ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯು ಅನಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ

(X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0 :
,
ಒಂದು ವೇಳೆ
1) ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ 0
2) ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ (xn), x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು 0 :
, ಇದರ ಅಂಶಗಳು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿವೆ,
ಅನುಕ್ರಮ (f(xn))ಒಂದು ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಇಲ್ಲಿ x 0 ಮತ್ತು a ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ)

ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0 :
,
ಒಂದು ವೇಳೆ
1) ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ 0 , ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ;
2) ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ε > 0 ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ δ ε ಇದೆ > 0 , ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಂಕ್ಚರ್ ಆದ δ ε ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ x - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ x 0 :
,
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು f (X)ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ε-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದೆ:
.

ಅಂಕಗಳು x 0 ಮತ್ತು a ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮಾನ ದೂರದ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0 :
,
ಒಂದು ವೇಳೆ
1) ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ 0 , ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ;
2) ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಯು (ಎ)ಪಾಯಿಂಟ್ a ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ 0 x ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ 0 :
,
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು f (X)ನೆರೆಹೊರೆಯ ಯುಗೆ ಸೇರಿದೆ (ಎ)ಅಂಕಗಳು a:
.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ಒಂದು ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬದಿಯ ಮಿತಿಗಳು

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿವೆ. ನಾವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡ-ಬದಿಯ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ನಾವು ಎಡ-ಬದಿಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಹೈನ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಇದು ಬರುತ್ತದೆ: ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿರಬೇಕು.

ಕೌಚಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಸೂಕ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
"ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ" ನೋಡಿ.

ಆ ಬಿಂದು a ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲ

ಪಾಯಿಂಟ್ a ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ನಾವು ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ (X)ಬಿಂದು x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 0 . ಅಂಕಗಳು a ಮತ್ತು x 0 ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಕೆಳಗೆ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವೂ ದ್ವಿಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ.
ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಅಲ್ಲಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f (X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0 : ,
ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (xn), x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು 0 :
,
ಯಾರ ಅಂಶಗಳು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿವೆ,
ಅನುಕ್ರಮ ಏನು (f(xn))ಒಂದು ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
.
.

ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ.
ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಅಲ್ಲಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f (X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0 :
,
ಅಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ε > 0 , ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ δ > 0 x ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ δ-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ x ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ 0 :
,
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು f (X)ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ε-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ:
.
.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಒಂದು ಮಿತಿ ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ f(x) = sin(1/x) x → 0 ನಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 0 : . ಏಕೆಂದರೆ , ಆಗ .
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 0 : . ಆದರೆ ಅಂದಿನಿಂದ .
ನಂತರ ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು a. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಾಗಿ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ.

ಮಿತಿಯ ಹೈನ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆ

ಪ್ರಮೇಯ
ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಹೈನ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ

ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ) ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ a ಕೂಡ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.

ಹೈನ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ ⇒ ಕೌಚಿ ಅವರ

ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ (ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ
(1) ,
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಒಂದು:
(2) .

ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೌಶಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಏನಾದರೂ ಇರುತ್ತದೆ.

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ. ಷರತ್ತುಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಕೌಶಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ
.

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಲ್ಲಿ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು
.
ಹೀಗೆ ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕೌಚಿಯ ಪುರಾವೆ ⇒ ಹೈನ್ಸ್

ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ a ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ (ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ). ಅಂದರೆ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅದು ಇರುತ್ತದೆ
(3) ಎಲ್ಲರಿಗೂ .

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕೌಚಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (3) ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ
ನಲ್ಲಿ.
ನಂತರ (3) ರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಂತರ
.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಅವಕಾಶ ಇ- ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇ, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎ, ಅದು ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಅಂತಿಮ ಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. (ಹೆನ್ರಿಕ್ ಹೈನ್ (1821-1881)). ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ
, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ
, ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದೆ , ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1) ಕಾರ್ಯ
ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮ
, ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ , ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
, ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಅದಕ್ಕೇ
.

2) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ

.

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇಳೆ
, ನಂತರ
.

3) ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಕಾರ್ಯ
ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು
, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ - ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
. ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.

4)
.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
, ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 2. ನಂತರ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. (ಕೌಚಿ (1789-1857)). ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ
, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ
ಇರುತ್ತದೆ
, ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ X, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು

ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ

ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
.

ಕೌಚಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ನೀಡಬಹುದು, ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ , a:

ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ
ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಹಂತದಲ್ಲಿ , ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಎ
ಚುಚ್ಚಿದ ಒಂದು ಇದೆ - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ
,ಅಂದರೆ
.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.
.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹಾಗೆ X, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
. ಹೇಳಿಕೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ನ್ಯಾಯೋಚಿತ

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ. 1) ಅವಕಾಶ
ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ. ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ
, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹಾಗೆ
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
. ಅವಕಾಶ
- ಅಂತಹ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮ
ನಲ್ಲಿ
. ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಂತಹ
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ
, ಅಂದರೆ

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ.

2) ಈಗ ಬಿಡಿ
ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ
ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ.

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಏನು
ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ. ನಂತರ ಇದೆ
ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಂತಹ
ಇರುತ್ತದೆ
,
ಮತ್ತು
. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದವರಿಗೆ
ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎನ್ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ

ಮತ್ತು
. ಎಂದು ಅರ್ಥ
, ಆದರೂ
, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಮಿತಿಯಲ್ಲ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ. ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2 (ಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ). ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ , ಆಗ ಅವನು ಒಬ್ಬನೇ.

ಪುರಾವೆ. ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ನೀಡೋಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಅವರು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ
ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ , ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ
ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ

, ಅಂದರೆ
ಮತ್ತು
, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ
.

ಪ್ರಮೇಯ 3 (ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ). ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ.ಅವಶ್ಯಕತೆ. ಅವಕಾಶ
. ಅದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕು
ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಕೌಚಿಯ ಸ್ಥಿತಿ.

ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪುಟ್
. ಗೆ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ
, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ
, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು
ಮತ್ತು
, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು
. ನಂತರ

ಅಗತ್ಯ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮರ್ಪಕತೆ. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಕೌಚಿಯ ಸ್ಥಿತಿ. ಇದು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ.

ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ 4 ಇದೆ
, ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ
,
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
- ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಮೊದಲು ತೋರಿಸೋಣ
, ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದೆ , ನಂತರದ
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ
, ನಂತರ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಾರಣದಿಂದ
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್, ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ

ಮತ್ತು
. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ Cauchy ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ
. ನಂತರ, ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ, ಅನುಕ್ರಮ
ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ
ಅದೇ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಯಾವುವು
ಮತ್ತು
,
,
, ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ , ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಮೂಲಕ, ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು
ಮತ್ತು
ವಿಭಿನ್ನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ =. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೈನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ. ಸಮರ್ಪಕತೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ y = f (X)ಒಂದು ಕಾನೂನು (ನಿಯಮ) ಅದರ ಪ್ರಕಾರ X ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು x Y ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶ y ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಅಂಶ x ∈ ಎಕ್ಸ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ವಾದಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್.
ಅಂಶ ವೈ ∈ ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಸೆಟ್ X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್.
ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ y ∈ ವೈ, ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್.

ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ), ಒಂದು ವೇಳೆ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ:
.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ, ಎಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೀಗೆ:
.

ಮೇಲಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ s ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು s′: ಅನ್ನು ಮೀರುವ ವಾದವಿದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು i ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಾದವಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು i′: ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ವಿಷಯ ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ
.
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮಿತಿ (ಎಡ-ಬದಿಯ ಮಿತಿ):
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮಿತಿ (ಬಲಗೈ ಮಿತಿ):
.
ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
; .

ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
.
.
.
ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
; ; .

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು:
.
ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ
; ;
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿದೆ:
; ; .

ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ). ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f (X) x → x ನಂತೆ 0 ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಂ > 0 δ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ > 0 , M ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ δ M ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ: , ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ನೀವು ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ (ಎರಡು-ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
.

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ X: ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಹಂತದಲ್ಲಿ:
,
ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಇದರ ಅಂಶಗಳು X ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ: ,
.

ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಎಡ-ಬದಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 0 , ನಂತರ ನಾವು ಎಡ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಬಲಗೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಪುರಾವೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಮುಂದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ: . ಇದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ . ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎರಡು ಬದಿಯ ಮಿತಿಗೆ ಎರಡು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗೆ ಒಂದು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಫ್ (X)ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ (ಅಥವಾ ವಿವರಿಸದೆ ಮಾಡಿ). 1, x 2, x 3, ... x n, ನಂತರ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ x 0 .

ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ, x ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 , ಅದರ ಮೇಲೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಸೀಮಿತ:
.

ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಇರಲಿ 0 ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಿತಿ:
.
ನಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ x ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 , ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ,
, ಒಂದು ವೇಳೆ;
, ವೇಳೆ .

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, , ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

x ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ 0
,
ಅದು .

ವೇಳೆ , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ
,
ಅದು .
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ
,
ನಂತರ ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು;
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು .

ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ (ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅನಂತ) ಸಮಾನ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
, ಅದು
.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಇರಲಿ:
ಮತ್ತು .
ಮತ್ತು C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
;
;
;
, ವೇಳೆ .

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ

ಪ್ರಮೇಯ
ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 0 , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ε ಗೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ > 0 ಬಿಂದು x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇತ್ತು 0 , ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.
ಅಂತಿಮ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದ ಅಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: . ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.
ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರಬೇಕು:
.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:
.
ಕೆಳಗಿನವು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ
ಜಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇರಲಿ (ಟಿ) t → t ಎಂದು 0 , ಮತ್ತು ಇದು x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.
ಇಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಟಿ 0 ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು: .
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಅವಕಾಶ (X)ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 .
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ f (ಜಿ(ಟಿ)), ಮತ್ತು ಇದು f ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (x0):
.

ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ".

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೌಂಡ್ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
,
ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ.

"ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯವು , ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ , ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
,
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ:
, ಮತ್ತು (ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ), ನಂತರ
.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
, .

ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
.
ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
.

ಅನಂತರ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಬಹುದು:
, ,
, .

ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು
"ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅಟ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ:
.
ಅದರಂತೆ, ಫಾರ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ:
.
ಫಾರ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
.
ಫಾರ್ ಹೆಚ್ಚಿಸದ:
.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ.
ಇದನ್ನು M ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ: ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .
ಇದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ: ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .

a ಮತ್ತು b ಅಂಕಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅಂದರೆ .
ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇದೇ ಪ್ರಮೇಯ.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು".

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.

ಮಿತಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ತೊಂದರೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಲವಾರು ವಿವರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಈ ಮಿತಿ ಏನು ಮತ್ತು ಯಾವುದರ ಮಿತಿ? ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಮಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ ಎ , ಅದು ಎ - ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಮಿತಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x)=y ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ , ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ X , ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ಎ . ಡಾಟ್ ಎ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಇದು ತೊಡಕಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಲಿಂ- ಇಂಗ್ಲೀಷ್ ನಿಂದ ಮಿತಿ- ಮಿತಿ.

ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯೂ ಇದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ X ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ x=3 ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೂಲಕ, ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ X ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬಹುದು. ಅದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಆಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ X ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ:

ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಿಯಮಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ X ಅರ್ಥ 1/x ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸಲು ನೀವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. X . ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ವಿಧದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳಿವೆ 0/0 ಅಥವಾ ಅನಂತ/ಅನಂತ . ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಿ!

ಒಳಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು

ಅನಂತ/ಅನಂತ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ

ಮಿತಿ ಇರಲಿ:

ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಲೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ದೂರ ಹೋಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ X ಹಿರಿಯ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ. ಏನಾಗುವುದೆಂದು?

ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ, ಛೇದದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಂತರ ಮಿತಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ಹೀಗಿದೆ:

ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಂತ/ಅನಂತಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ Xಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ.

ಅಂದಹಾಗೆ! ನಮ್ಮ ಓದುಗರಿಗೆ ಈಗ 10% ರಿಯಾಯಿತಿ ಇದೆ

ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ: 0/0

ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು x=-1 ನೀಡುತ್ತದೆ 0 ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಬರೆಯೋಣ:

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ 0/0 - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅಂಶ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಳಗೆ L'Hopital ಆಡಳಿತ

ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಬಲ ಮಾರ್ಗ. ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿದ್ದರೆ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

L'Hopital ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ : ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಬದಲಿಗೆ ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಮಿತಿ.

ಮತ್ತು ಈಗ - ನಿಜವಾದ ಉದಾಹರಣೆ:

ವಿಶಿಷ್ಟ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ 0/0 . ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

Voila, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮತ್ತು "ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವೃತ್ತಿಪರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು "ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ .
(xn), ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವೇಳೆ ε > 0 ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ε ಇದೆ ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ n > N ε ಅಸಮಾನತೆ
| x n - a|< ε .
ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
;
;
.

ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (a - ε, a + ε) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ε - ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ನೆರೆಹೊರೆ.

ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮ. ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಗೆ a. ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಬಿಂದುವಿನ ε-ನೆರೆಹೊರೆ ಯಾವುದೇ ಇರಲಿ, ಅದರ ಹೊರಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್) . ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ε-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ε ನೀಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಆ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು , ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ε - ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಇರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ε-ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ - ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬಹುದು: ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾಗಳು, n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬೇಕು (ಬಹುಶಃ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಅಲ್ಲ).

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
(1) .

ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಈಗ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ m ಇರುತ್ತದೆ > ಎನ್, ಏನು
.

ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
(2) .

ಎಂದು ಹೇಳಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಅಂದರೆ
ನೀವು ಅಂತಹ ε - ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದರ ಹೊರಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡೋಣ
(3)
ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಬಿಂದುವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ε = ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 1 . ಇದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (-1, +1) . ಸಮ n ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಆದರೆ ಬೆಸ n ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು x n ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ > 2 . ಬೆಸ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಇದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (2). ಬಿಂದುವು ಅನುಕ್ರಮದ (3) ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೆಸ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ
.

ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ತದನಂತರ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ನಾವು ε - ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ε-ನೆರೆಹೊರೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ನೆರೆಹೊರೆಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ ε 1 ಮತ್ತು ε 2 - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ನಂತರ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆ

ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ε ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(4) ನಲ್ಲಿ.

ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ε ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ 1 ಮತ್ತು ε 2 ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
(5) ನಲ್ಲಿ.

ನಾವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ: ε 1 ಮತ್ತು ε 2 . ಮತ್ತು ε ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲಿ: . ನಂತರ ; ; . ಇದನ್ನು (5) ನಲ್ಲಿ ಬಳಸೋಣ:
.
ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (5) ಸಹ ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.

ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು (5) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ε 1 ಮತ್ತು ε 2 .
ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ε ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ 1 ಮತ್ತು ε 2 ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
(5) ನಲ್ಲಿ.

ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನೀವು ಹಾಕಬೇಕು. ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ:
.
ಇದು ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ε ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ε ನ ಕಾರ್ಯ N ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

(1) .
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ;
.

.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.

.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1) .
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,;
.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.

ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, .
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ = 1, 2, 3, ... ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1) .
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.

ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ಇದರಲ್ಲಿ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1) .
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,;
.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.

ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.