ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸರಾಸರಿಗಳ ಕಾನೂನು ಅಥವಾ ಯಶಸ್ವಿ ಮಾರಾಟಗಾರರ ರಹಸ್ಯವೇನು. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಭ್ಯಾಸವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಈ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸ್ತಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅವಕಾಶದಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ

ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯಾಪಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರಚನೆಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೂಪುಗೊಂಡಾಗ, ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರಣಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸೋಣ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನುಮತ್ತು ಒಂದು (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ) ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾದ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೇವಲ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು.

ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಯಸಿದಂತೆ ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ - ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಅವರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು - ನೀಡಿರುವ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೋಂದಾಯಿತ ಸಾವು, ಹುಟ್ಟಿದ ಮಗುವಿನ ಲಿಂಗ, ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.) ಅಂತಹ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೂಲತತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಗಮನಿಸಿದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಮೇಲೆ ಅವರ ಒಟ್ಟು ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಅವರು ವೈಯಕ್ತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಪ್ರಕಟಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಂತಹ ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಯೋಗದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳು, ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ದೀರ್ಘಕಾಲ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಾರದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಯು ಅದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಏಕ ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಿದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿಯ ಈ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಬಹುತೇಕ ನಿಶ್ಚಿತ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ತತ್ತ್ವದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ - ಇದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ(1654-1705) ಬರ್ನಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಸರಳ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವವರ ಯಾವುದೇ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಸಿಮಿಯೋನ್ ಡೆನ್ನಿ ಪಾಯ್ಸನ್(1781-1840) ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬದಲಾದಾಗ ಅದನ್ನು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. "ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಶ್ರೇಷ್ಠ ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ Pafnutiy Lvovich Chebyshev(1821 - 1894) ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಗಳ ನಿಯಮಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ A.A.Markov, S.N.Bernstein, A.Ya.Khinchin ಮತ್ತು A.N.Kolmlgorov.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಧುನಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಈ ಕಾನೂನಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ P. L. ಚೆಬಿಶೇವ್, A. A. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮತ್ತು A. M. ಲಿಯಾಪುನೋವ್.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ

ನಾವು ಮೊದಲು ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ, ಇದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಲೆಮ್ಮಾ (ಚೆಬಿಶೇವ್).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ A ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅಂಶವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಂಖ್ಯೆ A ಆಗಿದೆ:

ಪುರಾವೆ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ:

(i = 1, 2, ...,), ಮತ್ತು ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

A ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಕೆಲವು A ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇತರವು A ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಪು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕದ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ().

ರಿಂದ, ಮೊತ್ತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

,

ಅದು

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರಿಗೆ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅದೇ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾದ ಈ ನ್ಯೂನತೆಯು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ .

ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅಂಶವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಚೌಕವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪರಿಣಾಮ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

,

ಅದು

- ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪ

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಇದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. (ಚೆಬಿಶೇವ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು)

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ C ಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆ ನೀಡಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅದು ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ, ಏಕತೆಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ:

.

ನಾವು ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ, ಸಮಾನವಾದ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರ C ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನೀಡಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅದರ ಅಳತೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಪನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಿದರೆ ದೋಷಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇವುಗಳು ವೀಕ್ಷಕರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅಪೂರ್ಣ ಉಪಕರಣಗಳ (ವಾದ್ಯ ದೋಷಗಳು) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ದೋಷಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. (ವೈಯಕ್ತಿಕ ದೋಷಗಳು) ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.)

ಫಲಿತಾಂಶ 2 . (ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.)

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಆವರ್ತನವು ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಏಕತೆಗೆ:

ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಪರೂಪವಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಸನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಯೋಜನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶ 3 . (ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯ.)

ಹಿಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದುಬಂದಾಗ -ನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಆವರ್ತನವು ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಏಕತೆಗೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನವು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಬಹಳ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಿಯಾಪುನೋವ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ), ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ).

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಉತ್ತರವು ದೃಢೀಕರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಇರಬೇಕೆಂದು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನು ಜಾರಿಗೆ ಬರಲಿದೆ. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಅನನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಡಿಮೆ (ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ) ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೇರುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿತರಿಸಿದರೂ, ಅವುಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ - ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ , ಅಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ನಡುವಿನ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಹೊಸ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಆಧುನಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಲಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ - ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಣುಗಳು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಥವಾ ಆ ಅಣು ಯಾವ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವಲೋಕನಗಳು ಅಣುಗಳ ಒಟ್ಟು ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಿಲ ಒತ್ತಡದ ಮೇಲೆ

ಹಡಗಿನ ಗೋಡೆಯು ಅದ್ಭುತ ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಬಲದಿಂದ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅವಕಾಶದ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಾಧನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಲ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಣುಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಿಲ ಒತ್ತಡದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೇಳುವ ಭೌತಿಕ ಕಾನೂನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಒತ್ತಡದ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಅನಿಲದ ಕೆಲವು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆಯ ಆಣ್ವಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರುದ್ಧ ಬಲವಾದ ವಾದವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದವು. ತರುವಾಯ, ಅವರು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಣುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕಲಿತರು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಣುಗಳ ಪ್ರಭಾವವು ಇನ್ನೂ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಅನಿಲ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ವಸ್ತುವಿನ ಆಣ್ವಿಕ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಿಮೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಧಿಗಳಿಗೆ ಮಾನವ ಜೀವನದ ವಿಮೆ, ಆಸ್ತಿ, ಜಾನುವಾರು, ಬೆಳೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಗ್ರಾಹಕ ಸರಕುಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇಡಿಕೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮೂಹಿಕ ಜಮೀನಿನಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ತಂದ ಗೋಧಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾದ ಧಾನ್ಯಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟದಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಬ್ಯಾಚ್‌ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಧಾನ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಳತೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಧಾನ್ಯಗಳಿವೆ

ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಒಳಬರುವ ಧಾನ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬ್ಯಾಚ್‌ನ ಮಾಲಿನ್ಯ, ಆರ್ದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಧಾನ್ಯದ ತೂಕದ ಸೂಚಕಗಳಾಗಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಆಳವಾಗಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಈ ಕಾನೂನಿನ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಯಶಸ್ಸುಗಳಿಲ್ಲ. P.L. Chebyshev ಮತ್ತು A. A. Markov ನಂತರ, 1926 ರಲ್ಲಿ ಸೋವಿಯತ್ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವಂತೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರು. 1928 ರಲ್ಲಿ, ಸೋವಿಯತ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎ. ಯಾ ಖಿಂಚಿನ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು.

ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ, ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಅನ್ವಯದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಮಾಜದಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪರಸ್ಪರ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಹೇರಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ

ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳು ರಷ್ಯಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎ.ಎ.ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಸೋವಿಯತ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಾದ ಎಸ್.ಎನ್.ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಎ.ಯಾ.

ಈ ಕೃತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ, ನಿಕಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಬಲವಾದ ಅವಲಂಬನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದುರ್ಬಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹವಾಮಾನದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ದಿನದ ಹವಾಮಾನವು ಹಿಂದಿನ ದಿನಗಳ ಹವಾಮಾನದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದೂರ ಹೋದಂತೆ ಪ್ರಭಾವವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದುರ್ಬಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ತಾಪಮಾನ, ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಹವಾಮಾನದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅವರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರಬೇಕು. ಎರಡನೆಯದು ಪ್ರದೇಶದ ಹವಾಮಾನದ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು.

1. ಅನುಭವ ಬಫನ್. ನಾಣ್ಯವನ್ನು 4040 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ 2048 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು 0.50694 = ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

2. ಅನುಭವ ಪಿಯರ್ಸನ್. ನಾಣ್ಯವನ್ನು 12,000 ಮತ್ತು 24,000 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಬೀಳುವ ಆವರ್ತನವು 0.5016 ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - 0.5005.

ಎಚ್. ಅನುಭವ ವೆಸ್ಟರ್‌ಗಾರ್ಡ್. ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳಿದ್ದ ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯಿಂದ, 10,000 ಡ್ರಾಗಳ ನಂತರ 5011 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 4989 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಯಿತು (ಮುಂದಿನ ತೆಗೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ಕಲಶಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಆವರ್ತನವು 0.50110 = (), ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳ ಆವರ್ತನವು 0.49890 ಆಗಿತ್ತು.

4. ಅನುಭವ V.I. ರೊಮಾನೋವ್ಸ್ಕಿ. ನಾಲ್ಕು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು 21,160 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಶ್ ಮಾರ್ಕ್‌ಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ

ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಸಡಿಲವಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ರಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಾದ P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಮತ್ತು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಾದ A. A. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮತ್ತು A. M. ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರು ಎದುರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.

ಪ್ರಮೇಯ (ಲ್ಯಾಪುನೋವ್).

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ

,

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

(ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಅನುಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಬಂಧವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ. )

ಅವೆಲ್ಲದರ ಒಟ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಪದದ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್) ಪರಿಣಾಮವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಷರತ್ತಿನ ಅರ್ಥ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಈ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ನಿಖರವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಮಹತ್ತರವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪಾದಿಸೋಣ ಮಾಪನಕೆಲವು ಗಾತ್ರದ. ಅದರ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿವಿಧ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಣ್ಣ ದೋಷವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು . ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಮಾಪನ ದೋಷವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಬೇಕು.

ನಲ್ಲಿ ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವುದುಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೋಟಕಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ. ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಪಥದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರಣಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರಣವೂ ಪಥದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುರಿಯಿಂದ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಫೋಟದ ಸ್ಥಳದ ವಿಚಲನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು.

ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಯಸ್ಕ ಪುರುಷ ಎತ್ತರಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಲು, ನಾವು 1000 ವಯಸ್ಕ ಪುರುಷ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಎತ್ತರದ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪುರುಷರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ, ಪುರುಷರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು ಯಾರು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ವಿತರಣೆಯ ಊಹೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪುರುಷರ ಎತ್ತರ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆಫರ್.

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೀಮಿತ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ವಭಾವವು ಇರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದವು, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು, ಮೂರು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೂ ಇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಂನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ, ನಿರಂತರ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಬಹುದು.

ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 2 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾತ್ರೆಯಿಂದ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಯಾವುದೇ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದಾಗಿ (ಅಂದರೆ ಎರಡು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಆದರೆ , ನಂತರ

.

ಸಂಭವನೀಯತೆ

.

ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಯಾವುದೇ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಆದರೆ , ನಂತರ

ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಒಂದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಪ್ಪು), ಆದರೆ , ನಂತರ

ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಎರಡು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣಗಳಿಲ್ಲ), ಆದರೆ , ನಂತರ

.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಎಫ್( X, ವೈ) , ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಜಂಟಿ ನೆರವೇರಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆX< X, ವೈ< ವೈ.

ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ:

1) ;

2) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ವಾದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

3) ಕೆಳಗಿನವು ನಿಜ:

4)

5) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಎಕ್ಸ್, ವೈ ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯತಕ್ಕೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು (ಎಕ್ಸ್, ವೈ ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಮಿಶ್ರಿತ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕಗಳ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

; ;

ವಿತರಣೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕಾನೂನುಗಳು.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಘಟಕಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಟಕಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕು.

ಇವೆಲ್ಲವೂ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮತ್ತೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Y ನಲ್ಲಿ X = x (x – X ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ) ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆವೈ ಅವರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ:

,

ಎಲ್ಲಿ f( ವೈ/ X) - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಾಂದ್ರತೆ Y ನಲ್ಲಿ X = x.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಎಂ( ವೈ/ X)= f( X) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ X ಆನ್ ವೈ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಘಟಕದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿವೈ ನಲ್ಲಿ

X = x 1 =1 ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳು ಅವುಗಳ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ. ವೈ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದವು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ( X, ವೈ) ಘಟಕಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು:

ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು ವೈ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದವು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ( X, ವೈ) ಘಟಕಗಳ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ:

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ:

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆವೈ . ಈ ಸತ್ಯವು ಈ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅನನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಆರ್ xy ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತುವೈ ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ: X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆಸ್ತಿ: ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಅವರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ, ಅವರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆ ಅಥವಾ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಹವರ್ತಿ ಗುಣಾಂಕ. ಸಹವರ್ತಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತುಸ್ವತಂತ್ರ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ.

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಎಕ್ಸ್, ವೈ), ಇಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯಜಿ( X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ವೈ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ

ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಹ ಕಾರ್ಯಜಿ( X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಚದರ ಹಿಂಜರಿತ ಎಂದರ್ಥ Y ನಿಂದ X.

ಪ್ರಮೇಯ. ಲೀನಿಯರ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವೈ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೀ x= ಎಂ( X ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವೈಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X.ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆವೈರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಜಿ( X) = ಎX+ಬಿ.

ವೇಳೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಆರ್= ± 1, ನಂತರ ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದೋಷವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ವೈಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X.

ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಲೈನ್ Xಮೇಲೆವೈಸೂತ್ರದಿಂದ ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ ಅವರು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ Xಮತ್ತುವೈಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅವಲಂಬನೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ( X, ವೈ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ X ಮತ್ತು ವೈ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇ.ಜಿ. ನಿಕಿಫೊರೊವಾ

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪದಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಚಿತ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾನೂನಿನ ಸಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡಬಹುದು ಬಹುತೇಕ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ (ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಊಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವು ಯಾವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಹೇಗಾದರೂ, ನೀವು 2 ಟನ್ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆದರೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ನಾವು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಿದ್ದ ನಾಣ್ಯಗಳ ತೂಕವು 1 ಟನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ. ಅವಕಾಶ X- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, a=M(X) , ಎ ಡಿ(X) - ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಂತರ

ಉದಾಹರಣೆ. ಯಂತ್ರವನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿದ ತೋಳಿನ ವ್ಯಾಸದ ನಾಮಮಾತ್ರದ (ಅಂದರೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ) ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 5ಮಿ.ಮೀ, ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲ 0.01 (ಇದು ಯಂತ್ರದ ನಿಖರತೆ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ). ಒಂದು ಬಶಿಂಗ್ ತಯಾರಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾಮಮಾತ್ರದಿಂದ ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ವಿಚಲನವು ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ 0.5ಮಿ.ಮೀ .

ಪರಿಹಾರ. ಆರ್.ವಿ. X- ತಯಾರಿಸಿದ ಬಶಿಂಗ್ನ ವ್ಯಾಸ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಾಮಮಾತ್ರದ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಯಂತ್ರದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವೈಫಲ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ): a=M(X)=5 , ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಡಿ(X)≤0.01. ನಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ε = 0.5, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂತಹ ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗದ ಒಂದೇ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾಮಮಾತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಸದ ವಿಚಲನವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. 0.5ಮಿ.ಮೀ .

ಅದರ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿಅದರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನ (ಅಂದರೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ). ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸರಾಸರಿವಿಚಲನ, ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ (ಒ ಮೇಲೆ ಒತ್ತು) ವಿಚಲನಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನಗಳು ಸಾಧ್ಯ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು "ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ" ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಗಿಂತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ 3σ, ಎಲ್ಲಿ σ= σ(X)- r.v ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ X. ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ

.

ಈಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ ನಿರಂಕುಶಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ. ನಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ε = 3σಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಡಿ(Х)= σ 2 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು 0.89 , ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಖಾತರಿಪಡಿಸಬಹುದು 0.997 .

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ ಎಂ(X i )= ಎಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಡಿ(X i )= ಡಿ, ಅದು

ನಲ್ಲಿ ಎನ್=1 ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಅವಕಾಶ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್- ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು M(X 1 )=ಎ 1 ,…, M(X ಎನ್ )=ಎ ಎನ್. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ (ಅಂದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ದೂರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
, ಅವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
(ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಾಸರಿ). ಇದರರ್ಥ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು. ಲೆಟ್, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು X 1 , X 2 , … , X ಎನ್(ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇವೆ!) ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ಕ್ರಮವಾಗಿ. ನಂತರ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೂರವಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ
ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ಹೀಗಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಅದರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು X iನಿಂದ ಎ iವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಈ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೆರೆಮಾ ಚೆಬಿಶೇವ್ (ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನುಚೆಬಿಶೇವ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ). ಅವಕಾಶ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ … - ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ನಂತರ, ನಾವು ε ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇಳೆ ಬಯಸಿದಂತೆ ಒಂದರ ಹತ್ತಿರ ಇರುತ್ತದೆ ಎನ್ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ

ಈ ರೀತಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ … ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಅದೇ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಅಥವಾ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿದರ್ಶನಗಳು.

ಪರಿಣಾಮ(ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆ). ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ … ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂ(X i )= ಎಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಡಿ(X i )= ಡಿ, ಅದು

, ಅಂದರೆ
.

ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್→∞ .

ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಸಮಾನತೆಗಳು ಪರಿಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸೋಣ
ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎನಲ್ಲಿ ಎನ್→∞. ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಇನ್ನೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರವಿರಬಹುದು ಎ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ದೂರ ಎ) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎನ್ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಹ ಫಲಿತಾಂಶದ ತೀರ್ಮಾನವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ … ವಿಭಿನ್ನ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು (ಸಮಾನ ಎ) ಮತ್ತು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಈ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಾಧನಗಳಿಂದ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಳತೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಈ ಅನುಬಂಧದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆಲವು ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಎನ್ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಳತೆಗಳು, ಅದರ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಅಳತೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ಪರಸ್ಪರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು (ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎ) ವಿವಿಧ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿಂದಾಗಿ (ಒತ್ತಡದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು, ತಾಪಮಾನ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಂಪನ, ಇತ್ಯಾದಿ). r.v ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. X- ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಒಂದೇ ಅಳತೆಗಾಗಿ ವಾದ್ಯ ಓದುವಿಕೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಆರ್.ವಿ. X 1 , X 2 , … , X ಎನ್- ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ..., ಕೊನೆಯ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ವಾದ್ಯ ಓದುವಿಕೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳು X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ s.v ಯ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನವಿದೆ. X, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರೆಲ್ಲರೂ r.v ಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. X. ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಂತರ r.v. X 1 , X 2 , … , X ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಾಧನವು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡದಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಪಕದಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವು "ಆಫ್" ಆಗಿಲ್ಲ, ವಸಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಇತ್ಯಾದಿ), ನಂತರ ನಾವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು M(X) = a, ಆದ್ದರಿಂದ M(X 1 ) = ... = M(X ಎನ್ ) = a. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಅನುಬಂಧದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಎನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ "ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ" ವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
ನಮ್ಮ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ (ಸರಣಿ ನಡೆಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಅಳತೆಗಳು), ಅಂದರೆ.

.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ "ಮಾದರಿ" ವಿಧಾನವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ಮಾಡದ ಅಳತೆ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಒಮ್ಮೆ (ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ X 1 ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು 99 ಬಾರಿ (ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ X 2 , … , X 100 ) ನಿಜವಾದ ಮಾಪನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಮೊದಲ ಅಳತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ
. ಸಾಧನದ ಮಾಪನದ ನಿಖರತೆಯು σ ಮಾಪನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ=σ 2 1) ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಮಾಪನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ, ಮಾಪನ ದೋಷವು 2 ಅನ್ನು ಮೀರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಆರ್.ವಿ. X- ಒಂದೇ ಅಳತೆಗಾಗಿ ಉಪಕರಣ ಓದುವಿಕೆ. ನಂತರ ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ M(X)=a. ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ε ನಲ್ಲಿ =2 ಮೊದಲು ಎನ್=1 ಮತ್ತು ನಂತರ ಎನ್=100 . ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಾಪನದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಮಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸ್ಕೀಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಈ ಯೋಜನೆಯ ಸಾರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಆರ್, ಎ q=1-ಆರ್(ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎ) . ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ ಎನ್ಅಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: X 1 - ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎವಿ 1 -ನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ, ..., X ಎನ್- ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎವಿ ಎನ್-ನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಮೂದಿಸಿದ s.v. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು 0 ಅಥವಾ 1 (ಘಟನೆ ಎಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು), ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ 1 ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ(ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ 0 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ q= 1 – ಪ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಹ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, ..., M(X ಎನ್ )= ಪು ; ಡಿ(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ ಪ)− ಪ 2 = ಪ∙(1− ಪ)= ಪ ∙ q,…, ಡಿ(X ಎನ್ )= ಪ ∙ q. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಆರ್.ವಿ. X=X 1 +…+X ಎನ್ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು (ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ - "ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ರಲ್ಲಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು). ನಡೆಸಲಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷಾ ಘಟನೆ ಎಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು ಕೆ ಅವರಲ್ಲಿ. ಆಗ ಹಿಂದಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

.

ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣ
, ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎವಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಹಿಂದೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಈವೆಂಟ್ ಆವರ್ತನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಎವಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ

.

ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಈಗ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ ಎನ್→∞, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಅಂದರೆ
(ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ). ಇದು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನಗಳು
ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಘಟನೆಗಳು ಆರ್- ಬಹುತೇಕ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನಗಳು - ಬಹುತೇಕ ಅಸಾಧ್ಯ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳ ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ತೀರ್ಮಾನ (ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಸ್ತವವಾಗಿ) ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪ∙ q= ಪ∙(1− ಪ)= ಪ− ಪ 2 ಬದಲಾವಣೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ
(ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ), ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ
ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸುಲಭ

,

ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು).

ಉದಾಹರಣೆ. ನಾಣ್ಯವನ್ನು 1000 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಯಿತು. ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ವಿಚಲನವು 0.1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು
ನಲ್ಲಿ ಪ= q=1/2 , ಎನ್=1000 , ε=0.1, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ ಕೆಕೈಬಿಡಲಾದ ಲಾಂಛನಗಳು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ 400 ಮೊದಲು 600 .

ಪರಿಹಾರ. ಸ್ಥಿತಿ 400< ಕೆ<600 ಎಂದು ಅರ್ಥ 400/1000< ಕೆ/ ಎನ್<600/1000 , ಅಂದರೆ 0.4< ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ (ಎ)<0.6 ಅಥವಾ
. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಅಂತಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ 0.975 .

ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಎಈವೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ 1000 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಎ 300 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ (300/1000 = 0.3 ಗೆ ಸಮಾನ) ನಿಜವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ ಆರ್ 0.1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು
n=1000, ε=0.1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಒಂದು ಕಾರ್ಯ F(X), ಪ್ರತಿ x ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ: F(x)=P(X

ಕಾರ್ಯ F(x)ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾನೂನು.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದರ ನಡುವಿನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

3. ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ [x1,x2) (x1 ಸೇರಿದಂತೆ) ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮತ್ತು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆ

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ

ಪ್ರಮೇಯ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಕೇವಲ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ A ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: P(x>A) ≤ .

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು X > A ಮತ್ತು X ≤ A ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, P(X > A) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ನಾವು 1 - P(X ≤ A) ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಮಾರ್ಕೊವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ: P(X ≥ A) ≥1 - .

ಮಾರ್ಕೊವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ k ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ

ಪ್ರಮೇಯ:ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 ಅಥವಾ P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, ಅಲ್ಲಿ a= M(X), ε>0.

ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ "ರೂಪದಲ್ಲಿ" ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ:ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೆ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X1, X2,.... X ಎನ್ಅದೇ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ a 1 , a 2 ...., a n, ಅಂದರೆ. .

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಎನ್→ ∞ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನವು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನೀವು ಬೆಳೆದಂತೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎನ್.

30. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ:ಈವೆಂಟ್ ಆವರ್ತನ ಎನ್ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಇದು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ p, ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎನ್ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿ: \

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಅದೇ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರ್ಯಾಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

18. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ:

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(S)=C

2. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. M(kX)=kM(X).

3. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅದೇ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ C ಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ (ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ), ನಂತರ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದೇ ಸ್ಥಿರ C ಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ): M(X±C)=M(X)±C.

6. ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: M=0.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು

ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ತ್ವ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಕಾಶದಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದ ಆವರ್ತನದ ಒಮ್ಮುಖವು (ಮೊದಲಿಗೆ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಜೂಜಿನಲ್ಲಿ) ಈ ತತ್ವದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

17 ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ. J. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಯಾವುದಕ್ಕೂ - ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, - ಸಂಭವಿಸುವ ಆವರ್ತನ. ಈ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ S. ಪಾಯ್ಸನ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. kth ಪ್ರಯೋಗದ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಬಿಡಿ

ನಂತರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ

ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ವಿಧಾನವನ್ನು P. L. ಚೆಬಿಶೇವ್ (1846) ನೀಡಿದರು, ಅವರ ವಿಧಾನವು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ತೀವ್ರ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ; S. ಪಾಯ್ಸನ್ (2) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗೌಸ್‌ನ ಕಾನೂನಿನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. S. ಪಾಯ್ಸನ್ ಮೊದಲು "ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಅವರು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆದರು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಸನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, Ath ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ A ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಮತ್ತು - ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ) ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಕ್ಸ್ ಕೆಅವರ ಗಣಿತದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು.

P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ" (1867) ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ

(ಯಾವುದಕ್ಕೂ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಜ. ಪಿ.ಎಲ್. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

ಅಥವಾ ಬೇಡಿಕೆಗಳೂ ಸಹ

ಹೀಗಾಗಿ, P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶಾಲವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. A. A. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು B. h.z ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ [ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ (3)]. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಿಖರವಾದ ಸ್ಥಾಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು[ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ (3) ಇದು ರೂಪದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಈ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನೋಡಿ ಬರ್ನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆ]. B. h.z ನ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳ ನಂತರದ ಪುರಾವೆಗಳು. ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚೆಬಿಶೇವ್ ವಿಧಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸರಿಯಾದ "ಕಟಿಂಗ್" ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು (ಅವುಗಳನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು: , ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ), A. A. ಮಾರ್ಕೊವ್ B. ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ನಿಯಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ (3) ವೇಳೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರೂ ಮತ್ತು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನಗಳ ಸ್ಥಿರೀಕರಣದ ವಿದ್ಯಮಾನವು, ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸತ್ಯವೆಂದು ಗ್ರಹಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ 1713 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿತು.

ಅದರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಅರ್ಥದ ಹೇಳಿಕೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಆಧುನಿಕ ಹಲವಾರು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಪೂರ್ವಜರು ನಿಖರವಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ.

ಇಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ನಿಯಮವು ಅನೇಕ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ದಣಿದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿಂದ ದೂರವಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಬಯಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ನಮ್ಮ ಶತಮಾನದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅದರ ಸಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಿದರು: ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು "ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ತ್ವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಿಯೆಯು ಅವಕಾಶದಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ."

ಹೀಗಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು, ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಈ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಪ್ತ ಅಥವಾ ಗೋಚರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ಅಂಶಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ದೇಶನದ ಕ್ರಿಯೆಯ ರಚನೆಯ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿದ್ಯಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮುಕ್ತ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಅಭಿಪ್ರಾಯದ ರಚನೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಕಾನೂನಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಿರುಗೋಣ.

ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಮುಖ ಕಾನೂನುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಈ ಗಣಿತದ ಸತ್ಯದ ವಿಷಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ (ಅಂದರೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಘಟನೆಯ ನೋಟ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿರುವುದು ಎ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆ) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ “ಹುಡುಗ - ಹುಡುಗಿ”, ದೈನಂದಿನ ಹವಾಮಾನ ಅವಲೋಕನಗಳು (“ಮಳೆಯಾಯಿತು - ಅದು ಆಗಲಿಲ್ಲ”), ತಯಾರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹರಿವಿನ ನಿಯಂತ್ರಣ ( "ಸಾಮಾನ್ಯ - ದೋಷಯುಕ್ತ") ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನ ಎನಲ್ಲಿ ಪಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ( ಟಿ ಎ -

ಈವೆಂಟ್ ಆವರ್ತನ ಎವಿ ಪಪರೀಕ್ಷೆಗಳು) ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ ಪಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.ನಾವು ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ e

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ) ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಆವರ್ತನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು (9.1) ಹೇಳುವುದರೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಅಭ್ಯಾಸದ ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮೊಯಿವ್ರೆ ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಮೊಯಿವ್ರೆ - ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಮೇಯ.ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ X (ಮತ್ತು x 2.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x, x 7, ನಂತರ ನಲ್ಲಿ ಪ -» °°

ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (9.3) ವೇರಿಯೇಬಲ್ x xಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಿತಿ, ಕೇವಲ x 2 ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು), ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ,ಅಥವಾ ಗೌಸ್ ಕಾನೂನು.

ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗ (9.3) y = ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ F(x 2) - F(x x). F(x 2)-> 1 ನಲ್ಲಿ x 2-> ° ° ಮತ್ತು ಎಫ್(x,) -> x ನಲ್ಲಿ 0, -> ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಆಯ್ಕೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ

X] > 0 ಮತ್ತು X]n ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (9.2), ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು:

y = 0.95 (ಅಂದರೆ, 0.05 ರ ದೋಷದ ಸಂಭವನೀಯತೆ) ನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟವು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು "ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪ್ಲೇ ಮಾಡಬಹುದು" ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಮೂರು-ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಶಾಲವಾದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು:

ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟ y = 0.997 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ).

ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯೋಣ n = 100 ಬಾರಿ. ಇದು ಆವರ್ತನ ಎಂದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಆರ್ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ತುಂಬಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್= 0.5 (ನಾಣ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಒಮ್ಮೆಯೂ ಬೀಳದಂತೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಘಟನೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಈ ಘಟನೆಗೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ; ಈ ಮೌಲ್ಯ

ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕ್ರಮವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ 30 ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಆವರ್ತನದ ಯಾವ ವಿಚಲನಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ? ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಲ್ಲಿ= 0.95 ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಆವರ್ತನ ಆರ್ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

0.05 ರ ದೋಷವು ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್ಗಳು). ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಾಗ ಪವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಗಲವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ನಾವು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಬೇಗ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ -ಜೆಎನ್).ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಪ= 10,000 ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆರ್ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ ನಲ್ಲಿ= 0.95: 0.5 ± 0.01.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಅದರ ಆವರ್ತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಅಂದಾಜಿನ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸೋಣ ಪ(ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡಿ), ಈವೆಂಟ್‌ನ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಆರ್.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ಪಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಈಗ ನಾವು ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ (9.7). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (9.5) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹುಡುಕಲು ಆರ್ಮೂಲಕ ಆರ್ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (9.8) ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ

ಸ್ಥೂಲ ಅಂದಾಜಿಗಾಗಿ ಆರ್ಮೂಲಕ ಆರ್ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿರಬಹುದು (9.8) ಆರ್ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಆರ್ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (9.10), (9.11) ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಳಗೆ ಬಿಡಿ ಪ= 400 ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಆವರ್ತನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಆರ್= 0.25, ನಂತರ y = 0.95 ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (9.12) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ ಆರ್= 0.25, ನಾವು ದೋಷ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯ 0.01 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ n~ 7500.

ನಾವು ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಆವರ್ತನದ ವಿಚಲನವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಈ ವಿಚಲನವು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಭವವು ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯೋಣ ಪ= 800 ಬಾರಿ, ನಾವು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆರ್= 0.52. ನಾಣ್ಯವು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅನುಮಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅನುಮಾನ ಸಮರ್ಥನೀಯವೇ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಾಣ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ (ಪು = 0.5). ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ವಿಶ್ವಾಸ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಲ್ಲಿ= 0.95) ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ. ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯ ಆರ್= 0.52 ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಾಣ್ಯದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಊಹೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಫಾರ್ಮುಲಾ (9.12) ನಲ್ಲಿ ಆರ್= 0.5 0.5 ± 0.035 ರ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರು p = 0.52 ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಅನುಮಾನಗಳಿಂದ "ತೆರವುಗೊಳಿಸಬೇಕು".

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ವಿವಿಧ ವಿಚಲನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ "ಮಹತ್ವ" ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಮಾಡಿದ ಸರಕುಗಳ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ತೂಕ ಕಂಡುಬಂದಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಹಕರ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಂಚನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಹೊಸ ಔಷಧವನ್ನು ಬಳಸುವ ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೇತರಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇದು ಔಷಧದ ಪರಿಣಾಮದಿಂದಾಗಿಯೇ?

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ - ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸ್ಕೀಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ - ಜೊತೆಗೆ ಪ-» °° ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ.ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ (ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಬಹುದು, ನಿಯಮಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಏನಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥೂಲವಾದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನೇಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ತಮ್ಮ ಮೊತ್ತವನ್ನು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು" ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಪೂರೈಸಲು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ Dx) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ -ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಕ್ಸ್ ಎಸ್= V7) ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (x 1? x 2), ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿನ (9.14) ಅವಿಭಾಜ್ಯ (9.14) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ("ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿಲ್ಲ") ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದ ಕಾರಣ ("ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ"), ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (9.14) ಅವರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಗ್ರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. a = 0, a = 1 (ಅಂತಹ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ):

ಸಮೀಕರಣ (10.15) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ (9.14) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X,ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ, a, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋದಿಂದ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು (9.16) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಪ್ರತಿ 700 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಎನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್= 0.35. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

• 1) ನಿಖರವಾಗಿ 270 ಬಾರಿ;
• 2) 270 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು 230 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ;
• 3) 270 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎ = ಇತ್ಯಾದಿಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಉ:

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು X:

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ f(x):

ಈಗ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1.98) = = 1 - 0.97615 = 0.02385.

1867 ರಲ್ಲಿ P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರವಾದ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಏನೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಅವರು ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ.ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ.ಒಂದು ವೇಳೆ x x, x 2, ..., x p -ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಇ(Xj) = ciಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(x,) =), ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. 1,2 ..., ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಇಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಪರಿಣಾಮ. ಒಂದು ವೇಳೆ a,=ಅಯೋ, -o 2, i= 1.2 ..., ನಂತರ

ಕಾರ್ಯ. ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ y - 0.997, ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಬೀಳುವ ಆವರ್ತನವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0.499; 0.501) ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು?

ನಾಣ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, p - q - 0.5 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (9.19) ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ X-ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಆವರ್ತನ ಪನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ X = X x + X 2 + ... +X„,ಎಲ್ಲಿ X t -ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮೌಲ್ಯ 1 ಮತ್ತು ಬಾಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೌಲ್ಯ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಘಟನೆಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (9.19) ಬರೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ [e = 0.001, cj 2 = /?-p)]t ಎಂಬುದು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪಎಸೆಯುವುದು. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೆಲವು ವಿಚಲನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು). ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ತುಂಬಾ ಒರಟು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಆದರೆ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವುದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಯೋಜನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ - ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಪಮೊಯಿವ್ರೆ - ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. a = pr = n? 0.5 ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ a = yfnpq - 25=0.5ಲೀ/ಲೀ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಬೀಳುವ ಆವರ್ತನ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ = 0.5 ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ 37 ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು, ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ದೋಷವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ (ಆದರೆ ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಮಾಹಿತಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ).

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (9.16).

ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ರೈಲ್ವೇ ಕಂಪನಿಗಳು ಮಾಸ್ಕೋ ಮತ್ತು ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ನಡುವೆ ಒಂದು ರೈಲು ಓಡುತ್ತಿವೆ. ಈ ರೈಲುಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೊರಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಗಮಿಸುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ ಪ= 1000 ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತಮ್ಮ ರೈಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರಿಂದ ರೈಲು ಆಯ್ಕೆಗೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಪಸವಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಾಧ್ಯತೆ ಆರ್= 0.5. ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ರೈಲಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಆಸನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಂಪನಿಯು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು: ಒಂದೆಡೆ, ನೀವು ಖಾಲಿ ಆಸನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಜನರು ಅತೃಪ್ತರಾಗಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಾನಗಳ ಕೊರತೆ (ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ಅವರು ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಕಂಪನಿಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ). ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ರೈಲಿನಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಬಹುದು ಪ= 1000 ಸ್ಥಳಗಳು, ಆದರೆ ನಂತರ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ - ರೈಲಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆ - ಮೊಯಿವ್ರೆನ ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ - ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತಾನೆ a = pr = p/2 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ a 2 = npq = ಪು/4ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ರುಪ್ರಯಾಣಿಕರನ್ನು ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಪಾಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಎ, ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ರುಪ್ರಯಾಣಿಕರು:

ಇಲ್ಲಿಂದ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಅಪಾಯದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ = 1000, ಎ= 0.01 (ಈ ಅಪಾಯದ ಮಟ್ಟ ಎಂದರೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ರು 100 ರಲ್ಲಿ 99 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ x a ~ 2.33 ಮತ್ತು s = 537 ಸ್ಥಾನಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡೂ ಕಂಪನಿಗಳು ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದ ಅಪಾಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ ಎ= 0.01, ನಂತರ ಎರಡು ರೈಲುಗಳು ಒಟ್ಟು 1074 ಆಸನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 74 ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 80% ರಲ್ಲಿ 514 ಸೀಟುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1000 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 999 ರಲ್ಲಿ 549 ಸೀಟುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಇತರ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸೇವಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ ಟಿಚಿತ್ರಮಂದಿರಗಳು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಪೋಟಿ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಪಪ್ರೇಕ್ಷಕರು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಆರ್= -. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,

ಆಸನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ರುಸಿನಿಮಾದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು:

ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಫಾರ್ ಎ = 0,01, ಪ= 1000 ಮತ್ತು ಟಿ= 2, 3, 4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 74, 126, 147 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ರೈಲು ಒಳಗೊಂಡಿರಲಿ ಪ - 100 ಗಾಡಿಗಳು. ಪ್ರತಿ ಕಾರಿನ ತೂಕವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎ - 65 ಟನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಚದರ ನಿರೀಕ್ಷೆ o = 9 ಟನ್‌ಗಳ ತೂಕವು 6600 ಟನ್‌ಗಳನ್ನು ಮೀರದಿದ್ದರೆ ರೈಲನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದು; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಎರಡನೇ ಲೊಕೊಮೊಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹುಕ್ ಅಪ್ ಮಾಡಬೇಕು. ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರುಗಳ ತೂಕ: , ಅದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ - 65 ಮತ್ತು ಅದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d- o 2 = 81. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ: ಇ(x) - 100 * 65 = 6500. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ: D(x) = 100 x 81 = 8100. ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ರೈಲನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಒಂದು ಇಂಜಿನ್ ಮಾಡಲು, ರೈಲಿನ ತೂಕ ಇರಬೇಕು Xಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಅಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0; 6600) ಬಿದ್ದಿತು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x - 100 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (9.16) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

0.864 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೊಕೊಮೊಟಿವ್ ರೈಲಿನೊಂದಿಗೆ "ನಿಭಾಯಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ರೈಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಪ= 98. ಈಗ ಲೊಕೊಮೊಟಿವ್ ರೈಲಿನೊಂದಿಗೆ "ನಿಭಾಯಿಸುವ" ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು 0.99 ರ ಆದೇಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಘಟನೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಕಾರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ: ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಈಗಾಗಲೇ "ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಎಷ್ಟು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು? ಇದು ನಿಯಮಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾನೂನುಗಳಿವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಐದು ಅಥವಾ ಆರು ಪದಗಳು ಸಾಕು.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ" ವೇಗವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು (0, 1). ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ಆಯತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ - ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂತಹ ಮೂರು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಹೋಲುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ಅಂತಹ ಆರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ (0, 1) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂವೇದಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಟ್ಟದ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಆವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ = 0.997:

ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳು ವಿಭಾಗವನ್ನು (0, 1) ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಗಡಿಗಳು ವಿಭಾಗದ (0, 1) ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನು, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಲವು ತೋರಬಹುದು.

ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಪರೂಪ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ = ಇತ್ಯಾದಿಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ (O -5-20 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಬಂಧವು ಹೊಂದಿದೆ:

ಫಾರ್ಮುಲಾ (9.20) ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪ -»°°, ಆರ್-»0, ಆದರೆ X = pr oo.

ಉದಾಹರಣೆ. ಜನ್ಮದಿನಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು ಆರ್ ಟಿ (ಕೆ)ಅಂದರೆ 500 ಜನರಿರುವ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ ಗೆಜನರು ಹೊಸ ವರ್ಷದ ದಿನದಂದು ಜನಿಸಿದರು? ಈ 500 ಜನರನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಪಿ = 1/365. ನಂತರ

ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಗೆಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ: RU = 0,3484...; ಆರ್ 2 = 0,2388...; ಆರ್ 3 = 0,1089...; ಪಿ 4 = 0,0372...; ಆರ್ 5 = 0,0101...; ಆರ್ 6= 0.0023... ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳು X = 500 1/365 = 1,37

ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ: ರು = 0,3481...; ಆರ್ 2 = 0,2385...; P ъ = 0,1089; ಆರ್ 4 = 0,0373...; ಪಿ 5 = 0,0102...; ಪಿ 6 = 0.0023... ಎಲ್ಲಾ ದೋಷಗಳು ನಾಲ್ಕನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ.

ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಗಳ ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ದೂರವಾಣಿ ವಿನಿಮಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತಪ್ಪಾದ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್,ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್~0.005. ನಂತರ ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ತಪ್ಪಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ n~ 1000 ಯಾವಾಗ X = pr =1000 0,005 = 5.

ಬನ್ಗಳನ್ನು ಬೇಯಿಸುವಾಗ, ಹಿಟ್ಟಿಗೆ ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿ ಸೇರಿಸಿ. ಸ್ಫೂರ್ತಿದಾಯಕದಿಂದಾಗಿ, ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿ ಬನ್‌ಗಳ ಆವರ್ತನವು ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಆರ್ ಪಿ (ಕೆ, ಎಕ್ಸ್),ಎಲ್ಲಿ X-ಹಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವು ಐ-ಕಣಗಳನ್ನು ಹೊರಸೂಸುತ್ತದೆ. d-ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ತಲುಪುವ ಘಟನೆ ಟಿಕೊಟ್ಟಿರುವ ಜಾಗದ ಪ್ರದೇಶ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಗೆ,ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತಾನೆ.

X- ಕಿರಣಗಳಿಗೆ ಒಡ್ಡಿಕೊಂಡಾಗ ಬದಲಾದ ವರ್ಣತಂತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೀವಂತ ಕೋಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ - ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.