಮತ್ತು 2 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. f(x) ಕಾರ್ಯವು x → ನಂತೆ ಇದ್ದರೆಒಂದು ಹೊಂದಿದೆ ಮಿತಿ, A ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

. (6.3)

ಯಾವುದೇ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಅನುಕ್ರಮವು (f(x n)) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ) Xನಿಮ್ಮ ಮಿತಿಗೆ ಎ, ನಂತರ ನಾವು f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅನಂತ ಮಿತಿ,ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣ (ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ) ಇದರ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣ ಯಾರ ಮಿತಿ ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 . ಪ್ರತಿ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ

(6.4)

(6.5)

(6.6)

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. 0/0 ನಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು "ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. (6.7)

ಆ. ಸ್ಥಿರ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ;

(6.8)

(6.9)

ಪ್ರಮೇಯ 3.

(6.10)

(6.11)

ಎಲ್ಲಿ ಇ » 2.7 - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಧಾರ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (6.10) ಮತ್ತು (6.11) ಮೊದಲನೆಯದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ.

ಸೂತ್ರದ (6.11) ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಿತಿ,

ಒಂದು ವೇಳೆ x → a ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ x > a, ನಂತರ x ಬರೆಯಿರಿ→a + 0. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, 0+0 ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಿಗೆ +0 ಬರೆಯಿರಿ. ಅದೇ ರೀತಿ x→a ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ x a-0 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಮತ್ತು ಎಡ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎ. f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿ x→ ಆಗಿರಲುa ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಆದ್ದರಿಂದ . f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಿತಿ

. (6.15)

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (6.15) ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

,

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರವು ಸಾಧ್ಯ.

ಸಮಾನತೆ (6.15) ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ x = xo ಕಾರ್ಯ f(x) ಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಅಂತರ y = 1/x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಆರ್, x = 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. x = 0 ಬಿಂದುವು D(f) ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, D(f) ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸ್ವತಃ ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. f(x o)= f(0) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x o = 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ x o

,

ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ x o, ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ

.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ x oಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲು x o, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿಯು f(x o) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

1. ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f(x o) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಕಾರ್ಯ f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿ x o ಹೊಂದಿದೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಛಿದ್ರ,ಅಥವಾ ನೆಗೆಯಿರಿ.

2. ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ+∞ ಅಥವಾ -∞ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ x o ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ y = cot x ನಲ್ಲಿ x→ +0 +∞ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ x=0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯ y = E(x) (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ X) ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಜಿಗಿತಗಳು.

ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರವಿ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೇರಿವೆ: ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಠೇವಣಿಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುಗಳ ಕೊಳೆತ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಯಾ I. ಪೆರೆಲ್‌ಮನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಇಒಂದು ಮಿತಿ ಇದೆ . ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳಲ್ಲಿ, ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಬಂಡವಾಳವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊತ್ತವು ಆಸಕ್ತಿಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ, ಸರಳೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. 100 ನಿರಾಕರಣೆದಾರರು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಿ. ಘಟಕಗಳು ವಾರ್ಷಿಕ 100% ಆಧರಿಸಿ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 200 ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಈಗ 100 ಡೆನಿಜ್ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಪ್ರತಿ ಆರು ತಿಂಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಘಟಕಗಳು. ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ, 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100ಕ್ಕೆ ಬೆಳೆಯಲಿದೆ× 1.5 = 150, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ - 150 ನಲ್ಲಿ× 1.5 = 225 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು). ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ವರ್ಷದ ಪ್ರತಿ 1/3 ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ× (1 +1/3) 3 " 237 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು). ನಾವು ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು 0.1 ವರ್ಷಕ್ಕೆ, 0.01 ವರ್ಷಕ್ಕೆ, 0.001 ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ 100 ಡೆನ್ ಹೊರಗೆ. ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),

100 × (1+1/100) 100 »270 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು).

ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಕಡಿತದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಚಿತ ಬಂಡವಾಳವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು 271 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ 100% ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಬಂಡವಾಳವು 2.71 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಂಚಿತ ಬಡ್ಡಿ ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ರಾಜಧಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು

ಉದಾಹರಣೆ 3.1.ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, x n =(n-1)/n ಅನುಕ್ರಮವು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಏನೇ ಇರಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆε > 0, ನಾವು ಏನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅದಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ n N ಗೂ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ|x n -1|< ε.

ಯಾವುದೇ e > 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ರಿಂದ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, ನಂತರ N ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 1/n ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು< ಇ. ಆದ್ದರಿಂದ n>1/ ಇ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, N ಅನ್ನು 1/ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಇ , ಎನ್ = ಇ(1/ ಇ ) ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಆ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.2 . ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ.ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಯಾವಾಗ ಎನ್→ ∞ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ಅಂಶದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x n, ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ಎನ್ 2, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎನ್. ನಂತರ, ಅಂಶದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 3.3. . ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ. .

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ: ಡಿಗ್ರಿಯ ಮಿತಿಯು ಬೇಸ್ನ ಮಿತಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.4 . ಹುಡುಕಿ ( ).

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ∞-∞ . ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 3.5 . f(x)=2 1/x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು 0 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (x n) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ. f(x n)= ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. x n = 1/n ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಂತರ ಮಿತಿ ಈಗ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ x n x n = -1/n ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ, ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.6 . ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.x 1 , x 2 ,..., x n ,... ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ
. ವಿಭಿನ್ನ x n → ∞ ಗಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮ (f(x n)) = (sin x n) ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ

x n = p n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ sin x n = sin p ಎಲ್ಲರಿಗೂ n = 0 ಎನ್ಮತ್ತು ಮಿತಿ ವೇಳೆ
x n =2 p n+ p /2, ನಂತರ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p ಎಲ್ಲರಿಗೂ /2 = 1 ಎನ್ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿ. ಹಾಗಾಗಿ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಜೆಟ್

ಮೇಲಿನ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, sin(x)/x ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಹುಡುಕಲು ಬಯಸುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, x ಒಲವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲರ್ ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ಬಯಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ತೋರಿಸು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು: sqrt(x) - ವರ್ಗಮೂಲ, cbrt(x) - ಘನಮೂಲ, exp(x) - ಘಾತ, ln(x) - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, sin(x) - ಸೈನ್, cos(x) - ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾನ್ (x) - ಸ್ಪರ್ಶಕ, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. ಚಿಹ್ನೆಗಳು: * ಗುಣಾಕಾರ, / ವಿಭಾಗ, ^ ಘಾತ, ಬದಲಿಗೆ ಅನಂತಅನಂತ. ಉದಾಹರಣೆ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು sqrt(tan(x/2)) ಎಂದು ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ y = f (X)ಒಂದು ಕಾನೂನು (ನಿಯಮ) ಅದರ ಪ್ರಕಾರ X ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ x ಯು Y ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶ y ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಅಂಶ x ∈ ಎಕ್ಸ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ವಾದಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್.
ಅಂಶ ವೈ ∈ ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಸೆಟ್ X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್.
ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ y ∈ ವೈ, ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್.

ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ), ಒಂದು ವೇಳೆ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ:
.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ, ಎಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೀಗೆ:
.

ಮೇಲಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ s ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು s′: ಅನ್ನು ಮೀರುವ ವಾದವಿದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು i ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಾದವಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು i′: ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದ್ದರೆ, ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ
.
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮಿತಿ (ಎಡ-ಬದಿಯ ಮಿತಿ):
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮಿತಿ (ಬಲಗೈ ಮಿತಿ):
.
ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
; .

ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
.
.
.
ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
; ; .

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು:
.
ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ
; ;
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿದೆ:
; ; .

ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ). ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f (X) x → x ನಂತೆ 0 ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಂ > 0 δ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ > 0 , M ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಂಕ್ಚರ್ ಆದ δ M ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ: , ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ನೀವು ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ (ಎರಡು-ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
.

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ X: ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಹಂತದಲ್ಲಿ:
,
ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಇದರ ಅಂಶಗಳು X ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ: ,
.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.

ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಎಡ-ಬದಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 0 , ನಂತರ ನಾವು ಎಡ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಬಲಗೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಯ ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಪುರಾವೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಮುಂದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ: . ಇದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ . ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಮಿತಿಗೆ ಎರಡು-ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು-ಬದಿಯ ಮಿತಿಗೆ ಒಂದು-ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಫ್ (X)ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ (ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಮಾಡಿ). 1, x 2, x 3, ... x n, ನಂತರ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ x 0 .

ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ, x ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 , ಅದರ ಮೇಲೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಸೀಮಿತ:
.

ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿರಲಿ 0 ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಿತಿ:
.
ನಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ x ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ,
, ವೇಳೆ;
, ವೇಳೆ .

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, , ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

x ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ 0
,
ಅದು .

ವೇಳೆ , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ
,
ಅದು .
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ
,
ನಂತರ ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು;
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು .

ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ (ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅನಂತ) ಸಮಾನ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
, ಅದು
.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಇರಲಿ:
ಮತ್ತು .
ಮತ್ತು C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
;
;
;
, ವೇಳೆ .

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ

ಪ್ರಮೇಯ
ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 0 , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ε ಗೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ > 0 ಬಿಂದು x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇತ್ತು 0 , ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ

ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ
ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.
ಅಂತಿಮ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದ ಅಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: . ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.
ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರಬೇಕು:
.

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಾದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ:
.
ಕೆಳಗಿನವು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಜಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇರಲಿ (ಟಿ) t → t ಎಂದು 0 , ಮತ್ತು ಇದು x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.
ಇಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಟಿ 0 ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು: .
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಅವಕಾಶ (X)ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 .
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ f (ಜಿ(ಟಿ)), ಮತ್ತು ಇದು f ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (x0):
.

ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ".

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೌಂಡ್ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
,
ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ.

"ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯವು , ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ , ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
,
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ:
, ಮತ್ತು (ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ), ನಂತರ
.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
, .

ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
.
ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
.

ಅನಂತರ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಬಹುದು:
, ,
, .

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳು, ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುವ ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು
"ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅಟ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ:
.
ಅದರಂತೆ, ಫಾರ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ:
.
ಫಾರ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
.
ಫಾರ್ ಹೆಚ್ಚಿಸದ:
.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ.
ಇದನ್ನು M ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ: ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .
ಇದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ: ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .

a ಮತ್ತು b ಅಂಕಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅಂದರೆ .
ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇದೇ ಪ್ರಮೇಯ.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು".

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.

ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ. ಈ ಅಥವಾ ಆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಮಿತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಆಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಇದೇ ಕೌಚಿಯು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ದುಃಸ್ವಪ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಸಹ್ಯಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಿತಿಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ಮಿತಿ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
2. ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.

ಕೆಲವು ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾನು ಕ್ಷಮೆಯಾಚಿಸುತ್ತೇನೆ, ವಸ್ತುವು ಟೀಪಾಟ್ಗೆ ಸಹ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಮಿತಿ ಏನು?

ಮತ್ತು ಅಜ್ಜಿಯನ್ನು ಏಕೆ ಶಾಗ್ಗಿ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ....

ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1) ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಿತಿ ಐಕಾನ್.
2) ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳು, in ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ. ನಮೂದು "X ಒಲವು ಒಂದು" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ "X" ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ ().
3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು .

ನಮೂದು ಸ್ವತಃ ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "x ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ."

ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ - "x" ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಬ್ಬರಿಗೆ"? ಮತ್ತು "ಪ್ರಯತ್ನ" ಎಂದರೆ ಏನು?
ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ. ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ: ಮೊದಲು , ನಂತರ , , ..., , ….
ಅಂದರೆ, “x ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಂದಕ್ಕೆ" ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x" ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದು ಏಕತೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ನಿಯಮ: ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಅಲ್ಲ!

ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:

ಅದು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ? ಇದು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ: ಮೊದಲು, ನಂತರ, ನಂತರ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ.

ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
, , , …

ಆದ್ದರಿಂದ: ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ:

ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅನಂತತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ತೀರ್ಮಾನ: ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ:

ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಣಿ:

ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:

, , , , , , , , ,
ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಅನುಮಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ , . ಒಂದು ವೇಳೆ , ಆಗ , , .

ಗಮನಿಸಿ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಜೊತೆಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೂ ಸಹ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ: ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ , ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ "X" ಅಂತಹ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ನಿಜವಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನಿಂದ ನೀವು ಏನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು?

1) ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

2) ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ , , ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈಗ ನಾವು ಯಾವಾಗ ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ನಮ್ಮ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ? ಅನಂತ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತತೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಯೋಚಿಸಬಹುದು , ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಮೊದಲು ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಎರಡು.

ಈಗ ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿ ಎರಡು.

ನಂತರ ನಾವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಉತ್ತರ, ಮತ್ತು ಅನಂತವಲ್ಲ.

ನಿರ್ಧಾರದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?

ಮೊದಲಿಗೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ರಚಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಂತರ, ಬಹುಶಃ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ನಿಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿಮಗೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಮತ್ತೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:

ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 3
ಛೇದದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 4
ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಶ್ರೇಷ್ಠಮೌಲ್ಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು.
ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಯೋಜನೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಅಂಶದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 2
ಛೇದದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 1 (ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು)
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

ಸಂಕೇತವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ನೀವು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಅನಂತ.

ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳು

ಮಿತಿಗಳ ಮುಂದಿನ ಗುಂಪು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "x" ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಮೊದಲಿಗೆ, -1 ಅನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮ : ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯಗಳು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತು ಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಗಣಿತಜ್ಞರು. ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಗದದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಲು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ: .

ತಾರತಮ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 361, ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕಾರ್ಯ ವರ್ಗ ಮೂಲಸರಳವಾದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ.

! ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯದಿದ್ದರೆ (ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಅಲ್ಪವಿರಾಮದೊಂದಿಗೆ), ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದೋಷವಿದೆ.

ಮುಂದೆ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗೆ:

ಎಲ್ಲಾ. ಅಂಶವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಛೇದಕ. ಛೇದವು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಳವಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ಈಗ ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ರಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೆಲಸ, ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:

ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಹಾರದ "ಮುಕ್ತಾಯ" ಆವೃತ್ತಿ

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶ ಮಾಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆ:
ಛೇದ:



,

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಮೊದಲು ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ನೋಡಬೇಕಾದ ಸೂತ್ರ ಇದು.

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು.
ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮ. ಬದಲಿ ವಿಧಾನ

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ. ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ (ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮದ).

"x" "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ

"ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಎಂಬ ಭೀತಿಯು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಸುಳಿದಾಡುತ್ತಿದೆ. ನಾವು ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಹಲವಾರು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪರಿಹಾರದ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು ಪಾಠದ ಮೊದಲ ಭಾಗದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ 4 ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

1) ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಮಿತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಪದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕಬೆಳವಣಿಗೆ. ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ EVEN ಪದವಿಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ನಾಲ್ಕನೇಯಲ್ಲಿ, "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಸ್ಥಿರ ("ಎರಡು") ಧನಾತ್ಮಕ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

2) ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಹಿರಿಯ ಪದವಿ ಸಹ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ: . ಆದರೆ ಅದರ ಮುಂದೆ "ಮೈನಸ್" ಇದೆ ( ಋಣಾತ್ಮಕಸ್ಥಿರ -1), ಆದ್ದರಿಂದ:

3) ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ಬೆಸ ಪದವಿಯಿಂದ "ಮೈನಸ್" "ಜಂಪ್ ಔಟ್", ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆಒಡಿಡಿ ಪವರ್‌ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ"ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: .
ಸ್ಥಿರ ("ನಾಲ್ಕು") ಧನಾತ್ಮಕ, ಅರ್ಥ:

4) ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಹಳ್ಳಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಬೆಸಪದವಿ, ಜೊತೆಗೆ, ಎದೆಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕಸ್ಥಿರ, ಅಂದರೆ: ಹೀಗೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಫ್ರೈಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪರಿಹಾರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಮತ್ತು ಈಗ, ಬಹುಶಃ, ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶವು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಯಾವ ರೀತಿಯ ಅನಂತತೆ, "ಪ್ಲಸ್" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್"? ತಂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 15

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಏಕತೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಆದ್ದರಿಂದ ಗಮನಿಸಿ . ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಗುಣಕವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು 0:0 ನ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "x" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು "te" ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಬದಲಿಯಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

(1) ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ

(2) ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.

(4) ಸಂಘಟಿಸಲು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ, ಕೃತಕವಾಗಿ ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯ:

ಉದಾಹರಣೆ 17

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಇವುಗಳು ತಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳು, ನೀವು ವಿವಿಧ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಇತರ ತಂತ್ರಗಳು. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿತಿಗಳು ನಾನು ಒಂದೆರಡು ನೈಜ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದೆ =)

ರಜೆಯ ಮುನ್ನಾದಿನದಂದು, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿರ್ಮೂಲನೆ "ಒಂದು ಅನಂತತೆಯ ಶಕ್ತಿ"

ಈ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು "ಸೇವೆಸಲಾಗಿದೆ" ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ, ಮತ್ತು ಆ ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ನಕಲಿ" ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ 2 ನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದು ಅಲ್ಲ ಪ್ರಕರಣ

2 ನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಎರಡು ವರ್ಕಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವಾದವು "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬೇಕು. ಆದರೆ ವಾದವು ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ ಏನು?

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರವು ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ):

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು:

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲೋ ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ವಿಶೇಷ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಕೇವಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ:

1) ಇದು ಸುಮಾರು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಬೇರೇನೂ ಇಲ್ಲ.

2) “x” ವಾದವು ಒಲವು ತೋರಬಹುದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯ(ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅಥವಾ), ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, "ಮೈನಸ್ ಅನಂತ" ಅಥವಾ ಗೆ ಯಾರಾದರೂಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು, ಇದು 2 ನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ :

ನಿಜ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಪರಿಹಾರದ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸುವುದು ಸಂಪ್ರದಾಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ 2 ನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ "ನೀರಸ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಗ್ರಂಥಾಲಯದಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದಬಹುದು. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಅಥವಾ ಇತರ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಮೇಲೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋರ್ಸ್ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಪ್ರಸ್ತುತ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎ) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

ಪರಿಹಾರ

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ ಜನರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ವಿನಂತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಮಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಮಗೆ ಕಳುಹಿಸಿ. ನಾವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಗ್ರೇಡ್ ಅನ್ನು ಸಮಯೋಚಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ!

ಉತ್ತರ

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿಂದ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಪರಿಹಾರ $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

ಪರಿಹಾರ

ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ನಾವು $ x $ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ ಈಗ ಮುಂದೇನು? ಕೊನೆಗೆ ಏನಾಗಬೇಕು? ಇದು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾವಾಚಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಶಾಲೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಗ್ರೇಟ್! ಈಗ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿ :) ಅಂಶವು $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮೇಲಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

ಉತ್ತರ

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಲೆಕ್ಕಹಾಕು $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

ಪರಿಹಾರ

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾದದ್ದು ಸಾಧ್ಯ. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡರಲ್ಲೂ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಇದರ ನಂತರ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು x ಗೆ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

ಉತ್ತರ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳೋಣ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

1. ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅನಂತವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: "ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ" ಅಥವಾ "ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅನಂತ" ಮತ್ತು ಸೂಚನೆಗಳ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.
2. "ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ" ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.
3. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು "ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅನಂತತೆ" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ x ಎರಡನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು X ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಿತಿಯಿಂದ ಉಳಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಪರೀಕ್ಷಕರು ನೀಡುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಮಾತ್ರ. ಮುಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ಮುಂದುವರಿಯಲು ಈ ಪಾಠವನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು. ಬೇರುಗಳು, ಪದವಿಗಳು, ಅಧ್ಯಯನ ಅನಂತ ಸಮಾನ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳು, L'Hopital ನಿಯಮಗಳು ಇದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಭಯಪಡಬೇಡಿ. ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇವೆ!