ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1°. ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಕರಣ. z=f(x,y) ಎಂಬುದು x ಮತ್ತು y ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಟಿ: , ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ. ಇದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (1) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ. .

ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (2) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

2°. ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಕರಣ.

ಅವಕಾಶ z =f (X ;y) -ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ Xಮತ್ತು ವೈ,ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ t: x =X (t), y =ವೈ (t).ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ z =f (X (ಟಿ);ವೈ (ಟಿ))ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಟಿ;ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ಮಧ್ಯಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ z == f(X ; y) -ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು M(x;y)ಡಿಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು x =X (ಟಿ)ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ =ವೈ (t) -ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಟಿ,ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ z (ಟಿ) == f(X (ಟಿ);ವೈ (ಟಿ))ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ:z = f (X ; y),ಅಲ್ಲಿ y = y(x),ಆ. z = f (X ;ವೈ (X )) -ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ X.ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಟಿನಾಟಕಗಳು X.ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (3) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

.

ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ:z = f (X ;y),ಎಲ್ಲಿ x =X (ಯು ;v),y=ವೈ (ಯು ;v).ನಂತರ z = f (X (ಯು ;v);ವೈ (ಯು ;v)) -ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತುಮತ್ತು v.ಇದರ ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂತ್ರ (3) ಬಳಸಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸರಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರ v,ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ (z) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಮತ್ತುಮತ್ತು v)ಇದರ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ (z) ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (x ಮತ್ತು y)ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ (ಯು ಮತ್ತು ವಿ).

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಸ್ಥಿರ ಆಸ್ತಿ).

ಉದಾಹರಣೆ. ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು z = ವೇಳೆ f(x ,y ), ಇಲ್ಲಿ x =uv , .

ಪರಿಹಾರ. (4) ಮತ್ತು (5) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಅಂದರೆ, z ಕಾರ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

1°. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಗಳು z= f(x,y) ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿಎಂದು ಕರೆದರು , ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು . z ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ದಿಕ್ಕುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಲ್ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. OX ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ 120° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ P (1; 0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ z = 2x 2 - 3 2 ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ P ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಹ ನೋಡಿ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಸಂಯೋಜಿತ) ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(1) .

ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
;
.

ಪುರಾವೆ

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
;
.
ಇಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು , ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು . ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ:
;
.

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ u ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
.
ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ
.
ನಂತರ
.

ಈಗ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

.

ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ
,
ನಂತರ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
.
ಇಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.
ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
.
ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.
ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರಲಿ. ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಕರಣ.

ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು , . ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(2) .

ಪುರಾವೆ

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ:
;
.
ಇಲ್ಲಿ
;
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
;
.

ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
(3) .
ಇಲ್ಲಿ

- ಅದರ ವಾದಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ;
;

- ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು .
ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು . ಅವರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು:
;
.
ರಿಂದ ಮತ್ತು, ನಂತರ
;
.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ:

. :
.
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ (3):



.

ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಮೇಲಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಅದು
,
ಎಲ್ಲಿ
, ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ, , .
ನಂತರ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
(4)
.
ಏಕೆಂದರೆ, ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ,
; ; ,
ಅದು
;
;
.

(4) ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಎಲ್ಲಿ
ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ
, , ... , .
ನಂತರ
.

§ 5. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ ಮತ್ತು , ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಕಾಶ
,
.

ನಂತರ ತಿನ್ನುವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು , ಅಸ್ಥಿರ ಅವಳಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಸ್ಥಿರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ?

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ಆದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು , ನಂತರ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ
,
,
ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ನೇರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಆಶ್ರಯಿಸದೆಯೇ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ

(5.1)

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಾದವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಹೆಚ್ಚಳ
, - const. ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ

ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು

ಎಲ್ಲಿ , - ಅಪರಿಮಿತ ನಲ್ಲಿ
,
. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಮತ್ತು . ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು:

(ಆದುದರಿಂದ , ಗಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ).

(5.1) ರಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮಾನತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವಕಾಶ
, ಎಲ್ಲಿ
,
. ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು . ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (5.1). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(5.1) ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.1) ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವೇಳೆ

………………………

ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ
ಸಮಾನತೆ ಇದೆ

ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ.

,
.

ನಂತರ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು . ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ
,
ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
(5.2)

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವಕಾಶ
, ಎಲ್ಲಿ
,
. ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (5.2) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ, ಅಂದರೆ. ,

ಎಲ್ಲಿ
.

ಸೂತ್ರದಿಂದ (5.2) ನಾವು ನಂತರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(5.3)

(ಏಕೆಂದರೆ
) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ , ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (5.3) ನಿಂತಿರುವುದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (5.3) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನ . ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ: ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವಾದದ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
, ಎಲ್ಲಿ
.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
.

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (5.3). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಮತ್ತು ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.2) ಮತ್ತು (5.3) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್.

ಒಂದು ವೇಳೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ

ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

, (5.4)

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ
. (5.5)

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಯೋಜನ (5.5) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವಕಾಶ , ಎಲ್ಲಿ , . ಕಾರ್ಯಗಳು , , ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (5.5) ಅದರ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು (5.1) ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು (5.5) ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ದಾಖಲಿಸುವ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸ್ಥಿರ . (5.4) ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೂಪವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೂಪವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ - ನೇ ಆದೇಶ. ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲೇ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

. (4.12)

ಆದರೆ ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರ (4.12) ಜೊತೆಗೆ
ನಿಜವಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಮತ್ತು ಸಂಕೇತದ ಎರಡನೇ ರೂಪವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಹ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ
ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಗಳು.

§ 6. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ವಾದಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ; ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದಗಳು ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿಲ್ಲ

ಮತ್ತು

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿ. ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಸ್ಥಿರ (
) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ6.1 . (ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ
ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಬಿಂದು

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

1) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು . ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು:

2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ಇದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ

, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ
.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರ್ಥ
ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ. ಅವರ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಗಾಗಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ
, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

4) ಸಮೀಕರಣ
ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ
, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
, ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ
ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ
. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ಎಲ್ಲಿ. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ
, ಅದು

(6.1)

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (5.3) ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
(6.2)

(6.1) ಮತ್ತು (6.2) ನಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆಗ

(6.3)

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಭಾಗಿಸಿ ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ರ ಪ್ರಕಾರ
ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
.

,
.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (6.3) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಮುಂದೆ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು
.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ:
ಮತ್ತು
, ಎಲ್ಲಿ
,
. ನಲ್ಲಿ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು
.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯ ಅದನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು (6.3) ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯ, ವಾದ, ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (6.4)

ಹಾಗೆಯೇ, ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್, ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (6.3) ಬಳಸಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

. (6.5)

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

,
,
.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (6.4) ಮತ್ತು (6.5) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,
.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಡೆಸಿದ ವಾದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,
, …,
.

§ 7. ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

1. ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ
ವಿಮಾನ
, – ಪ್ರದೇಶದ ಬಿಂದು, - ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್. ಹಂತದಿಂದ ಚಲಿಸೋಣ
ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ. ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ
ಆಫ್ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದದಿಂದ
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನುಪಾತ
ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ದರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ
. ನಂತರ ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ
(ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ಅವನು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತಾನೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ
ಅಥವಾ
.

ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. (ಹೆಚ್ಚುವುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು):

ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ದಿಕ್ಕಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ,
ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು
), ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು
).

ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ

ಎಲ್ಲಿ - ಅಪರಿಮಿತ ನಲ್ಲಿ
.