ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳುವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "X" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.
ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ
| 1. ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 2, 5, 200...). ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ | |
| 2. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಎಕ್ಸ್". ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ | |
| 3. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಚದರ-ಅಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು. | |
| 4. ಪವರ್ -1 ಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ | |
| 5. ಉತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಮೂಲ | |
| 6. ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ | |
| 7. ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 9. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ |  |
| 10. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 11. ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 12. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 13. ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ |  |
| 14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ | |
| 15. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 16. ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ | |
| 17. ಉತ್ಪನ್ನ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ |
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು
| 1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ |  |
| 2a. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ | |
| 3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
| 4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |  |
ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ
ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಮತ್ತು
ಆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ
ನಿಯಮ 2.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ
ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:
ನಿಯಮ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ
ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆu/v, ಮತ್ತು
ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.
ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು
ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ - ಲೇಖನದಲ್ಲಿ"ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ".
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಆದರೆ ಅವರು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.
ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು"v, ಇದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು .
ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ 
, ನಂತರ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪಾಠವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.
ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ 
, ನಂತರ ನೀವು "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.
ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:
ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 
, ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" .
ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" .
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .
ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.
3 ಮತ್ತು 5 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು
ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸರಳವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅವಕಾಶ u=u(x),v=v(x)- ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು x.
1 ಮತ್ತು 2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಫಾರ್ಮುಲಾ 3 ರ ಪುರಾವೆ.
ಅವಕಾಶ y = u(x) + v(x).ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ x+Δ xನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವೈ(x+Δ x)=ಯು(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ ವೈ=ವೈ(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ ಯು +Δ v.
ಆದ್ದರಿಂದ,
ಸೂತ್ರ 4 ರ ಪುರಾವೆ.
ಅವಕಾಶ y=u(x)·v(x).ನಂತರ ವೈ(x+Δ x)=ಯು(x+Δ x)· v(x+Δ x), ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
Δ ವೈ=ಯು(x+Δ x)· v(x+Δ x) – ಯು(x)· v(x).
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಯುಮತ್ತು vಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು x, ನಂತರ ಅವರು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಯು(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), Δ ನಲ್ಲಿ x→0.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು
ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಕಾಶ, y=u·v·w.ನಂತರ,
ವೈ " = ಯು "·( v w) + ಯು·( v· w) " = ಯು "· v· w + ಯು·( v"·w+ v·w ") = ಯು "· v· w + ಯು· v"·w+ u·v· w ".
ಸೂತ್ರ 5 ರ ಪುರಾವೆ.
ಅವಕಾಶ . ನಂತರ
ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ v(x+Δ x)→v(x)Δ ನಲ್ಲಿ x→0.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮೇಯ
ಅವಕಾಶ y = f(u),ಎ ಯು= ಯು(x) ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವೈವಾದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ x: y = f(u(x)).ಕೊನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ.
ಕಾರ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡೊಮೇನ್ y = f(u(x))ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ ಯು=ಯು(x) ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗ ಯು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ ವೈ= f(u).
"ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಒಮ್ಮೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಾರಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ಯು= ಯು(x) ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ x 0ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಯು 0 = ಯು(x 0), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ y=f(u)ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ ಯು 0ಉತ್ಪನ್ನ ವೈ"ಯು = f "(ಯು 0), ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ y = f(u(x))ನಿಗದಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೈ"x = f "(ಯು 0)· ಯು "(x 0), ಬದಲಿಗೆ ಅಲ್ಲಿ ಯುಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು ಯು= ಯು(x).
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯುಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ x.
ಪುರಾವೆ. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ X 0 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಯು 0 =ಯು(x 0), ನಲ್ಲಿ 0 =f(ಯು 0 ). ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ x 0+Δ x:
Δ ಯು= ಯು(x 0 + Δ x) – ಯು(x 0), Δ ವೈ=f(ಯು 0+Δ ಯು) – f(ಯು 0).
ಏಕೆಂದರೆ ಯು- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ x 0, ಅದು ಯು- ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Δ ನಲ್ಲಿ x→0 Δ ಯು→0. ಅದೇ ರೀತಿ Δ ಗೆ ಯು→0 Δ ವೈ→0.
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ 
. ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ, ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (Δ ನಲ್ಲಿ ಯು→0)
ಅಲ್ಲಿ α→0 Δ ನಲ್ಲಿ ಯು→0, ಮತ್ತು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, Δ ನಲ್ಲಿ x→0.
ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:
Δ ವೈ=ವೈ"uΔ ಯು+α·Δ ಯು.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯು Δ ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಯುಅನಿಯಂತ್ರಿತ α ಗೆ =0, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು 0=0 ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. Δ ನಲ್ಲಿ ಯು=0 ನಾವು α=0 ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು Δ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ x
.
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ 
. ಆದ್ದರಿಂದ, Δ ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ x→0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವೈ"x = ವೈ"u·u" x. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ y = f(u(x)),ನೀವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ f, ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ "ಒಳ" ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y=f(x)ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು y=f(u), u=u(v), v=v(x),ನಂತರ y "x ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನುಕ್ರಮ ಅನ್ವಯದಿಂದ ನಡೆಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಸಾಬೀತಾದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವೈ"x = ವೈ"ಯು ಯು"x. ಅದೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಯು"x ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.
ವೈ"x = ವೈ"x ಯು"ವಿ v"x = f"ಯು( ಯು)· ಯು"ವಿ ( v)· v"x ( x).
ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y= x 3. ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ವೈ= x 3ಸಮೀಕರಣ ಸಂಬಂಧಿಯಾಗಿ x. ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ x: . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತುಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ y= x 3ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು xಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವೈ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y= x 3.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಕಾರ್ಯ y = f(x)ಎಂದು ಕರೆದರು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ xಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ x 2 >x 1, ನಂತರ f(x 2 ) > f(x 1 ).
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ವಾದದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ X 2 < X 1, ನಂತರ f(x 2 ) > f(x 1 ).
ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ y=f(x), ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [ ಎ; ಬಿ]. ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ).
ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X 1 ಮತ್ತು X 2. ಅವಕಾಶ ವೈ 1 =f(x 1 ), ವೈ 2 =f(x 2 ). ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x 1 <x 2, ನಂತರ ನಲ್ಲಿ 1 <ನಲ್ಲಿ 2. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 1 ಮತ್ತು X 2 ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ 2. ವಿರುದ್ಧವೂ ಸಹ ನಿಜ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ನಲ್ಲಿ 1 <ನಲ್ಲಿ 2, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x 1 <x 2. ಆ. ಮತ್ತೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ 2 ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ x 1 ಮತ್ತು x 2. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ xಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೈಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮೀಕರಣ y=f(x)ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವೈ(ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ y=f(x))ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ x, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು xಕೆಲವು ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ವೈ: x= g(y).
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಮ್ಮುಖಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y=f(x). ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ y=f(x)ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ x=g(y).
ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ x=g(y)ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ y=f(x)ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ X.
ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ ವೈ= ಇ x. ಈ ಕಾರ್ಯವು –∞ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= ಲಾಗ್ ವೈ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ 0< ವೈ < + ∞.
ಕೆಲವು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.
ಗಮನಿಸಿ 1.ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ y=f(x)ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ [ ಎ; ಬಿ], ಮತ್ತು f(a)=c, f(b)=d, ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಸಿ; ಡಿ].
ಗಮನಿಸಿ 2.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y=f(x)ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅದು ಹಲವಾರು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಯ y=x2-∞ ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 ಕಾರ್ಯ - ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ.
ಗಮನಿಸಿ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ y=f(x)ಮತ್ತು x=g(y)ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ xಮತ್ತು ವೈ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡರ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ x, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯ ವೈಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 1 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ y=f(x), ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು.
ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ y=f(x)ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ x=g(y), ಇದು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಲ್ಲಿ 0 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜಿ "(v 0), ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0=ಜಿ(x 0) ಕಾರ್ಯ y=f(x)ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ f "(x 0), ಸಮಾನ, ಅಂದರೆ. ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ. ಏಕೆಂದರೆ x=g(y)ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು y 0, ಅದು x=g(y)ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ y=f(x)ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ x 0=ಜಿ(y 0) ಆದ್ದರಿಂದ, Δ ನಲ್ಲಿ x→0 Δ ವೈ→0.
ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ 
.
ಅವಕಾಶ . ನಂತರ, ಮಿತಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ 
. ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು Δ ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗೋಣ ವೈ→0. ನಂತರ Δ x→0 ಮತ್ತು α(Δx)→0, ಅಂದರೆ. .
ಆದ್ದರಿಂದ,
,
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
1. ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್: (x n)` =nx n -1 .
2. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ: (a x)` =a x lna(ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, (e x)` = e x).
3. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್: (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, (lnx)` = 1/x).
4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು:
ಪವರ್-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯೆರಡನ್ನೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಎನ್- ನೇ ಆದೇಶ(n- 1) ನೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f``(x) = (f`(x))` - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ (ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ), f```(x) = (f``(x))` - ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ ( ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಉತ್ಪನ್ನ), ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೋಮನ್ ಅರೇಬಿಕ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f (5) (x) ಅಥವಾ f (V) (x) ಐದನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ.
ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವೇಗದ ವೇಗ. ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಗೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಕಾರ್ಯ
ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಕಾರ್ಯ E x (y) ಎಂಬುದು y ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು x ವಾದದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: 
.
ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಉತ್ಪಾದನಾ ಪರಿಮಾಣದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಟನ್ ಮತ್ತು ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ತಿಂಗಳಿಗೆ ಟನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ನಾವು ಈ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳು ಮತ್ತು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎರಡೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಶೇಕಡಾವಾರು ಅಥವಾ ಷೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಚಕಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು
ಫೆರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಆಂತರಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ.
ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಸಾಧಿಸಲಾದ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.3).
ರೋಲ್ ಪ್ರಮೇಯ. y =f(x) ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ:
2) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು (a, b);
3) ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. f(a) =f(b).
ನಂತರ ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ.
ರೋಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 3.4 ರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ).
f(a) =f(b) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೋಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡು ಸತತ ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಿರುತ್ತದೆ.
ರೋಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯ. y =f(x) ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ:
1) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ [a, b];
2) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು (a, b).
ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದು c ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ವಿಭಾಗದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 
.
ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ.
ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ 
ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ದರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ [a, b]. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತವಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ "ತತ್ಕ್ಷಣದ" ದರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ದರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.5 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 
AB ಸ್ವರಮೇಳವು ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಈ ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು - ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ - ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಿ ಬಿಂದುವಿದೆ 
. ಆದ್ದರಿಂದ f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = const.
L'Hopital ನಿಯಮ. ಎರಡು ಅಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಸೂಚಿಸಿದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದ್ದರೆ 
, ಅದು 
.
ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ.
ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು L'Hopital ನಿಯಮದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.
ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ಕಡಿಮೆ) ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ. ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).
ಪುರಾವೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (x 2 > x 1). [x 1, x 2] ನಲ್ಲಿ ಲಾಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ c ಒಂದು ಬಿಂದುವಿದೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.6 ನೋಡಿ. ) ಗಮನಿಸಿ: ಏಕತಾನತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ (ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ), ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ (ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಪುಟವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸೂತ್ರಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸಾರಾಂಶ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರy = C ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = x p (x p) " = p x p - 1 ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯy = ಕೊಡಲಿ (a x) "= a x ln a ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗa = ಇನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ y = e x (ಇ x) "= ಇ x ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ (ಲಾಗ್ a x) " = 1 x ln a ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗa = ಇನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ y = ಲಾಗ್ x (ln x) "= 1 x ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಸಿನ್ x) " = ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್ (ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್) " = - ಸಿನ್ ಎಕ್ಸ್ (ಟಿ ಜಿ ಎಕ್ಸ್) " = 1 ಕಾಸ್ 2 ಎಕ್ಸ್ (ಸಿ ಟಿ ಜಿ ಎಕ್ಸ್) " = - 1 ಸಿನ್ 2 ಎಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು x 0 = x ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ xಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x f (x) = C ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ∆ x → 0 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 0 ∆ x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು "ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ" ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶವು ಅನಂತವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f (x) = C ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 ಪರಿಹಾರ
ನೀಡಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಎ, ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೂರನೇ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಮಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 13 7 22, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಶೂನ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಶೂನ್ಯವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಐದನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - 8 7. ಉತ್ತರ:ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳುಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ x(ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: (x p) " = p x p - 1, ಅಲ್ಲಿ ಘಾತ ಪುಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪುರಾವೆ 2 ಘಾತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಪು = 1, 2, 3, … ನಾವು ಮತ್ತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಬರೆಯೋಣ: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p ಹೀಗೆ: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + . ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತಾಂಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪುರಾವೆ 3 ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಒದಗಿಸಲು p-ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು). ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಯಾವಾಗ xಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ xಋಣಾತ್ಮಕ. ಆದ್ದರಿಂದ x > 0. ನಂತರ: x p > 0 . ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು y = x p ಅನ್ನು e ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿದಮ್‌ನ ಗುಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 ಈಗ ನಾವು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ x -ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸೂಚಕ ವೇಳೆ ಪುಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು x ಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 ನಂತರ x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. ಒಂದು ವೇಳೆ ಪುಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು x ಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - (- (- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಾಧ್ಯ ಪುಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಪು - 1ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ (p = 1 ಗಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ xಸಮಾನತೆ (- x) p - 1 = x p - 1 ನಿಜ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ p ಗಾಗಿ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x ಲಾಗ್ 7 12 ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ
ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ನೀಡಿದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ y = x p ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x ಲಾಗ್ 7 12 = x - ಲಾಗ್ 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - ಲಾಗ್ 7 12 x - ಲಾಗ್ 7 12 - 1 = - ಲಾಗ್ 7 12 x - ಲಾಗ್ 7 12 - ಲಾಗ್ 7 7 = - ಲಾಗ್ 7 12 x - ಲಾಗ್ 7 84 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a 0 ನಮಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ z = a ∆ x - 1 (z → 0 ಅನ್ನು ∆ x → 0 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . ಕೊನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ, ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೂಲ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z ನಾವು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a ಉದಾಹರಣೆ 3 ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪರಿಹಾರ
ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ xವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ a ನ ಯಾವುದೇ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → a + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = x ∆ x · x x = x ∆ x x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a ಸಮಾನತೆಗಳ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸರಪಳಿಯಿಂದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಲಿಮ್ ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: f 1 (x) = ಲಾಗ್ ln 3 x , f 2 (x) = ln x ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪರಿಹಾರ
ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ x. ಕೆಲವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳುಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ. ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (ಸಿನ್ x) " = ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ಪಾಪ (x + ∆ x) - ಪಾಪ x ∆ x ಸೈನ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: (ಸಿನ್ x) " = ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ಪಾಪ (x + ∆ x) - ಪಾಪ x ∆ x = = ಲಿಮ್ ∆ x → 0 2 ಪಾಪ x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x = 2 ∆ = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಪಾಪ "x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪಾಪ xತಿನ್ನುವೆ cos x. ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 = ∆ - ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ಪಾಪ ∆ x 2 ಪಾಪ x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - ಪಾಪ x + 0 2 ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ಪಾಪ ∆ x 2 ∆ x 2 = - ಪಾಪ x ಆ. cos x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಪಾಪ x. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t g "x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x ಪಾಪ 2 x = - ಪಾಪ 2 x + cos 2 x ಪಾಪ 2 x = - 1 ಪಾಪ 2 x ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಾಗವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳ ಪುರಾವೆಯ ಕುರಿತು ಸಮಗ್ರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು: s h "x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h " x c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x = s h 1 ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ
. ಆದ್ದರಿಂದ f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). ನಂತರ f`(c) > 0 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f(x 2) >f(x 1), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಯಾವಾಗ'(ಸಿ)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು
ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಉಳಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಟೇಬಲ್ ಹಲವು ಬಾರಿ ಬೇಕಾಗಬಹುದು.
ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಪುರಾವೆ 1 ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಪುರಾವೆ 4 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಪುರಾವೆ 5 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಪುರಾವೆ 6 ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಪುರಾವೆ 7
ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ...